【高中必备】 “函数 与导”内容剖析及备考建议---5.26

精准定位，高效提升 ——“ 函数与导数 ” 内容剖析及备考建议 一 试题特征及解模套路 二 函数导数研究的套路 三 高效增分思考与建议 交流内容 目录 / Contents Click here to add the title text content 2011 年 —— 2019 年全国课标卷 Ⅰ 函数与导数考点分布统计表（理科） 统计表 题数、题序、考查内容 Click here to add the title text content 2011 年 —— 2019 年全国课标卷 Ⅰ 函数与导数考点分布统计表（文科） 统计表 Click here to add the title text content 考查的核心知识 考查内容 函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）； 函数的性质：函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性； 函数的图象：包含显性与隐性； 导数的应用：导数的概念及其几何意义；利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围． 考查的核心知识为：函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数及其应用 解答题主要的题型结构有： 零点问题； 不等式证明问题； 不等式恒成立问题； 多变量等问题． 目录 / Contents 01 试题特征及解模套路 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数概念 （一）函数的概念 函数的定义域、值域；解析式（分段函数） 1 ．函数的定义域、值域 （ 1 ）试题模型 函数的定义域、值域是文科常考的问题，作为基础题的考查，是学生必须得分的题目． （ 2 ）解模套路 解决这类问题关键在于扣紧函数的概念，注意到函数的三要素，快速精准解决问题． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数概念 2 ．解析式 （ 1 ）试题模型 函数解析式的考查，主要以分段函数为载体，考查基本初等函数．结合指数、对数与幂函数运算，求函数值或解不等式．以中等难度题呈现． （ 2 ）解模套路 解决这类问题的关键在于掌握指数、对数及幂函数运算．必须合理运用分类与讨论思想进行解答．若借助数形结合思想，问题解决过程会更加简捷． 分类讨论；可借助图象解决． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 单调性 1. 函数的单调性 （ 1 ）试题模型 第一类：直接考查单调性的概念和识记 定义域优先原则 （二）函数的性质 函数的单调性；函数的奇偶性；函数的对称性；函数的周期性；函数性质综合应用． （ 2 ）解模套路 关注单调性的定义，注意复合函数的单调性；借助导数解决问题 . Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 单调性 （ 2 ）解模套路 主要体现在数的大小比较．若幂的底数相同、指数或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较，往往考虑与 0 ， 1 ，－ 1 进行比较，也可以作差戓作商进行比较． 显性考查是考技能，隐性考查是考素养 本题主要考查函数的单调性，而且还要应用化归与转化思想，将各选项分别进行变形，然后利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性进行比较 第二类：隐性考查单调性 三段区间内均单调递增 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 奇偶性 2 ． 函数的奇偶性 （ 1 ）试题模型 第一类：直接考查奇偶性的概念和识记 f(x) 为偶函数，则 f(x)-f(-x)=0 f(x) 为奇函数，则 f(x)=-f(-x) （ 2 ）解模套路 解决这类问题关键在于扣紧函数奇偶性的概念，从定义入手，应注意函数奇偶性定义的变形形式． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 奇偶性 第二类： 隐性考查奇偶性 问题特征：条件函数是奇函数 + 常数，局部函数为奇函数 （ 2 ）解模套路 观察题目特征，发现函数奇偶性的特征，转化为函数奇偶性问题，进而解决问题． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 奇偶性 奇偶函数的构成方式 要善于从题目特征观察奇偶性 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 对称性 函数图象自身的轴对称 函数图象自身的中心对称 3. 函数的对称性 （ 1 ）试题模型 第一类：函数图象自身的对称 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 对称性 隐性考查函数对称 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 对称性 第二类：两函数图象关于某直线对称 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 综合应用 4. 函数性质综合应用 （ 1 ）试题模型 模型 1 ：单调性 + 奇偶性 考查单调性、奇偶性等性质：以单调性、奇偶性性质为载体，结合解不等式进行考查 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 综合应用 （ 2 ）解模套路 先利用奇偶性将自变量转化同一单调区间，再利用单调性性质，进而解决问题．解题中经常利用中间量进行比较大小中间量往往考虑－ 1 ， 0 ， 1 三个数 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 综合应用 模型 2 ：隐性考查单调性 + 奇偶性 观察函数解析式的特征 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 综合应用 模型 3 ：奇偶性 + 周期性 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数图象 （ 1 ）试题模型 第一类：考查显性的图象（识图） （三）函数图象 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数图象 （ 2 ）解模套路 函数图象的识别，首先分析函数定义域、奇偶性，根据函数的奇偶性确定图象的对称性，排除部分选择项；利用特值检验，从特殊值、极限值排除部分选择项； 较难的问题需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数图象 第二类：隐性考查图象 题型特征：两个函数，其中一个是确定函数，另一个是含参数的函数，需求参数取值范围 ． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 函数图象 函数的零点问题常见的处理思路有两种： 思路一：将函数的零点问题转化为两个（较简单的）函数的交点问题，再结合图象进行判断，需要注意的是函数本身可以进行适当的代数变形以使得转化后的两个函数的草图更容易作出； 思路二：将函数作为整体进行考虑，借助函数的性质直接得到结果，有时函数的性质需要借助导数去研究． （ 2 ）解模套路 隐性考查函数图象，没有给出函数图象，但心中必须有图象，无图想图； 作出函数图象，应用运动的观点解决问题 ． Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 解题套路 函数研究的思维方式（套路） Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 几何意义 1. 导数的概念及其几何意义 （四）导数及其应用 （ 1 ）试题模型 第一类问题：求切线方程 Click here to add the title text content 试题特征及解模套路 几何意义 第二类问题：切线方程的应用 目录 / Contents 02 函数导数研究的套路 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 找分界点 问题一　分类讨论找 “ 分界点 ” 的解题套路 模式一：根据二次项系数确定 “ 分界点 ” 解模套路： 导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论： (1) 根据二次项系数是否为 0 ，判断函数是否为二次函数； (2) 由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点． Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 模式二：根据判别式确定 “ 分界点 ” 解模套路： 求导后，要判断导函数是否有零点 ( 或导函数分子能否分解因式 ) ，若导函数 ( 或导函数分子 ) 是二次函数，此时涉及二次方程问题， Δ 与 0 的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论．　　 两级讨论　　 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 找分界点 模式三：根据导函数零点的大小确定 “ 分界点 ” Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 找分界点 解模套路： 导函数 “ 零点 ” 可求，可根据 “ 零点 ” 之间及 “ 零点 ” 与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点 - lnk 与－ 2 之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．　　 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 找分界点 模式四：根据导函数零点与定义域的关系确定 “ 分界点 ” 解模套路： 导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要分类讨论．本题根据函数 h′(x) 的零点 a 是否在定义域 [1,2] 内进行讨论． Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 隐零点 问题二　导数零点不可求的解题套路 模式一：猜 —— 猜出方程 f′(x) ＝ 0 的根 导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数 f(x) 的单调性，往往需要解方程 f′(x) ＝ 0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？ Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 隐零点 模式二：设 —— 设出 f′(x) ＝ 0 的根 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 问题三 含有关 x 与 e x ， ln x 的组合函数的解题套路 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 组合函数 解模套路： 对于有关 x 与 lnx 的组合函数为背景的试题，要能够恰当地构造函数，寻求合理的解题策略，灵活利用导数解决问题． Click here to add the title text content 函数导数研究的套路 双变量 问题四 双变量问题的解题套路 解模套路： 求解本题的关键点有两个．一个是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，这是解决问题的基础．本题中利用两个方程相加 ( 减 ) 之后再消参，巧妙地把两个极值点与参数之间的关系建立起来；二是消 “ 变 ” ，即减少变量的个数，只有把方程转化为一个 “ 变量 ” 的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题求解．本题利用参数 m 的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程转化为关于 t 的方程，通过建立函数模型求解该问题．　 和、差、比 目录 / Contents 03 高效增分思考与建议 Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 答题分析 2019 年高考试题答题分析 与 0 、 1 比较 Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 答题分析 错选 A:6.40% 错选 A:9.60% Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 答题分析 本题作为填空题的第一题平均分理科 3 .68 分、文科 3.24 分，还有提升空间． Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 答题分析 第（ 1 ）小题零分率 20% ；第（ 2 ）小题零分率 88% Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 答题分析 第（ 1 ）小题零分率 44% ；第（ 2 ）小题零分率 75% Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 拿分策略 （一）必拿的分数 1 ．必拿分数的知识内容 选择填空题中的中等题，此类问题主要考查函数的概念（函数的定义域、值域、解析式）、函数的性质（函数的奇偶性、单调性）、函数的图象、导数的应用：导数的概念及其几何意义（求切线问题） ; Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 拿分策略 2 ．拿分策略 （ 1 ）定义域优先原则； （ 2 ）重点对分段函数、函数的奇偶性与单调性综合应用、函数的图象、求切线问题进行微专题训练； （ 3 ）由于问题的解决都涉及函数的性质，而函数图象是直观表达函数性质的最佳方式，因此，作出函数的图象是解决函数与导数的重要途径．应通过具体实例让学生掌握作函数的图象的步骤：第 1 步：确定定义域；第 2 步：求导数和导函数的零点；第 3 步：列表（含自变量取值、导数符号、函数增减与极值）；第 4 步：确定特殊点（图象与坐标轴的交点、极值点）；第 5 步：确定图象的渐近线；第 6 步：画图象．从另一个角度考虑，应灵活应用函数的图象的平移与对称变换； （ 4 ）在选择填空题中，应注意数形结合思想的应用；应关注特殊与一般思想的应用． Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 拿分策略 （二）争取拿的分数 1 ．争取拿分数的知识内容 （ 1 ）选择填空题中的压轴题（函数的性质的综合应用，涉及到对称性、周期性）； （ 2 ）解答题中的第 Ⅰ 问，函数的单调性（如导数求单调区间、极值、最值与零点）、切线的应用 ; 2 ．拿分策略 （ 1 ）熟练掌握函数性质的综合应用，如周期性及对称性的相关结论，并应用； （ 2 ）调整心态，大胆准确的求导（正确求导 1~2 分）； （ 3 ）关注分类与整合思想的应用，合理的进行分类 ． Click here to add the title text content 有效增分思考与建议 拿分策略 （三）希望能拿的分数 1 ．希望能拿分数的知识内容 解答题的第 Ⅱ 问，导数的应用． 2 ．拿分策略 （ 1 ）根据函数图象的性态，利用化归与转化思想，转化为熟悉的问题进行解决（函数的单调性、极值、最值问题）； （ 2 ）了解常见解题思路：零点问题、不等式证明问题、不等式恒成立问题、多变量问题等． 导数解答题应排除畏难心态，力争第一步不丢分，第二步能得到基本步骤分．