铁人中学 2018 级高二学年下学期期中考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.已知函数 ,则 的值为( )
A. B. 0 C. -1 D. 1
2.用反证法证明命题:“a,b,c, 且 ,则 a,b,
c,d 中至少有一个负数”时的假设为
A.a,b,c,d 全为正数 B. a,b,c,d 全都大于等于 0
C. a,b,c,d 中至少有一个正数 D. a,b,c,d 中至多有一个负数
3. 的展开式中 的系数为( )
A. 90 B.160 C. -160 D. -120
4.有一段“三段论”,其推理是这样的:
对于可导函数 ,若 ,则 是函数 的极值点…大前提
因为函数 满足 ,…小前提
所以 是函数 的极值点”,结论以上推理( )
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误
5.若直线 与曲线 相切,则 =( )
A. 3 B. C. 2 D.
6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,
额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: ,
, , ,则按照以上规律,若 具有“穿墙
术”,则 =( )
A. 7 B. 35 C. 48 D. 63
7. 的值是( )
( ) xxxf sin=
′
2
π
f
2
π
,,, 11 =+=+∈ dcbaRd 1>+ bdac
2 62( )x x
− 3x
)(xf 0)( 0 =′ xf 0xx = )(xf
3)( xxf = 0)0( =′f
0=x 3)( xxf =
2−= kxy xy ln2= k
3
1
2
1
3
223
22 =
8
338
33 =
15
4415
44 =
24
5524
55 =
nn
8888 =
n
( ) )dxxx( 21
0
211 −−−∫A. B. C. D.
8.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物
竞赛,则不同的参赛方案种数为( )
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
9.已知 ,函数 的导函数 在 上有最小值,若函
数 ,则( )
A. 在(1,+∞)上有最大值 B. 在(1,+∞)上有最小值
C. 在(1,+∞)上为减函数 D. 在(1,+∞)上为增函数
10.某校高二年级共有六个班,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班
安排 2 名,则不同的安排方案种数为( )
A. B. C. D.
11.设 的 三 边 长 分 别 为 , 的 面 积 为 , 内 切 圆 半 径 为 , 则
,类比这个结论可知:四面体 的四个面的面积分别为 ,
内切球半径为 ,四面体 的体积为 ,则 =( )
A. B. C. D.
12.若定义在 上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结
论中一定错误的是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.从集合{1,2,3,4,5}中任取 2 个不同的数,作为直线 的系数,
则最多形成不同的直线的条数为____
14. 用数学归纳法证明:“ ”.
3
1
4
−π
14
−π
3
1
2
−π
12
−π
Ra ∈ 13
1)( 23 ++−= axaxxxf )(xf ′ ( )1,∞−
x
xfxg )()(
′=
)(xg )(xg
)(xg )(xg
2
4
2
6 CA
2
2
4
2
6 CA 2
4
2
6 AA 2
62A
ABC∆ cba 、、 ABC∆ S r
cba
Sr ++= 2 ABCS − 4321 SSSS 、、、
R ABCS − V R
4321 SSSS
V
+++ 4321
2
SSSS
V
+++ 4321
3
SSSS
V
+++ 4321
4
SSSS
V
+++
R )(xf 1)0( −=f )(xf ′ 1)( >>′ kxf
kkf 1)1( <
1
1)1( −>
kkf 1
1)1
1( −− k
k
kf
0=+ ByAx
( )( ) ( ) ( )1231221 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++ nnnnn n从“ 到 ”左端需增乘的代数式为________
15.若函数 恰有三个零点,则实数 的取值范围是_______
16.已知多项式 ,
则
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.
17.(10 分)
从 6 名运动员中选出 4 人参加 接力赛,分别求满足下列条件的安排方法种数:
(1)甲、乙两人都不跑中间两棒;
(2)甲、乙二人不都跑中间两棒.
18.(12 分)
已知函数 ,在点 M 处的切线方程为 ,求:
(1)实数 , 的值;
(2)函数 在区间 上的最值.
19.(12 分)
在二项式 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求 的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
20.(12 分)
已知数列 中, 是 的前 项和且 是 与 的等差中项,其中 是不为
的常数.
(1)求
(2)猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
kn = 1+= kn
aexxf x −= 2)( a
( )( ) 7
7
2
210
52 2132 xaxaxaaxxx ++++=−++
_______234567 =−+−+− aaaaaa
1004×
baxxxf +−= 3
3
1)( ( )( )1,1 f 01039 =−+ yx
a b
)(xf [ ]3,0
n
x
x
+
3
3
2
1
n
{ }na nS { }na n nS a2 nna2− a 0
.321 aaa ,,
na21.(12 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)证明:函数 在区间 内有且只有一个零点.
22.(12 分)
已知函数
(1)求 的单调递增区间;
(2)若函数 有两个极值点 且 恒成立,求实
数 a
的取值范围.
xxxexf x −+−= )1ln()(
)(xfy = ( )( )0,0 f
)(xf ( )1,0
21( ) ln 2 ,2f x m x x x m R= + − ∈
( )f x
( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2( ) 0f x ax− ≥铁人中学 2018 级高二学年下学期期中考试数学(理)试题
一、选择题
DBCACD ADDBCC
二、填空题
13.18 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)先选跑中间的两人有 种,再从余下的 6 人中选跑 1、4 棒的有 ,则共有
种.
(2)用间接法:“不都跑”的否定是“都跑”,所以用任意排法 ,再去掉甲、乙跑中间
的安排方法 种,它们的差是 336 种.
18.解:(1) ;(2)当 x ∈[0,3]时,f(x)max=f(0)=4, .
19.(1) n=8.
(2)系数最大的项为第三项和第四项,即 ,
20.解:(1)由题意知 Sn=a-nan,
当 n=1 时,S1=a1=a-a1,解得 a1=a
2.
当 n=2 时,S2=a1+a2=a-2a2,解得 a2=a
6.
当 n=3 时,S3=a1+a2+a3=a-3a3,解得 a3= a
12.
(2)猜想:an= a
n(n+1)(n∈N*)
证明:①当 n=1 时,由(1)知等式成立.
②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即 ak= a
k(k+1),则当 n=k+1 时,又
则 , ak+1=Sk+1-Sk=a-(k+1)ak+1-(a-kak),
所以 ak+1= a
(k+1)(k+2)= a
(k+1)[(k+1)+1].即当 n=k+1 时,等式成立.
结合①②得 an= a
n(n+1)对任意 n∈N*均成立.
( )122 +k
2
40 e
, 16−
2
4A 2
4A
1442
4
2
4 =AA
4
6A
2
4
2
2 AA
3
4
3 7xT = 3
2
4 7xT =
kk kaaS −= 11 ++ −= kk kaaS ∴21. 解: 当 时, ,由 ,
得 ,故斜率 ,故切线方程是: ;
由题意可知,函数的定义域是 ,由 知, ,
记 ,故 ,
易知 时, ,故 在区间 递增,故 ,
,
故在区间 内必存在,使得 ,故当 时, ,即 ,故
递减,
当 时, ,即 ,故 递增,
故当 时, 有最小值且为 , , ,而
,
故在区间 内存在唯一零点,故函数 在区间 内有且只有 1 个零点.
22.