2020年高考数学临考押题卷06（天津卷）（解析版）

1 2020 年高考临考押题卷（六） 数学（天津卷） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合 ，集合 ， 所以 . 2．设 ，则“ ”是“ ” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 ，得 ，解得 ， 是 的子集，故“ ”是 “ ”的充分而不必要条件.故选 A. 3．若函数 与 的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同， 则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两个函数图象的公共点为 ， { }| 1 0A x x= − < { }2| 2 0B x x x= − < A B = { }| 0x x < { }| 1x x < { }1| 0x x< < { }|1 2x x< < { } { }| 1 0 | 1A x x x x= − < = < { } { }2| 2 0 | 0 2B x x x x x= − < = < < A B = { }1| 0x x< < x∈R 0 3x< < 1 2x − < 1 2x − < 2 1 2x− < − < 1 3x- < < ( )0,3 ( )1,3− 0 3x< < 1 2x − < ( ) lnf x x= ( ) 21 2 6 3g x x x k= + − k = 1 3 2 3 1 6 5 6 ( )0 0,P x y2 根据题意，得 即 ， 解 式得 或 （舍去），代入第 式，解得 . 4．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 可得 ，解得 ，此时双曲线 ， 则曲线 的离心率为 ，故选 C． 5．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，由题设可得 在 上恒成立，令 ，则 ，又 ，且 ，故 ，所以 问题转化为不等式 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立．令 函数 ，则 ，应选答案 D． ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 , , f x g x f x g x′ ′  = = ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 1 2ln , 16 3 1 1 2 , 23 3 x x x k xx  = + −  = +  ( )2 0 1x = 0 3x = − ( )1 5 6k = 2 2 1 : 110 x yC m m + =− 2 2 2 : 14 yC x − = 1C 5 4 5 5 5 2 2 2 1 : 110 x yC m m + =− 2 2 2 : 14 yC x − = 10 2m m − = 2m = 2 2 1 : 12 8 x yC − = 1C 2 8 5 2 ce a += = = ( ) ( ) ( )1 cos2 3 sin cos 4 12f x x a x x a x= + − + − ,02 π −   a 1 ,17      11, 7  −   ] [1, 1,7  −∞ − ∪ +∞   [ )1,+∞ / ( ) sin 2 3 (cos sin ) 4 1f x x a x x a= − + + + − sin 2 3 (cos sin ) 4 1 0x a x x a− + + + − ≥ [ ,0]2 π− cos sint x x= + 2sin 2 1x t= − cos sin 2 sin( )4t x x x π= + = + 4 4 4x π π π− ≤ + ≤ 2 2sin( ) [ 1,1]2 4 2x t π− ≤ + ≤ ⇒ ∈ − 2 3 4 0t at a− + + ≥ [ 1,1]− 2 3 4 0t at a− − ≤ [ 1,1]− 2( ) 3 4 , [ 1,1]h t t at a t= − − ∈ − 1( 1) 0{ { 17(1) 0 1 h a ah a − ≤ ≥⇒ ⇒ ≥≤ ≥3 6．已知 ，则 满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 是单调递增函数， ， ， . 7．正三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成 角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，正三棱锥 中， 是底面 的中心，则 是正棱锥的高， 是侧棱 与底面所成的角，即 ＝60°，由底面边长为 3 得 ， ∴ ． 正三棱锥 外接球球心 必在 上，设球半径为 ， 则由 得 ，解得 ， ∴ ． ln2 4 2 1log 5 log 32a b c e= = =， ， a b c， ， a b c< < b a c< < c a b< < c b a< < 4 2 2 1log 5 log 5 log 52a = = = 22 1 log 3 log 32b = = 2logy x= 2 2 21 log 5 log 3 log 4 2∴ < < < = ln2 2c e= = a b c∴ < < 60° 4π 16π 16 3 π 32 3 π A BCD− M BCD∆ AM ABM∠ ABM∠ 2 3 3 33 2BM = × = tan 60 3 3 3AM BM= ° = × = A BCD− O AM R 2 2 2BO OM BM= + 2 2 2(3 ) ( 3)R R= − + 2R = 3 34 4 3223 3 3V R π ππ= = × =4 8．直线 经过点（3，2），则 的最小值为（ ） A．12 B．36 C．24 D．48 【答案】C 【解析】因为直线 经过点（3，2）， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 ， ，即 时，取等号. 所以 的最小值为 24. 9．已知函数 （ 为自然对数的底数），若关于 的不等式 解集中恰含有 一个整数，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求函数 和 图象过原点的切线的斜率： 对函数 ， ，设过原点的切线的切点为 ，则 ，解得 ，∴ ， 对函数 ， ，设过原点的切线的切点为 ，则 ，解得 （ 舍去），∴ ， 时， ，显然不合题意．因此 作出函数 和 的图象，如图， 只有在 时，不等式 才可能有解，此时 显然是其中一个解，又 ，点 与原点连线斜率为 ，而 ，因此当 时， 不等式 只有一个整数解． 1( 0, 0)x y a ba b + = > > 2 3a b+ 1( 0, 0)x y a ba b + = > > 3 2 1a b + = ( ) 3 2 9 4 9 42 3 2 3 12+ 12+2 24b a b aa b a b a b a b a b  + = + + = + ≥ × =   3 2 1a b + = 9 4b a a b = 6, 4a b= = 2 3a b+ ( ) 2 , 0 4 1, 0 xe xf x x x  ≥=  + ( )y f x= y a x= a e> ( )f x a x< 1x = 2(2)f e= 2(2, )e 2 2 ek = 2 42 e < 2 2 ee a< ≤ ( )f x a x 41 3x< < ( ) 0f x′ < 4 23 x< < ( )f x 41, 3      4 ,23     8 故 ，故四棱柱 体积的最大值为 . 故答案为： 三、解答题 16． 、 、 分别为 内角 、 、 的对边，已知 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积. 【解析】（1）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，因为 ，所以 ； （2）由余弦定理，得 ，则 ， 整理得 ， ，解得 . 因为 ，所以 ， 所以 的面积 . 17．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ，点 是 的中点. max 4 64( ) 3 27f x f  = =   1 1 1 1ABCD A B C D− 8 3 9 8 3 9 a b c ABC∆ A B C tan 3 sina B b A= cos B 3a = 17b = ABC∆ tan 3 sina B b A= sin tan 3sin sinA B B A= sin 0A > sin 3sincos B BB = sin 0B > 1cos 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 117 9 2 3 3c c= + − × × × 2 2 8 0c c− − = 0c > 4c = 1cos 3B = 2 2 2sin 1 cos 3B B= − = ABC∆ 1 sin 4 22S ac B= = P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD PD DC= E PC9 求证： 平面 ； 若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小. 【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ， 由题意可知， ， ， 又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 由 ，得 ，取 ， 又由直线 与平面 所成的角为 ， 得 ，解得 ， 同理可得平面 的法向量 ， 由向量的夹角公式，可得 ， 又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 . ( )1 / /PA BDE ( )2 BD PBC 30° C PB D− − AC BD O OE ,PE EC AO OC= = / /PA EO∴ PA BED EO ⊂ BED / /PA BED ( )2 D , ,DA DC DP x y z D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ， ( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = − PBC ( , )n x y z= ， · 0 · 0 PB n PC n  =  =     0 0 ax y z y z + − =  − = (0,1,1)n = BD PBC 30 2 1 1cos , 21 2 DB n DB n DB n a = = = + ×       1a = PBD 1, )0( 1,m = − 1 1cos , 22 2 n mn m n m = = = ×      C PB D− − C PB D− − 60°10 18．中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且椭圆 E 与坐标轴 的一个交点坐标为 . （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关于 x 轴 的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 . 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ， 所以椭圆 E 的标准方程为 . （2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设 则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ， 得 ，所以有 ，即 且 ，即直线 BD 的方程为 令\ ，得点 Q 的横坐标为 ， 2: 4C x y= y x= ( )2,0 ( )0, 2− | | | |OP OQ⋅ 2: 4C x y= y x= 1,0（ ） 1c = 2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 2y kx= − 0k ≠ 2 ,0P k      ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1 1,D x y− 2 2 14 3 2 x y y kx  + =  = − ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ − + = ( )248 4 1 0k∆ = − > 2 1 4k > 1 2 2 1 2 2 16 3 4 4 3 4 kx x k x x k  + = +  = + 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x + −=+ − 0y = ( ) ( )1 2 1 21 2 2 1 1 2 1 2 2 2 4Q kx x x xx y x yx y y k x x − ++= =+ + −11 代入得： ， 所以 ，所以 为定值 4. 19．已知等差数列 和等比数列 的各项均为整数，它们的前 项和分别为 ，且 ， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求 ； （3）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ， 因为 ， 所以 ，即 ，解得 ，或 （舍去）. 所以 . （2） ， ， 所以 ， 所以 . （3）由（1）可得 ， ， 所以 . 因为 是数列 或 中的一项，所以 ， ( )2 2 8 32 24 21216 4 3 4Q k k kx k k k − −= = =−− + 2| | | | 2 4P QOP OQ x x kk ⋅ = ⋅ = ⋅ = | | | |OP OQ⋅ { }na { }nb n ,n nS T 1 12 2b a= = 2 3 2 254, 11b S a T= + = { }na { }nb 1 1 2 2 3 3n n nM a b a b a b a b= + + + + m 1m m m m S T S T ++ + { }na { }nb m { }na d { }nb q 1 1 2 3 2 22 2, 54, 11b a b S a T= = = + = 2 (3 3 ) 54 1 2 2 11 q d d q + =  + + + = (1 ) 9 2 8 q d d q + =  + = 3 2 q d =  = 3 2 5 q d  =  = 12 1, 2 3n n na n b −= − = ⋅ ( )2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 5 2 3 2 1 2 3n n n nM a b a b a b a b n −= + + + + = × + × × + × × + ⋅⋅⋅ + − × × 2 13 1 2 3 3 2 3 (2 3) 2 3 (2 1) 2 3n n nM n n−= × × + × × + + − × × + − × × ( )2 12 2 4 3 3 3 (2 1) 2 3n n nM n−− = + + + + − − × × 13(1 3 )2 4 (4 2) 3 4 (4 4) 31 3 n n nn n −−= + × − − × = − − − ⋅− 2( 1) 3 2n nM n= − ⋅ + 2 nS n= 3 1= −n nT 2 1 1 2 1 3 1 3 m m m m m m S T m S T m + ++ − +=+ − + 1m m m m S T S T ++ + { }na { }nb 2 1 * 2 1 3 ,1 3 m m m L L Nm +− + = ∈− +12 所以 ，因为 ， 所以 ，又 ，则 或 . 当 时，有 ，即 ，令 . 则 . 当 时， ；当 时， ， 即 . 由 ，知 无整数解. 当 时,有 ，即存在 使得 是数列 中的第 2 项， 故存在正整数 ，使得 是数列 中的项. 20．已知函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中 e 为自然对数的底数）． 【解析】（1） 的定义域为 ， ， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . （2∵ ， 有两个极值点 ∴令 ，则 的零点为 ，且 . ∴ ＞０, ∴ 或 ∵ ， ∴ . 根据根的分布，则 且 g( )  1 3L<  *L N∈ 2L = 3L = 2L = ( )2 1 3mm − = ( )2 1 13m m − = 2 1( ) 3m mf m −= 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 2 2 3( 1) ( ) 3 3 3m m m m m m mf m f m + + + − − − −+ − = − = − 1m = (1) (2)f f< 2m ≥ ( ) ( )1 0f m f m+ − < (1) (2) (3) (4)f f f f< > > > ⋅⋅⋅ 1(1) 0, (2) 3f f= = ( )2 1 13m m − = 3L = 2 1 0m − = 1m = 2 1 2 1 3 31 3 m m m m +− + =− + { }na 1m = 1m m m m S T S T ++ + { }na 2( ) 2lnf x x ax x= − + 5a = ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < a ( )f x ( )0 + ∞， ( ) ( )( )2 2 1 22 2 5 22 5 x xx xf x x x x x − −− + =′ = − + = ( )f x 10, 2      ( )2,+∞ 1 ,22      ( ) 22 2 22 x axf x x a x x =′ − += − + ( )f x ( ) 22 2g x x ax= − + ( )g x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < 2 16a∆ = − 4a < - 4a > 1 2 02 ax x+ = > 1 2 1=x x 4a > 1( ) 03g > 1 e 1 12 2 09 3 a× − + > 2 12 2 0a e e ⋅ − +