海淀区高三年级第二学期阶段性测试
数 学
2020 春
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知集合 ， ，则集合 B 可以是
（A）{1，2} （B）{1，3} （C）{0，1，2} （D）{1，2，3}
（3）已知双曲线 的离心率为 ，则 b 的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）已知实数 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
（A） （B） （C） （D）
（5）在 的展开式中，常数项为
（A）-120 （B）120 （C）-160 （D）160
（6）如图，半径为 1 的圆 M 与直线 相切于点 ，圆 M 沿着直线 滚动．当圆 M 滚动到圆 时，圆
)2( ii −
{ }30 =+ bab
y
a
x
2
3 )0,(1 aA − )0,(2 aA ),0( bB 21BAA∆
BA1 MA2 MA1 BA2
BPQ∆
{ }na ∗∈ Nk nnn kaaa =+− 212
∗∈ Nn { }na )(kΨ
{ }na )2(Ψ
1=na n
na 2=
{ }na ),3,2,1(1 =≥+ naa nn
{ }na )2(Ψ { }na
{ }na 11 =a ),3,2,1(1 =>+ naa nn
{ }na )4(Ψ { }na海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数 学 2020 春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D C C D C A B
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
题号 11 12 13 14 15
答案 0 ， ①②
注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其他得 3 分。
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为 平面 ， 平面
所以 .
在△ 中， , , ,
所以 .
所以 .
因为 , 平面 ，
0
1x=− 24 4 2 2 6
AB ⊥ 1 1BB C C 1C B ⊂ 1 1BB C C
1AB C B⊥
1BCC 1BC = 1 3BC = 1 2CC =
2 2 2
1 1BC BC CC+ =
1CB C B⊥
AB BC B= ,AB BC ⊂ ABC所以 平面 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， , , ,
如图,以 为原点建立空间直角坐标系 .
则 ， ， .
， .
设平面 的法向量为 ，
则
即
令 则 ， ,
所以 .
又因为平面 的法向量为 ，
所以 .
由题知二面角 为锐角，所以其大小为 .
（17）解：（Ⅰ） .
（Ⅱ）选择条件①.
的一个周期为 .
1C B ⊥ ABC
1AB C B⊥ 1BC C B⊥ AB BC⊥
B B xyz−
(0,0,0)B 1( , 3,1)2E − (1,0,0)C
(1,0,0)BC = 1( , 3,1)2BE = −
BCE ( , , )x y z=n
0,
0.
BC
BE
⋅ = ⋅ =
n
n
0,
1 3 0.2
x
x y z
=− + + =
3y = 0x = 3z = −
(0, 3, 3)= −n
ABC (0,1,0)=m
1cos , | || | 2
⋅< >= =m nm n m n
A BC E− −
3
π
2(0) 2cos 0 sin0 2f = + =
( )f x π
2( ) 2cos sin 2f x x x= +
(cos 2 1) sin 2x x= + +.
因为 ,所以 .
所以 .
所以 .
当 时，即 时，
在 取得最小值 .
选择条件②.
的一个周期为 .
.
因为 ,所以 .
所以 当 时，即 时，
在 取得最小值 .
（18）解：（Ⅰ）设事件 A 为“从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超
过 10%”，从 2010 年至 2019 年一共 10 年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过 10%
有 9 年，
2 22( sin 2 cos2 ) 12 2x x= + +
2 sin 2 ) 14x
π= + +（
[ , ]2 6x
π π∈ − 3 72 + [ , ]4 4 12x
π π π∈ −
1 sin 2 ) 14x
π− ≤ + ≤（
1 2 ( ) 1 2f x− ≤ ≤ +
2 =4 2x
π π+ − 3π= 8x −
( )f x [ , ]2 6
π π− 1 2−
( )f x 2π
2( ) 2cos sinf x x x= +
22(1 sin ) sinx x= − +
21 172(sin )4 8x= − − +
[ , ]2 6x
π π∈ − 1sin [ 1, ]2x∈ −
sin = 1x − π= 2x −
( )f x [ , ]2 6
π π− 1−所以 .
（Ⅱ）由图表信息，从 2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过 500 亿元，所以 的所有
可能取值为 , , .
且 ； ； .
所以 的分布列为：
0 1 2
故 的期望 ．
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时
按照上述标准酌情给分.
（19）解：（Ⅰ）①当 时， ，则 ．
所以
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
②令 ，得 .
0
9( ) 10P A =
X
0 1 2
2
5
2
10
C 2( 0) =C 9P X = =
1 1
5 5
2
10
C C 5( 1) =C 9P X = =
2
5
2
10
C 2( 2) =C 9P X = =
X
X
P 2
9
5
9
2
9
X 2 5 2( ) 0 1 2 19 9 9E X = × + × + × =
1a = − e( ) x xf x = − ) 1( exf x = −′
'(0) 0.f =
(0) 1f =
( )y f x= (0, (0))f 1y =
'( ) 0f x = 0x =
x ( ,0)-¥ 0 (0, )+¥
( )f x′ - +此 时 ，
随 的变化如下：
可知 ，函数 的最小值为 1.
（Ⅱ）由题意可知， .
令 ，则 ．
由（Ⅰ）中可知 ，故 ．
因为 ，
则
．
所以函数 在区间 上单调递增．
因为 ,
又因为 ，
所以 有唯一的一个零点.
即函数 与 有且只有一个交点.
（20）解：（Ⅰ）由题
解得
↘ 极小值 ↗( )f x′
( )f x x
( )min 0 1( )f x f= = ( )f x
0,x∈ ∞+（ )
l( 1) e nxg axx x= + + − 1' e( ) xg axx = + +
e 1x x− ≥ e 1x x≥ +
2,0a∈ −（ )
( )1 1'( 1) exg a x axx x
= + + ≥ + + +
12 1 3 0x a ax
≥ ⋅ + + = + >
( )g x (0, )+∞
1 1
e 21( ) e 2 e 2 0e e
ag = + - < - <
e 2(e) e e e 2e 0g a= + > - >
( )g x
( )y f x= 1 lny x= −
2 2 2
3
2
2
.
c
a
ab
a b c
=
=
= +
，
，
2
1.
a
b
=
=
，
( )f x所以椭圆方程为 .
（II）解法 1
证明：设直线 方程为 ，直线 方程为
由 解得点 .
由 得 ，
则 .
所以 ， .
即 .
.
于是直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
由 解得点 .
于是 ，所以 轴.
设 中点为 ，则 点的纵坐标为 .
故 中点在定直线 上.
2
2 14
x y+ =
2A M 1( 2)( 0 )2y k x k k= − ≠ ≠ ±且 1A B 1 12y x= +
( 2),
1 1.2
y k x
y x
= − = +
4 2 4( , )2 1 2 1
k kP k k
+
− −
2
2
( 2)
1.4
y k x
x y
= − + =
，
2 2 2(4 1) 16 16 4 0k x k x k+ − + − =
2
2
16 42 = 4 1M
kx k
−
+
2
2
8 2= 4 1M
kx k
−
+ 2
4= 4 1M
ky k
−
+
2
2 2
8 2 4( , )4 1 4 1
k kM k k
− −
+ +
1
2
2
2
4
14 1
8 2 424 1
A M
k
kk k k
k
−
+= = −− ++
1A M 1 ( 2)4y xk
= − + 2A B 1 12y x= − +
1 ( 2)4
1 12
y xk
y x
= − +
= − +
4 2 2( , )2 1 2 1
kQ k k
+ −
− −
P Qx x= PQ x⊥
PQ N N
4 2
2 1 2 1 12
k
k k
−+− − =
PQ 1y =从上边可以看出点 在 的垂直平分线上，所以 ，
所以△ 为等腰三角形.
解法 2
证明：设 则 .
直线 方程为 ，直线 方程为 .
由
解得点 .
直线 方程为 ，直线 方程为 .
由
解得点 .
.
于是 ，所以 轴.
B PQ BP BQ=
BPQ
0 0 0 0( , )( 2, 1)M x y x y≠ ± ≠ ± 2 2
0 04 4x y+ =
2A M 0
0
( 2)2
yy xx
= −− 1A B 1 1
2
xy = +
0
0
( 2)2
1 1.2
yy xx
y x
= − −
= +
，
0 0 0
0 0 0 0
2 4 4 4( , )2 2 2 2
x y yP y x y x
+ −
− + − +
1AM 0
0
( 2)2
yy xx
= ++ 2A B 1 12y x= − +
0
0
( 2)2
1 1.2
yy xx
y x
= + +
= − +
，
0 0 0
0 0 0 0
2 4 +4 4( , )2 + 2 2 2
x y yQ y x y x
−
+ + +
0 0 0 0
0 0 0 0
2 4 4 2 4 +4
2 2 2 + 2P Qx x y x y
y x y xx
+ − −−− − + +=
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
2( 2 2)(2 + 2) 2( 2 +2)(2 2)
(2 2)(2 + 2)
x y y x x y y x
y x y x
+ − + − − − += − + +
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 ( 2 ) 4) (4 ( 2 )
0(2 2)(2 + 2)
x y x y
y x y x
+ − − − − = =− + +
P Qx x= PQ x⊥.
故 中点在定直线 上.
从上边可以看出点 在 的垂直平分线上，所以 ，
所以△ 为等腰三角形.
（21）解：（Ⅰ）①数列 具有“性质 ”；
②数列 不具有“性质 ”.
（Ⅱ）先证“充分性”：
当数列 具有“性质 ”时，有
又因为 ，
所以 ，
进而有
结合 有 ,
即“数列 为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列 为常数列”，
则有 ，
即“数列 具有“性质 ”.
（Ⅲ）首先证明： .
0 0
0 0 0 0
4 4
2 2 2 + 2P Q
y y
y xy xy y
+− += ++
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0 0 0
4 (4 4) 4 (4 4) 2(2 2)(2 + 2) (2 2)
y y y y
y x y x y x
+ += = =− + + + −
PQ 1y =
B PQ BP BQ=
BPQ
{ }na (2)Ψ
{ }na (2)Ψ
{ }na (2)Ψ 2 1 2 2n n na a a− + =
1n na a+ ≥
2 2 10 0n n n na a a a −≤ − = − ≤
2n na a=
1n na a+ ≥ 1 2n n na a a+= = ⋅⋅⋅ =
{ }na
{ }na
2 1 2 12 2n n na a a a− + = =
{ }na (2)Ψ
1 2n na a+ − ≥因为 具有“性质 ”，
所以 .
当 时有 .
又因为 且 ，
所以有 ,
进而有 ，
所以 ,
结合 可得： .
然后利用反证法证明： .
假设数列 中存在相邻的两项之差大于，
即存在 满足：
或 ，
进而有
.
又因为 ，
所以
依次类推可得： ，矛盾，
所以有 .
综上有： ，
{ }na (4)Ψ
2 1 2 4n n na a a− + =
1n = 2 1=3 3a a =
*
2 1 2n n na ,a ,a− ∈N 2 2 -1n na a>
2 2 12 1, 2 1n n n na a a a−≥ + ≤ −
2 2 1 12 1 1 2 2n n n na a a a+ ++ ≤ ≤ − ≤ −
12( ) 3n na a+ − ≥
*
+1n na ,a ∈N 1 2n na a+ − ≥
1 2n na a+ − ≤
{ }na
*k ∈N
2 1 2 3k ka a+ − ≥ 2 +2 2 +1 3k ka a− ≥
1 2 2 2 +1 2 2 14( ) ( + ) ( + )k k k k k ka a a a a a+ + −− = −
2 2 2 2 +1 2 1=( )+( )k k k ka a a a+ −− −
[ ] [ ]2 2 2 1 2 +1 2 2 +1 2 2 2 1= ( )+( ) + ( ) ( )k k k k k k k ka a a a a a a a+ + −− − − + − 9≥
*
1k ka a+ − ∈N
1 3k ka a+ − ≥
2 1 3a a− ≥
1 2n na a+ − ≤
1 2n na a+ − =结合 可得 ，
经验证，该通项公式满足 ，
所以： .
1 1a = 2 1na n= −
2 1 2 4n n na a a− + =
2 1na n= −
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