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顺义区 2020 届高三第二次统练
数学参考答案及评分参考
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D
（ 6 ）B （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）A （10）D
二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
（11） 2 （12） 1, Nna n n （13） sin(2 )3y x
（14） 1a （15）②③
注：第 14 题全部答对得 5 分，只写一个答案得 3 分,有错误答案得 0 分；第 15 题全部选
对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
三、解答题（共 6 题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：选①：在 ABC 中， 1cos 3C ,
根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C -------------2 分
且 5a b ， 3c ，得到 29 25 2 3
abab ------------- 6 分
所以 6ab ------------- 8 分
所以 5
6
a b
ab
，解得 2
3
a
b
或 3
2
a
b
-------------10 分
∵ 1cos 3C 数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）
∴ 2 2sin 3C -------------12 分
所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 22ABCS ab C -------------14 分
选②：在 ABC 中， 1cos 3C ,
当 1cos 3C 时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C . -------------2 分
又 5a b ， 3c ，得到 12ab ------------- 8 分
此时方程组 5
12
a b
ab
无解. ------------- 12 分
所以这样的三角形不存在. -------------14 分
选③：在 ABC 中，因为 2 2sin ,3C 所以 1cos 3C . -------------2 分
当 1cos 3C 时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C -------------4 分
且 5a b ， 3c ，得到 29 25 2 3
abab ------------- 6 分
所以 6ab -------------8 分
所以 5
6
a b
ab
，解得 2
3
a
b
或 3
2
a
b
-------------10 分
所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 22ABCS ab C -------------12 分
当 1cos 3C 时，根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C ,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）
又 5a b ， 3c ，得到 12ab ,
此时方程组 5
12
a b
ab
无解.
所以这样的三角形不存在. ------------- 14 分
③法二：在 ABC 中，因为
2
2 2 2( ) 25
2 2
a ba b c ,
根据余弦定理
2 2 2
cos 2
a b cC ab
,得到 cos 0C ------------- 2 分
因为 2 2sin ,3C 所以 1cos 3C -------------4 分
根据余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C -------------6 分
和 5a b ， 3c ，得到 6ab -------------10 分
所以 5
6
a b
ab
，解得 2
3
a
b
或 3
2
a
b
-------------12 分
所以三角形ABC 的面积是 1 sin 2 22ABCS ab C -------------14 分
17. （共 14 分）
解：（I）取 BD 中点O，联结 AO , 1C O
BD AO ， 1BD C O . -------------2 分
又 AO , 1C O 1AC O 平面 1BD AC O 平面 . ------------- 4 分
又 1 1AC AC O 平面 1BD AC ------------- 5 分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）
（II）
二面角 1A BD C 是直二面角
1 90C OA
1C O AO
1, ,OA OB OC 两两垂直 -------------6 分
以O为原点，如图建系：
(0,0,0)O ， (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， (0, 1,0)D ， 1(0,0,1)C
又 ,E F 为中点 1 1(0, , )2 2E ， 1 1( ,0, )2 2F
1 1( ,1, )2 2DF ， 3 1(0, , )2 2DE
-------------8 分
设 ( , , )n x y z 是平面 DEF 的一个法向量
1 1 02 2
3 1 02 2
DF n x y z
DE n y z
令 1y 得 3, 1z x (1,1, 3)n
-------------11 分
又 1OC ABD 平面 平面 ABD 的一个法向量 1 (0,0,1)OC
-------------13 分
1
1
1
cos , n OCn OC
n OC
= 3 11
11
平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角余弦值为 3 11
11 -------------14 分
18.（本题 15 分）
解：（I）根据甲班的统计数据可知：
甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为 0.5 0.25 0.05 0.8 -------------2 分
所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）
为 600 0.8 480 人 -------------4 分
（II）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 0.05 2 人
乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 0.1 4 人 -------------6 分
X 的可能值为： 0,1,2
3
4
3
6
1( 0) 5
CP x
C
,
1 2
2 4
3
6
3( 1) 5
C CP x
C
,
2 1
2 4
3
6
1( 2) 5
C CP x
C
-------------9 分
∴的分布列为：
X 0 1 2
P 1
5
3
5
1
5
∴ X 的数学期望为 1 3 1( ) 0 1 2 15 5 5E x -------------12 分
(III) D D甲 乙 -------------15 分
19.（本题 14 分）
（I） 1a 时， 2( ) xf x e x ． ( ) 2xf x e x
（或在这里求的 ( ) 2xf x e ax 也可以）． -------------2 分
∴ 0(0) 0 1f e ， 0(0) 0 1k f e ． -------------4 分
所求切线方程为 1y x ---------------5 分
（II）方法一： ( ) 2xf x e ax .
若 2( ) xf x e x 在(0, ) 上单调递增，则对任意 (0, )x ，都有 ( ) 0f x -------6 分
即
2
xea x
恒成立，等价于 min( )2
xea x
． ----------------7 分
设 ( ) 2
xeg x x
，则 2
( 1)( )
2
xe xg x
x
， ---------------8 分
令 ( ) 0g x 得 1x 数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）
当 (0,1)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在(0,1) 上单调递减；
当 (1, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在(1, ) 上单调递增，
所以函数 ( )g x 的最小值为 e(1) 2g ． ------------------11 分
所以 , 2
ea
． ------------------12 分
方法二： ( ) 2xf x e ax ．
若 2( ) xf x e x 在(0, ) 上单调递增，则对任意 (0, )x ，都有 ( ) 0f x --------6 分
等价于 min( ( )) 0f x ．
设 ( ) 2xh x e ax ， ( ) 2xh x e a ．
当 (0, )x 时， 1xe ----------------7 分
分类讨论：①当 2 1a ，即 1
2a 时， ( ) 0h x 恒成立，
所以 ( ) 2xh x e ax 在 (0, )x 上单调递增， 那么 ( ) (0) 1h x h ，
所以 1
2a 时，满足 ( ) 0f x ． -------------------8 分
②当 2 1a ，即 1
2a 时，令 ( ) 2 0xh x e a ，得 ln 2x a ．
当 (0,ln 2 )x a 时， ( ) 0h x ， ( )h x 在 (0,ln 2 )x a 上单调递减；
当 (ln 2 , )x a 时， ( ) 0h x ， ( )h x 在 (ln 2 , )x a 上单调递增；
所以函数 ( )h x 的最小值为 (ln 2 ) 2 (1 ln 2 )h a a a ----------------10 分
由 2 (1 ln 2 ) 0a a 解得
2
ea ，所以 1
2 2
ea ． -------------------11 分
综上： , 2
ea
． --------------------12 分
（III） 2 个 -------------------14 分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）
20. （本题 14 分）
（I）由题意得
2 2 2
2 2
2
c
a
a b c
解得 2, 3, 1a b c ---------------------3 分
故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ． -------------------5 分
（II） (1,0)F ， ( 2,0)A ，直线l 的方程为 ( 1)y k x ． ------------------6 分
由 2 2
( 1)
3 4 12
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k .
直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.
设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，则
2
1 2 2
8
3 4
kx x
k
,
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x
k
--------------8 分
直线 AP 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，令 4x ，得 1
1
6
2M
yy x
； 即 1
1
6(4, )2
yM x
同理： 2
2
6(4, )2
yN x --------------10 分
∴ 1
1
6(3, )2
yFM x
， 2
2
6(3, )2
yFN x
又 1 2
1 2
369 ( 2)( 2)
y yFM FN x x
-------------------11 分
= 1 2
1 2
36 ( 1) ( 1)9 ( 2)( 2)
k x k x
x x
= 2
1 2 1 2
1 2 1 2
36 ( ) 19 2( ) 4
k x x x x
x x x x
=
2 2
2
2 2
2 2
2 2
4 12 836 ( 1)3 4 3 49
4 12 16 43 4 3 4
k kk k k
k k
k k
=
2
2
2
2
936 3 49
36
3 4
k k
k
k
=9 9 0
∴以 MN 为直径的圆恒过点 F . ----------------14 分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）
21. （本题 14 分）
解：（I） 1 4d ， 2 5d ， 3 2d ． ----------------3 分
（II）因为 1 0a ，公比 0 1q ， 所以 1 2, , , na a a 是递减数列．
因此，对 1, 2, , 1i n ， 1,i i i iA a B a ． ----------------5 分
于是对 1, 2, , 1i n ，
1i i i i id B A a a 1
1( 1) ia q q ． ----------------7 分
因此 0id 且 1i
i
d qd
（ 1,2, , 2i n ），
即 1 2 1, , , nd d d 是等比数列． ----------------9 分
(III) 设 d 为 1 2 1, , , nd d d 的公差，则 0d
对1 2i n ≤ ≤ ，因为 1i iB B ，
所以 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A ，即 1i iA A ------------11 分
又因为 1 1min{ , }i i iA A a ，所以 1 1i i i ia A A a ．
从而 1 2 1, , , na a a 是递减数列．因此 i iA a （ 1,2, , 1i n ）．----------------12 分
又因为 1 1 1 1 1 1+ +B A d a d a ，所以 1 1 2 1nB a a a ．
因此 1na B ．
所以 1 2 1n nB B B a ． i i i i n ia A B d a d ．
因此对 1,2, , 2i n 都有 1 +1i i i ia a d d d ，
即 1 2 1, , , na a a 是等差数列． ----------------14 分
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