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2020 年上期衡阳市八中高二年级期中考试
数学试卷
时量：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
3.设向量 ，且 方向相反，则 的值是（ ）
A. 2 B. ― 2 C. ± 2 D. 0
4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若퐴 = 60∘，푏 = 1， 的面积为
3，则 （ ）
A. 2 B. 10 C. 2 3 D. 13
6.已知 ， ，则 m，n 之间的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 是定义域为 R 的偶函数，且 ，若 在[ ― 1,0]上是减函
数，记 ， ， ，则（ ）
A. 푎 > 푐 > 푏 B. 푎 > 푏 > 푐 C. 푏 > 푐 > 푎 D. 푏 > 푎 > 푐
{ } { }1 3 , 1,0,2,3A x N x B= ∈ − ≤ < = − =A B { }0,2 { }-1 0 2，， { }2 { }0 2 3，， 2[1,2], 0x x a∀ ∈ − ≤ 4a ≥ 5a ≥ 3a ≥ 5a ≤ ( ,1), (4, )a x b x= = a b ， x 20π 24π 28π 32π ABC∆ ABC∆ a = 1 ( 2)2m a aa = + >−
2 21( ) ( 0)2
xn x−= < m n> m n< =m n m n≤ ( )f x 1( +1)= ( )f x f x ( )f x 0.5(log 2)a f= 2(log 4)b f= 0.5(2 )c f=
2
8.已知函数 是定义域为 R 的奇函数，且当푥 > 0时， ，若
函数 有六个零点，分别是푥1，푥2，푥3，푥4，푥5，푥6，则푥1 + 푥2 + 푥3 +
푥4 + 푥5 + 푥6的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.）
9.已知 ， ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.将曲线 上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐
标不变)，得到 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于直线 对称
B. 在[0,휋]上的值域为
C. 的图像关于点 对称
D. 的图像可由 的图像向右平移 个单位长度得到
11.给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A. 若函数 的定义域为[0,2]，则函数 的定义域为[0,4]；
B. 函数 的单调递减区间是 ；
C. 若定义在 R 上的函数 在区间( ―∞,0]上是单调增函数，在区间(0, + ∞)上也是单
调增函数，则 在 R 上是单调增函数；
D. 是 定义域内的任意的两个值，且 ，若 ，则 是
减函数．
( )f x
2
2
log ,0 2
( )= 1 4 7, 22
x x
f x
x x x
< ≤ − + >
( ) (0 1)y f x a a= − < < 21(10, )2 10(3, )3 5(2, )2 (2,4) 6 60a< < 15 18b< < 1( ,4)3 a b ∈ 2 (21,78)a b+ ∈ ( 12,45)a b− ∈ − 7( ,5)6 a b b + ∈ 2 3sin 3sin( )sin( )2y x x x ππ= − − + ( )g x ( )g x 3 2x π= ( )g x 3[0, ]2 ( )g x ( ,0)6 π ( )g x 1cos 2y x= + 2 3 π ( )f x (2 )f x 1( )=f x x ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( )f x ( )f x 1 2,x x ( )f x 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x> ( )f x
3
12.如图，在棱长为 1 的正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，E，F 分别为퐵퐵1，CD 的中点，则以下
选项正确的是（ ）
A. 直线퐴퐷1与 BD 的夹角为60°
B. 平面퐴퐸퐷 ⊥ 平面퐴1퐹퐷1
C. 点퐶1到平面퐴퐵1퐷1的距离为 3
2
D. 若正方体每条棱所在直线与平面훼所成的角相等，则훼截此
正方体所得截面只能是三角形和六边形
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. ，则 的值是
14．若 满足约束条件 ，则 的最小值为
15.已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 m 的取值范围是
．
16．已知函数 的图象关于直线 对称，则
________， 的最小值为________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）设푝:实数 x 满足푥2 ― 2푎푥 ― 3푎2 < 0(푎 > 0)，푞:2 ≤ 푥 < 4． （1）若푎 = 1，且 p，q 都为真命题，求 x 的取值范围; （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 18.（本小题满分 12 分）已知等差数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，푎2 + 푎4 = 14，푆7 = 70． （1）求数列{푎푛}的通项公式． （2）设푛푏푛 = 2푆푛 +48，数列{푏푛}的最小项是第几项？求出最小项的值． 1sin( )6 3 π α− = cos(2 )3 πα − x y， 4 0 2 4 0 0 x y x y x y + − ≥ − − ≤ − ≥ 2z x y= + 0, 0x y> > 2 1 1x y
+ = 22 7x y m m+ > −
2 2( ) ( )( )f x x x x ax b= − + + 2x = =a b+
( )f x
4
19.（本小题满分 12 分）在 中，角 所对应的边分别是 a，b，c，向量
， ，且 ．
（1）求 B；
（2）若 ， ，求 ．
20.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中，
， ，M，N 分别为 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面
角的余弦值．
21.（本小题满分 12 分）已知函数 是偶函数，函数
是奇函数．
（1）求 的值；
（2）设 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取
值范围．
22.（本小题满分 12 分）已知向量 ， ，函数
的最小值为 ，
（1）当 时，求 的值；
（2）求 ；
（3）已知函数 为定义在 R 上的增函数，且对任意的 都满足
问：是否存在这样的实数 m，使不等式
对所有 恒成立，若存在，求出 m 的取
值范围；若不存在，说明理由．
ABC∆ , ,A B C
( , )m a c b c= − + ( , )n b c a= − / /m n
13b = 3 39cos( )6 26A
π+ = a
1 1 1ABC A B C−
4AC BC= = 4 3AB = AB 1CC
/ /CM 1B AN
1 1A M B C⊥ 1B AN 1B MC
4( ) log (4 1)xf x mx= + + 4( ) 2
x
x
ng x
−=
m n+
1( ) ( ) 2h x f x x= + 4( ) [log (2 1)]g x h a> + 1x ≥ a
(2sin ,sin cos )m θ θ θ= + (cos , 2 )n mθ= − −
( )f m nθ = ⋅ ( )( )g m m R∈
1m = ( )g m
( )g m
( )h x 1 2,x x 1 2( )h x x+ =
1 2( ) ( )h x h x+
4( ( )) ( ) (3 2 ) 0sin cosh f h h mθ θ θ− + + >+ [0, ]2
πθ ∈
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答案：
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解： ∵ 퐴 = {푥 ∈ 푁| ― 1 ≤ 푥 < 3} = {0,1，2}， 故选：A． 化简集合 A，然后直接利用交集运算得答案． 本题考查了交集及其运算，是基础题． 2.命题“∀푥 ∈ [1,2]，푥2 ― 푎 ≤ 0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. 푎 ≥ 4 B. 푎 ≥ 5 C. D. 푎 ≤ 5 【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词的意义与充分、必要条件，还涉及恒成立问题，属基础 题． 先找出命题为真命题的充要条件{푎|푎 ≥ 4}，从集合的角度充分不必要条件应为{푎|푎 ≥ 4}的真 子集，由选项不难得出答案． 【解答】解： ∵ ∀푥 ∈ [1,2]，1 ≤ 푥2 ≤ 4， ∴ 要使푥2 ― 푎 ≤ 0恒成立， 则푎 ≥ 푥2恒成立，即푎 ≥ 4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有 B 符合， 故选 B． 3.设向量푎 = (푥,1),푏 = (4,푥)，且푎,푏方向相反，则 x 的值是( )． A. 2 B. ― 2 C. ± 2 D. 0 【答案】B 【解析】【分析】本题考查向量向量共线，由푎,푏方向相反，可得푏 = 푚푎，푚 < 0，则有(4,푥) = 푚(푥,1)，由此能求出 x 的值． 【解答】解：因为푎与푏方向相反， 所以푏 = 푚푎，푚 < 0， 则有(4,푥) = 푚(푥,1)， 所以{ 4 = 푚푥, 푥 = 푚, 解得푚 =± 2． 又因为푚 < 0， 所以푚 = ―2， 所以푥 = 푚 = ―2． { } { }1 3 , 1,0,2,3A x N x B= ∈ − ≤ < = − =A B { }0,2 { }-1 0 2，， { }2 { }0 2 3，， 3a ≥
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4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A. 20휋 B. 24휋 C. 28휋 D. 32휋
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了几何体的三视图，把三视图还原成几何体是解题的关键，是一般题．
【解答】
解：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
由三视图可知圆柱底面圆的半径푟 = 2，底面圆的周长푐 = 2휋푟 = 4휋，
圆锥的母线长푙 = 22 + (2 3)2 = 4，圆柱的高ℎ = 4，
所以该几何体的表面积푆 = 휋푟2 + 푐ℎ + 1
2푐푙 = 4휋 +16휋 +8휋 = 28휋，
故选 C．
5.在 △ 퐴퐵퐶中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若퐴 = 60∘，푏 = 1， △ 퐴퐵퐶的面积为
3，则푎 = ( )
A. 2 B. 10 C. 2 3 D. 13
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积计算公式和余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用三角形面积计算公式可得出푐 = 4，再利用余弦定理即可求得 a．
【解答】
解：由题意可得푆△퐴퐵퐶 = 1
2푏푐푠푖푛퐴 = 3，
即1
2 × 1 × 푐sin60° = 3，
所以푐 = 4．
由余弦定理得푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐푐표푠퐴
= 1 + 16 ― 2 × 1 × 4 × 1
2 = 13，
即푎 = 13．
故选 D．
6.已知푚 = 푎 + 1
푎 ― 2(푎 > 2)，푛 = (1
2)푥2―2
(푥 < 0)，则 m，n 之间的大小关系是 ( ) A. 푚 > 푛 B. 푚 < 푛 C. 푚 = 푛 D. 푚 ≤ 푛
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【答案】A
【解析】【分析】本题考点是基本不等式在最值问题中的应用，考查了利用基本不等式求最
值，利用指数函数的单调性求最值，解题的关键是熟练掌握基本不等式及指数函数的单调性，
是一般题．
由题意，可先由基本不等式求出 m 的最小值，再由指数函数的单调性求出 n 的最大值，再
由中间量法比较即可得出两数的大小，选出正确选项．
【解答】解： ∵ 푚 = (푎 ― 2) + 1
푎 ― 2 +2 ≥ 2 (푎 ― 2)· 1
푎 ― 2 +2 = 4(当且仅当푎 = 3时取等号)，푛
= 22―푥2 < 22 = 4， ∴ 푚 > 푛，
故选 A．
7.已知函数푓(푥)是定义域为 R 的偶函数，且푓(푥 +1) = 1
푓(푥)，若푓(푥)在[ ― 1,0]上是减函数，
记푎 = 푓(log0.52)，푏 = 푓(log24)，푐 = 푓(20.5)，则( )
A. 푎 > 푐 > 푏 B. 푎 > 푏 > 푐 C. 푏 > 푐 > 푎 D. 푏 > 푎 > 푐
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的
值变到区间[0,1]上，根据单调性去比较函数值大小．
确定函数是周期为 2 的周期函数，푓(푥)在[0,1]上单调递增，并且푎 = 푓(log0.52) = 푓(log22) =
푓(1)，푏 = 푓(log24) = 푓(2) = 푓(0)，푐 = 푓(20.5)，即可比较出 a，b，c 的大小．
【解答】
解： ∵ 푓(푥 +1) = 1
푓(푥)， ∴ 푓(푥 +2) = 푓(푥)，
∴ 函数是周期为 2 的周期函数；
∵ 푓(푥)为偶函数，푓(푥)在[ ― 1,0]上是减函数，
∴ 푓(푥)在[0,1]上单调递增，
并且푎 = 푓(log0.52) = 푓( ― log22) = 푓(log22) = 푓(1)，
푏 = 푓(log24) = 푓(2) = 푓(0)，푐 = 푓(20.5).
∵ 0 < 1 < 20.5， ∴ 푏 < 푐 < 푎． 故选 A． 8.已知函数푓(푥)是定义域为 R 的奇函数，且当푥 > 0时，푓(푥) = {|푙표푔2푥|,0 < 푥⩽2 1 2푥2 ― 4푥 + 7,푥 > 2,若函数푦
= 푓(푥) ― 푎(0 < 푎 < 1)有六个零点，分别是푥1，푥2，푥3，푥4，푥5，푥6，则푥1 + 푥2 + 푥3 + 푥4 + 푥5 + 푥6的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查二次函数和对数函数的性质 及函数的奇偶性，属于较难题． 由奇函数的定义得푥 < 0时푓(푥)的解析式，然后画出푓(푥)和푦 = 푎的图象，利用二次函数的性 质得到푥1 + 푥2 + 푥5 + 푥6 = 0；利用对数函数的性质得到푥3 + 푥4 = 푥4 + 1 푥4 ，푥4 ∈ (1,2)，根据 21(10, )2 10(3, )3 5(2, )2 (2,4)
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对勾函数的性质求解即可．
【解答】
解： 因为函数푓(푥)是定义域为 R 的奇函数，且当푥 > 0时，
所以当푥 < 0时，푓(푥) = { ―|log2( ― 푥)|, ― 2 ≤ 푥 < 0 ― 1 2푥2 ― 4푥 ― 7,푥 < ―2 , 因为函数푦 = 푓(푥) ― 푎(0 < 푎 < 1)有六个零点， 所以函数푦 = 푓(푥)与函数푦 = 푎的图象有 6 个交点， 画出两函数的图象如下图， 不妨设푥1 < 푥2 < 푥3 < 푥4 < 푥5 < 푥6， 由图知푥1,푥2关于直线푥 = ―4对称，푥5,푥6关于푥 = 4对称， 所以푥1 + 푥2 + 푥5 + 푥6 = 0， 而log2푥3 = ― 푎,log2푥4 = 푎， 所以log2푥3 + log2푥4 = log2푥3푥4 = 0， 所以푥3푥4 = 1，且푥4 ∈ (1,2)， 因为푥3 + 푥4 = 푥4 + 1 푥4 ， 根据对勾函数푦 = 푥 + 1 푥的性质可得푥3 + 푥4 = 푥4 + 1 푥4 ∈ (2,5 2)， 所以푥1 + 푥2 + 푥3 + 푥4 + 푥5 + 푥6 ∈ (2,5 2)． 故选 A． 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.） 9.已知6 < 푎 < 60，15 < 푏 < 18，则下列正确的是( ) A. 푎 푏 ∈ (1 3,4) B. 푎 +2푏 ∈ (21,78) C. 푎 ― 푏 ∈ ( ― 12,45) D. 푎 + 푏 푏 ∈ (7 6,5) 【答案】AC 【解析】【分析】本题主要考察不等式的性质，属于基础题． 通过特殊值，排除错误选项，结合基本不等式性质即可解答．
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【解答】解：A 中，15 < 푏 < 18⇒ 1 18 < 1 푏 < 1 15，又6 < 푎 < 60， 所以根据不等式的性质可得6 × 1 18 < 푎 × 1 푏 < 60 × 1 15⇒1 3 < 푎 푏 < 4，故 A 正确; B 中，30 < 2푏 < 36，36 < 푎 +2푏 < 96，故 B 错误; C 中， ― 18 < ― 푏 < ―15， ― 12 < 푎 ― 푏 < 45，故 C 正确; D 中，푎 + 푏 푏 = 푎 푏 +1 ∈ (4 3,5)，故 D 错误． 故选 AC． 10.将曲线푦 = sin2푥 ― 3sin(휋 ― 푥)sin(푥 + 3휋 2 )上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标 不变)，得到푔(푥)的图像，则下列说法正确的是( ) A. 푔(푥)的图像关于直线푥 = 3휋 2 对称 B. 푔(푥)在[0,휋]上的值域为[0,3 2] C. 푔(푥)的图像关于点(휋 6,0)对称 D. 푔(푥)的图像可由푦 = cos푥 + 1 2的图像向右平移2휋 3 个单位长度得到 【答案】BD 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，考查函数푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)的图像和性质，属于 中档题． 根据三角恒等变换化简函数的解析式，根据푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)的图像和性质求解即可． 【解答】解：因为푦 = sin2푥 ― 3sin(휋 ― 푥)sin(푥 + 3휋 2 ) = 1 ― cos2푥 2 + 3 2 sin2푥 = sin(2푥 ― 휋 6) + 1 2， 所以푔(푥) = sin(푥 ― 휋 6) + 1 2． 对于 A 选项，令푥 ― 휋 6 = 휋 2 + 푘휋(푘 ∈ 푍)，得푥 = 푘휋 + 2휋 3 (푘 ∈ 푍)， 所以函数푔(푥)图像的对称轴为푥 = 푘휋 + 2휋 3 (푘 ∈ 푍)，故 A 错误; 对于 B 选项，因为푥 ∈ [0,휋]，所以푥 ― 휋 6 ∈ [ ― 휋 6,5휋 6 ]， 所以sin(푥 ― 휋 6) ∈ [ ― 1 2,1]，所以푔(푥)在[0,휋]上的值域为[0,3 2]，故 B 正确; 对于 C 选项，令푥 ― 휋 6 = 푘휋(푘 ∈ 푍)，得푥 = 푘휋 + 휋 6(푘 ∈ 푍)， 所以푔(푥)的图像的对称中心为(푘휋 + 휋 6,1 2)(푘 ∈ 푍)， 所以푔(푥)的图像关于点(휋 6,1 2)对称，故 C 错误;
10
对于 D 选项，由푦 = cos푥 + 1
2 = sin(푥 + 휋
2) + 1
2的图像向右平移2휋
3 个单位长度，
得到푦 = sin(푥 + 휋
2 ― 2휋
3 ) + 1
2 = sin(푥 ― 휋
6) + 1
2的图像，故 D 正确．
故选 BD．
11.给出下列命题，其中是错误命题的是( )
A. 若函数푓(푥)的定义域为[0,2]，则函数푓(2푥)的定义域为[0,4]；
B. 函数푓(푥) = 1
푥的单调递减区间是 ；
C. 若定义在 R 上的函数푓(푥)在区间( ―∞,0]上是单调增函数，在区间(0, + ∞)上也是单
调增函数，则푓(푥)在 R 上是单调增函数；
D. 푥1，푥2是푓(푥)定义域内的任意的两个值，且푥1 < 푥2，若푓(푥1) > 푓(푥2)，则푓(푥)是减函
数．
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题．
根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可．
【解析】
解：퐴.若函数푓(푥)的定义域为[0,2]，则函数푓(2푥)的定义域为[0,1]，故 A 错误；
B.函数푓(푥) = 1
푥的单调递减区间是 ，故 B 错误；
C.若定义在 R 上的函数푓(푥)在区间 上是单调增函数，在区间(0, + ∞)上也是单调增
函数，则푓(푥)在 R 上不一定为单调增函数，故 C 错误；
D 为单调性的定义，正确．
故答案为 ABC．
12.如图，在棱长为 1 的正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，E，F 分别为퐵퐵1，CD 的中点，则正
确的为( )
A. 直线퐴퐷1与 BD 的夹角为60°
B. 平面퐴퐸퐷 ⊥ 平面퐴1퐹퐷1
C. 点퐶1到平面퐴퐵1퐷1的距离为 3
2
D. 若正方体每条棱所在直线与平面훼所成的角相等，则훼截
此正方体所得截面只能是三角形和六边形
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考察空间几何体的相关性质的运用，包括异面直线的夹角、面面垂直的判定等等，
具有一定难度，根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：
11
依题意，对 A，连接 BD，因为是正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1，故连接퐵1퐷1，因为퐵퐷//퐵1퐷1，
再连接퐴퐵1，显然易知三角形퐴퐷1퐵1为等边三角形，故直线퐴퐷1与 BD 的夹角为60°，故 A 正
确；
对B，퐷1퐹 ⊥ 퐴퐷,퐷1퐹 ⊥ 퐴퐸,퐴퐷 ∩ 퐴퐸 = 퐴,퐴퐷,퐴퐸 ⊂ 面퐴퐷퐸,则퐷1퐹 ⊥ 面퐴퐷퐸，又퐷1퐹 ⊂ 面퐴1퐹퐷1，
则平面퐴퐸퐷 ⊥ 平面퐴1퐹퐷1，故 B 正确；
对 C，设点퐶1到平面퐴퐵1퐷1的距离为 h，푉퐶1―퐴퐵1퐷1 = 푉퐴―퐶1퐵1퐷1 ∴ 1
3 × 3
4 × ( 2)2 × ℎ = 1
3 × 1
2
× 1 × 1 × 1 ∴ ℎ = 3
3 ，故 C 错误；
若正方体每条棱所在直线与平面훼所成的角相等，易知훼截此正方体所得截面只能是三角形
和六边形，故 D 正确．
故选 ABD．
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.sin(휋
6 ― 훼) = 1
3，则cos(2훼 ― 휋
3)的值是
【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式与二倍角的余弦公式求值，是基础题．
设 ，则 ，利用诱导公式及二倍角公式即可求出．
【解答】解：设휃 = 휋
6 ― 훼，则훼 = 휋
6 ― 휃，且sin휃 = 1
3，
则cos(2훼 ― 휋
3) = cos[2(휋
6 ― 휃) ― 휋
3]
= cos( ― 2휃) = cos2휃 = 1 ― 2sin2휃
= 1 ― 2 × 1
9 = 7
9
，
12
14．若 满足约束条件 ，则 的最小值为_____
【答案】6
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答
案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图阴影所示，
化目标函数 z＝2x+y 为 y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线 y＝﹣2x+z 过 A 时直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，联立
得 A（2,2），故 z 的最小值为 6
故答案为 6
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.已知푥 > 0，푦 > 0，且2
푥 + 1
푦 = 1，若푥 +2푦 > 푚2 ― 7푚恒成立，则实数 m 的取值范围是
．
【答案】( ― 1,8)
【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中
等号成立的条件，属于基础题．
根据푥 +2푦 = (푥 +2푦)(2
푥 + 1
푦) = 4 + 4푦
푥 + 푥
푦，利用基本不等式得出푥 +2푦 ≥ 8，即푚2 ― 7푚 < 8， 求解即可得到得出 m 的范围． x y， 4 0 2 4 0 0 x y x y x y + − ≥ − − ≤ − ≥ 2z x y= + 4y x y x = − + =
13
【解答】解：因为2
푥 + 1
푦 = 1，
所以푥 +2푦 = (푥 +2푦)(2
푥 + 1
푦) = 4 + 4푦
푥 + 푥
푦 ≥ 4 + 2 4푦
푥 ⋅ 푥
푦 = 8(当且仅当4푦
푥 = 푥
푦时等号成立)．
因为푥 +2푦 > 푚2 ― 7푚恒成立，
所以푚2 ― 7푚 < 8，解得 ― 1 < 푚 < 8． 故答案为( ― 1,8) 16.已知函数푓(푥) = (푥2 ― 푥)(푥2 + 푎푥 + 푏)的图象关于直线푥 = 2对称，则푎 + 푏 = ________， 푓(푥)的最小值为________． 【答案】5； ― 9 4 【解析】【分析】 本题主要考查函数的性质的应用，属于中档题． 运用函数的对称性，解方程组求出函数解析式，然后采用换元法把函数转化为二次函数求解 即可． 【解答】 解：由푓(1) = 푓(3)，푓(0) = 푓(4)， 联立得到：{0 = 6 × (9 + 3푎 + 푏) 0 = 12 × (16 + 4푎 + 푏), 解得：{푎 = ―7 푏 = 12 , 所以푎 + 푏 = 5， 即푓(푥) = (푥2 ― 푥)(푥2 ― 7푥 + 12) = (푥2 ― 4푥)(푥2 ― 4푥 + 3)， ∴ 设푡 = 푥2 ― 4푥，푡 ∈ [ ― 4, + ∞)， ∴ 转化为푦 = 푡(푡 + 3) = 푡2 +3푡，푡 ∈ [ ― 4, + ∞)的最小值， 显然，当푡 = ― 3 2时取最小值为 ― 9 4， 故答案为 5； ― 9 4． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）设푝:实数 x 满足푥2 ― 2푎푥 ― 3푎2 < 0(푎 > 0)，푞:2 ≤ 푥 < 4． (1)若푎 = 1，且 p，q 都为真命题，求 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
14
【答案】解：(1)若푎 = 1，则푥2 ― 2푎푥 ― 3푎2 < 0可化为푥2 ― 2푥 ― 3 < 0，得 ― 1 < 푥 < 3． 若 q 为真命题，则2 ≤ 푥 < 4． ∴ 푝，q 都为真命题时，x 的取值范围是{푥|2 ≤ 푥 < 3}． (2)由푥2 ― 2푎푥 ― 3푎2 < 0(푎 > 0)，得 ― 푎 < 푥 < 3푎． ∵ 푞:2 ≤ 푥 < 4，q 是 p 的充分不必要条件， ∴ {푥|2 ≤ 푥 < 4}⫋{푥| ― 푎 < 푥 < 3푎}， 则{ ―푎 < 2 푎 > 0
3푎 ≥ 4
，得푎 ≥ 4
3．
∴ 实数 a 的取值范围是{푎|푎 ≥ 4
3}.
【解析】本题考查命题的真假和充分、必要条件，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
(1)由 p 为真时，得 ― 1 < 푥 < 3，由 p，q 都为真命题，即可求出 x 的范围； (2)由充分不必要条件的定义，得{푥|2 ≤ 푥 < 4}⫋{푥| ― 푎 < 푥 < 3푎}，则{ ―푎 < 2 푎 > 0
3푎 ≥ 4
解之即可．
18.（本小题满分 12 分）已知等差数列{푎푛}的前项和为푆푛，푎2 + 푎4 = 14，푆7 = 70．
(1)求数列{푎푛}的通项公式．
(2)设푛푏푛 = 2푆푛 +48，数列{푏푛}的最小项是第几项 ⋅ 求出最小项的值．
【答案】解：(1)设数列{푎푛}的公差为 d，则有{ 2푎1 + 4푑 = 14,
7푎1 + 21푑 = 70,
即{ 푎1 + 2푑 = 7,
푎1 + 3푑 = 10,解得{푎1 = 1,
푑 = 3,
所以数列{푎푛}的通项公式为푎푛 = 3푛 ― 2．
(2)푆푛 = 푛
2[1 + (3푛 ― 2)] = 3푛2 ― 푛
2 ，
所以푏푛 = 3푛2 ― 푛 + 48
푛 = 3푛 + 48
푛 ― 1 ≥ 2 3푛·48
푛 ― 1 = 23，
当且仅当3푛 = 48
푛 ，即푛 = 4时上式取等号，
故数列{푏푛}的最小项是第 4 项，该项的值为 23．
【解析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，考查利用基本不等式求最值，考
查推理能力和计算能力，属于中档题．
(1)设公差为 d，根据푎2 + 푎4 = 14，푆7 = 70列出方程组求出首项与公差，进而可得通项公式；
15
(2)由(1)可得푏푛 = 3푛 + 48
푛 ― 1，利用基本不等式即可求解．
19.（本小题满分 12 分）在 △ 퐴퐵퐶中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，向量푚 = (푎
― 푐,푏 + 푐)，푛 = (푏 ― 푐,푎)，且 ．
(1)求 B；
(2)若푏 = 13，cos(퐴 + 휋
6) = 3 39
26 ，求 a．
【答案】解：(1)因为푚//푛，所以푎2 + 푐2 ― 푏2 = 푎푐，
因为푐표푠퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐 = 푎푐
2푎푐 = 1
2，퐵 ∈ (0,휋)
故 B = 휋
3．
(2)因为 ，퐴 + 휋
6 ∈ (휋
6,5휋
6 )，cos(퐴 + 휋
6) = 3 39
26 ，
所以sin(퐴 + 휋
6) = 5 13
26 ，
所以푠푖푛퐴 = sin[(퐴 + 휋
6) ― 휋
6] = 5 13
26 × 3
2 ― 3 39
26 × 1
2 = 39
26 ，
在 △ 퐴퐵퐶中，由正弦定理可得： 푎
푠푖푛퐴 = 푏
푠푖푛퐵，
解得푎 = 1．
【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了两角差的正弦函数公式和向量平
行，属于中档题．
(1)由푚//푛，得푎2 + 푐2 ― 푏2 = 푎푐，可得푐표푠퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐 = 푎푐
2푎푐 = 1
2，进而求出角 B 的值；
(2)由퐴 + 휋
6 ∈ (휋
6,5휋
6 )，cos(퐴 + 휋
6) = 3 39
26 ，得sin(퐴 + 휋
6) = 5 13
26 ，
进而求出푠푖푛퐴 = sin[(퐴 + 휋
6) ― 휋
6] = 39
26 ，然后运用正弦定理求出 a 的值．
20.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中，퐴퐶 = 퐵퐶 = 4，퐴퐵 = 4 3，M，N
分别为 AB，퐶퐶1的中点．
/ /m n
16
(1)求证：퐶푀//平面퐵1퐴푁；
(2)若퐴1푀丄퐵1퐶，求平面퐵1퐴푁与平面퐵1푀퐶所成锐二面角的余弦值．
【答案】解：(1)取퐴퐵1的中点 E，连接 EM，EN，
在 △ 퐴퐵퐵1中，E，M 分别是퐴퐵1，AB 的中点，
则퐸푀//퐵퐵1，且퐸푀 = 1
2 퐵퐵1，
又 N 为퐶퐶1的中点，퐶퐶1//퐵퐵1，
所以푁퐶//퐵퐵1，푁퐶 = 1
2 퐵퐵1，
从而有퐸푀//푁퐶且퐸푀 = 푁퐶，
所以四边形 EMCN 为平行四边形，
所以퐶푀//푁퐸．
又因为퐶푀⊄平面퐵1퐴푁，푁퐸 ⊂ 平面퐵1퐴푁，
所以퐶푀//平面퐵1퐴푁；
(2)因为퐴퐶 = 퐵퐶，M 为 AB 的中点，
所以퐶푀 ⊥ 퐴퐵，
直三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中，
由퐴퐴1 ⊥ 平面 ABC，퐶푀 ⊂ 平面 ABC，
得퐴퐴1 ⊥ 퐶푀，
又因为퐴퐵 ∩ 퐴퐴1 = 퐴，
17
所以퐶푀 ⊥ 平面퐴퐵퐵1퐴1，
又퐴1푀 ⊂ 平面퐴퐵퐵1퐴1，
从而퐴1푀 ⊥ 퐶푀，
又因为퐴1푀 ⊥ 퐵1퐶，퐵1퐶 ∩ 퐶푀 = 퐶，
所以퐴1푀 ⊥ 平面퐵1푀퐶，
又퐵1푀 ⊂ 平面퐵1푀퐶，
从而有퐴1푀 ⊥ 퐵1푀，
因为퐴퐶 = 퐵퐶 = 4，퐴퐵 = 4 3 ，퐴푀 = 푀퐵，
所以퐴퐴1 = 퐴푀 = 2 3 ．
由(1)知퐸푀//퐵퐵1，所以퐸푀 ⊥ 平面 ABC．
以 M 为坐标原点，푀퐵，푀퐶，푀퐸为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系푀 ― 푥푦푧，
则푀(0,0，0)，퐴( ― 2 3,0，0)，퐴1( ― 2 3,0，2 3)，퐵1(2 3,0，2 3)，퐶(0,2，0)，푁(0,2，
3).
所以퐴1푀 = (2 3,0， ― 2 3)，퐴퐵1 = (4 3,0，2 3)，퐴푁 = (2 3,2， 3).
设平面퐵1퐴푁的法向量为푛 = (푥,y，푧)，
则{퐴퐵1·푛 = 0
퐴푁·푛 = 0 ，即{4 3푥 + 2 3푧 = 0
2 3푥 + 2푦 + 3푧 = 0,
取푥 = 1，则푛 = (1,0， ― 2)，
平面퐵1푀퐶的法向量为퐴1푀 = (2 3,0， ― 2 3)，
cos < 퐴1푀，푛 >=
퐴1푀·푛
|퐴1푀||푛| = 3 10
10 ，
所以平面퐵1퐴푁与平面퐵1푀퐶所成锐二面角的余弦值为3 10
10 ．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．
(1)取퐴퐵1的中点 E，连接 EM，EN，证得퐶푀//平面퐵1퐴푁；
(2)由퐴퐴1 ⊥ 平面 ABC，得퐴퐴1 ⊥ 퐶푀，推导出퐸푀 ⊥ 平面 ABC，以 M 为坐标原点，푀퐵，푀퐶，
푀퐸为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系푀 ― 푥푦푧，利用向量法能求出平面퐵1퐴푁与平
面퐵1푀퐶所成锐二面角的余弦值．
21.（本小题满分 12 分）已知函数 是偶函数，函数푔(푥) = 4푥 ― 푛
2푥 是
奇函数．
(1)求푚 + 푛的值；
(2)设ℎ(푥) = 푓(푥) + 1
2푥，若 对任意푥⩾1恒成立，求实数 a 的取值范
围．
【答案】解：(1)由于푔(푥)为奇函数，且定义域为 R，
∴ 푔(0) = 0，即40 ― 푛
20 = 0⇒푛 = 1，
经检验，푛 = 1符合题意；
18
，
，
∵ 푓(푥)是偶函数，
∴ 푓( ― 푥) = 푓(푥)，得푚푥 = ―(푚 +1)푥恒成立，
故푚 = ― 1
2，
综上所述，可得푚 + 푛 = 1
2；
，
，
又 ∵ 푔(푥) = 4푥 ― 1
2푥 = 2푥 ― 2―푥在区间[1, + ∞)上是增函数，
∴ 当푥 ≥ 1时，푔(푥)푚푖푛 = 푔(1) = 3
2，
由题意，得
因此实数 a 的取值范围是：{푎| ― 1
2 < 푎 < 3}． 【解析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题． (1)利用푔(푥)是奇函数可得 n 的值，利用푓(푥)是偶函数可得 m 的值，由此可得答案； (2)易得푔(푥) = 4푥 ― 1 2푥 = 2푥 ― 2―푥在区间[1, + ∞)上是增函数，可得푔(푥)的最小值，结合对数函 数的性质可得 ，解不等式即可． 22.（本小题满分 12 分）已知向量푚 = (2sin휃,sin휃 +cos휃)，푛 = (cos휃, ― 2 ― 푚)，函数푓(휃 ) = 푚 ⋅ 푛的最小值为푔(푚)(푚 ∈ 푅)， (1)当푚 = 1时，求푔(푚)的值； (2)求푔(푚)； (3)已知函数ℎ(푥)为定义在 R 上的增函数，且对任意的푥1,푥2都满足ℎ(푥1 + 푥2) = ℎ(푥1 ) + ℎ(푥2)问：是否存在这样的实数 m，使不等式ℎ(푓(휃)) ― ℎ( 4 sin휃 + cos휃) + ℎ(3 + 2푚) > 0
对所有휃 ∈ [0,휋
2]恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由．
19
【答案】解：(1) ∵ 푓(휃) = 푚 ⋅ 푛
= 2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃)，
令푡 = 푠푖푛휃 + 푐표푠휃 = 2sin(휃 + 휋
4)，푡 ∈ [ ― 2, 2]，
∴ 2푠푖푛휃푐표푠휃 = 푡2 ― 1，
当푚 = 1时，푔(푚) = (푡2 ― 3푡 ― 1)푚푖푛，
∵ 푦 = 푡2 ― 3푡 ― 1对称轴为푥 = 3
2 > 2，在[ ― 2, 2]上单调递减，
∴ 푡 = 2时，(푡2 ― 3푡 ― 1)푚푖푛 = 1 ― 3 2，
∴ 푔(푚) = 1 ― 3 2．
(2)令퐹(푡) = 푡2 ― (푚 +2)푡 ― 1，푡 ∈ [ ― 2, 2]，
对称轴为푡 = 푚
2 +1，
①当푚
2 +1 ≤ ― 2，即푚 ≤ ―2 2 ― 2时，
퐹(푡)在[ ― 2, 2]上单调递增，
∴ 퐹(푡)푚푖푛 = 퐹( ― 2) = (푚 + 2) 2 + 1;
② 当 ― 2 < 푚 2 +1 < 2，即 ― 2 2 ― 2 < 푚 < 2 2 ― 2 时， 퐹(푡)在[ ― 2,푚 2 +1]上单调递减，在[ ― 푚 2 +1, 2]上单调递增， ∴ 퐹(푡)푚푖푛 = 퐹(푚 2 + 1) = ― 푚2 + 4푚 + 8 4 ; ③ 当푚 2 +1 ≥ 2，即푚 ≥ 2 2 ― 2时， 퐹(푡)在[ ― 2, 2]上单调递减， ∴ 퐹(푡)푚푖푛 = 퐹( 2) = 1 ― (푚 +2) 2． ∴ 푔(푚) = {(푚 + 2) 2 + 1,푚 ≤ ―2 2 ― 2 ― 푚2 + 4푚 + 8 4 , ― 2 2 ― 2 < 푚 < 2 2 ― 2 1 ― (푚 + 2) 2,푚 ≥ 2 2 ― 2 ． (3)ℎ(푥1 + 푥2) = ℎ(푥1) + ℎ(푥2)， 可令푥1 = 푥2 = 0，可得ℎ(0) = 0， 由푥1 = 푥，푥2 = ― 푥，可得ℎ(푥) + ℎ( ― 푥) = 0， 可得函数ℎ(푥)为 R 上的奇函数， ∵ 使不等式ℎ(푓(휃)) ― ℎ( 4 sin휃 + cos휃) + ℎ(3 + 2푚) > 0对所有휃 ∈ [0,휋
2]恒成立，
∴ 只需使不等式
ℎ(2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃) ― 4
sin휃 + cos휃)
+ℎ(3 + 2푚) > 0
对所有휃 ∈ [0,휋
2]恒成立，
∴ ℎ(2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃) ― 4
sin휃 + cos휃)
> ―ℎ(3 + 2푚) = ℎ( ― 3 ― 2푚)
，
∵ 函数ℎ(푥)为定义在 R 上的增函数，
∴ 2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃) ― 4
sin휃 + cos휃
> ―3 ― 2푚
，
令푡 = 푠푖푛휃 + 푐표푠휃， ∴ 2푠푖푛휃푐표푠휃 = 푡2 ― 1，
20
∵ 휃 ∈ [0,휋
2]，
∴ 푡 = 2sin(휃 + 휋
4) ∈ [1, 2]，
∴ 原问题等价于푡2 ― 1 ― (푚 +2)푡 ― 4
푡 +3 + 2푚 > 0对푡 ∈ [1, 2]恒成立，
∴ (2 ― 푡)푚 > 2푡 ― 푡2 + 4
푡 ― 2对푡 ∈ [1, 2]恒成立，
∵ 2 ― 푡 > 0，
∴ 푚 > 푡(2 ― 푡) + 2
푡(2 ― 푡)
2 ― 푡
= 푡 + 2
푡，
设휑(푡) = 푡 + 2
푡，任取푡1,푡2 ∈ [1, 2]，且푡1 < 푡2， ∴ 휑(푡1) ― 휑(푡2) = 푡1 + 2 푡1 ― 푡2 ― 2 푡2 = (푡1 ― 푡2) + 2(푡2 ― 푡1) 푡1 ⋅ 푡2 = (푡1 ― 푡2)(푡1 ⋅ 푡2 ― 2) 푡1 ⋅ 푡2 ， ∵ 1 ≤ 푡1 < 푡2 ≤ 2， ∴ (푡1 ― 푡2) < 0，푡1 ⋅ 푡2 > 0，푡1 ⋅ 푡2 ― 2 < 0， ∴ 휑(푡1) ― 휑(푡2) > 0，即휑(푡1) > 휑(푡2)，
∴ 휑(푡) = 푡 + 2
푡在[1, 2]上为减函数，
(或由对勾函数的图象和性质直接可得减函数)
∴ 휑(푡)푚푎푥 = 휑(1) = 3，
∴ 푚 > 3时，不等式ℎ(푓(휃)) ― ℎ( 4
sin휃 + cos휃) + ℎ(3 + 2푚) > 0对所有휃 ∈ [0,휋
2]恒成立．
【解析】本题综合考查了三角函数综合，函数奇偶性和单调性的应用，二次函数最值，向量
数量积的坐标表示，考查恒成立问题，属于难题．
(1)把푚 = 1，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解
析式即可；
(2)转化成二次函数问题，对对称轴与区间[ ― 2, 2]的位置关系进行讨论；
(3)利用函数ℎ(푥)为 R 上的奇函数，得到ℎ[2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃) ― 4
sin휃 + cos휃
] > ℎ( ― 3 ― 2푚)，然后，再根据函数的单调性，转化成2푠푖푛휃푐표푠휃 ― (2 + 푚)(푠푖푛휃 + 푐표푠휃) ―
4
sin휃 + cos휃 > ―3 ― 2푚，最后，利用换元法令푡 = 푠푖푛휃 + 푐표푠휃，转化成푚 >
푡(2 ― 푡) + 2
푡(2 ― 푡)
2 ― 푡 = 푡 +
2
푡，求解函数휑(푡) = 푡 + 2
푡在[1, 2]的最大值为 3，从而解决问题．
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