安徽省马鞍山市2020届高三数学（文）第二次质量检测试题（Word版含答案）

2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 文科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在 答题卡 “条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．已知集合 ， ，则 （▲） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，则 （▲） A． B． C． D． 3．命题 ，则命题 的否定是（▲） A． B． C． D． 4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图， 则下列说法错误的是（▲） A．乙所得分数的极差为 26 B．乙所得分数的中位数为 19 C．两人所得分数的众数相同 D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 5．已知 , ， ， ，则下列不等关系中正 确的是（▲） A. B. C. D. 6．函数 的图像平移后对应的函数为 ，若 为偶函数，则 的 最小值为（▲） A． B． C． D． 7． 已知函数 ，则 的图像大致为（▲） A． B． C． D． x y O x y O x y O x y O 2{ 2 3 0, }A x x x x= − − ≤ ∈Z { | | 2, }B x x x= ≤ ∈Z A B = { }1,0,1− { }2, 1,0,1− − { }1,0,1,2− { }2, 1,0,1,2,3− − z 1 ,( , )1 a b a b= + ∈+ i Ri a b+ = 0 1 1− 2 : 0, 1xp x e∀ > > p : 0, 1xp x e∀ > ≤ : 0, 1xp x e∀ ≤ ≤ 0 0: 0, 1xp x e∃ > ≤ 0 0: 0, 1xp x e∃ ≤ ≤ a b c∈， ， R 3 2a = 4 5b = 5 4c = a b c< < c b a< < c a b< < a c b< < ( ) sin( )6f x x π= + ( ) sin( )6g x x π ϕ= + + ( )g x ϕ 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 2( ) x xe ef x x −−= ( )f x 4 2 3 2 2 1 3 6 5 0 220 9621 7 3 2 1 0 乙甲8．已知 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（▲） ①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ， ， ，则 ； ④若 ， ， ，则 ； A． B． C．3 D．4 9．已知 三内角 满足 且 ，则下列结论正确 的是（▲） A． B． C． D． 10．若点 为抛物线 上一点, 是抛物线的焦点， ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为（▲） A． B． C． D．8 11．已知三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，则此三 棱锥的外接球的表面积为（▲） A． B． 　　C． D． 12．已知函数 的定义域为 ， 是 的导函数.若 ，则关 于 的不等式 的解集为（▲） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知向量 ， ，且 ，则 ▲ ． 14．已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概 率为 ▲ ． 15．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ． 16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有 甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选，医院领导 组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、 丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中 各有一人入选.根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 ▲ ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共 60 分。 17． (12 分) 记 是等差数列 的前 项和，且 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． m n α β / /m α / /α β / /m β / /m α / /m β / /α β m α⊥ n β⊥ / /α β / /m n m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ 1 2 ABC△ , ,A B C cos2 cos2 1 cos2A B C+ = + 2sin sin sinA B C= , 2A B C π= ≠ , 2A B C π≠ = , 2A B C π≠ ≠ , 2A B C π= = A 2 4=y x F | | 6AF = P 1x = − | | | |PA PF+ 2 13 2 21 2+2 14 P ABC− 1PA = 3PB = 2CA CB AB= = = PAB ⊥ ABC 25 3 π 16 3 π 7 3 π 5 3 π f x( ) 2 2 π π−( , ) f x′( ) f x( ) + 0f x x f x x′ -2 2< 1( ) 2 ln + 2f x x x ′ =    ( )=0f x′ ex e = 0 ex e < < ( ) 0f x′ < ( )f x 0 e e （ ， ） ex e > ( ) 0f x′ > ( )f x +e e ∞（ ， ） ( )f x 0 e e （ ， ） +e e ∞（ ， ） ( ) 1 0f x ax− + ≥ 2 ln 1 0x x ax− + ≥ 1lna x x x ≤ + 1( ) lng x x x x = + 2 1( ) ln 1g x x x ′ = + − 2 1( ) ln 1h x x x = + − 3 1 2( ) 0h x x x ′ = + > 0 +∞（ ， ） 2 1( ) ln 1g x x x ′∴ = + − 0 +∞（ ， ） (1) 0g′ = 0 1x∴ < < ( ) 0g x′ < ( )g x 01（ ，） 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x 1 +∞（， ） min( ) (1) 1g x g∴ = = min( ) 1a g x∴ ≤ =综上可得， 的取值范围是 .. …………………….12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 【解】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， …………………….3 分 直线 的直角坐标方程为 ． …………………….5 分 （2）由（1）知， 的坐标为 ，是抛物线 的焦点， 以 为极点， 轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系， 在 此 极 坐 标 系 中 ， 直 线 的 方 程 为 或 （ 其 中 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 满 足 ）， 不妨设 ， ，抛物线 的方程为 ， 将 代入得 ，将 代入得 ， 所以 和 是方程 的两根， 由韦达定理得 ， ， （8 分） 所以 ． （10 分） （2）另证:由（1）知， 的坐标为 ，是抛物线 的焦点， 不妨设 由 由韦达定理: （8 分） (10 分) 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 【解】（1）由已知可得： ……………………….5 分 （2） 根据柯西不等式可得： a 1]∞（- ， C 2 4y x= l 3 1 0x y− − = M ( )1,0 C M x l 0 θ θ= 0 θ π θ= − 0 θ l 0 1tan 3 θ = ( )1 0,P ρ θ ( )2 0,Q ρ π θ− C ( )2 2sin 4 cos 1ρ θ ρ θ= + ( )1 0,P ρ θ 2 1 112 10 40 0ρ ρ− − = ( )2 0,Q ρ π θ− 2 2 212 10 40 0ρ ρ+ − = 1 ρ 2 ρ− 2 12 10 40 0ρ ρ− − = 1 2 12 10ρ ρ− = 1 2 40ρ ρ = ( )2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 1PM QM ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − +++ = + = = = M ( )1,0 C 1 1 2 2 1 2( , ),Q( , ),( 0, 0)P x y x y y y> < 2 24 12 4 0 3 1 0 y x y y x y  = ⇒ − − = − − = 1 2 1 212, 4y y y y+ = = − 2 2 2 2 1 1 1 1 1( 1) (3 1 1) 10PM x y y y y= − + = + − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (3 1 1) 10QM x y y y y= − + = + − + = − 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 10 10 4 10 y yPM QM y y + = − = − 2 1 2 1 2 1 1( ) 4 144 16 1 4 10 4 10 y y y y= + − = + = 2 212 3 4 4 3a b ab≥ + ≥ 3.ab∴ ≤ 2 23 4 12a b+ ≤ ∴ ……………………….10 分 注：其他正确的方法不扣分． ( ) ( )2 2 2 21 1 42 3 2 1 3 4 1 12 163 33 a b a b a b    + = ⋅ + ⋅ ≤ + + ≤ × =      2 4.a b∴ + ≤