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北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（一）
数 学 2020.5
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合 ， ，那么
(A) (B) (C) (D)
(2) 函数 的定义域为
(A) (B)
(C) (D)
(3) 已知 ，则
(A) (B) (C) (D)
(4) 若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则 的值为
(A) (B) (C) (D)
(5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视
图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为
(A)
(B)
(C)
(D)
(6) 已知 ，那么在下列不等式中，不成立的是
(A) (B)
(C) (D)
{ }1>0A x x= − { }1 0 1 2B = − ，，， A B =
{ }1 0− ， { }0 1， { }1 0 1 2− ，，， { }2
2
2( ) 1
xf x x
−= +
-( , ]1 2 [ , )2 +∞
-( , ) [ , )1 1 +−∞ ∞ -( , ) [ , )1 2 +−∞ ∞
2 1 i ( )1 i a+a
= − ∈R a =
1 0 1− 2−
2
2
2: 1( 0)− = >yC x bb 2 1= +y x b
1 2 3 2
4
6
8
12
1x < −
2 1 0x − > 1 2x x
+ < −
sin 0x x− > cos 0x x+ >
正（主）
视图
侧（左）
视图
俯 视
图2
(7)在平面直角坐标系中，动点 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 分钟转动一周. 若点
的初始位置坐标为 ，则运动到 分钟时，动点 所处位置的坐标是
(A) (B)
(C) (D)
(8) 已知三角形 ，那么“ ”是“三角形 为锐角三角形”的
(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9) 设 为坐标原点，点 ，动点 在抛物线 上，且位于第一象限， 是线段 的中点，则
直线 的斜率的范围为
(A) (B)
(C) (D)
(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，
后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以 表
示，被捕食者的数量以 表示.下图描述的是这两个物种随时间变
化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：
(A) 若在 时刻满足： ，则 ；
(B) 如果 数量是先上升后下降的，那么 的数量一定也是先上
升后下降；
(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；
(D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
M 12 M
( , )1 3
2 2 3 M
( , )3 1
2 2 ( , )− 1 3
2 2
( , )− 3 1
2 2 ( , )− −3 1
2 2
ABC +AB AC AB AC > − ABC
O ( , )1 0A P y x=2 2 M PA
OM
(0 ]，1 2(0 )2
， 2(0 ]2
，
2[ )2
+ ∞，
( )x t
( )y t
1 2t t， 1 2( )= ( )y t y t 1 2( )= ( )x t x t
( )y t ( )x t3
(11) 已知向量 ，若 与 共线，则实数 .
(12) 在 的展开式中常数项为 . (用数字作答)
(13) 圆心在 轴上，且与直线 和 都相切的圆的方程为___.
(14) 是等边三角形，点 在边 的延长线上，且 ， ，则 ， .
(15) 设函数 给出下列四个结论：
① 对 ， ，使得 无解；
② 对 ， ，使得 有两解；
③ 当 时， ，使得 有解；
④ 当 时， ，使得 有三解.
其中，所有正确结论的序号是 .
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分。
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 中， 面 ，底面 为平行四边形， ， ，
．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小.
(17)（本小题 14 分）
已知函数 ，且满足 .
（Ⅰ）求函数 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于 的方程 在区间 上有两个不同解，求实数 的取值范围.
从① 的最大值为 ，② 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，③ 的图
( , ), ( , ), ( , )1 1 2 2 3= = − =ma b c a b− c m=
62( )x
x
+
x 1 :l y x= 2 : 2l y x= −
ABC D AC 3AD CD= 2 7BD = CD = sin ABD∠ =
( 1), 0,
( )
2 2 , 0.x a a x
a x x
f x
x− −
+ a t∃ ∈ R ( )f x t=
0∀ >t a∃ ∈R ( )f x t=
0a < 0t∀ > ( )f x t=
2a > t∃ ∈ R ( )f x t=
P ABCD- PD ⊥ ABCD ABCD AB AC⊥ 1AB AC= =
1PD =
//AD PBC
D PC B− −
π π( ) sin( ) cos ( )(f x a x x a= − − + >22 2 0)6 6
( )f x
x ( )f x =1 [ ,0 m] m
( )f x 1 ( )f x 3y = − π ( )f x4
象过点 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
(18)（本小题 14 分）
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成.
下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的 个点位的横、纵坐标误差的值，
其中“ ” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位:米）
（Ⅰ）从北斗二代定位的 个点位中随机抽取一个，求
此点横坐标误差的值大于 米的概率；
（Ⅱ）从图中 四个点位中随机选出两个，记 为
其中纵坐标误差的值小于 的点位的个数,求 的分布
列和数学期望；
（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的
方差的大小.（结论不要求证明）
(19) （本小题 14 分）
已知椭圆 ，它的上，下顶点分别为 ， ，左，右焦点分别为 ， ，若四边形
为正方形，且面积为 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线 ，与椭圆 分别交于点 ，且四边形 是菱
形，求出该菱形周长的最大值.
π( ,0)
6
50
50
10
A, B,C, D X
4− X
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > A B 1F 2F
1 2AFBF 2
E
1 2,l l E , , ,C D M N CDMN
x
y
O10 5 5 10 15 20
4
2
2
4
6
8
10
12
B
C
D
A
+
+
+++
+
+ +
+++
+
+
++
+ + ++
++
+++
+
++
+ +
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
++5
(20) （本小题 15 分）
已知函数 ( ).
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，求 在区间 上的最小值.
(21)（本小题 14 分）
数 列 ， 对 于 给 定 的 ， 记 满 足 不 等 式 ：
的 构成的集合为 .
（Ⅰ）若数列 ，写出集合 ；
（Ⅱ）如果 均为相同的单元素集合，求证：数列 为等差数列；
（III) 如果 为单元素集合，那么数列 还是等差数列吗？如果是等差数
列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
( ) (ln )f x x x ax= − a∈R
1a = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x a
1a > ( )f x ( ]0, 2a
1 2 3 nA x x x xL L： ， ， ，， ， +( 1 N )t t t，> ∈
+( )( N )n tx x t n t n n t，∗− ≥ − ∀ ∈ ≠ *t ( )T t
2=nA x n： (2)T
( )T t +( N 1)t t，∈ > 1 2 nx x x， ，， ，L L
( )T t +( N 1)t t，∈ > 1 2 nx x x， ，， ，L L6
北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 2020.5
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A
（6）D （7）C （8）B （9）C （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12）
（13） （14）
（15）③④
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）如图，因为 四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． …………6 分
（Ⅱ）取 为坐标原点，过点 的 平行线为 轴，
依题意建立如图所示的空间直角坐标系 ．
由题意得， ， ， ， ．
3 160
2 2 1( 1) 2x y− + = 3 212 14
，
ABCD
//AD BC
BC ⊂ PBC AD ⊄ PBC
//AD PBC
C C PD z
-C xyz
(0, 1,1)P − (1,0,0)A (0,0,0)C (1,1,0)B7
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则
即
令 ，则 ， ．
所以 ．
因为 为平行四边形，且 ，
所以 ．
因为 面 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 面 ．
所以 平面 的法向量为 ，
所以 ，
由题意可知二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 余弦值的大小为 . ………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为
所以 函数 的最小正周期 .
(0,1, 1)PC
→
= − (1,1,0)CB
→
= ( 1,0,0)
→
= −AC
PBC ( , , )n = x y z
0,
0,
n
n
→
→
⋅ =
⋅ =
PC
CB
0,
0.
− =
+ =
y z
x y
1= −y 1=x 1= −z
(1, 1, 1)n = − −
ABCD AB AC⊥
⊥CD AC
PD ⊥ ABCD
⊥PD AC
=CD PD D
⊥AC PDC
PDC =( 1,0,0)−AC
3cos , 3| || |
nn
n
⋅〈 〉 = = −ACAC
AC
− −D PC B
− −D PC B 3
3
−
π π( ) sin( ) cos ( )6 6f x a x x= − − + −2 2 1
π πsin( ) cos( )3
π π πsin( ) cos[( ) + ]6 6 2
π( )sin( )6
a x x
a x x
a x
= − − + −
= − − − −
= + − −
2 2 16
2 2 1
1 2 1
( )f x πT =8
因为 ，所以函数 的最大值和最小值分别为 .
若选①，则 ，函数 ；
若选②，则 为函数 的最小值，从而 ，函数 ；
选③， ，从而 ，函数
.
……8
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数 的最大值为 ；
因为 关于 的方程 在区间 上有两个不同解，
当 时， .
所以 ，解得 .
所以，实数 的取值范围是 . ………………………………14
分
(18)（本小题 14 分）
解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的 个点中，横坐标误差的绝对值大于 米有 3 个点，
所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于 米的概率为 . …………4
分
（Ⅱ）由图知, 四个点位中纵坐标误差值小于 的有两个点: .
所以 所有可能取值为 .
,
,
.
所以 的分布列为
a > 0 ( )f x ,a a− − 2
a =1 π( ) 2sin(2 ) 16f x x= − −
−3 ( )f x a =1 π( ) 2sin(2 ) 16f x x= − −
π π( 1)sin(2 ) 1 16 6a + × − − = a =1 π( ) 2sin(2 ) 16f x x= − −
( )f x 1
x ( )f x =1 [ , ]m0
[ , ]x m∈ 0 π π π[ , ]6 6 6x m− ∈ − −2 2
5π π 9π
2 6 2m −
2 2 2a b c= +
1 2AF BF 2
2 2b c= 1 (2 ) (2 ) 22 b c× =
1b c= = 2 2 2 2a b c= + =
2
2: 12
xE y+ =
1 :l y kx m= + 2 :l y kx m= −
y kx m= +
2
2 12
x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y
2
2 12
x y
y kx m
+ =
= +
( )22 2 2x kx m+ + =
( )2 2 22 1 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 2 2(4 ) 4 (2 1) (2 2) 16 8 8 0km k m k m∆ = − × + × − = − + > 2 22 1m k< +
1 2 2
4
2 1
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 2
2 1
mx x k
−= +
OC OD⊥
1 2 1 2 0x x y y+ = 1 1y kx m= + 2 2y kx m= +10
，
所以 .
所以 当且仅当 时， 的最大值为 .
此时 四边形 周长最大值为 . …………14 分
(20)（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当 时， ，
所以 .
又因为 ，
所以 切线方程为 ，即
. …………4 分
( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
1
2 2 1 4 2 1
2 1
2 2 2 2 4 2
2 1
3 2 2
2 1
x x y y k x x km x x m
m k k m m k
k
k m m k k m k m m
k
m k
k
+ = + + + +
− + − + +
= +
+ − − − + += +
− −= +
2 23 2 2m k= +
2 2
1 2 1 2| | (1 )[( ) 4 ]CD k x x x x+ + −=
2 2 2
2
2 2 2
16 8( 1)(1 )[ ](2 1) 2 1
k m mk k k
−= + −+ +
2 2
2 2
(1 )(32 8)
3(2 1)
k k
k
+ += +
2
2 2
8 8
3 3(2 1)
k
k += +
2
2
2
2
8 8
13 3(4 4 )
8 8
3 13(4 2 4 )
3
k k
k k
+ +
≤
+ ⋅
= +
+
=
2
2k = ± | |CD 3
CDMN 4 3
1a = ( ) ln 2 1f x x x′ = − +
(1) 1f ′ = −
(1) 1f = −
( )1 1y x+ = − −
0x y+ =11
（Ⅱ） ，
设 ，
当 时,易证 在 单调递增，不合题意.
当 时 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 .
依题意，函数 有两个零点，
则 即 ，
解得 .
又由于 ， ， ，
由 得
实数 的取值范围为 时， 有两个极值
点. …………13 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 时， ，
所以 在 上单调递减，
( ) ln 2 1f x x ax′ = − +
( ) ln 2 1g x x ax= − +
0a ≤ ( )g x ( )0 +∞，
0a > ( ) 1 2g x ax
′ = −
( ) 0g x′ = 1
2x a
=
10, 2x a
∈
( ) 0g x′ > ( )g x 10, 2a
1 ,+2x a
∈ ∞
( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,2a
+∞
( )g x 1
2x a
= 1 1ln2 2g a a
=
( ) ln 2 1g x x ax= − +
1 1ln 0,2 2g a a
= >
1 12a
>
10 2a< <
1 11 2e a
< < 1 1= 2 0g ae e
− ⋅
2 1( 0)xe x x> + >
1 12 2 22 21 1 1( ) 2 2 1 2 2 ( 2) 1 1 1 10 02 2 2
a ag e a e a aa a a
+ + = + − ⋅ + < + − ⋅ + + + = − − 1 1 1( ) ln ln 02 2 2g x g a a
< = < +2n t∗≥
5 t∗≥
=1n 3 t∗≤
(2)T [3 5]，
1 2 3 nA x x x xL L： ， ， ，， ， ( )T t +( N 1)t t，∀ ∈ > a
A
= +1n t 1 ( 1) (1)t tx x a t+ − ≥ ∀ > L L
= 1n t − 1 ( 1) (2)t tx x a t−− ≤ ∀ > L L
1 = ( 1)t tx x a t+ − ∀ > 1 2 nx x x， ，， ，L L
1 2 3 nA x x x xL L： ， ， ，， ， { }( )T i a= { }( )T j b= 1 i j a b< < ≠，
{ }( )T i a= ( )j ix x a j i− ≥ −
{ }( )T j b= ( )i jx x b i j− ≥ − ( )j ix x b j i− ≤ −
( ) ( )j ia j i x x b j i− ≤ − ≤ −
a b≤
( )T i { }it= 2 3 nt t t≤ ≤ ≤ ≤L L
1 i j< < i jt t≤
1 2 3 nA x x x xL L： ， ， ，， ， ( )T t +( N 1)t t，∀ ∈ >13
首先考察 时的情况，不妨设 ，
因为 ，又 为单元素集，
所以 .
再证 ，证明如下：
由 的定义可知： ， ，
所以
又由 的定义可知 ，
所以 ，
所以 .
若 ， 即 ，
则存在正整数 ，使得 ，
由于
所以 ，这与 矛盾.
所以 .
同理可证 ，
即数列 ，为等差数列. …………14 分
=2t 2 1x x>
2 1 2x x t− ≤ ( )T 2
2 1 2x x t− =
3 3 2t x x= −
3t 3 3 2t x x≥ − 3 1
3 2
x xt
−≥
3 1
3 3 2max 2
x xt x x ， − = −
2t 3 2 2 2 1=x x t x x− ≥ −
3 2 2 1 3 1
3 3 2 2 2=x x x x x xt x x
− + − −≥ − ≥
3 2 3x x t− =
3 2t t> 3 3 2 2t x x t= − >
( 4)m m ≥ 2 2( 2) mm t x x− = − (3)L L
2 1 2 3 2 3 4 3 1k k kx x t x x t x x x x t−− = ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤L L
2 1 1 2
3 3
( ) ( 2)
m m
m i i i
i i
x x x x t m t− −
= =
− = − ≥ > −∑ ∑ (3)
3 2t t=
2 3 4 5t t t t= = = =L
1 2 3 nA x x x xL L： ， ， ，， ，
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