2020 年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知全集 U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合 A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，B＝{2，3，4，5}，
则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{4，5} B．{2，3，5} C．{1，3} D．{3，4}
2．复数 z 的共轭复数为（ ）
A．i B．i C．i D．i
3．设 a＝log0.76，b＝π0.5，c＝0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
4．已知向量（﹣3，1），（x，﹣4）．若（）⊥，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．要想得到函数 ysinx+cosx 的图象，可将函数 y＝sinxcosx 的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．向一块长度为 4，宽度为 3 的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆
子的落地点到矩形各边的距离均不小于 1 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 m，l 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列可以推出 α⊥β 的是（ ）
A．m⊥l，m⊂β，l⊥α B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．l⊥α，m∥l，m∥β
8．执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 154，则输入的 n 为（ ）A．18 B．19 C．20 D．21
9．设 f（x）和 g（x）是定义在[a，b]上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线．定义：
d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max．则“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞
0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知 α∈（π，π），2sin2α＝1﹣cos2α，则 tan（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，其右支上存在一点 M，
使得•0，直线 l：bx+ay＝0．若直线 MF2∥l，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．5
12．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线 C 与圆 C'：x2+（y）2 交于 A，B 两
点，且|AB|．若过抛物线 C 的焦点的弦 MN 的长为 8，则弦 MN 的中点到直线 x＝﹣2 的
距离为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为 169，162，150，160，159，则这名歌手得分
的方差为 ．
14．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝60°，a＝2，•，则△ABC
的周长为 ．
15．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x﹣2）＝﹣f（x），且当 x∈（﹣1，0）时，f
（x）＝2x，则 f（log220）＝ ．
16．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前
后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形，高为 4，且两个四
棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＝2an﹣2n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记 bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）]，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．
18．截至 2019 年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城
市”调查推选活动已连续成功举办 12 年，累计推选出 60 余座幸福城市，全国约 9 亿多
人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2×2 列联表（数据
单位：人）
男 女 总计
非常幸福 11 15
比较幸福 9
总计 30
（Ⅰ）将列联表补充完整，并据此判断是否有 90%的把握认为城市幸福感指数与性别有
关；
（Ⅱ）若感觉“非常幸福”记2 分，“比较幸福”记1 分，从上表男性中随机抽取 3 人，
记 3 人得分之和为 ξ，求 ξ 的分布列，并根据分布列求 ξ≤4 的概率．
附：K2，其中 n＝a+b+c+d
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
19．在如图所示的几何体中，底面 ABCD 是矩形，平面 MAD⊥平面 ABCD，平面 MAB∩
平面 MCD＝MN，△MAD 是边长为 4 的等边三角形，CD＝2MN＝2．
（Ⅰ）求证：MN⊥MD；
（Ⅱ）求二面角 M﹣BD﹣N 的余弦值．
20．已知椭圆 C：1（a＞0）的中心为原点 O，左焦点为 F，离心率为，不与坐标轴垂直的
直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（Ⅰ）若 K（2，1）为线段 MN 的中点，求直线 l 的方程．
（Ⅱ）若点 P 是直线 x 上一点，点 Q 在椭圆 C 上，且满足•0，设直线 PQ 与直线 OQ 的
斜率分别为 k1，k2，问：k1k2 是否为定值？若是，请求出 k1k2 的值；若不是，请说明理
由．
21．已知 f（x）＝2e2x﹣1+4ax（a∈R）．
（Ⅰ）若 a，求 f（x）在 x＝0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若 f（x）在[1，2]上的最大值为 3e3，求 a 的值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数，α∈[0，π）），以坐
标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝
2sinθ．
（Ⅰ）若点 P（x，y）在直线 l 上，且 2，求 sinα 的值；
（Ⅱ）若 α，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x﹣1|﹣|ax﹣2a|（a∈R）．
（Ⅰ）若 a＝1，求 f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式 f（x）≥x﹣4 在 x∈[2，9）上恒成立，求 a 的取值范围．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知全集 U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合 A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，B＝{2，3，4，5}，
则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{4，5} B．{2，3，5} C．{1，3} D．{3，4}
【分析】先求出集合 A，再求出其补集，进而求得结论．
解：因为全集 U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，
集合 A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴（∁UA）∩B＝{4，5}．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．复数 z 的共轭复数为（ ）
A．i B．i C．i D．i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
解：复数 zi 的共轭复数为 i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
3．设 a＝log0.76，b＝π0.5，c＝0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵log0.76＜log0.71＝0，∴a＜0，
∵π0.5＞π0＝1，∴b＞1，
0＜0.30.2＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数
和指数函数的性质的合理运用．
4．已知向量（﹣3，1），（x，﹣4）．若（）⊥，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量垂直则数量积为零，可算出坐标，再由夹角公式计算．
解：因为（x﹣3，﹣3），（）⊥，
所以﹣3（x﹣3）+1×（﹣3）＝0，则 x＝2，
由 cos，，又，∈[0，π]，所以，．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用、向量夹角公式，根据向量垂直的坐标公式进
行求解是解决本题的关键，属于基础题．
5．要想得到函数 ysinx+cosx 的图象，可将函数 y＝sinxcosx 的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用函数 y＝Asin
（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解：∵函数 y＝sinxcosx＝2sin（x），函数 ysinx+cosx＝2sin（x），
故要想得到函数 ysinx+cosx 的图象，可将函数 y＝sinxcosx 的图象向左平移个单位，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的正弦公式，
属于基础题．
6．向一块长度为 4，宽度为 3 的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆
子的落地点到矩形各边的距离均不小于 1 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出符合要求的点对应的平面区域，进而求得对应的面积之比，即可求得结
论．
解：
因为豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于 1，
故豆子需在长为 2，宽为 1 的矩形内运动；
∴豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于 1 的概率为：．
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的应用问题，考查学生的理解能力和运算能力．
7．已知 m，l 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列可以推出 α⊥β 的是（ ）
A．m⊥l，m⊂β，l⊥α B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥β D．l⊥α，m∥l，m∥β
【分析】在 A 中，α 与 β 相交或平行；在 B 中，α 与 β 有可能相交但不垂直；在 C 中，
α∥β；在 D 中，推导出 m⊥α，由 m∥β，得到 α⊥β．
解：由 m，l 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，知：
在 A 中，m⊥l，m⊂β，l⊥α，则 α 与 β 相交或平行，故 A 错误；
在 B 中，m⊥l，α∩β＝l，m⊂α，则 α 与 β 有可能相交但不垂直，故 B 错误；
在 C 中，m∥l，m⊥α，l⊥β，则 α∥β，故 C 错误；
在 D 中，l⊥α，m∥l，则 m⊥α，
又 m∥β，则 α⊥β，故 D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 154，则输入的 n 为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s＝
1+0+1+2+3+…+（i﹣1）＝154，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
可得答案．
解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 s＝1+0+1+2+3+…+（i﹣1）＝154，
所以 153，解得 i＝18，
故最后一次对条件进行判断时，i＝18+1＝19，
所以 n＝19．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查学生的逻辑推理能力，解题时应模拟程
序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．设 f（x）和 g（x）是定义在[a，b]上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线．定义：
d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max．则“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞
0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】若∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0），则 d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max≥|f（x0）﹣
g（x0）|＞0，若 d（f，g）＞0，则∃x0∈[a，b]，|f（x0）﹣g（x0）|＞0，即 f（x0）≠g
（x0）．
解：若∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0），则 d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|max≥|f（x0）﹣g
（x0）|＞0，
∴充分性成立．
反过来，若 d（f，g）＞0，则∃x0∈[a，b]，|f（x0）﹣g（x0）|＞0，即 f（x0）≠g（x0），
∴必要性成立．∴“∃x0∈[a，b]，f（x0）≠g（x0）”是“d（f，g）＞0”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查曲线性质等基础知识，
考查推理论证能力，属于基础题．
10．已知 α∈（π，π），2sin2α＝1﹣cos2α，则 tan（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 tan 的值．
解：∵α∈（π，π），∴∈（ ，）．
∵2sin2α＝1﹣cos2α，∴4sinαcosα＝2sin2α，
∴sinα＝0（舍去），或 tanα＝2，
解得 tan．
再根据 ∈（ ，），tan0．
故 tan，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
11．已知双曲线 C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，其右支上存在一点 M，
使得•0，直线 l：bx+ay＝0．若直线 MF2∥l，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．5
【分析】由已知得 MF1⊥MF2，直线 l：bx+ay＝0 为双曲线的一条渐近线，求出直线 MF1
的方程为 y，联立两直线方程求得 N（），又 F1（﹣c，0），由中点坐标公式得 M
（c，），再由双曲线的定义结合 MF1⊥MF2 得，得到点 M 的纵坐标为，则，即 b＝
2a．由此可得双曲线 C 的离心率．解：由•0，得 MF1⊥MF2，直线 l：bx+ay＝0 为双曲线的一条渐近线，
可知 l 的方程为 y，且 MF1⊥l 从而 l 是线段 MF1 的垂直平分线，且直线 MF1 的方程为
y．
设 MF1 与直线 l 相交于点 N（x，y），由，解得．
即 N（），又 F1（﹣c，0），由中点坐标公式得 M（c，）．
由双曲线的性质可得|MF1|﹣|MF2|＝2a，①
由 MF1⊥MF2，得，②
联立①②可得，
∴点 M 的纵坐标为，则，即 b＝2a．
∴e．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合的解题思想方法，考查逻辑思
维能力与推理运算能力，是中档题．
12．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线 C 与圆 C'：x2+（y）2 交于 A，B 两
点，且|AB|．若过抛物线 C 的焦点的弦 MN 的长为 8，则弦 MN 的中点到直线 x＝﹣2 的
距离为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
【分析】化简圆 C'，得，可得圆经过原点，抛物线 C：y2＝2px（p＞0）也经过原点，设 A（0，0），B（m，n），m＞0，得到 m2+n2＝5，，联立可得 m＝1，n＝2，求得 B
点坐标，把 B 点坐标代入 y2＝2px，解得 p＝2．可得抛物线方程，求出焦点坐标与准线
方程，由抛物线定义及梯形中位线定理可得弦 MN 的中点到直线 x＝﹣2 的距离．
解：由圆 C'：x2，得，
可得圆经过原点，抛物线 C：y2＝2px（p＞0）也经过原点，
设 A（0，0），B（m，n），m＞0，
由|AB|，可得 m2+n2＝5，又，
联立可得 m＝1，n＝2，即 B（1，2），
把 B（1，2）代入 y2＝2px，解得 p＝2．
故抛物线方程为 y2＝4x，焦点 F（1，0），直线方程为 x＝﹣1．
如图，过 M、N 分别作 ME⊥l 于 E，NK⊥l 于 K，
可得|MF|＝|ME|，|NK|＝|NF|，
即有|MN|＝|MF|+|NF|＝|ME|+|KN|．
设 MN 的中点为 P0，则 P0 到准线 l 的距离为．
则弦 MN 的中点到直线 x＝﹣2 的距离为 4+1＝5．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为 169，162，150，160，159，则这名歌手得分
的方差为 37.2 ．
【分析】先求出这名歌手得分的平均分，由此能求出这名歌手得分的方差．
解：在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为 169，162，150，160，159，
∴这名歌手得分的平均分为：
（169+162+150+160+159）＝160，
则这名歌手得分的方差为：
S2（81+4+100+1）＝37.2．
故答案为：37.2．
【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力
与运算求解能力，属于基础题．
14．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝60°，a＝2，•，则△ABC
的周长为 22 ．
【分析】先根据向量的数量积求得 bc．再结合余弦定理求得 b+c＝2；进而求得结论．
解：因为•，得 bccos60°⇒bc．又因 A＝60°，a＝2；
所以 b2+c2﹣2bccos60°＝4⇒（b+c）2＝4+3bc＝12⇒b+c＝2；
所以：a+b+c＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查三角形周长，向量的数量积以及余弦定理，注重学生对运算能力的考
查．15．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x﹣2）＝﹣f（x），且当 x∈（﹣1，0）时，f
（x）＝2x，则 f（log220）＝ ﹣1 ．
【分析】根据题意，由 f（x﹣2）＝﹣f（x）分析可得 f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f
（x），即函数是周期为 4 的周期函数，据此可得 f（log220）＝f（log2），结合函数的
奇偶性与解析式求出 f（log2）的值，分析可得答案．
解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x﹣2）＝﹣f（x），则有 f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝
f（x），
即函数是周期为 4 的周期函数，
4＜log220＜5，则 f（log220）＝f（log220﹣4）＝f（log2），
又由 f（x）为奇函数且当 x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x，
则 f（log2）＝﹣f（﹣log2）＝﹣f（log2）＝﹣＝﹣1；
故 f（log220）＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题．
16．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前
后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形，高为 4，且两个四
棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为 32 ．
【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥 S﹣ABCD 的体积的 2
倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形 ABCD 为边长为的棱形，设 AC 的
中点为 H，连结 BH，SH，由题意得 SH 为四棱锥 S﹣ABCD 的高，求出，由此能求出
这个几何体的体积．
解：该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，
两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32，
交叉部分的体积为四棱锥 S﹣ABCD 的体积的 2 倍，
在等腰△ABS 中，SB＝2，SB 边上的高为 2，则 SA，
∴由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形 ABCD 为边长为的棱形，
设 AC 的中点为 H，连结 BH，SH，由题意得 SH 为四棱锥 S﹣ABCD 的高，
在 Rt△ABH 中，BH2，
又 AC＝SB＝2，∴4，
∵BH＝SH，∴，
∴这个几何体的体积为 V＝322＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于难题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＝2an﹣2n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记 bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）]，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．
【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：n＝1 时，a1＝S1，n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化简整
理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
（Ⅱ）运用对数的运算性质化简可得 bn＝（﹣1）n•n，再对 n 讨论是奇数和偶数，运用
并项求和，计算可得所求和．
解：（Ⅰ）当 n＝1 时，由 Sn＝2an﹣2n+1，可得 a1＝S1＝2a1﹣2+1，即有 a1＝1．
当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2n+1﹣2an﹣1﹣2n+2﹣1，
即为 an＝2an﹣1+2，可得 an+2＝2（an﹣1+2），显然 an﹣1+2≠0，
所以数列{an+2}是首项为 3，公比为 2 的等比数列，
则 an+2＝3•2n﹣1，即有 an＝3•2n﹣1﹣2，n∈N*；
（Ⅱ）bn＝（﹣1）n•log2[（an+4）]＝（﹣1）n•log2[（3•2n﹣1+2）]＝（﹣1）n•log22n＝
（﹣1）n•n，
当 n 为偶数时，Tn＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）n；
当 n 为奇数时，Tn＝Tn﹣1+bn（n﹣1）﹣n（n+1）．
综上可得，Tn．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查
对数的运算性质，对数值 n 的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．
18．截至 2019 年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城
市”调查推选活动已连续成功举办 12 年，累计推选出 60 余座幸福城市，全国约 9 亿多
人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”
指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2×2 列联表（数据
单位：人）
男 女 总计
非常幸福 11 15
比较幸福 9
总计 30
（Ⅰ）将列联表补充完整，并据此判断是否有 90%的把握认为城市幸福感指数与性别有
关；
（Ⅱ）若感觉“非常幸福”记2 分，“比较幸福”记1 分，从上表男性中随机抽取 3 人，
记 3 人得分之和为 ξ，求 ξ 的分布列，并根据分布列求 ξ≤4 的概率．
附：K2，其中 n＝a+b+c+d
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【分析】（Ⅰ）完成 2×2 列联表，求出 K20.6＜2.706，从而没有 90%的把握认为城市幸
福感指数与性别有关．
（Ⅱ）由题可知，ξ 的可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 ξ 的
分布列和 ξ≤4 的概率．
解：（Ⅰ）完成 2×2 列联表（数据单位：人），得：男 女 总计
非常幸福 4 11 15
比较幸福 6 9 15
总计 10 20 30
K20.6＜2.706，
∴没有 90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关．
（Ⅱ）由题可知，ξ 的可能取值为 3，4，5，6，
则 P（ξ＝3），
P（ξ＝4），
P（ξ＝5），
P（ξ＝6），
∴ξ 的分布列为：
ξ 3 4 5 6
P
∴ξ≤4 的概率 P（ξ≤4）＝P（ξ＝3）+P（ξ＝4）．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的要布列、概率的求法，考
查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
19．在如图所示的几何体中，底面 ABCD 是矩形，平面 MAD⊥平面 ABCD，平面 MAB∩
平面 MCD＝MN，△MAD 是边长为 4 的等边三角形，CD＝2MN＝2．
（Ⅰ）求证：MN⊥MD；
（Ⅱ）求二面角 M﹣BD﹣N 的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出 AB⊥AD，AB⊥平面 MAD，从而 AB∥平面 MCD，进而 MN∥
AB，MN⊥平面 MAD，由此能证明 MN⊥MD．
（Ⅱ）设 AD 的中点为 O，过 O 作 OH∥AB，交 BC 于 H，由题意知 OA，OH，OM 两
两垂直，以 O 为原点，分别以 OA，OH，OM 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法能求出二面角 M﹣BD﹣N 的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：由底面 ABCD 为矩形，得 AB⊥AD，
∵平面 MAD⊥平面 ABCD，平面 MAD∩平面 ABCD＝AD，AB⊂平面 ABCD，
∴AB⊥平面 MAD，
∵AB∥CD，CD⊂平面 MCD，AB⊄平面 MCD，
∴AB∥平面 MCD，
∵平面 MAB∩平面 MCD＝MN，∴MN∥AB，∴MN⊥平面 MAD，
∵MD⊂平面 MAD，∴MN⊥MD．
（Ⅱ）解：如图，设 AD 的中点为 O，过 O 作 OH∥AB，交 BC 于 H，
由题意知 OA，OH，OM 两两垂直，
以 O 为原点，分别以 OA，OH，OM 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 B（2，2，0），D（﹣2，0，0），M（0，0，2），N（0，1，2），
设平面 MBD 的法向量（x，y，z），
则，取 x＝3，得（3，﹣6，），
设平面 NBD 的法向量（a，b，c），则，取 a＝1，得（1，﹣2，0），
∴cos．
∴二面角 M﹣BD﹣N 的余弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
20．已知椭圆 C：1（a＞0）的中心为原点 O，左焦点为 F，离心率为，不与坐标轴垂直的
直线 l 与椭
圆 C 交于 M，N 两点．
（Ⅰ）若 K（2，1）为线段 MN 的中点，求直线 l 的方程．
（Ⅱ）若点 P 是直线 x 上一点，点 Q 在椭圆 C 上，且满足•0，设直线 PQ 与直线 OQ 的
斜率分别为 k1，k2，问：k1k2 是否为定值？若是，请求出 k1k2 的值；若不是，请说明理
由．
【分析】（Ⅰ）由题意离心率的值及 a，b，c 之间的关系可得 a 的值，进而求出椭圆的
方程，由 MN 的中点坐标，由点差法可得直线 MN 的斜率，进而由点斜式求出直线 MN
的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 P 点所在的直线方程，及左焦点 F 的坐标，设 P 的坐标，及椭圆上
的点 Q 的坐标，将 Q 的坐标代入椭圆的方程可得横纵坐标的关系，求出的表达式，由题
意求出 k1k2 的表达式，进而将 0 代入可得 k1k2 为定值．解：（Ⅰ）由题意可得，且 c2＝a2﹣4，解得 a2＝3，
所以椭圆的方程为：1，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
由于 M，N 在椭圆上，所以作差可得 0，
因为 K（2，1）为线段 MN 的中点，所以，
故直线 l 的方程为 y﹣1（x﹣2），即 8x+9y﹣25＝0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线 xa2，点 F（，0），
设 P（，t），Q（x0，y0），易知 x0≠0，
因为 0，即（，﹣t）•（x0，﹣y0）＝0，可得 ty0＝4x0，
因为 Q 在椭圆上，所以 1，即 y02＝4（1），
所以 k1k2，
所以 k1k2 的值为定值，且为．
【点评】本题考查向量与椭圆方程的综合问题，及点差法求直线的斜率的求解问题，属
于中档题．
21．已知 f（x）＝2e2x﹣1+4ax（a∈一、选择题）．
（Ⅰ）若 a，求 f（x）在 x＝0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若 f（x）在[1，2]上的最大值为 3e3，求 a 的值．
【分析】（I）a 时，f（x）＝2e2x﹣1x，f′（x）＝4e2x﹣1，可得 f′（0），f（0）．利用
点斜式可得 f（x）在 x＝0 处的切线方程：yx．进而得出切线与两坐标轴围成的三角形的
面积．
（II）f′（x）＝4e2x﹣1+4a．（i）a≥0 时，f′（x）＞0，利用函数 f（x）的单调性与
最大值可得 a．（ii）a＜0 时，由 f′（x）＝0，解得 x[1+ln（﹣a）]．对 a 分类讨论利用函数 f（x）的
单调性与最大值可得 a．
解：（I）a 时，f（x）＝2e2x﹣1x，f′（x）＝4e2x﹣1，∴f′（0），f（0）．
可得：f（x）在 x＝0 处的切线方程：yx．
令 x＝0，可得 y．令 y＝0，可得 x．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（II）f′（x）＝4e2x﹣1+4a．
（i）a≥0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）在[1，2]上的最大
值为 f（2）＝2e3+8a＝3e3，∴a．
（ii）a＜0 时，由 f′（x）＝0，解得 x[1+ln（﹣a）]．
①[1+ln（﹣a）]≤1，即﹣e≤a＜0 时．故 f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）在[1，2]
上的最大值为 f（2）＝2e3+8a＝3e3，∴a，舍去．
②[1+ln（﹣a）]≥2，即 a≤﹣e3 时．故 f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）在[1，2]
上的最大值为 f（1）＝2e+4a＝3e3，∴ae3e，舍去．
③1[1+ln（﹣a）]＜2，即﹣e3＜a＜﹣e 时．故 f（x）在[1，[1+ln（﹣a））]上单调递减，
在（[1+ln（﹣a）），2]上单调递增，
由①②可知：f（2）不可能为最大值，而 f（1）＝2e+8a＝3e3，f（2）﹣f（1）＝2e3﹣2e+4a
＜0，解得 aee3．
f（x）在[1，2]上的最大值为 f（1）＝2e+4a＝3e3，∴ae3eee3，舍去．
综上可得：a．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分
类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数，α∈[0，π）），以坐
标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝
2sinθ．
（Ⅰ）若点 P（x，y）在直线 l 上，且 2，求 sinα 的值；
（Ⅱ）若 α，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（2）利用三角函数关系式和点到直线的距离公式的应用求出结果．
解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数，α∈[0，π）），则 P（﹣2+tcosα，
2+tsinα），
所以，整理得 3sinα＝cosα，由于 sin2α+cos2α＝1，
由于 α∈[0，π），
解得．
（Ⅱ）曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．整理得 ρ2＝2ρsinθ，根据转换为直角坐标方程
为 x2+（y﹣1）2＝1．
直线 l 的方程转换为直角坐标方程为 x﹣y+4＝0，
所以圆心（0，1）到直线 l 的距离 d，
所以圆上的点到直线的最大距离为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角
函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要
考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]23．已知 f（x）＝|x﹣1|﹣|ax﹣2a|（a∈R）．
（Ⅰ）若 a＝1，求 f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式 f（x）≥x﹣4 在 x∈[2，9）上恒成立，求 a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将 a＝1 代入 f（x）中，然后利用绝对值三角不等式求出 f（x）的值域；
（Ⅱ）由 f（x）⩾x﹣4，得|a|（x﹣2）≤3，然后分 x＝2 和 2＜x＜9 两种情况，由不等
式 f（x）≥x﹣4 在 x∈[2，9）上恒成立，求出 a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当 a＝1 时，f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|，
∴|f（x）|＝||x﹣1|﹣|x﹣2||≤|（x﹣1）﹣（x﹣2）|＝1，
∴﹣1≤f（x）≤1，∴f（x）的值域为[﹣1，1]；
（Ⅱ）当 2≤x＜9 时，f（x）＝x﹣1﹣|a|（x﹣2），
由 f（x）⩾x﹣4，得|a|（x﹣2）≤3，
当 x＝2 时，不等式 f（x）≥x﹣4 显然成立；
当 2＜x＜9 时，可得|a|，
∵当 2＜x＜9 时，，
∴只需|a|，即，
∴a 的取值范围为．
【点评】本题考查了利用绝对值三角不等式求函数的值域和不等式恒成立问题，考查了
分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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