辽宁省葫芦岛市2020届高三数学（理）下学期第一次模拟试卷（Word版含答案）

2020 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学(理科) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷、第 II 卷两部分，共 6 页。满分 150 分；考试时间：120 分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上。 3.用铅笔把第 I 卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第 II 卷的答案写在答题纸的相应位 置上。 4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数 z 满足 z(1－i)＝2i，则复数 z＝ A.1－i B.1＋2i C.1＋i D.－1＋i 2.设集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－2x－8 的 n 的最大值为 。 16.关于 x 的方程(m－5)x2＋2lnx－ ＋m＝0 有两个不等实根，则实数 m 的取值范围是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 2 11 xe −+ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 1 13 4 + 1 13 2 + 2 3 2 + 2 3 4 + 01 14 t x x tx t − = + − + 4 1 3 22(x x ) (x x )− + − 6 3 2 3 2 3 6 3 3 6 3 x y 0 x y 2 3x y 6 0 − ≥  + ≥  − − ≤ 1 3 4 3 1 2020 2 1 x 已知函数 f(x)＝sinx·cos(x－ )－ (x∈R)。 (1)求 f( )的值和 f(x)的最小正周期； (2)设锐角△ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，且 f( )＝ ，a＝2，求 b＋c 的 取值范围。 18.(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BB1⊥平面 ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2。 (1)求证：BC1 平面 A1B1C； (2)求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小； (3)点 M 在线段 BC 上，且 ＝λ(λ∈(0，1)，点 N 在线段 A1B 上，若 MN//平面 A1ACC1， 求 的值(用含 λ 的代数式表示)。 19.(本小题满分 12 分) 2020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标； 2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二〇二〇年新年贺词)截至 2018 年底，中国农村 贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10。2%下降至 2018 年的 1。7%；连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农村贫困人口 实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截 至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实 现小康。现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人 均年纯收入的频率分布直方图。 6 π 1 4 6 π 2 A 1 4 1 1 B M B C 1 1 A N A B (1)将家庭人均纯年收入不足 5000 元的家庭称为“特困户”，若从这 50 户家族中再取出 10 户 调查致贫原因，求这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望； (2)2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表： 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线任相 关关系，由此估计该家庭 2020 年能实现小康生活，但 2020 年 1 月突如其来的新冠肺次疫情 影响了奔小康的进展，该家庭 2020 年第一季度(1，2，3 月份)每月的人均月纯收入均只有 2019 年 12 月的预估值的 ，为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从 2020 年 3 月份起，以后 每月的增长率为 a，为了使 2020 年该家庭顺利迈入小康生活，则 a 至少应为多少?(保留小数点 后两位数字)； ①可能用到的数据： ②参考公式：线性回归方程 中， 。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 离心率是 ，F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2 作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，且三角形△F1AB 周长 4 。 (1)求椭圆 C 的标准方程； 2 3 6 2 10 1 9310, 45 4 120 4 62.81,1.15 4.05i i i x y = = + × × ≈ ≈∑  y bx a= +  6 1 6 22 1 6 , 6 i i i i i x y xy b a y bx x x = = − = = − − ∑ ∑   1 2 2 3 3(1 ) 1 ( 10, 0.15)n n n na C a C a C a n a+ ≈ + + + ≥ < 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 (2)若直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N。如果∠MF1N 为锐角，求 k 的取值范围。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。 (1)若 f(x)在(0，m)处的切线的方程为 y＝－8x－4，求此时 f(x)的最值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式 g(x)>f(a)恒成立，求实数 m 的取值范围。 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (其中 α 为参数)，曲线 C2 的参数方 程为 (其中 α 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程； (2)射线 l：θ＝ρ(ρ≥0)与曲线 C1，C2 分别交于点 A，B(且点 A，B 均异于原点 O)，当 0 b c+ ( ]2,4 18．(本小题满分 12 分) （1）在三棱柱 中，由 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 . 又因为 ，所以 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 又因为 ，所以 ， 又 ，所以 平面 .-----------------------------4 （2）由（1）知 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系 ， 由题意得 ， ， ， . 所以 ， . 所以 . 故异面直线 与 所成角的大小为 .---------------------------8 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC 1BB ⊥ 1 1 1A B C 1BB ⊂ 1 1B BCC 1 1B BCC ⊥ 1 1 1A B C 1 1B C AB BC⊥ 1 1 1 1A B B C⊥ 1 1A B ⊥ 1 1B BCC 1BC ⊂ 1 1B BCC 1 1 1A B BC⊥ 1 2BB BC= = 1 1B C BC⊥ 1 1 1 1A B B C B= 1BC ⊥ 1 1A B C 1BB ⊥ ABC AB BC⊥ B xyz− ( )0,0,0B ( )2,0,0C ( )1 0,2,2A ( )1 0,0,2B ( )1 2,0, 2B C = − ( )1 0, 2, 2A B = − − ( ) 1 1 1 1 1 1 1cos , 2| || | A B B CA B B C BA B C ⋅= =      1B C 1A B 3 π （3）易知平面 的一个法向量 ， 由 ，得 . 设 ，得 ，则 因为 平面 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 .-----------------------------12 19．(本小题满分 12 分) （1）解：由频率分布直方图可知， 家庭人均年收入在[2000,3000)元的家庭数为:0.04×50=2 户; 家庭人均年收入在[3000,4000)元的家庭数为:0.10×50=5 户; 家庭人均年收入在[4000,5000)元的家庭数为:0.32×50=16 户; 家庭人均年收入在[5000,6000)元的家庭数为:0.30×50=15 户; 家庭人均年收入在[6000,7000)元的家庭数为:0.18×50=9 户; 家庭人均年收入在[7000,8000)元的家庭数为:0.06×50=3 户; 共计 50 户,其中家庭人均年收入不足 5000 元的特困户有:2+5+16=23 户;----------------2 由题意:X 满足参数为 50,23,10 的超几何分布,所以 EX=10×23 50=4.6 户； 即这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望为 4.6（户）；---------------4 （ 2 ） 解 ： 由 题 意 得 ： x - =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 =3.5, y - = 1 1A ACC ( )1,1,0n = 1 1 B M B C λ= (2 ,0,2 2 )M λ λ− 1 1 A N A B µ= (0,2 2 ,2 2 )N µ µ− − ( 2 ,2 2 ,2 2 )MN λ µ λ µ= − − − / /MN 1 1A ACC 0MN n⋅ =  ( 2 ,2 2 ,2 2 ) (1,1,0) 0λ µ λ µ− − − ⋅ = 1µ λ= − 1 1 1A N A B λ= − 275 + 365 + 415 + 450 + 470 + 485 6 =2460 6 =410 Σ 6 i = 1xi2=1+4+9+16+25+36=91 6× x - 2=6×3.52=73.5 所以： b^ =xiyi - 6 xi2 - 62=9310 - 6×3.5×410 91 - 73.5 =9310 - 8610 91 - 73.5 =700 17.5 =40 a^ = y - - b^ x - =410-40×3.5=270 所以回归直线方程为： y^ =40x+270------------------------------6 令 x=12,则可知 2019 年 12 月份该家庭人均月纯收入为 40 x12+270=750（元） 由此可知 2020 年第一季度（1 月份，2 月份，3 月份）该家庭人均月纯收入为 750 x 2 3=500（元） ∵从 2020 年 3 月份起，每月的增长率为 a,设从开始 3 月份到 12 月份的月纯收入之和为 S10, 则 S10=500+500 x(1+a)+500 x(1+a)2+…+500 x(1+a)9=500 x[1 - (1 + a)10] 1 - (1 + a) =500 x[(1 + a)10 - 1] a 由题意应有：∴500+500+500 x[(1 + a)10 - 1] a ≥8000 即： (1 + a)10 - 1 a ≥14----------------------------8 显然 S10 是以 a 为自变量的增函数，∴(1 + a)10 - 1 a 是以 a 为自变量的增函数 ①当 a≥0.15 时，(1 + a)10 - 1 a ≥1.1510 - 1 0.15 ≈3.05 0.15=201 3>14 显然成立---------------10 ②当 0  2 1 1 2 7 1 08 1 kF M F N k −⋅ = >−   2 1 7k > 2 1 8k < l 7 2 2 7, ,0 0, ,7 4 4 7        −∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞                      ∴fmax(x)=f(-2)= 4 e2,无最小值； (2) g(x)>f(a)⇔ lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1) ⇔ lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1 ⇔(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1 令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax 在[1,+∞)上单调递增 φmin(x)=φ(1)=-a ∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1⇔-a> mea(a+1) +a2+3a-1⇔ mea(a+1) +a2+4a-10,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使 h(a)