专题 31 挑战压轴题
高考中涉及圆锥曲线、函数与导数的考题一般难度较大，通常作为压轴题出现，部分考生对此类题目感到
无从下手．对这类题目可以采取“多捞分”的策略．
1.缺步答题
如遇到一个不会做的问题，可将其分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能
解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，即使得不出最后结论，演
算到得分点也可以得分
2.跳步解答
解题过程卡在某一过渡环节时，我们可以先承认中间结论，继续往后推，看能否得到结论．若题目有两问，
第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．
3.辅助解答
一道题目的完整解答，既有主要的实质性步骤，也有次要的辅助性步骤．当实质性的步骤不好找时，找辅
助性的步骤是明智之举．
4.逆向解答
正面思考问题思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有
困难就逆推，直接证有困难就反证．
1．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，试问在 轴上是否存在定点 使得直线 与
直线 恰关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1)由题意可得 ， ，又 ，
解得 ， .
所以，椭圆 的方程为
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> > 3
2
31, 2
−
C
( )3,0 l C A B x Q QA
QB x Q
2
2 14
x y+ =
3 c
2 a
= 2 2
1 3 1a 4b
+ = 2 2 2a b c− =
2a 4= 2b 1=
C
2
2x y 14
+ = (2)存在定点 ，满足直线 与直线 恰关于 轴对称.
设直线 的方程为 ，与椭圆 联立，整理得， .
设 ， ，定点 .(依题意
则由韦达定理可得， ， .
直线 与直线 恰关于 轴对称，等价于 的斜率互为相反数.
所以， ，即得 .
又 ， ，
所以， ，整理得， .
从而可得， ，
即 ，
所以，当 ，即 时，直线 与直线 恰关于 轴对称成立. 特别地，当直线 为 轴
时， 也符合题意. 综上所述，存在 轴上的定点 ，满足直线 与直线 恰关
于 轴对称.
2．已知抛物线 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点.
（1）若直线 l 过点 F 且 ，求直线 l 的方程；
（2）已知点 ，若直线 l 不与坐标轴垂直，且 ，证明：直线 l 过定点.
【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析
【解析】（1）法一：焦点 ，当直线 斜率不存在时，方程为 ，与抛物线的交点坐标分别为
， ，
4 3Q ,03
QA QB x
l x my 3 0+ − = C ( )2 24 m y 2 3my 1 0+ − − =
( )2 2B x , y 1
1
x x y y 12
+ = ( )Q t,0 1 2t x ,t x )≠ ≠
1 2 2
2 3my y 4 m
+ = + 1 2 2
1y y 4 m
−= +
QA QB x AQ,BQ
1 2
1 2
y y 0x t x t
+ =− − ( ) ( )1 2 2 1y x t y x t 0− + − =
1 1x my 3 0+ − = 2 2x my 3 0+ − =
( ) ( )1 2 2 1y 3 my t y 3 my t 0− − + − − = ( )( )1 2 1 23 t y y 2my y 0− + − =
( ) 2 2
2 3m 13 t 2m 04 m 4 m
−− ⋅ − ⋅ =+ +
( )2m 4 3t 0− =
4 3t 3
= 4 3Q ,03
QA QB x l x
4 3Q ,03
x 4 3Q ,03
QA QB
x
2: 4C y x=
8AB =
( )2,0E − AEO BEO∠ = ∠
1y x= − 1y x= − +
( )1,0F l 1x =
( )1,2 ( )1, 2−此时 ，不符合题意，故直线的斜率存在.
设直线 方程为 与 联立得 ，
当 时，方程只有一根，不符合题意，故 .
，抛物线的准线方程为 ，由抛物线的定义得
，
解得 ，
所以 方程为 或
法二：焦点 ，显然直线 不平行于 x 轴，设直线方程为 ，
与 联立得 ，设 ，
，
由
，解得 ，
所以 方程为 或
（2）设 ， ，
设直线 方程为 与 联立得
，
由 得 ，即
整理得 ，即
整理得
即 ，即
故直线 方程为 过定点
AB 4=
l ( )1y k x= − 2 4y x= ( )2 2 2 22 2 0k x k x k− + − =
0k = 0k ≠
( )2
1 2 2
2 2k
x x k
+
+ = 1x = −
( ) ( ) ( )2
1 2 2
2 2
| | | | | | 1 1 2 8
k
AB AF BF x x k
+
= + = + + + = + =
1k = ±
l 1y x= − 1y x= − +
( )1,0F l 1x my= +
2 4y x= 2 4 4 0y my− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 4 1AB x x y y m y y m y y y y m= − + − = + − = + + − = +
8AB = 1m = ±
l 1y x= − 1y x= − +
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
l ( )0x my b m= + ≠ 2 4y x= 2 4 4 0y my b− − =
1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = −
AEO BEO∠ = ∠ EA EBk k= − 1 2
1 22 2
y y
x x
= −+ +
1 2 1 1 2 22 2 0y x y x y y+ + + = ( ) ( )1 2 1 1 2 22 2 0y my b y my b y y+ + + + + =
( )1 2 1 22 ( 2) 0my y b y y+ + + =
8 4( 2) 0bm b m− + + = 2b =
l 2x my= + ( )2,03．已知抛物线 的焦点为 ， 轴上方的点 在抛物线上，且 ，直线
与抛物线交于 ， 两点（点 ， 与 不重合），设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 时，求证：直线 恒过定点并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由抛物线的定义可以 ，
,抛物线的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点 的坐标为
当直线 斜率不存在时，此时 重合，舍去.
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为
设 ，将直线 与抛物线联立得：
又 ，
即 ，
，
，
将①代入得，
即
得 或
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 ;
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 （舍去）
( )2 2 0y px p= − > F x ( )2,M m− 5
2MF =
l A B A B M MA MB 1k 2k
1 2 2k k+ = − l
2 2y x= −
5( 2)2 2
pMF = − − =
1p∴ = 2 2y x= −
M ( 2,2)−
l ,A B
l l y kx b= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y l
2 2 2
2 (2 2) 02
y kx b k x kb x by x
= + + + + = = −
2
1 2 1 22 2
2 2 ,kb bx x x xk k
− −+ = = ①
1 2
1 2
1 2
2 2 22 2
y yk k x x
− −+ = + = −+ +
( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2kx b x kx b x x x+ − + + + − + = − + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 8 2 4 8kx x k x x b x x x x b x x x x+ + + + − + + − = − − + −
( )1 2 1 2(2 +2) (2 +2) 4 0k x x k b x x b+ + + + =
2 2 2 ( 1) 0b b k b− − − + =
( 1)( 2 2 ) 0b b k+ − − =
1b = − 2 2b k= +
1b = − l 1y kx= − (0, 1)−
2 2b k= + l 2 2 ( 2) 2y kx k k x= + + = + + ( 2,2)−所以直线 恒过定点 .
4．已知动点 到两点 ， 的距离之和为 4，点 在 轴上的射影是 C， .
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线交点 的轨迹于点 ，交点 的轨迹于点 ，求 的最大值.
【答案】（1） .（2）1
【解析】（1）设 ，
因为点 到两点 的距离之和为 4，即
可得点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，
所以 ，即 ，且 ，则 ，
所以点 的轨迹方程是 .
设点 坐标为 ，因 所以点 的坐标为 ，可得 ，
化简得点 的轨迹方程为 .
（2）若 轴，则 ， .
若直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，即 ，
则坐标原点到直线 的距离 ，
.
设 .将 代入 ，并化简得，
.
， .
l (0, 1)−
P ( )3,0− ( )3,0 P x 2CQ CP=
Q
( )3,0− P ,A B Q ,M N 21
4 MN AB−
2 2 4x y+ =
( )1 3,0F − ( )2 3,0F
P ( ) ( )3,0 , 3,0− 1 2 4PF PF+ =
P ( ) ( )3,0 , 3,0−
2 4a = 2a = 3c = 2 2 1b a c= − =
P
2
2 14
x y+ =
Q ( ),x y 2CQ CP= P , 2
yx
22
14 2
x y + =
Q 2 2 4x y+ =
AB x⊥ 1 2AB MN= =， 21 04 MN AB∴ − =
AB x AB 3y kx k= + 3 0kx y k− + =
AB 2 1
3 kd
k
=
+
( ) ( )2
2 2
2
4 4
4 4 1
k
MN d k
+
∴ = − = +
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 3y kx k= +
2
2 14
x y+ =
( )2 2 2 21 4 8 3 12 4 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
8 3
1 4
kx x k
∴ + = − +
2
1 2 2
12 4
1 4
kx x k
−= +，
当且仅当 即 时，等号成立.
综上所述， 最大值为 1.
5．已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，分别过 两点作 ，
垂足分别为 ，且记 为点 到直线 的距离, 为点 到直线 的距离， 为点 到点 的距离，试探索
是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ； （2） 存在最大值，其最大值为 .
【解析】（1）由题意可得 ， 解得 椭圆 的方程为 .
（2）将直线 代入椭圆 的方程 中，得 .
由直线 与椭圆 有且仅有一个公共点知， .
整理得 ，且 ， .
当 时，设直线 的倾斜角为 ，则 ，即 .
， 当 时， ，
，
当 时，四边形 为矩形，此时 .
综上可知， 存在最大值，其最大值为 .
( )22 2
1 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x∴ = + − = + ⋅ + −
( )2 22 2
2
2 2 2
4 12 48 3 4 41 1 4 1 4 1 4
kk kk k k k
− += + ⋅ − − = + + +
2
2
4 2
2 2
2 2
1 9 9 9 114 4 5 1 14 5 2 4 5
kMN AB k k k kk k
∴ − = = ≤ =+ + + + ⋅ +
2
2
14k k
= 2
2k = ±
21
4 MN AB−6．已知点 在圆 上运动，点 在 轴上的投影为 ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设 ,过点 的动直线 与曲线 交于 (不同于 )两点.问：直线
与 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【答案】(1) ;(2)是定值为 .
【解析】(1)解:设 ,则 . .
解得
在 上, ,整理得
故动点 的轨迹 的方程为 .
(2)解:由题意知, 的斜率不为 0,则设 , ,
与曲线 方程联立得 ,整理得
则
直线 的斜率 ,直线 的斜率
此时
所以直线 与 的斜率之比是定值,为 .
7．如图，已知抛物线 的焦点为 .
P :O 2 2 9x y+ = P x Q M 4 3 2PQ MQ=
M E
( ) ( )3,0 , 3,0G H− ( )1,0F l E ,A B ,G H AG
BH
2 2
19 8
x y+ = 1
2
( ) ( )0 0, , ,M x y P x y ( )0 ,0Q x ( ) ( )0 00, , ,PQ y MQ x x y∴ = − = − −
4 3 2PQ MQ=
( )0
0
0 3 2
4 3 2
x x
y y
= −∴ − = −
0
0
3 2
4
x x
yy
= =
( )0 0,P x y 2 2 9x y+ =
2
2 3 2 94
yx
∴ + =
2 2
19 8
x y+ =
M E
2 2
19 8
x y+ =
l : 1l x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
E 2 2
1
19 8
x my
x y
= + + =
( )2 28 9 16 64 0m y my+ + − =
1 2 1 22 2
16 64,8 9 8 9
my y y ym m
+ = − = −+ +
( )1 2 1 24my y y y∴ = +
AG 1
1
1 3
yk x
= + BH 2
2
2 3
yk x
= −
( )
( )
( )
( )1 2 1 21 1 2 1 1 2 1
2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2
3 2 2 4 4 2 1
3 4 4 4 4 4 2
y x y myk my y y y y y
k y x y my my y y y y y
− − − + −= = = = =+ + + + +
AG BH 1
2
21
4y x= F若点 为抛物线上异于原点的任一点，过点 作抛物线的切线交 轴于点 ，证明：
.
， 是抛物线上两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ( 不与 轴平行)，且
.过 轴上一点 作直线 轴，且 被以 为直径的圆截得的弦长为定值，求
面积的最大值.
【答案】 证明见解析； .
【解析】 由抛物线的方程可得 ，准线方程： ，设 ，
由抛物线的方程可得 ，所以在 处的切线的斜率为： ，
所以在 处的切线方程为： ，
令 ，可得 ，
即 ，
所以 ，而 到准线的距离 ，由抛物线的性质可得
所以 ， ，
( )1 P P y Q
2PFy PQF∠ = ∠
( )2 A B AB y ( )0,4D AB x
6AF BF+ = y E / /m x m AD ABE△
( )1 ( )2 10 30
9
( )1 ( )0,1F 1y = −
2
0
0 , 4
xP x
2
xy′ = P 0
2
xk =
P ( )2
0 0
04 2
x xy x x− = −
0x =
2
0
4
xy = −
2
0
40,Q x −
2
01 4
xFQ = + P
2
0 14
xd = + PF d=
PF FQ= PQF QPF∠ = ∠可证得： .
设直线 的方程为： ， ， ，
直线与抛物线联立 ，
整理可得： ，
，
即 ，
， ， ，
所以 的中点坐标为： ，
所以线段 的中垂线方程为： ，
由题意中垂线过 ，所以 ，即 ，①
由抛物线的性质可得： ，
所以 ，即 ，②
设 ， ，
的中点的纵坐标为 ，
所以以 为直径的圆与直线 的相交弦长的平方为：
，
要使以 为直径的圆截得的弦长为定值则可得 ，时相交弦长的平方为定值 ，即
所以 到直线 的距离为： ，
而弦长
2PFy PQF∠ = ∠
( )2 AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 4
y kx m
x y
= +
=
2 4 4 0x kx m− − =
216 16 0k m∆ = + >
2 0k m+ >
1 2 4x x k+ = 1 2 4x x m=− ( ) 2
1 2 1 2 2 4 2y y k x x m k m+ = + + = +
AB ( )22 ,2k k m+
AB ( )2 12 ( 2 )y k m x kk
− + = − −
( )0,4D 22 2 4k m+ + = 22 2k m+ =
1 2 2 6AF BF y y+ = + + =
24 2 2 6k m+ + = 22 2k m+ =
( )0,E b ( )22 2
1 1 4AD x y= + −
AD 14
2
y+
AD m
22
144 4 2
yAD b
+ − −
( ) ( ) ( )
2 22
1 121
1
4 44 44 4 4
y yx b b y
− += + − − + +
( )2 2
1 1 1 14 4 4 4 3 4y b b y by b y b b − + − + = − + −
AD 3b = 12 ( )0,3E
E AB 2
3
1
md
k
−=
+
( )22
1 2 1 21 4AB k x x x x= + + −，
所以 ，
将①代入可得
，
设 为偶函数，
只看 的情况即可，
令 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
所以 且 上， 为最大值 ，
所以 的最大值为： .
8．已知函数 ， .
（l）设 ，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 的图象在 上恒在 轴的上方，求实数 的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1） ， ，
.
2 24 1 k k m= + +
2 2 2
2
31 1 4 1 2 32 2 1EAB
mS AB d k k m m m k
k
−= ⋅ = ⋅ + ⋅ + = − +
+
2 2 2 2 22 3 2 2 2 2 2 1 2 2ABES k k k k k= − + − + = + − =
6 4 22 4 4 7 2k k k− + + +
( ) 6 4 24 4 7 2f k k k k= − + + +
2 0k> >
( ) ( ) ( )( )5 3 4 2 2 224 16 14 2 12 6 7 2 2 1 6 7f k k k k k k k k k k+ + = − − − = − += − −′
( ) 0f k′ = 42
6k =
420 6k< < ( ) 0f k′ > ( )f k
42 k 26
< < ( ) 0f k′ < ( )f k
( )2, 2k ∈ − 0k ≠ 42 42
6 6f f
= −
10 30
9
ABES
42 42 10 302 1 2 236 36 9
+ × − =
( ) ( ) 22 1 lnf x a x ax x= + − − a R∈
( ) ( ) ( )2 1g x f x a x= − + ( )g x
( )f x ( )1,+∞ x a
[ ]1,0−
( ) ( ) ( ) 22 1 lng x f x a x ax x= − + = − − a R∈
( ) ( )22' 1 12 0axax xxg xx
+= − − = − >①若 ， ， ，函数 的单调减区间是 ，无单调增区间；
②若 ，令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 .
综上所述，若 ，函数 的单调减区间是 ，无单调增区间；
若 ，函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 .
（2）“若函数 的图象在 上恒在 轴的上方”等价于“不等式 在 上恒成立”，
即不等式 在 上恒成立，
即不等式可转化为 在 上恒成立.
令 ，
则 .
①若 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 ，不等式恒成立等价于 ，即 ；
②若 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合题意；
③若 ，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，不符合题意.
0a ≥ 22 1 0ax + > ( )' 0g x < ( )g x ( )0, ∞+
0a < ( )' 0g x < 10 2x a
< < −
( )' 0g x > 1
2x a
> −
( )g x 10, 2a
−
1 ,2a
− +∞
0a ≥ ( )g x ( )0, ∞+
0a < ( )g x 10, 2a
−
1 ,2a
− +∞
( )f x ( )1,+¥ x ( ) 0f x > ( )1,+¥
( ) 22 1 ln 0a x ax x+ − − > ( )1,+¥
( )2ln 2 1 0x ax a x+ − + < ( )1,+¥
( ) ( ) ( )2ln 2 1 1x axh x a x x= + − + >
( ) ( ) ( )22 2 1 11 2 2 1' ax a xax axh xx
− + += + − + = ( )( )2 1 1ax x
x
− −=
0a ≤ ( )' 0h x < ( )h x ( )1,+¥
( ) ( )1 1h x h a< = − − 1 0a− − ≤ 1 0a− ≤ ≤
10 2a< < 1 12a
> 11 2x a
< < ( )' 0h x < 1
2x a
> ( )' 0h x >
( )h x 11, 2a
1 ,2a
+∞
( ) 1 ,2x hh a
∈ +∞
1
2a ≥ 1x > ( )' 0h x > ( )h x ( )1,+¥
( ) ( )( )1 ,h x h∈ +∞综上所述，实数 的取值范围是 .
9．已知函数 ，a 为常数.
（1）讨论函数 的单调性：
（2）若函数 有两个极值点 ， 且 ，求证： .
【答案】（1）见解析（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义城为 .
由题意, .
（ⅰ）若 ,则 ,于是 ,当且仅当 时, ,所以 在
单调递减.
（ⅱ）若 ,由 ,得 或 ,
当 时, ；
当 时, ；
所以 在 , 单调递减, 单调递增.
（ⅲ）若 ,则 ,
当 时, ；当 时, ；
所以 在 单调递减, 单调递增
综上所述,当 时,函数 在 上单调递减；
a [ ]1,0−
( ) ( )21 ln 12f x x a x= + −
( )f x
( )f x 1x 2x 1 2x x< ( )2 1
3 ln 4
8f x x
+− > −
( ),1−∞
( ) 2
1 1
a x x af x x x x
− + −′ = − =− −
1
4a ≥ 2 0x x a− + − ≤ ( ) 0f x′ ≤ 1 1
4 2a x= = ( ) 0f x′ = ( )f x
( ),1−∞
10 4a< < ( ) 0f x′ = 1 1 4
2
ax
− −= 1 1 4
2
ax
+ −=
1 1 4 1 1 4, ,12 2
a ax
− − + −∈ −∞ ( ) 0f x′ <
1 1 4 1 1 4,2 2
a ax
− − + −∈
( ) 0f x′ >
( )f x 1 1 4, 2
a − −−∞
1 1 4 ,12
a + −
1 1 4 1 1 4,2 2
a a − − + −
0a ≤ 1 1 4 12
ax
+ −= ≥
1 1 4, 2
ax
− −∈ −∞
( ) 0f x′ < 1 1 4 ,12
ax
− −∈
( ) 0f x′ >
( )f x 1 1 4, 2
a − −−∞
1 1 4 ,12
a − −
1
4a ≥ ( )f x ( ),1−∞当 时,函数 在 上单调递减,
上单调递增；
当 时,函数 在 上单调递减, 上单调递增.
（2）由（1）知, 有两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 , 满足 ,所以 , ,则 ,
由于 .
设
.
.
当 时, ,所以 .
所以 在 上单调递减,又 .
所以 ,即 .
10．已知函数 .
（1）当 时，讨论 极值点的个数；
（2）若函数 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值点 ，且是唯一极值点；（2）
【解析】（1）由 知 .
当 时， ， ，显然 在 上单调递减.
又 ， ，
10 4a< < ( )f x 1 1 4, 2
a − −−∞
1 1 4 ,12
a + −
1 1 4 1 1 4,2 2
a a − − + −
0a ≤ ( )f x 1 1 4, 2
a − −−∞
1 1 4 ,12
a − −
( )f x 10 4a< <
( )f x 1x 2x 2 0x x a− + − = 1 2 1x x =+ 1 2x x a⋅ = 1
10 2x< <
( ) ( ) ( )22
2 1 2 2 1 1 1 2 1 1
1 1ln 1 1 ln2 2f x x x a x x x x x x x− = + − − = − + −
( ) ( )21 1 12 1 ln 02 2 2g x x x x x x x = + − + − < ÷ = -ç ÷ç ÷è ø
( )2 1
3 ln 4
8f x x
+− > −
( ) ( )ln 1xf x x ae a R= − + ∈
1a = ( )f x
( )f x a
0x 10, e
( ) ln 1xf x x ae= − + ( )0,x∈ +∞
1a = ( ) ln 1xf x x e= − + ( )' 1 xf x ex
= − ( )'f x ( )0, ∞+
' 1 2 02f e = − >
( )' 1 1 0f e= −
( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x <
0x ( ) ln 1xf x x e= − +
( ) ln e 1 0xf x x a= − + = ln 1
ex
xa
+=
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+=
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+= ( )0, ∞+
( ) ( )'
1 ln 1
0x
xxg x xe
− −
= >
( ) 1 ln 1h x xx
= − − ( ) 2
' 1 1 0xh xx = − − <
( )h x ( )0, ∞+ ( )1 0h =
( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( )' 0g x > ( )g x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( )' 0g x < ( )g x
( ) ( )max
11g x g e
= =
1 0g e
= 1x > x → +∞ ( ) 0g x > ( ) 0g x →
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+= ( )0, ∞+ 10 a e
< <
a 10, e
11．函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】函数 的定义域为 ，
（1）令 ，开口向上， 为对称轴的抛物线，
当 时，
① ，即 时， ，即 在 上恒成立，
②当 时，由 ，得 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，
当 或 时， ，即 ，
综上，当 时， 在 上递减，
在 和 上递增，当 时，在 上递增.
（2）若函数 有两个极值点 且 ，
则必有 ，且 ，且 在 上递减，在 和 上递增，
则 ，
因为 是方程 的两根，
所以 ，即 ，
要证
( ) 2 ln(1 )f x x m x= + +
0m > ( )f x
( )f x 1 2,x x 1 2x x< 2 1 12 ( ) 2 ln 2f x x x> − +
( )f x ( ) ( ) 22 21, , 1
x x mf x x
+ +− +∞ ′ = +
( ) 22 2= + +g x x x m 1
2x = −
1x > −
1 1 02 2g m − = − + ≥
1
2m ≥ ( ) 0g x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )1,− +∞
10 2m< < ( ) 22 2= + +g x x x m 1 2
1 1 2 1 1 2,2 2 2 2
m mx x
− −= − − = − +
( )1 0g m− = >
1
1 1 2 11 2 2 2
mx
−− < < − − < − 1 2x x x< < ( ) 0g x < ( ) 0f x′ <
11 x x− < < 2x x> ( ) 0g x > ( ) 0f x′ >
10 2m< < ( )f x 1 1 2 1 1 2,2 2 2 2
m m − −− − − +
1 1 21, 2 2
m −− − −
1 1 2 ,2 2
m −− + +∞
1
2m ≥ ( )1,− +∞
( )f x 1 2,x x 1 2x x<
10 2m< < 1 2
11 02x x− < < − < < ( )f x ( )1 2,x x ( )11, x− ( )2 ,x +∞
( ) ( )2 0 0f x f< =
1 2,x x 22 2 0x x m+ + =
1 2 1 22, 2
mx x x x+ = − = 1 2 1 21 , 2 ,x x m x x= − − =
( )2 1 12 2 ln2f x x x> − +又
，
即证 对 恒成立，
设
则
当 时， ，故 ，
所以 在 上递增，
故 ，
所以 ，
所以 .
12．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ， ，且存在不相等的实数 ，使得 ，求证
且 ．
【答案】（1）函数单调性见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
①当 ，即 时， ， ，
在 上单调递增；
②当 ，即 时，
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 1 2 22 2 2 ln 1 2 4 ln 1f x x m x x x x x= + + = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 2 2 2 2 2 22 4 1 ln 1 1 2 1 ln2 1 2 1 ln2x x x x x x x x= + + + > − − + + − − = + − +
( ) ( ) ( )( )2
2 2 2 2 22 4 1 ln 1 1 1 2ln2 0x x x x x− + + − + − > 2
1 02 x− < <
( ) ( ) ( ) ( )( )2 12 4 1 ln 1 1 1 2ln2 ,( 0)2x x x x x x xϕ = − + + − + − − < <
( ) ( ) ( ) 44 1 2 ln 1 lnx x x e
ϕ = − + + −′
1 02 x− < < ( ) 41 2 0,ln 1 0,ln 0x x e
+ > + ( ) 0xϕ′ >
( )xϕ 1 ,02
−
( ) ( )1 1 1 1 12 4 ln 1 2ln2 02 4 2 2 2xϕ ϕ > = × − × × − − =
( ) ( ) ( )( )2
2 2 2 2 22 4 1 ln 1 1 1 2ln2 0x x x x x− + + − + − >
( )2 1 12 2 ln2f x x x> − +
1( ) ln ( )f x x a x ax
= − + ∈R
( )y f x=
0 1b< < 1( ) ( ) sing x f x b xx
= + − 1 2,x x ( ) ( )1 2g x g x= 0a <
2
2 11
a x xb
> −
( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2
2 2
1 11 a x axf x x x x
+ +′ = + + =
( ) 2 1g x x ax= + + 2 4a∆ = −
0∆ ≤ [ ]2,2a∈ − ( ) 0g x ≥ ( ) 0f x′∴ ≥
( )f x∴ ( )0, ∞+
> 0∆ ( ) ( ), 2 2,a∈ −∞ − +∞令 ，解得： ， ，
当 时， ，
当 和 时， ；当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ， 在 上恒成立，
在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在
， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题意得： ，则 ；
当 时， ，
在 上单调递增，与存在不相等的实数 使得 相矛盾，
.
由 得： ，
，
不妨设 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，
， ，
欲证 ，只需证 ，只需证 ，
( ) 0g x = 2
1
4
2
a ax
− − −=
2
2
4
2
a ax
− + −=
( ), 2a∈ −∞ − 1 20 x x< <
∴ ( )10,x x∈ ( )2 ,x +∞ ( ) 0f x′ > ( )1 2,x x x∈ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )10, x ( )2 ,x +∞ ( )1 2,x x
( )2,a∈ +∞ 1 2 0x x< < ( ) 0f x′∴ > ( )0, ∞+
( )f x∴ ( )0, ∞+
[ )2,a∈ − +∞ ( )f x ( )0, ∞+ ( ), 2a∈ −∞ − ( )f x
2 40, 2
a a − − −
2 4 ,2
a a − + − +∞
2 24 4,2 2
a a a a − − − − + −
( ) ln sing x x a x b x= + − ( ) 1 cosag x b xx
′ = + −
0a ≥ ( ) 1 cos 1 0a a ag x b x bx x x
′ = + − ≥ − + > ≥
( )g x∴ ( )0, ∞+ 1 2,x x ( ) ( )1 2g x g x=
0a∴ <
( ) ( )1 2g x g x= 1 1 1 2 2 2ln sin ln sinx a x b x x a x b x+ − = + −
( ) ( )2 1 2 1 2 1ln ln sin sina x x x x b x x∴− − = − − −
1 20 x x< <
( ) ( )sin 0x x x xϕ = − > ( ) 1 cos 0x xϕ′ = − ≥
( )xϕ∴ ( )0, ∞+ 2 2 1 1sin sinx x x x∴ − > − 2 1 2 1sin sinx x x x− > −
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1ln ln sin sin 1a x x x x b x x b x x∴− − = − − − > − −
0 1b< >− −
2
1 2 1
ax x b
< −
2
2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− > −
2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−即证 ，
令 ，则只需证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
在 上单调递减， ，从而 得证，
.
13．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当 时，求证： 时， ；
（Ⅱ）当 时，计论函数 的极值点个数.
【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】(Ⅰ)由 ，易知 ，设 ，则 ，当
时， ，又
∴ 时， ， 时， ，即 在 递减， 递增；所以当
时， 得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当 时， 当且仅当在 处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数
为 1；
2
1 2
2 1
1
ln
1x
x x
x x
x
−
>
2
1
1xt x
= > 1
ln
t tt
− > 1ln 0tt
t
−− <
( ) ( )1ln 1th t t t
t
−= − >
( )
( ) ( )211 11 2 12 0
2 2
t t tt tth t t t t t t t
− − ⋅ −− −′ = − = = − <
( )h t∴ ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h t h∴ < = 1ln 0tt
t
−− <
2
2 11
a x xb
>
∴ −
21( ) ln2
xf x x ax xe
= − + e
0a ≥ 1x ≥ ( ) 0f x >
1a e
≥ − ( )f x
( ) ( )1 ln 1f x x a xe
+′ = − + 1 0f e
=
′
( ) ( )g x f x= ′ ( ) x ag x x
′ += 0a ≥
( ) 0g x′ > 1 1 0f ge e
= =
′
10 x e
< < ( ) 0g x < 1x e
> ( ) 0g x > ( )f x 10, e
1 ,e
+∞ 1x ≥
( ) ( ) 1 11 02f x f e
≥ = − >
0a ≥ ( )f x 1x e
=当 时，易知 在 递减， 递增，所以 ，
又设 ，其中 ，则 对 恒成立，所以
单调递减， （当且仅当 时取等号），所以当 时， 即 在
单调递增，故此时极值点个数为 0；
当 时， ， 在 递增，又 ，所以当 时 ，
当 时 ，即 总在 处取得极小值；又当 且 时， ，所以存
在唯一 使得 ，且当 时 ，当 时 ，则 在
处取得极大值；故此时极值点个数为 2；
综上，当 时， 的极值点个数为 0；当 时， 的极值点个数为 2；当 时
的极值点个数为 1.
14．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间及极值；
（2）设 ，当 时，存在 ， ，使方程
成立，求实数 的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 .函数 有极大值且为
， 没有极小值.（2）
【解析】（1）由 得：
令 ，则 ，解得
当 时，
当 时，
1 0ae
− ≤ < ( )g x ( )0, a− ( ),a− +∞ ( ) ( ) ( )min
1 lng x g a a ae
= − = − + −
( ) ( )1 lnh a a ae
= − + − 1 0ae
− ≤ < ( ) ( )1 ln 0h a a′ = + − ≤ 1 0ae
− ≤ < ( )h a
( ) 1 0h a h e
≤ − =
1a e
= − 1a e
= − ( ) 0g x ≥ ( )f x
( )0,+∞
1 0ae
− < < 1 0ae
> − > ( )g x ( ),a− +∞ 1 0g e
=
1a x e
− ≤ < ( ) 0g x <
1x e
> ( ) 0g x > ( )f x 1x e
= 0x → 0x > ( ) +g x → ∞
( )0 0,x a∈ − ( )0 0g x = 00 x x< < ( ) 0g x > 0x x a< < − ( ) 0g x < ( )f x
0x x=
1a e
= − ( )f x 1 0ae
− < < ( )f x 0a ≥
( )f x
( ) ( ) 1xf x a x e= − − x∈R
( )f x
( ) ( ) 2
2 ln mg x x t x t
= − + − 1a = ( )1 ,x ∈ −∞ +∞ ( )2 0,x ∈ +∞
( ) ( )1 2f x g x= m
( , 1)x a∈ −∞ − ( 1, )x a∈ − +∞ ( )f x
1( 1) 1af a e −− = − ( )f x 1
e
−
( ) ( ) 1xf x a x e= − − ( ) ( )1 xf x a x e′ = − −
( ) 0f x′ = ( )1 0xa x e− − = 1x a= −
( ), 1x a∈ −∞ − ( ) 0f x′ >
( )1,x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ ( )h x
1x e
= ( )min
1h x e
= −
m 1
e
−
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