浙江省嘉兴市2020届高三5月高考数学模拟试卷 （解析版）

2020 年嘉兴市高考数学模拟试卷（5 月份） 一、选择题（共 10 小题）. 1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，则（∁UA）∩ （∁UB）等于（  ） A．{1，2，3} B．{4，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．{7，8} 2．双曲线푥2 2 ― 푦2 4 = 1 的渐近线方程为（  ） A．y＝±2x B．y＝± ퟐx C．y＝±1 2x D．y＝± 2 2 x 3．复数 1 1 ― 푖（i 为虚数单位）的共轭复数是（  ） A．1 2 ― 1 2풊 B．1﹣i C．1 2 + 1 2풊 D．1+i 4．已知 m，n 表示两条不同的直线，α 表示平面，则下列说法正确的是（  ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α 5．已知 a，b∈R，则“a＝1”是“直线 ax+y﹣1＝0 和直线 x+（a2﹣2）y﹣1＝0 垂直”的 （  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若直线 y＝2x 上不存在点（x，y）的坐标满足条件{풙 + 풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙 ― ퟐ풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙＞풎， 则实数 m 的最小值 为（  ） A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 7．已知数列{an}，满足 a1＝a 且풂풏+ퟏ = {1 2풂풏，풏 = ퟐ풌 ― ퟏ，풌 ∈ 푵∗， ퟐ풂풏，풏 = ퟐ풌，풌 ∈ 푵∗． 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 S2020＝1，则 a 的值为（  ） A． 1 3030 B． 1 2020 C． 1 1515 D．1 8．分别将椭圆 C1 的长轴、短轴和双曲线 C3 的实轴、虚轴都增加 m 个单位长度（m＞0）， 得到椭圆 C2 和双曲线 C4．记椭圆 C1，C2 和双曲线 C3，C4 的离心率分别是 e1，e2，e3， e4，则（  ） A．e1＞e2，e3＜e4 B．e1＞e2，e3 与 e4 的大小关系不确定 C．e1＜e2，e3＞e4 D．e1＜e2，e3 与 e4 的大小关系不确定 9．将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角的大小 为휋 3，若点 E，F 分别是线段 AC 和 BD 上的动点，则 → 푩푬 ⋅ → 푪푭的取值范围为（  ） A．[﹣1，0] B．[ ― ퟏ， 1 4] C．[ ― 1 2，ퟎ] D．[ ― 1 2， 1 4] 10．设函数 f（x）＝lnx+cosx 的极值点从小到大依次为 a1，a2，a3，…，an，…，若 cn＝an+1 ﹣an，dn＝f（an+1）﹣f（an），则下列命题中正确的个数有（  ） （1）数列{cn}为单调递增数列 （2）数列{dn}为单调递减数列 （3）存在常数 λ∈R，使得对任意正实数 t，总存在풏ퟎ ∈ 푵∗，当 n＞n0 时，恒有|cn﹣λ|＜t （4）存在常数 μ∈R，使得对任意正实数 t，总存在풏ퟎ ∈ 푵∗，当 n＞n0 时，恒有|dn﹣μ|＜t A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．已知函数풇(풙) = ퟐ풔풊풏(ퟐ풙 ― 휋 3)，则其最小正周期 T＝   ，풇( 휋 3) =    ． 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共 有   个，该几何体的体积是   cm3． 13．二项式(풙ퟑ + 1 푥)ퟒ的展开式中，常数项为   ，所有项的系数之和为   ． 14．已知随机变量 ξ 的分布列如表： ξ 1 2 3 P 1 2 a2 푎 2 则 a＝   ，方差 D（ξ）＝   ． 15．将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，若 A，B，C 均互不相邻且 A，B 在 C 的 同一侧，则不同的排法有   种．（用数字作答） 16 ． 已 知 函 数 풇(풙) = {풍풏풙，풙＞ퟎ， ( 1 2)풙 ― ퟐ，풙 ≤ ퟎ，若 f （ f （ a ） ） ≤ 0 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为   ． 17．四面体 P﹣ABC 中，푷푨 = ퟑ，其余棱长都为 2，动点 Q 在△ABC 的内部（含边界）， 设∠PAQ＝α，二面角 P﹣BC﹣A 的平面角的大小为 β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为 S1，S2，且满足 푆1 푆2 = 3푠푖푛훼 4푠푖푛훽，则 S2 的最大值为   ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ퟑ풂풔풊풏푩 ― 풃풄풐풔푨 = ퟎ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a＝1，求 ퟑ풃 ― 풄的取值范围． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PA＝PB＝2，若 点 E，F 分别为 AB 和 CD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 ABCD⊥平面 PEF； （Ⅱ）若二面角 P﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 3 6 ，求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦 值． 20．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且푺풏 = 푛2 + 푛 2 ．公比大于 0 的等比数列{bn}的首项为 b1 ＝1，且 b2+b3＝20． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）若풄풏 = (푎푛)2 푏푛 ，求证：풄ퟏ + 풄ퟐ + 풄ퟑ +⋯ + 풄풏＜ 7 2，（n∈N*）． 21．设点 P（s，t）为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上的动点，F 是抛物线的焦点，当 s＝1 时，|푷푭| = 5 4． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）过点 P 作圆 M：（x﹣2）2+y2＝1 的切线 l1，l2，分别交抛物线 C 于点 A，B．当 t＞1 时，求△PAB 面积的最小值． 22．定义两个函数的关系：函数 m（x），n（x）的定义域分别为 A，B，若对任意的 x1∈A，总存在 x2∈B，使得 m（x1）＝n（x2），我们就称函数 m（x）为 n（x）的“子函 数”．已知函数풇(풙) = 풙 + ퟏ ― 3 4풍풏 푥 3，g（x）＝x4+ax3+bx2+ax+3，a，b∈R． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）为 g（x）的一个“子函数”，求 a2+b2 的最小值． 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，则（∁UA）∩ （∁UB）等于（  ） A．{1，2，3} B．{4，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．{7，8} 【分析】由补集的运算求出∁UA，∁UB，再由交集的运算求出结果． 解：由已知：∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，7，8}， ∴（∁UA）∩（∁UB）＝{7，8}， 故选：D． 【点评】本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题． 2．双曲线푥2 2 ― 푦2 4 = 1 的渐近线方程为（  ） A．y＝±2x B．y＝± ퟐx C．y＝±1 2x D．y＝± 2 2 x 【分析】由双曲线的渐近线方程 y＝± 2 2x 即可得到答案． 解：∵双曲线方程为푥2 2 ― 푦2 4 = ퟏ， ∴其渐近线方程为：y＝± 2 2x＝± ퟐx， 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题． 3．复数 1 1 ― 푖（i 为虚数单位）的共轭复数是（  ） A．1 2 ― 1 2풊 B．1﹣i C．1 2 + 1 2풊 D．1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解：∵ 1 1 ― 푖 = 1 × (1 + 푖) (1 ― 푖)(1 + 푖) = 1 2 + 1 2풊， ∴复数 1 1 ― 푖的共轭复数是1 2 ― 1 2풊． 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4．已知 m，n 表示两条不同的直线，α 表示平面，则下列说法正确的是（  ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α 【分析】根据空间线面位置关系的性质与判定举反例进行说明即可． 解：对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行，可能相交，可能异面，故 A 错误； 对于 B，若 m∥α，m⊥n，则 n 与 α 可能平行，可能相交，有可能 n 在平面 α 内，故 B 错误． 对于 C，由项目垂直的性质定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知 C 正确； 对于 D，若 m⊥α，m⊥n，则当 n⊂α 时，显然结论错误，故 D 错误；故选：C． 【点评】本题考查了空间线面位置关系的性质与判定，属于中档题． 5．已知 a，b∈R，则“a＝1”是“直线 ax+y﹣1＝0 和直线 x+（a2﹣2）y﹣1＝0 垂直”的 （  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直线 ax+y﹣1＝0 和直线 x+（a2﹣2）y﹣1＝0 垂直，可得：a+a2﹣2＝0，解得 a．即可判断出关系． 解：直线 ax+y﹣1＝0 和直线 x+（a2﹣2）y﹣1＝0 垂直，可得：a+a2﹣2＝0，解得 a＝1 或﹣2． ∴“a＝1”是“直线 ax+y﹣1＝0 和直线 x+（a2﹣2）y﹣1＝0 垂直”的充分不必要条 件． 故选：A． 【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题． 6．若直线 y＝2x 上不存在点（x，y）的坐标满足条件{풙 + 풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙 ― ퟐ풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙＞풎， 则实数 m 的最小值 为（  ） A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 【分析】根据{풚 = ퟐ풙 풙 + 풚 ― ퟑ = ퟎ，确定交点坐标为（1，2）要使直线 y＝2x 上存在点（x， y）满足约束条件{풙 + 풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙 ― ퟐ풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙＞풎， 则 m≤1，由此可得结论． 解：由题意，{풚 = ퟐ풙 풙 + 풚 ― ퟑ = ퟎ，可求得交点坐标为（1，2） 要使直线 y＝2x 上存在点（x，y）满足约束条件{풙 + 풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙 ― ퟐ풚 ― ퟑ＜ퟎ， 풙＞풎， ，如图所示．可得 m≤ 1 ∴实数 m 的最大值为 1 故选：B． 【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题． 7．已知数列{an}，满足 a1＝a 且풂풏+ퟏ = {1 2풂풏，풏 = ퟐ풌 ― ퟏ，풌 ∈ 푵∗， ퟐ풂풏，풏 = ퟐ풌，풌 ∈ 푵∗． 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 S2020＝1，则 a 的值为（  ） A． 1 3030 B． 1 2020 C． 1 1515 D．1 【分析】根据数列的递推关系得到数列{an}的奇数项均为 a；偶数项均为：1 2a；再结合 S2020 ＝1 即可求解结论． 解：因为数列{an}，满足 a1＝a 且풂풏+ퟏ = {1 2풂풏，풏 = ퟐ풌 ― ퟏ，풌 ∈ 푵∗， ퟐ풂풏，풏 = ퟐ풌，풌 ∈ 푵∗． 则 a2＝a1+1 = 1 2a1 = 1 2a； a3＝a2+1＝2a2＝a； a4＝a3+1 = 1 2a3 = 1 2a； … 即数列{an}的奇数项均为 a；偶数项均为：1 2a； 故 S2020＝1010a+1010 × 1 2a＝1⇒a = 1 1515． 故选：C． 【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，根据递推关系式求出其规律是解题关 键． 8．分别将椭圆 C1 的长轴、短轴和双曲线 C3 的实轴、虚轴都增加 m 个单位长度（m＞0）， 得到椭圆 C2 和双曲线 C4．记椭圆 C1，C2 和双曲线 C3，C4 的离心率分别是 e1，e2，e3， e4，则（  ） A．e1＞e2，e3＜e4 B．e1＞e2，e3 与 e4 的大小关系不确定 C．e1＜e2，e3＞e4 D．e1＜e2，e3 与 e4 的大小关系不确定 【分析】分别求出原椭圆与双曲线的离心率，再求出轴变化后的离心率，结合不等式的 性质比较大小即可． 解：设椭圆 C1 的长轴、短轴分别为 2a，2b，则其半焦距풄ퟏ = 풂ퟐ ― 풃ퟐ， ∴其离心率풆ퟏ = 푐1 푎 = ퟏ ― ( 푏 푎)ퟐ，其长轴与短轴各增加 m 个单位长度， 则椭圆 C2 的长半轴为 a + 푚 2，短半轴为 b + 푚 2，则풄ퟐ = (풂 + 푚 2)ퟐ ― (풃 + 푚 2)ퟐ， 其离心率풆ퟐ = 푐2 푎 + 푚 2 = ퟏ ― ( 푏 + 푚 2 푎 + 푚 2 )ퟐ， 由不等式的性质可得푏 푎＜ 푏 + 푚 2 푎 + 푚 2 ，则 e1＞e2； 双曲线 C3 的实轴、虚轴分别为 2a，2b，则其半焦距풄ퟑ = 풂ퟐ + 풃ퟐ， ∴其离心率풆ퟑ = 푐3 푎 = ퟏ + ( 푏 푎)ퟐ，其实轴、虚轴都增加 m 个单位长度， 则双曲线 C4 的实半轴长为 a + 푚 2，虚半轴为 b + 푚 2，则풄ퟒ = (풂 + 푚 2)ퟐ + (풃 + 푚 2)ퟐ， 其离心率풆ퟒ = 푐4 푎 + 푚 2 = ퟏ + ( 푏 + 푚 2 푎 + 푚 2 )ퟐ， 由不等式的性质可得由于双曲线中 a，b 的关系不确定， 若 b＜a，则푏 푎＜ 푏 + 푚 2 푎 + 푚 2 ，则 e3＜e4． 若 b＞a，同理可得 e3＞e4． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题． 9．将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角的大小 为휋 3，若点 E，F 分别是线段 AC 和 BD 上的动点，则 → 푩푬 ⋅ → 푪푭的取值范围为（  ） A．[﹣1，0] B．[ ― ퟏ， 1 4] C．[ ― 1 2，ퟎ] D．[ ― 1 2， 1 4] 【分析】推导出 → 푩푬 ⋅ → 푩푪 = （ → 푩푶 + → 푶푬）•（ → 푪푶 + → 푶푭） = → 푩푶 ⋅ → 푪푶 + → 푩푶 ⋅ → 푶푭 + → 푶푬 ⋅ → 푪푶 + → 푶푬 ⋅ → 푶푭 = ― （ → 푶푩 ⋅ → 푶푭 + → 푶푬 ⋅ → 푶푪），由此能求出 → 푩푬 ⋅ → 푪푭的值． 解：如图， → 푩푬 ⋅ → 푩푪 = （ → 푩푶 + → 푶푬）•（ → 푪푶 + → 푶푭） = → 푩푶 ⋅ → 푪푶 + → 푩푶 ⋅ → 푶푭 + → 푶푬 ⋅ → 푪푶 + → 푶푬 ⋅ → 푶푭 ＝0﹣（ → 푶푩 ⋅ → 푶푭 + → 푶푬 ⋅ → 푶푪）+0 ＝﹣（ → 푶푩 ⋅ → 푶푭 + → 푶푬 ⋅ → 푶푪）， ∵푶푩 = 푶푫 = 2 2 ，∴ → 푶푩 ⋅ → 푶푭∈[ ― 1 2， 1 2]， ∵OC＝OA = 2 2 ，二面角 A﹣BD﹣C 的平面角的大小为휋 3， ∴ → 푶푬 ⋅ → 푶푪∈[ 1 4， 1 2]， ∴ → 푩푬 ⋅ → 푪푭∈[﹣1，1 4]． 故选：B． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量 的数量积关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题． 10．设函数 f（x）＝lnx+cosx 的极值点从小到大依次为 a1，a2，a3，…，an，…，若 cn＝an+1 ﹣an，dn＝f（an+1）﹣f（an），则下列命题中正确的个数有（  ） （1）数列{cn}为单调递增数列 （2）数列{dn}为单调递减数列 （3）存在常数 λ∈R，使得对任意正实数 t，总存在풏ퟎ ∈ 푵∗，当 n＞n0 时，恒有|cn﹣λ|＜t （4）存在常数 μ∈R，使得对任意正实数 t，总存在풏ퟎ ∈ 푵∗，当 n＞n0 时，恒有|dn﹣μ|＜t A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】求出函数 f（x）的导函数，在同一坐标系内作出函数 y = 1 푥与 y＝sinx 的图象， 可得极值点的情况，得到 c1＜c2，c2＞c3，故（1）错误；再由풍풊풎 풏→∞(풄풏 ―흅) = ퟎ，判断 （3）正确；作出 f（x）＝lnx+cosx 的图象的大致形状，可得 d1＜0，d2＞0，d3＜0，判 断（2）错误；再由 dn＝lnan+1﹣lnan+cosan+1﹣cosan = 풍풏 푎푛+1 푎푛 +풄풐풔풂풏+ퟏ ―풄풐풔풂풏，结合풍풊풎 풏→∞ 푎푛+1 푎푛 = ퟎ，cosan+1﹣cosan→2（或﹣2），判断（4）错误． 解：由 f（x）＝lnx+cosx，得 f′（x） = 1 푥 ―풔풊풏풙， 分别作出函数 y = 1 푥与 y＝sinx 的图象如图， ∵c1＝a2﹣a1，c2＝a3﹣a2，c3＝a4﹣a3， ∴c1＜c2，c2＞c3，故（1）错误； 풍풊풎 풏→∞(풄풏 ―흅) = ퟎ，故（3）正确； 函数 f（x）＝lnx+cosx 的图象如图， ∵d1＜0，d2＞0，d3＜0，∴（2）错误； dn＝lnan+1﹣lnan+cosan+1﹣cosan = 풍풏 푎푛+1 푎푛 +풄풐풔풂풏+ퟏ ―풄풐풔풂풏． ∵풍풊풎 풏→∞ 푎푛+1 푎푛 = ퟎ，cosan+1﹣cosan→2（或﹣2），∴（4）错误． 综上，仅有（3）正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题的真假判断，其中涉及到数列的增减性，函数的求导以及对函数 极值点的理解，考查数形结合的解题思想方法，难度较大． 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．已知函数풇(풙) = ퟐ풔풊풏(ퟐ풙 ― 휋 3)，则其最小正周期 T＝ π ，풇( 휋 3) =   ퟑ ． 【分析】根据三角函数的周期公式以及三角函数的关系进行化简计算即可． 解：由三角函数的周期公式得函数的周期 T = 2휋 2 = π， f（휋 3）＝2sin（2휋 3 ― 휋 3）＝2sin 휋 3 = 2 × 3 2 = ퟑ， 故答案为：π， ퟑ． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的周期以及三角公式是解 决本题的关键．比较基础． 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共 有 3 个，该几何体的体积是 2 cm3． 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和直角三角形的个数． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体． 如图所示： 所以该几何体中有三个直角三角形，△ABE，△ADE，△ABC． 该几何体的体积为 V = 1 3 × 1 2(ퟏ + ퟐ) × ퟐ × ퟐ = ퟐ． 故答案为：3；2 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13．二项式(풙ퟑ + 1 푥)ퟒ的展开式中，常数项为 4 ，所有项的系数之和为 16 ． 【分析】写出展开式的通项，令 x 的指数为 0，求出常数项；利用赋值法，令 x＝1，可 得所有项系数之和． 解：展开式的通项为：푻풌+ퟏ = 푪풌ퟒ(풙ퟑ)ퟒ―풌풙―풌 = 푪풌ퟒ풙ퟏퟐ―ퟒ풌， 令 12﹣4k＝0 得，k＝3，故常数项为푪ퟑퟒ = ퟒ． 对原式，令 x＝1，得所有项系数和 24＝16． 故答案为：4，16 【点评】本题考查二项展开式的通项以及赋值法研究系数的问题，同时考查学生运用转 化思想解决问题的能力，要注意计算的准确性．属于基础题． 14．已知随机变量 ξ 的分布列如表： ξ 1 2 3 P 1 2 a2 푎 2 则 a＝ 1 2 ，方差 D（ξ）＝ 11 16 ． 【分析】利用分布列的性质，求解 a，求出期望，然后求解方差即可． 解：由题意可知：1 2 + 풂ퟐ + 푎 2 = ퟏ，a∈（0，1），解得 a = 1 2， 所以：Eξ = ퟏ × 1 2 +ퟐ × 1 4 +ퟑ × 1 4 = 7 4． D（ξ）＝（1 ― 7 4）2 × 1 2 + （2 ― 7 4）2 × 1 4 + （3 ― 7 4）2 × 1 4 = 11 16． 故答案为：1 2；11 16． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望与方差的求法，是基本知识 的考查． 15．将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，若 A，B，C 均互不相邻且 A，B 在 C 的 同一侧，则不同的排法有 96 种．（用数字作答） 【分析】先排 D、E、F，再利用插空法排 A，B，C 且 C 只能插在 A、B 的同侧，根据 乘法原理计算出结果． 解：先排 D、E、F，有 Aퟑ ퟑ种排法；再利用插空法排 A，B，C 且 C 只能插在 A、B 的同 侧，有 Cퟑ ퟒCퟏ ퟐAퟐ ퟐ种排法； 所以有 Aퟑ ퟑCퟑ ퟒCퟏ ퟐAퟐ ퟐ = 96 种排法． 故填：96． 【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理的应用，属于基础题． 16．已知函数풇(풙) = {풍풏풙，풙＞ퟎ， ( 1 2)풙 ― ퟐ，풙 ≤ ퟎ，若 f（f（a））≤0，则实数 a 的取值范围为 [﹣ log23，0]∪[ 1 푒，e] ． 【分析】根据题意，根据 a 的取值范围分 4 种情况讨论①a＜﹣1，②﹣1≤a≤0，③0＜ a≤1，④a＞1，每种情况下求出 f（f（a））的解析式，结合指数对数不等式的解法求 出 a 的取值范围，综合 4 种情况即可得答案． 解：根据题意，分 4 种情况讨论： ①当 a＜﹣1 时，f（a）＝（1 2）a﹣2＞0，此时 f（f（a））＝ln（（1 2）a﹣2）， 若 f（f（a））≤0，即 ln（（1 2）a﹣2）≤0，则有 0＜（1 2）a﹣2≤1， 解可得：﹣log23≤a＜﹣1； ②当﹣1≤a≤0 时，f（a）＝（1 2）a﹣2≤0，此时 f（f（a）） = ( 1 2) ( 1 2)풂―ퟐ ―ퟐ， 若 f（f（a））≤0，即( 1 2) ( 1 2)풂―ퟐ ―ퟐ ≤ 0，则有（1 2）a≤2， 解可得：﹣1≤a≤0； ③当 0＜a≤1 时，f（a）＝lna≤0，此时 f（f（a））＝（1 2）lna﹣2， 若 f（f（a））≤0，即（1 2）lna﹣2≤0，解可得1 푒 ≤ a≤1， ④当 a＞1 时，f（a）＝lna＞0，此时 f（f（a））＝ln（lna）， 若 f（f（a））≤0，即 ln（lna）≤0，则有 0＜lna≤1， 解可得：1＜a≤e， 综合可得：﹣log23≤a＜0 或1 푒 ≤ a≤e，即 a 的取值范围为[﹣log23，0]∪[ 1 푒，e]； 故答案为：[﹣log23，0]∪[ 1 푒，e]． 【点评】本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，属于基础题． 17．四面体 P﹣ABC 中，푷푨 = ퟑ，其余棱长都为 2，动点 Q 在△ABC 的内部（含边界）， 设∠PAQ＝α，二面角 P﹣BC﹣A 的平面角的大小为 β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为 S1，S2，且满足 푆1 푆2 = 3푠푖푛훼 4푠푖푛훽，则 S2 的最大值为 4 ퟑ ― 6 ． 【分析】面体 P﹣ABC 中，푷푨 = ퟑ，其余棱长都为 2，取 BC 的中点 D，连接 PD， AD，则 PD⊥BC，AD⊥BC，故∠BDA 为二面角 P﹣BC﹣A 的平面角 β，求出 β，设 Q 到 BC 的距离为 h，根据面积之比，求出 AQ＝h， 得到 Q 的轨迹方程，与直线联立求出 AB 与圆弧的交点，得到 h 的最大值，再求出 S2 面 积的最大值． 解：四面体 P﹣ABC 中，푷푨 = ퟑ，其余棱长都为 2， 取 BC 的中点 D，连接 PD，AD，则 PD⊥BC，AD⊥BC， 故∠BDA 为二面角 P﹣BC﹣A 的平面角 β， 因为等边三角形 PBC，ABC，故 PD＝AD = ퟑ = PA， 故 β＝60°， 设 Q 到 BC 的距离为 h， 则 푆1 푆2 = 1 2퐴푃 ⋅ 퐴푄푠푖푛훼 1 2퐵퐶 ⋅ ℎ = 3푠푖푛훼 4푠푖푛훽， 化简得，AQ＝h， 故点 Q 的轨迹为以点 A 为焦点，以 BC 为准线的抛物线在三角形 ABC 内部的一段弧， 如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为풚ퟐ = ퟐ ퟑ풙，A（0， 3 2 ）， 直线 AB 的方程为：풚 = ― 3 3 (풙 ― 3 2 )， 由{풚ퟐ = ퟐ ퟑ풙 풚 = ― 3 2 (풙 ― 3 2 )，得풙ퟐ ―ퟕ ퟑ풙 + 3 4 = ퟎ， 故圆弧与 AB 的交点横坐标为 x = 7 3 ― 12 2 ， 则 Q 到 BC 的最大距离 h = 7 3 ― 12 2 + 3 2 = ퟒ ퟑ ―ퟔ， 故 S2 的最大值为1 2 ⋅ ퟐ ⋅ (ퟒ ퟑ ―ퟔ) = ퟒ ퟑ ―ퟔ． 故答案为：4 ퟑ ― 6． 【点评】本题考查二面角，动点的轨迹方程，求面积的最大值等，考查运算能力和应用 能力，中档题． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ퟑ풂풔풊풏푩 ― 풃풄풐풔푨 = ퟎ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a＝1，求 ퟑ풃 ― 풄的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，结合 sinB＞0，利用同角三角函数基本关系 式可求 tanA = 3 3 ，结合范围 A∈（0，π），可求 A 的值． （Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 ퟑ풃 ― 풄 = 2sin（B ― 휋 6），由范围 B ∈ (ퟎ， 5휋 6 )，可得 B ― 휋 6∈（ ― 휋 6，2휋 3 ），利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范 围． 解：（Ⅰ）∵ ퟑ풂풔풊풏푩 ― 풃풄풐풔푨 = ퟎ，即 ퟑasinB＝bcosA， ∴由正弦定理可得 ퟑsinAsinB＝sinBcosA， ∵sinB＞0， ∴ ퟑsinA＝cosA，即 tanA = 3 3 ， ∵A∈（0，π）， ∴A = 휋 6； （Ⅱ）∵A = 휋 6，a＝1， ∴由正弦定理 푏 푠푖푛퐵 = 푐 푠푖푛퐶 = 1 푠푖푛휋 6 = 2，可得 b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（5휋 6 ― B）， ∴ ퟑ풃 ― 풄 = 2 ퟑsinB﹣2sin（5휋 6 ― B）＝2 ퟑsinB﹣2（1 2풄풐풔푩 + 3 2 sinB） = ퟑsinB﹣ cosB＝2sin（B ― 휋 6）， ∵B ∈ (ퟎ， 5휋 6 )，B ― 휋 6∈（ ― 휋 6，2휋 3 ）， ∴sin（B ― 휋 6）∈（ ― 1 2，1]， ∴可得 ퟑ풃 ― 풄 = 2sin（B ― 휋 6）∈（﹣1，2]． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质， 考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PA＝PB＝2，若 点 E，F 分别为 AB 和 CD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 ABCD⊥平面 PEF； （Ⅱ）若二面角 P﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 3 6 ，求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦 值． 【分析】（Ⅰ）利用线面垂直，将问题转化为证 AB 与平面 PEF 垂直的问题； （Ⅱ）先利用二面角 P﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 3 6 ，求出 OP，然后利用空间直角 坐标系，将问题转化为 → 푷푪与平面 PAB 法向量夹角的问题求解． 解：（Ⅰ）∵PA＝PB，∴AB⊥PE． 而 AB⊥EF，所以 AB⊥平面 PEF，又 AB⊂平面 PEF， 所以平面 ABCD⊥平面 PEF． （Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，∠PEF 即为二面角 P﹣AB﹣C 的平面角． 如图，作 PO⊥EF 于 O，则푂퐸 푃퐸 = 푂퐸 3 = 3 6 ， ∴푶푬 = 1 2，푶푭 = 3 2，则푶푷 = 11 2 ． 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 푷(ퟎ，ퟎ， 11 2 )，푪(ퟏ， 3 2，ퟎ)，푨( ― ퟏ， ― 1 2 ，ퟎ)，푩(ퟏ， ― 1 2，ퟎ)． 设平面 PAB 的法向量为→ 풏 = (풙，풚，풛)，则{→ 풏 ⋅ → 푷푩 = ퟎ → 풏 ⋅ → 푨푩 = ퟎ ，则{풙 ― 1 2풚 ― 11 2 = ퟎ ퟐ풙 = ퟎ ， 令 z＝1，则풙 = ퟎ，풚 = ― ퟏퟏ，풛 = ퟏ，∴→ 풏 = (ퟎ， ― ퟏퟏ，ퟏ)， → 푷푪 = (ퟏ， 3 2， ― 11 2 )， ∴풔풊풏휽 = |풄풐풔＜→ 풏， → 푷푪＞| = | → 푛 ⋅ → 푃퐶 | → 푛|| → 푃퐶| | = | 2 11 12 ⋅ 6| = 22 6 ． 故 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 22 6 ． 【点评】本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题．主要是运用转化思想实现 空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间 的夹角问题求解．属于中档题． 20．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且푺풏 = 푛2 + 푛 2 ．公比大于 0 的等比数列{bn}的首项为 b1 ＝1，且 b2+b3＝20． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）若풄풏 = (푎푛)2 푏푛 ，求证：풄ퟏ + 풄ퟐ + 풄ퟑ +⋯ + 풄풏＜ 7 2，（n∈N*）． 【分析】第（Ⅰ）题对于数列{an}运用公式 an = {푺ퟏ，풏 = ퟏ 푺풏 ― 푺풏―ퟏ，풏 ≥ ퟐ可计算出数列{an}的 通项公式，对于数列{bn}可设等比数列{bn}的公比为 q（q＞0），然后根据已知条件可写 出关于 q 的一元二次方程，解出 q 的值，即可得到等比数列{bn}的通项公式； 第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{cn}的通项公式，然后计算出当 n≥2 时， 푐푛+1 푐푛 关于 n 的表达式并进行放缩，进一步可将数列{cn}放缩到一个等比数列 cn≤（ 9 16）n﹣ 2，注意 n＝1 时要另外计算，再在求和时放缩成等比数列求和的性质，计算出结果并加 以放缩可证明不等式成立． 【解答】（Ⅰ）解：由题意，当 n＝1 时，a1＝S1 = 12 + 1 2 = 1， 当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1 = 푛2 + 푛 2 ― (푛 ― 1)2 + (푛 ― 1) 2 = n， ∵当 n＝1 时，a1＝1 也满足上式， ∴an＝n，n∈N*． 设等比数列{bn}的公比为 q（q＞0），则 b2＝b1q＝q，b3＝b1q2＝q2， 故 b2+b3＝q+q2＝20， 整理，得 q2+q﹣20＝0， 解得 q＝﹣5（舍去），或 q＝4， ∴bn＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，풄풏 = (푎푛)2 푏푛 = 푛2 4푛―1， 当 n≥2 时， 푐푛+1 푐푛 = (푛 + 1)2 4푛 푛2 4푛―1 = (푛 + 1)2 4푛2 = (1 + 1 푛)2 4 ≤ 9 16， 即 cn+1 ≤ 9 16cn， ∵c1＝c2＝1，c3 = 9 16， ∴当 n≥2 时，cn≤（ 9 16）n﹣2， ∴c1+c2+c3+…+cn ≤1+1 + 9 16 + （ 9 16）2+…+（ 9 16）n﹣2， ＝1 + 1 ― ( 9 16)푛―1 1 ― 9 16 ＝1 + 16 7 [1﹣（ 9 16）n﹣1] ＜1 + 16 7 = 23 7 ＜ 7 2． ∴풄ퟏ + 풄ퟐ + 풄ퟑ +⋯ + 풄풏＜ 7 2，（n∈N*）． 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及数列求和的不等式证 明问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的运算能 力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题． 21．设点 P（s，t）为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上的动点，F 是抛物线的焦点，当 s＝1 时，|푷푭| = 5 4． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）过点 P 作圆 M：（x﹣2）2+y2＝1 的切线 l1，l2，分别交抛物线 C 于点 A，B．当 t＞1 时，求△PAB 面积的最小值． 【分析】（Ⅰ）当 s＝1 时，|푷푭| = 5 4，由抛物线的焦半径公式可得 1 + 푝 2 = 5 4，得 p = 1 2， 则抛物线方程可求； （Ⅱ）由点 P（s，t）为抛物线 C：y2＝x 上的动点，得 t2＝s，可设过点 P（t2，t）的切 线为 x＝m（y﹣t）+t2，利用圆心到直线的距离等于半径可得|2 + 푚푡 ― 푡2| 1 + 푚2 = ퟏ，得（t2﹣ 1）m2+2t（2﹣t2）m+（2﹣t2）2﹣1＝0，由根与系数的关系得풎ퟏ + 풎ퟐ = 2푡(푡2 ― 2) 푡2 ― 1 ，풎ퟏ 풎ퟐ = 풕ퟐ ―ퟑ．设 A（풚ퟏ ퟐ，풚ퟏ），B（풚ퟐ ퟐ，풚ퟐ），则直线 l1：풙 = 풎ퟏ(풚 ― 풕) + 풕ퟐ，与抛物 线方程联立，再由根与系数的关系可得풕풚ퟏ = 풎ퟏ풕 ― 풕ퟐ，即 y1＝m1﹣t，同理 y2＝m2﹣t， 再设直线 AB：x＝（y1+y2）y﹣y1y2，利用弦长公式求弦长，由点到直线的距离公式求 P 到直线 AB 的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式与二次函数求最值． 解：（Ⅰ）当 s＝1 时，|푷푭| = 5 4，即 1 + 푝 2 = 5 4，得 p = 1 2． ∴抛物线 C 的方程为 y2＝x； （Ⅱ）点 P（s，t）为抛物线 C：y2＝x 上的动点，则 t2＝s， 设过点 P（t2，t）的切线为 x＝m（y﹣t）+t2， 则|2 + 푚푡 ― 푡2| 1 + 푚2 = ퟏ，得（t2﹣1）m2+2t（2﹣t2）m+（2﹣t2）2﹣1＝0（*）． m1，m2 是方程（*）的两个根，∴풎ퟏ + 풎ퟐ = 2푡(푡2 ― 2) 푡2 ― 1 ，풎ퟏ풎ퟐ = 풕ퟐ ―ퟑ． 设 A（풚ퟏ ퟐ，풚ퟏ），B（풚ퟐ ퟐ，풚ퟐ）， ∵直线 l1：풙 = 풎ퟏ(풚 ― 풕) + 풕ퟐ与抛物线 C：y2＝x 交于点 A， 则{풙 = 풎ퟏ(풚 ― 풕) + 풕ퟐ 풚ퟐ = 풙 ，得풚ퟐ ― 풎ퟏ풚 + 풎ퟏ풕 ― 풕ퟐ = ퟎ， ∴풕풚ퟏ = 풎ퟏ풕 ― 풕ퟐ（根与系数的关系），即 y1＝m1﹣t，同理 y2＝m2﹣t． 设直线 AB：x＝（y1+y2）y﹣y1y2， 则|푨푩| = ퟏ + (풚ퟏ + 풚ퟐ)ퟐ|풚ퟏ ― 풚ퟐ|，d = |푡2 ― 푡(푦1 + 푦2) + 푦1푦2| 1 + (푦1 + 푦2)2 ， 又풚ퟏ + 풚ퟐ = 풎ퟏ + 풎ퟐ ―ퟐ풕 = ―2푡 푡2 ― 1 ，풚ퟏ풚ퟐ = (풎ퟏ ―풕)(풎ퟐ ―풕) = 3 ― 푡2 푡2 ― 1 ． ∴푺△푷푨푩 = 1 2|푨푩| ⋅ 풅 = |풚ퟏ ― 풚ퟐ| ⋅ |풕ퟐ ―풕(풚ퟏ + 풚ퟐ) + 풚ퟏ풚ퟐ| = 1 2 ( ―2푡 푡2 ― 1 )ퟐ ― ퟒ ⋅ 3 ― 푡2 푡2 ― 1 ⋅ |풕ퟐ ―풕 ⋅ ―2푡 푡2 ― 1 + 3 ― 푡2 푡2 ― 1 | = 푡4 ― 3푡2 + 3 (푡2 ― 1)2 •| 푡4 + 3 푡2 ― 1 |． 令 u＝t2﹣1＞0，则푺△푷푨푩 = (풖 + 4 푢 +ퟐ) 1 푢2 ― 1 푢 + ퟏ． 当且仅当 u＝2，即 t = ퟑ时 S△PAB 取得最小值ퟑ ퟑ． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用， 考查整体运算思想方法，考查计算能力，属难题． 22．定义两个函数的关系：函数 m（x），n（x）的定义域分别为 A，B，若对任意的 x1∈A，总存在 x2∈B，使得 m（x1）＝n（x2），我们就称函数 m（x）为 n（x）的“子函 数”．已知函数 풇(풙) = 풙 + ퟏ ― 3 4풍풏 푥 3，g（x）＝x4+ax3+bx2+ax+3，a，b∈一、选择 题． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）为 g（x）的一个“子函数”，求 a2+b2 的最小值． 【分析】（I）풇(풙) = 풙 + ퟏ ― 3 4풍풏 푥 3，x∈（0，+∞），f′（x） = ― 3 4푥 + 1 2 1 + 푥 = ( 1 + 푥 ― 2)(2 1 + 푥 + 1) 4푥 1 + 푥 ．即可得出单调性． （II）由（I）可得：f（x）∈[2，+∞）．x→+∞时，g（x）→+∞，且 g（x）为连续函 数，因此只需 g（x）min≤2．即 g（x）＝2 有实数解．即 x4+ax3+bx2+ax+1＝0，x≠0， x2+ax+b+a• 1 푥 + 1 푥2 = 0，令 t＝x + 1 푥∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．即 t2+at+b﹣2＝0 在（﹣ ∞，﹣2]∪[2，+∞）上有实数解，将（a，b）看成直线 ta+b+t2 ﹣2＝0，令 u = 풂ퟐ + 풃ퟐ，则 umin = 푡2 ― 2 푡2 + 1 ，（t2≥4），过换元利用函数的单调性即可得出． 解 ： （ I ） 풇(풙) = 풙 + ퟏ ― 3 4풍풏 푥 3， x∈ （ 0 ， + ∞ ） ， f ′ （ x ） = ― 3 4푥 + 1 2 1 + 푥 = ( 1 + 푥 ― 2)(2 1 + 푥 + 1) 4푥 1 + 푥 ． ∴函数 f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为[3，+∞）． （II）由（I）可得：x＝3 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（3）＝2．∴f（x） ∈[2，+∞）． x→+∞时，g（x）→+∞，且 g（x）为连续函数，因此只需 g（x）min≤2．即 g（x）＝2 有实数解． 即 x4+ax3+bx2+ax+1＝0，x≠0， 则 x2+ax+b+a• 1 푥 + 1 푥2 = 0，令 t＝x + 1 푥∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即 t2+at+b﹣2＝0 在 （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有实数解． 将（a，b）看成直线 ta+b+t2﹣2＝0，令 u = 풂ퟐ + 풃ퟐ，则 umin = 푡2 ― 2 푡2 + 1 ，（t2≥4）． 令 s = 풕ퟐ + ퟏ ≥ ퟓ． 푡2 ― 2 푡2 + 1 = 풕ퟐ + ퟏ ― 3 푡2 + 1 = s ― 3 푠 ≥ ퟓ ― 3 5 = 2 5，（t2≥4）． ∴a2+b2 的最小值为4 5． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、等价转化方法、 方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．