南昌市第二次模拟测试卷
文科数学
本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉
原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．复数 ， ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
2．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知空间内两条不同的直线 a，b，则“ ”是“a 与 b 没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象关于原点对称，则 （ ）
A． B．1 C． D．
6．已知 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则角 A 等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知 、 为不共线的两个单位向量，且 在 上的投影为 ，则 （ ）
1 1 3z i= + 2 3z i= − 1 2z z z= ⋅ z =
3 2 3
{ }24A x y x= = − { }24B y y x= = − A B =
∅ [ ]2,2− [ ]0,2 { }2
/ /a b
( )
l
1
1n
1,
,
x xf x xx
− ≤= >
( ) 1f x >
( ),e +∞ ( )2,+∞ ( )1,e ( )2,e
( ) ( )x xf x e ae a R−= + ∈ ( )f a =
1 ee
− 1e e
− 1e e
+
ABC 2a c= sin 2cos2A C=
6
π
3
π
2
π 2
3
π
a b a b 1
2
− 2a b− = A． B． C． D．
8．直线 被圆 截得最大弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 的焦点为 F， 是抛物线上一点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为
B，若 ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19 世纪
末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水
管道在等高图上的垂直投影，在 A 处测得 B 处的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测
得 C 处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长为 50 米，则 B 点所在等高线值为（参考
数据 ）
A．30 米 B．50 米 C．60 米 D．70 米
12．已知函数 在区间 上有且仅有 2 个最小值点，下列判断：
① 在 上有 2 个最大值点；② 在 上最少 3 个零点，最多 4 个零点；
3 6 5 7
2 sin 0x yθ⋅ + = 2 2 2 5 2 0x y y+ − + =
2 5 2 3 2 2
( ) ln
x
xf x x
e
=
2: 4C y x= ( ),A AA x y
3
2AF BF= Ay =
3 2 4 2
3sin37 5
° =
( ) ( )sin 06f x x
πω ω = + >
( )0,π
( )f x ( )0,π ( )f x ( )0,π③ ；④ 在 上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ）
A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③
二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为________．
14．已知函数 ， ，则 的最小值为________．
15．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线的
渐近线的一个公共点为 P，若 ，则双曲线的离心率为________．
16．已知四棱锥 的底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， 平面 ABCD， ，E 为 PD 中
点，过 EB 作平面 分别与线段 PA、PC 交于点 M，N，且 ，则 ________，四边形 EMBN
的面积为________．
三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答；第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练．从若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理
由．
18 ．（ 12 分 ） 已 知 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 前 n 项 和 为 ， 且 满 足 ________ （ 从 ①
﹔② ， ， 成等比数列；⑧ ，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位
333, 7
ω ∈
( )f x 50, 33
π
1
3 1 0
y xy
x y
≥ −
− + ≥
z x y= +
( ) lnf x x= ( ) ( ) 1f a f b+ = a b+
1F 2F ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 21F F
1 22PF PF=
P ABCD− PD ⊥ 6PD =
α / /AC α PM
PA
=
{ }na ( )0d d ≠ nS
( )10 105 1S a= + 1a 2a 6a 5 35S =置，并根据你的选择解决问题）．
（Ⅰ）求 ﹔
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 n 项和 ．
19．（12 分）如图所示，四棱柱 ，底面 ABCD 是以 AB，CD 为底边的等腰梯形，且
， ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ABCD；
（Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积．
20．（12 分）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 a 的最大值．（e 为自然对数的底）
21．（12 分）已知椭圆 ，过点 的两条不同的直线与椭圆 E 分别相交于 A，B 和 C，
D 四点，其中 A 为椭圆 E 的右顶点．
（Ⅰ）求以 AB 为直径的圆的方程：
（Ⅱ）设以 AB 为直径的圆和以 CD 为直径的圆相交于 M，N 两点，探究直线 MN 是否经过定点，若经过定
点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E 顶点在坐标原点，焦点为 ．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求抛物线 E 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点 倾斜角为 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若 ，求 ．
23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲
na
1
2n nb = { }n na b nT
1 1 1 1ABCD A B C D−
2 4AB AD= = 60DAB∠ = ° 1AD D D⊥
1 1D DBB ⊥
1 1 2D D D B= = 1D CC B−
( ) ( )( )1xf X e x a a R= − ∈−
( )f x [ ]1,2
( ) af x e
≥
2 2
: 112 4
y xE + = ( )0, 2P −
( )1,0
( )3,2A α 2AN AM= tanα已知 ， ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）求证： ．
参考答案
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A A A C D D C D B A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．3 14． 15． 16． ；
三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 题-21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下：
从茎叶图中得出甲的中位数为 ，
而乙的中位数为 ； （茎叶图 3 分) 5 分
（Ⅱ） ，
，
，
， （均值各 1 分，方差各 1.5 分) 10 分
( ) 1 af x ax xx x
= − + − ( ) ( )2 2g x x a x a R= − − − ∈
1a = ( ) ( ) 3f x g x< +
( ) ( )f x g x≥
2 e 5
3
2
3 3 6
82 84 832
+ =
83 85 842
+ =
( )1 70 2 80 4 90 2 8 9 1 2 4 8 3 5 858x = × + × + × + + + + + + + + =甲
( )1 70 1 80 4 90 3 5 0 0 3 5 0 2 5 858x = × + × + × + + + + + + + + =乙
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 1 78 85 79 85 81 85 82 85 84 85 88 85 93 85 95 858S = − + − + − + − + − + − + − + − 甲
35.5=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 1 75 85 80 85 80 85 83 85 85 85 90 85 92 85 95 858S = − + − + − + − + − + − + − + − 乙
41=， ， 甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如
派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得 85 以上（含 85 分）的概率 ，乙获得 85 分
以上（含 85 分）的概率 ， ，所以派乙参赛比较合适． 12 分
18．【解析】（Ⅰ）①由 ，得 ，即 ；
②由 ， ， 成等比数列，得 ， ，即 ﹔
③由 ，得 ，即 ； （每个条件转化 1.5 分）
选择①②、①③、②③条件组合，均得 、 ，即 ﹔ 6 分
（Ⅱ） ，
，
两式相减得： ， 9 分
得 12 分
19．【解析】（Ⅰ） 中， ， ， ，得 ， 2 分
则 ，即 ， 4 分
而 ，故 平面 ，
又 面 ABCD，所以平面 平面 ABCD． 6 分
（Ⅱ）取 BD 的中点 O，由于 ，所以 ，
由（Ⅰ）可知平面 面 ABCD，故 面 ABCD．
因为 ， ，则 ，
因为 平面 ABCD， 9 分
所以
x x= 甲 乙 2 2s s
( )10 105 1S a= + ( )1 1
10 910 5 9 12a d a d
×+ = + + 1 1a =
1a 2a 6a 2
2 1 6a a a= 2 2 2
1 1 1 12 5a a d d a a d+ + = + 13d a=
5 35S = ( )1 5
3
5 5 352
a a a
+ = = 3 1 2 7a a d= + =
1 3a = 3d = 3 2na n= −
2 3 4
1 4 7 10 3 2
2 2 2 2 2n n
nT
−= + + + + +
2 3 4 5 1
1 1 4 7 10 3 5 3 2
2 2 2 2 2 2 2n n n
n nT +
− −= + + + + + +
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1 3 232 2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + + −
2 3 1 1
1 1 1 1 3 2 1 3 2 3 41 3 1 3 1 42 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n
n n nT − −
− − + = + + + + + − = + − − = −
ABD 4AB = 2AD = 60DAB∠ = ° 2 3BD =
2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥
1AD D D⊥ AD ⊥ 1 1D DBB
AD ⊂ 1 1D DBB ⊥
1 1D D D B= 1D O BD=
1 1D DBB ⊥ 1D O ⊥
1 2D D = 3DO = 1 1D O =
1 1 / /D C
1 1 1 1
1
3D CC B C DCB D DCB BCDV V V ODS− − −= ⋅= =
． 12 分
20．【解析】（Ⅰ） ， 时， ﹔ 时， ．
①当 时， 在 上单调递增；
②当 时， 在 上单调递减， 上递增；
③当 时， 在 的单调递减； （每段讨论 1.5 分) 6 分
（Ⅱ） ，即 ，
由（Ⅰ）知： 在 上递减，在 上递增，
则 ，即 ， 9 分
令 ， ，即 在 R 单调递增，
而 ， ，
所以 ，即 a 的最大值为 ． 12 分
21．【解析】（Ⅰ）由已知 ，则 ，故 AB 方程： ，
联立直线 AB 与椭圆方程，消去 y 可得： ，得 ，即 ，
从而以 AB 为直径的圆方程为： ，
即 ． 4 分
（Ⅱ）（1）当 CD 斜率存在时，并设 CD 方程： ，设 ，
由 ，消去 y 得： ，
1 1 1 3 3sin 2 23 2 6 2 3BC DC CBD ⋅ ∠= × = × × × =
( ) ( )xf x e x a′ = − ( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
1a ≤ ( )f x [ ]1,2
1 2a< < ( )f x [ ]1,a ( ],2a
2a ≥ ( )f x [ ]1,2
( ) ( )1 0x ag x e x a e
= − − − ≥ ( )min 0g x ≥
( )g x ( ),x a∈ −∞ ( ),x a∈ +∞
( ) ( )min 0g x g a= ≥ 1 0ae a+ + ≤
( ) 1xh x e x+= + ( ) 1 1 0xh x e +′ = + > ( ) 1xh x e x+= +
( ) 1 11 1 0h e− +− = − = ( ) ( )1 0 1ah a e a h+= + ≤ = −
1a ≤ − 1−
( )2,0A
( )0 2 12 0ABk
− −= =− 2y x= −
24 12 0y y+ = 3By = − ( )1, 3B − −
( )( ) ( )( )2 1 0 3 0x x y y− + + − + =
2 2 3 2 0x y x y+ − + − =
2y kx= − ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y
2 2
112 4
2
y x
y kx
+ =
= −
( )2 23 4 8 0k x kx+ − − =故 ， ，从而 ，
， 7 分
而以 CD 为直径的圆方程为： ，
即 ， ①
且以 AB 为直径的圆方程为 ， ②
将两式相减得直线 ，
即 ，
可得： ，两条直线互异，则 ，
即 ， 9 分
令 ，解得 ，即直线 MN 过定点 ； 10 分
（2）当 CD 斜率不存在时，CD 方程： ，知 ， ，
则以 CD 为直径的圆为 ，
而以 AB 为直径的圆方程 ，
两式相减得 MN 方程： ，过点 ；
综上所述，直线 MN 过定点 ． 12 分
22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线 E 的焦点为 ，所以标准方程为 ，
故极坐标方程为 ﹔ 4 分
（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 参数方程为 （t 为参数），
代入 ，化简得 ，
1 2 2
4
3
kx x k
+ = + 1 2
8
3x x k
−= + ( )1 2 1 2 2
124 3y y k x x k
−+ = + − = +
( )( ) ( ) ( )2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
12 1
2 2 2 4 3
k
y y kx kx k x x k x x k
−
= − − = − + + = +
( )( ) ( )( )1 2 1 2 0x x x x y y y y− − + − − =
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 0x y x x x y y y x x y y+ − + − + + + =
2 2 3 2 0x y x y+ − + − =
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2: 1 3 2 0MN x x x y y y x x y y+ − + + + − − − =
( ) ( ) ( )2 2 24 3 3 3 10 1 0k k x k y k− + − + − + − =
( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 10 1 0k k x k y k − + + + + − = 1k ≠
( ) ( )3 3 10 3 10 0x y y x k+ + + − + =
3 3 10 0
3 10 0
x y
y x
+ + =
− + =
0
10
3
x
y
= = −
100, 3
−
0x = ( )0, 2 3C − ( )0,2 3D
2 2 12x y+ =
2 2 3 2 0x y x y+ − + − =
3 10 0x y− − = 100, 3
−
100, 3
−
( )1,0 2 4y x=
2sin 4cos 0ρ θ θ− =
3 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= +
2 4y x= ( )2 2sin 4sin 4cos 8 0t tα α α+ − − =， ，
且 6 分
由 ，A 在 E 内部，知 ，
得 或 ，
所以，当 时，解得 ，
所以，当 时，解得 （每个结果 1.5 分）
所以 或 ． 10 分
23．【解析】（Ⅰ）当 时，不等式为 ，平方得 ，
则 ，得 ，即 或 ，
所以，所求不等式的解集 ； 5 分
（Ⅱ）因为
，
又 ，
所以，不等式 得证．
1 2 2
4sin 4cos
sint t
α α
α
− ++ = 1 2 2
8
sintt α= −⋅
( )2 24sin 4cos 32sin 0α α α∆ = − + >
2AN AM= 2 12t t= − 2
1 2 1 2
82 sint tt α= − = −⋅
1
2
2
sin
2
sin
t
t
α
α
=
= −
1
2
2
sin
4
sin
t
t
α
α
= −
=
1 2 2
4sin 4cos 2
sin sint t
α α
α α
− ++ = = − tan 2α =
1 2 2
4sin 4cos 2
sin sint t
α α
α α
− ++ = = 2tan 3
α =
tan 2α = 2tan 3
α =
1a = 12 3x x
− < 2
2
44 8 9x x
− + <
4 24 17 4 0x x− + < 21 44 x< < 12 2x− < < − 1 22 x< <
1 12, ,22 2
− −
( ) 1 1 11a af x ax x ax x a xx x x x x
= − + − ≥ − − − = − +
11 2 1a x ax
= − + ≥ −
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1g x x a x x a x a= − − − ≤ − − − = −
( ) ( )f x g x≥
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