黑龙江大庆市铁人中学2019-2020高二数学（文）下学期期中试题（Word版含答案）

铁人中学 2018 级高二学年·下学期期中考试 数学(文科)试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分。） 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知命题 ，则命题 为（ ） A． B． C． D． 3.三个数 ， ， 的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 4．下列命题错误的是（ ） A．命题“若 x2﹣3x+2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0” B．若 p：∀x≥0， ，则￢p：∃x0≥0， C．若复合命题：“p∧q”为假命题，则 p，q 均为假命题 D．“x＞2”是 x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 5．设 ,则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必 要条件 6.已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 1sin ≤x 1sin 0 >x7.函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8.以下说法： ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个回归方程 ，变量 增加 1 个单位时， 平均增加 5 个单位； ③线性回归方程 必过点 ； ④设具有相关关系的两个变量 的相关系数为 ，那么 越接近于 0， 之间的线性 相关程度越高； ⑤在一个 列联表中，由计算得 的值，那么 的值越大，判断两个变量间有关联的 把握就越大。 其中错误的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.若函数 在 上最小值为-1，则 （ ） A．1 或 2 B．1 C．1 或 D．-2 10.已知函数 是幂函数，且在 上为增函数，若 且 则 的值（ ） A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断 11．若定义在 上的偶函数 满足 且 时， ，则方 程 的零点个数是（ ） A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 ( ) 1lnf x x x  = −   aaxxxf −+−= 12)( 2 =a R ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = [ ]0,1x∈ ( )f x x= 5( ) logf x x=12.已知 ，且 ，若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题部分 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13.函数 的单调递增区间为 . 14．曲线 在点 处的切线的方程为__________． 15. 是函数 为偶函数的______条件. （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 16.设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f（x+1）＝f（x﹣1），已 知当 x∈[0，1]时， ，则 ①2 是函数 f（x）的一个周期； ②函数 f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数； ③函数 f（x）的最大值是 1，最小值是 0； ④x＝1 是函数 f（x）的一个对称轴； 其中所有正确命题的序号是 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(10 分）计算： (1) (2) 18．（12 分）已知命题 p： 满足 ，命题 q： ， 若 p∨q 为真，p∧q 为假，求 的取值范围. lny x x= ⋅ (1,0) xxf −= 1)2 1()( 2 1 4 3 03 1 25.016)8 1(064.0 ++−−− 2log72lg225lg27log 4 2log 3 7 +−++ m m19．（12 分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查 得到了如下的列联表： 喜好体育运动 不喜好体育运动 男生 5 女生 10 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 10 的样本，则抽到喜好体育运动的 人数为 6． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由； （3）在上述喜好体育运动的 6 人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率． 参考公式： ． 独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 20．（12 分）已知函数 为定义在 R 上的奇函数，当 时， . （1）求 的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递增； （3）求函数 在 上的解析式.21.（12 分）已知斜率为 1 的直线 与椭圆 交于 P，Q 两点，且线 段 PQ 的中点为 ，椭圆 C 的上顶点为 . （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 BM 与 BN 的斜率之和 为 2，证明： 过定点. 22．（12 分）已知函数 （ 是自然对数的底数）. （1）求证： ； （2）若不等式 在 上恒成立，求正实数 的取值范围.铁人中学 2018 级高二学年下学期期中考试 数学试题(文)答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D C A A B C B C D B 二、填空题 13. 14． . 15．充要 16.①②④ 三、解答题 17. (1)10 (2)2 18．【答案】m≤﹣2 或 2≤m＜5 若 p 真： ，即： ； 若 q 真： ， ， ； ∵p∨q 为真，p∧q 为假， ∴①当 p 真 q 假时： 或 ，即 或 ； ②当 p 假 q 真时： ，即 ； ∴综上得： 或 . 19．【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3） . （1）喜好体育运动的人数为： ， 列联表补充如下： 喜好体育运动 不喜好体育运动 男生 20 5 女生 10 15 1 0x y− − = （2）∵ ． ∴能在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关． （3）6 人中有男生 4 人，设为 ， ， ， ，女生 2 人，设为 ， ， 随机抽取两人所有的情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种． 其中一男一女包含 8 种情况，故概率为 ． 20．【答案】（1） （2）证明见解析（3） （1）因为当 时， 所以 又因为 为奇函数，所以 （2） ， 则 因为 ，所以 ；因为 ，所以 所以 ，即 所以函数 在 上单调递增 （3）当 时，所以 又因为 所以函数 在 上的解析式为： 21.【答案】（1） （2）见证明 【详解】（1）设点 ， ，由于点 为线段 的中点 所以 ， 又 两式作差 ， 所以 ，即 ； （2）由（1）结合上顶点 ，椭圆的方程为 ， 设点 ， 联立 得 ，则韦达定理得， 据题意可得 1 2e = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y A PQ 1 2 1 2 2 3 2 x x y y + = + = − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  + =  + = 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1x x y yb ka y y x x + −− ⋅ = = =+ − 2 2 3 4 b a = 1 2e = (0, 3)B 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )3 3 4 4, , ,M x y N x y 2 2 14 3 x y y kx m  + =  = + ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4 4 12 3 4 kmx x k mx x k  + = − + − = +代入韦达定理得 ，化简得 ， 所以直线 为 ，过定点 ， 综上，直线 过定点 . 22．【答案】（1）证明见解析；（2） （1） ,可得 ， 当 ，解得 , ∴当 时， 为增函数， 当 时， 为减函数， 的最小值为 . . （2）∵不等式 在 上恒成立， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立. 令 ， ,当 时，解得 , ∴当 时， 为减函数， 当 时， 为增函数， 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 1 12 2 ( 3) 2 ( 3)BM BN kx m kx m x xk k k m k mx x x x x x  + − + − += + = + = + − + = + −    2 8 22 2 ( 3) 4 12 3 km kmk m m m − −− = − =− + 3 3m k= − l′ 3 3 ( 3) 3y kx k k x= + − = + − ( )3, 3− − l′ ( )3, 3− −的最小值为 ， ∴ ， 则正数 的取值范围为 .