1 俯视图
左视图主视图
2
2
22
昌平区 2020 年高三年级第二次统一练习
数 学 试 卷
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）2020.6
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合 ，则集合
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则实数
（A） （B） （C） （D）
（3）在 的展开式中， 的系数为
（A） （B） （C） （D）
（4）已知向量 ， .若 ，则实数 的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）设 ，则
（A） （B） （C） （D）
（6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
（A）
（B）
（C）
（D）
{ } { }2 1 , 2, 1,0,1,2A x x B= − < < = − − A B =
{0} { 1 0}− ， {0,1} { 1,0,1}−
i(i )a− ( 1 2)− ， a =
1 1− 2 2−
( )52x − 2x
40− 40 80− 80
( ,1)t=a (1,2)=b ⊥a b t
2− 2 1
2
− 1
2
0.3 0.512 , ( ) , ln 22a b c−= = =
c b a< < c a b< < a b c< < b a c< <
4
8
2 6
4 62
（7）已知点 是双曲线 的一条渐近线 上一点， 是双曲线
的右焦点，若△ 的面积为 ，则点 的横坐标为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数 ，则“函数 在 上单调递增”是“ ”
的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）点 在函数 的图象上.若满足到直线 的距离为 的点 有且仅有 3 个，
则实数 的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）一次数学考试共有 8 道判断题，每道题 5 分，满分 40 分.规定正确的画√，错误的画
╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则 m 的值为
（A） （B） （C） （D）
题号
学生
1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 ╳ √ ╳ √ ╳ ╳ √ ╳ 30
乙 ╳ ╳ √ √ √ ╳ ╳ √ 25
丙 √ ╳ ╳ ╳ √ √ √ ╳ 25
丁 ╳ √ ╳ √ √ ╳ √ √ m
P
2
2: 14
yC x − = ( 0)y kx k= > F
C OPF 5 P
5± 5 2 5± 2 5
( ) sin ( 0)f x xω ω= > ( )f x π 2π[ , ]6 3 0 2ω< ≤
P exy = y x a= + 2 P
a
2 2 2 3 3 4
35 30 25 203
E
D
CB
A
P
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
(11) 已知 ，则 的最小值为_________ .
（ 12 ） 设 是 等 差 数 列 ， 且 ， ， 则 数 列 的 前 n 项 和
．
（13）已知点 在抛物线 上，若以点 为圆心的圆与 轴和其准线 都相切，则
点 到其顶点 的距离为__ .
（14） 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称，
点 在角 的终边上.若 ， 则 ________ ； _____ .
（15）曲线 C: ,点 在曲线 上．给出下列三个结论：
①曲线 关于 轴对称；
②曲线 上的点的横坐标的取值范围是 ；
③若 , ，则存在点 ,使△ 的面积大于 .
其中，所有正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得
分，其他得 3 分。
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
在 中，
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ,求 的面积.
(17)（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 中点，________ ，求证：四边形 是直角梯形，并求直线
与平面 所成角的正弦值.
从① ；② 平面 这两个条件中选一个，补充在上 面 问 题
中，并完成解答；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
0
1a > 4+ 1a a −
{ }na 1 3a = 1 2n na a+ = − { }na
nS =
M 2 4y x= M x l
M O
xOy α β Ox
( , 1)M x − β 1sin 3
α = sin β = x =
2 2 2 2( 1) ( 1) 3x y x y+ + ⋅ − + = P C
C y
C [ 2,2]−
( 1,0)A − (1,0)B P PAB 3
2
ABC∆ 3 cos sin .a B b A=
B∠
2b = 2c a= ABC∆
P ABCD− PA ⊥ ABCD 2PA AD CD= = = 3BC =
2 3PC = E PB ABCD AE
PCD
CD BC⊥ //BC PAD4
频率/组距
小时/天0
0.32
a
0.18
0.1
0.050.030.02
1098765432
（18）（本小题 14 分）
为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，
各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生
积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高
三年级随机抽取了 100 名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分
别在 （单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率
分布直方图（如图）.
（Ⅰ）由图中数据求 的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天
居家自主学习和锻炼身体的总时间在 的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的 100 名学生该天居家自主学
习和锻炼身体的总时间在 和 的人中任选 3 人，求其中在 的人数
的分布列和数学期望；
（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的 100 名
学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结
论）
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 两点( 在
下方)，且 ．过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与 重合）．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值．
（20）（本小题 14 分）
[2,3) [3,4) [4,5) [8,9) [9,10)， ， ， ， ，
a
[5,6)
[2,3) 8,9[ ） [8,9) X
:M
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 5
5 M y ,A B A
| | 4AB = (0,1)G l M ,C D A
M
AC AD5
已知函数
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）求函数 的单调区间；
（III）当 时，比较 与 的大小.
（21）（本小题 14 分）
已知有限数列 ，从数列 中选取第 项、第 项、 、第 项 ，
顺次排列构成数列 ，其中 ， ，则称新数列 为 的长度为 的子
列．规定：数列 的任意一项都是 的长度为 1 的子列．若数列 的每一子列的所有
项的和都不相同，则称数列 为完全数列．
设数列 满足 .
（Ⅰ）判断下面数列 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列⑴： ；数列⑵： ．
（Ⅱ）数列 的子列 长度为 ，且 为完全数列，证明： 的最大值为 6；
（Ⅲ）数列 的子列 长度 ，且 为完全数列，求 的最大
值．
31( ) , .3f x x ax a a= − + ∈R
1a = ( )y f x= (01)，
( )y f x=
(0,2)x∈ ( )f x |1 |a− −
{ }na { }na 1i 2i … mi 1 2( )mi i i< ( )y f x= ( , )a−∞ − )a + ∞（ ，12
在 上单调递减.
（III）法一：由（Ⅱ）可知，
（1）当 时，函数 在 上单调递增；
所以当 时，
因为 ，
所以 . …………….10 分
（2）当 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
①当 ，即 时， .
所以当 时，
函数 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 . …………….11 分
②当 ，即 时， .
由上可知 ，
因为 ，
设 .
因为 ，
所以 在 上单调递增.
( , )a a−
0a ≤ ( )y f x= ∞ ∞( - , + )
(0,2)x∈ min ( ) (0) .f x f a> =
|1 | = (1 ) 1a a a− − − − = −
( ) |1 |f x a> − −
0a > ( )y f x= ( , )a−∞ − )a + ∞（ ，
( , )a a−
0 1a< ≤ 0 1a< ≤ |1 | 0a− − ≤
(0,2)x∈
( )y f x= (0, )a 2)a（ ，
min ( ) ( )f x f a=
31 ( ) +3 a a a a= −
2( +1) 03a a= − >
( ) |1 |f x a> − −
1 2a< < 1 4a< < |1 | =1 0a a− − − <
min ( ) ( )f x f a= 2( 1)3a a= − +
2 2( 1) (1 ) 2 13 3
a aa a a a− + − − = − −
2( ) 2 1,(1 4)3
x xg x x x= − − < <
'( ) 2 0g x x= − >
( )g x (1,4)13
所以 .
所以
所以 . …………….13 分
③当 ，即 时， .
因为函数 在 上单调递减，
所以当 时， .
所以 .
综上可知，当 时， . …………….14 分
（III）法二：
因为 ，
①当 时，
因为 ，
所以 .
所 以 . ……………10
分
②当 时，
因为 ，
所以 .
所以 .. 11 分
设 .
因为 ，
所以当 时， 或 ，
当 时， . …………….12 分
1( ) (1) 03g x g> = >
2 2( 1) (1 ) 2 1 03 3
a aa a a a− + − − = − − >
( ) |1 |f x a> − −
2a ≥ 4a ≥ |1 | =1 0a a− − − <
( )y f x= (0, )a
(0,2)x∈ min
8( ) (2) 13f x f a a= = − > −
( ) |1 |f x a> − −
(0,2)x∈ ( ) |1 |f x a> − −
( ) ( |1 |) ( ) |1 |f x a f x a− − − = + −
1a ≤
(0,2)x∈
ax x− ≥ −
3 31 1( ) |1 | = ( ) 1 1 13 3f x a f x a x ax x x+ − + − = − + > − +
1a >
( ) |1 | = ( ) 1f x a f x a+ − + − 3 31 12 1 (2 ) 13 3x ax a x a x= − + − = + − −
(0,2)x∈
(2 ) (2 )a x x− ≥ −
3 3 31 1 1( ) |1 | (2 ) 1 (2 ) 1 13 3 3f x a x a x x x x x+ − = + − − > + − − = − +
31( ) 13g x x x= − +
2'( ) 1 ( 1)( 1)g x x x x= − = + −
'( ) 0g x > 1x < − 1x >
'( ) 0g x < 1 1x− < − −
{ }na { }na
3,5,7,9,11 3+9=5+7=12 { }na
2,4,8,16 { }na
{ }kb 7m≥ 7m = 1 2 3 7b b b b< < <
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