2020 年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{ 2，4} B．{﹣2，2} C．{0，2，4} D．{﹣2，0，2，4}
2．复平面内表示复数 z＝（1+i）（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．sin25°cos20°﹣cosl55°sin20°＝（ ）
A．1
2 B． 2
2 C． ―
1
2 D．1
2
4．若某射手每次射击击中目标的概率是4
5，则这名射手 3 次射击中恰有 1 次击中目标的概
率为（ ）
A．16
25 B． 48
125 C． 12
125 D． 4
25
5．直线 ax+y﹣1＝0 与圆 x2+y2﹣4x﹣4y＝0 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则 a＝（ ）
A． ―
4
3 B．4
3 C． ―
3
4 D．3
4
6．若等差数列{an}的前 15 项和 S15＝30，则 2a5﹣a6﹣a10+a14＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．设 α，β，γ 为三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β
B．若 α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则 m⊥β
C．若 m⊥β，m⊂α，则 α⊥β
D．若 α⊥β，β⊥γ，则 α⊥γ8．如图，该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”，执行该程
序框图．若输入的 m，n 分别为 28，16，则输出的 m＝（ ）
A．0 B．4 C．12 D．16
9．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若该几何体的体积为4
3，则其
外接球的表面积是（ ）
A．4π B．12π C．36π D．48π
10．已知双曲线 C：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ，풄ퟐ = 풂ퟐ + 풃ퟐ)，点 A 为双曲线 C 上一点，且
在第一象限，点 O 为坐标原点，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，若|AO|＝c，且∠AOF1 =
2휋
3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 3 + 1
2 B． ퟑ C．2 D． ퟑ + 1
11．若 0＜b＜a＜1，c＞1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．logac＞logbc D．alogac＞blogbc
12．设函数풇(풙) = 풔풊풏(흎풙 +
휋
6)(흎＞ퟎ)，已知方程 f（x）＝a（a 为常数）在[0，7휋
6 ]上恰有
三个根，分别为 x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），下述四个结论：
①当 a＝0 时，ω 的取值范围是[
17
7 ，23
7 ）；
②当 a＝0 时，f（x）在[0，7휋
6 ]上恰有 2 个极小值点和 1 个极大值点；
③当 a＝0 时，f（x）在[0， 휋
12]上单调递增；
④当 ω＝2 时，a 的取值范围为[
1
2，1），且풙ퟏ +ퟐ풙ퟐ + 풙ퟑ =
5
3흅．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应位置上）
13．已知向量→
풂 = （2，﹣l），→
풃 = （l，x），若|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，则 x＝ ．
14．（a+b+c）7 的展开式中，ab2c4 的系数是 ．（用数字填写答案）
15．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 sinA =
3
2 ，b2+c2＝6+a2，则△ABC
的面积为 ．
16．已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f′（x）是 f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞
0 时，xf′（x）﹣3f（x）＜0，则使得 f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12﹣a3．
（l）求{an}的通项公式；
（2）记 Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sm＝66，求 m．
18．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 A1ADD1 是正方形．
（1）证明：A1D⊥平面 ABD1；
（2）若 AD＝2，AB＝4，求二面角 B1﹣AD1﹣C 的余弦值．
19．产量相同的机床一和机床二生产同一种零件，在一个小时内生产出的次品数分别记为X1，
X2，它们的分布列分别如表：
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.2 0.6 0.2
（1）哪台机床更好？请说明理由；
（2）记 X 表示 2 台机床 1 小时内共生产出的次品件数，求 X 的分布列．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点 F（﹣2，0），直线 l：x＝﹣4，过动点 P 作 PH⊥
l 于点 H，∠HPF 的平分线交 x 轴于点 M，且|PH| = ퟐ|MF|，记动点 P 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 N（0，2）作两条直线，分别交曲线 C 于 A，B 两点（异于 N 点）．当直
线 NA，NB 的斜率之和为 2 时，直线 AB 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不
是，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝x﹣1﹣alnx．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）证明：(ퟏ +
1
12 + 1)(ퟏ +
1
22 + 2)⋯(ퟏ +
1
푛2 + 푛)＜풆(풏 ∈ 푵 ∗ )．
注：e═2.71828…为自然对数的底数．
四、选考题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目
的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位
置答题．如果多做，则桉所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10
分）
22．已知曲线 C：{풙 = ퟐ풄풐풔휶
풚 = ퟐ풔풊풏휶（α 为参数），设曲线 C 经过伸缩变换{풙′ = 풙，
풚′ =
1
2풚 得到曲线 C'，
以直角坐标中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C′的极坐标方程；
（2）若 A，B 是曲线 C'上的两个动点，且 OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2 的最小值，[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 0 分）
23．已知函数 f（x）＝|x+2|+|x﹣2|，M 为方程 f（x）＝4 的解集．
（l）求 M；
（2）证明：当 a，b∈M，|2a+2b|≤|4+ab|．参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{ 2，4} B．{﹣2，2} C．{0，2，4} D．{﹣2，0，2，4}
【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可．
解：A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x|0＜x≤4}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集的运算，
考查了计算能力，属于基础题．
2．复平面内表示复数 z＝（1+i）（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解：z＝（1+i）（﹣2+i）＝﹣3﹣i 的点（﹣3，﹣1）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
3．sin25°cos20°﹣cosl55°sin20°＝（ ）
A．1
2 B． 2
2 C． ―
1
2 D．1
2
【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式，计算即可．解：sin25°cos20°﹣cosl55°sin20°＝sin25°cos20°+cos25°sin20°
＝sin（25°+20°）
＝sin45°
=
2
2 ．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式与两角和的正弦公式应用问题，是基础题．
4．若某射手每次射击击中目标的概率是4
5，则这名射手 3 次射击中恰有 1 次击中目标的概
率为（ ）
A．16
25 B． 48
125 C． 12
125 D． 4
25
【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出这名射手 3
次射击中恰有 1 次击中目标的概率．
解：某射手每次射击击中目标的概率是4
5，
这名射手 3 次射击中恰有 1 次击中目标的概率为：
p = 푪ퟏퟑ ×
4
5 × (ퟏ ―
4
5)ퟐ =
12
125．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算
公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．直线 ax+y﹣1＝0 与圆 x2+y2﹣4x﹣4y＝0 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则 a＝（ ）
A． ―
4
3 B．4
3 C． ―
3
4 D．3
4
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利
用垂径定理列式求 a 值．解：由圆 x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，
则圆心坐标为（2，2），半径为ퟐ ퟐ．
圆心到直线 ax+y﹣1＝0 的距离 d =
|2푎 + 1|
푎2 + 1
，
∵|AB|＝4，∴ퟐퟐ +(
2푎 + 1
푎2 + 1)ퟐ = ퟖ，解得 a =
3
4．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．
6．若等差数列{an}的前 15 项和 S15＝30，则 2a5﹣a6﹣a10+a14＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
解：∵S15＝30＝15a8，解得 a8＝2．
∵2a5﹣a6＝a4，
a4+a14＝a10+a8
则 2a5﹣a6﹣a10+a14＝a8＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
7．设 α，β，γ 为三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β
B．若 α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则 m⊥β
C．若 m⊥β，m⊂α，则 α⊥β
D．若 α⊥β，β⊥γ，则 α⊥γ【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断选
项中的命题是否正确即可．
解：对于 A，由 m⊥α，n⊥β，且 m⊥n，得出 α⊥β，所以 A 正确；
对于 B，由 α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，根据面面垂直的性质定理得出 m⊥β，所以 B
正确；
对于 C，由 m⊥β，m⊂α，根据面面垂直的判定定理得出 α⊥β，所以 C 正确；
对于 D，若 α⊥β，β⊥γ，则 α 与 γ 可能相交，也可能平行，所以 D 错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是基
础题．
8．如图，该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”，执行该程
序框图．若输入的 m，n 分别为 28，16，则输出的 m＝（ ）A．0 B．4 C．12 D．16
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：若输入的 m，n 分别为 28，16，
第一次循环：m＝16，n＝12，r＝12
第二次循环：m＝12，n＝4，r＝4．
第三次循环：m＝4，n＝0，r＝0
结束循环，此时 m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题．
9．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若该几何体的体积为4
3，则其
外接球的表面积是（ ）
A．4π B．12π C．36π D．48π
【分析】先由题设条件找出该几何体的直观图，把它镶嵌在正方体中，正方体的体对角
线就为该外接球的直径，计算出半径，解决其表面积问题．
解：可以把题设中的几何体三棱锥 P﹣ABC 镶嵌在如右图所示的正方体中：设正方体的棱长为 a，又 V 三棱锥 P﹣ABC =
1
3 ×
1
2 × a2×a = 푎3
6 =
4
3，解得：a＝2．
∵正方体的体对角线就为该外接球的直径，
∴2R＝2 ퟑ，解得 R = ퟑ，∴外接球的表面积为 4πR2＝12π．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用镶嵌法求几何体的外接球问题，属于基础题．
10．已知双曲线 C：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = ퟏ(풂＞ퟎ，풃＞ퟎ，풄ퟐ = 풂ퟐ + 풃ퟐ)，点 A 为双曲线 C 上一点，且
在第一象限，点 O 为坐标原点，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，若|AO|＝c，且
∠AOF1 =
2휋
3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 3 + 1
2 B． ퟑ C．2 D． ퟑ + 1
【分析】分别在△AOF1 和△AOF2 中，通过简单的平面几何计算可求得|AF1|和|AF2|的长，
然后结合双曲线的定义，即可求得离心率．
解：由题意可知，F1（﹣c，0），F2（c，0），
在△AOF1 中，∵|AO|＝c＝|OF1|，且∠AOF1 =
2휋
3 ，∴|AF1| = ퟑ풄，
在△AOF2 中，∵|AO|＝c＝|OF2|，且∠AOF2＝π ―
2휋
3 =
휋
3，∴|AF2|＝c，
由双曲线的定义可知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，即 ퟑ풄 ― c＝2a，∴离心率풆 =
푐
푎 =
2
3 ― 1 = ퟑ +ퟏ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义、离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．
11．若 0＜b＜a＜1，c＞1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．logac＞logbc D．alogac＞blogbc
【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除 ACD，问题得以解
决．
解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，
y＝xα（α＞0）在（0，+∞）为增函数，
可得 bc＜ac；A 错；
∴ac﹣1＞bc﹣1，
∴bac＞abc，故 B 对，
∴0＞logbc＞logac，故 C 错误，
∴﹣logac＞﹣logbc＞0
∵a＞b＞0；
∴﹣alogac＞﹣blogbc 即 alogac＜blogbc，故 D 错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式与不等关系以及幂函数，指数函数对数函数的单调性，
属于基础题．也是易错题目．
12．设函数풇(풙) = 풔풊풏(흎풙 +
휋
6)(흎＞ퟎ)，已知方程 f（x）＝a（a 为常数）在[0，7휋
6 ]上恰有三个根，分别为 x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），下述四个结论：
①当 a＝0 时，ω 的取值范围是[
17
7 ，23
7 ）；
②当 a＝0 时，f（x）在[0，7휋
6 ]上恰有 2 个极小值点和 1 个极大值点；
③当 a＝0 时，f（x）在[0， 휋
12]上单调递增；
④当 ω＝2 时，a 的取值范围为[
1
2，1），且풙ퟏ +ퟐ풙ퟐ + 풙ퟑ =
5
3흅．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由 0≤x ≤
7휋
6 ，得휋
6 ≤ 흎풙 +
휋
6 ≤
7휔휋
6 +
휋
6，再由题意可得 3π ≤
7휔휋
6 +
휋
6＜4π，解
不等式组即可求得 ω 的范围判断①；
作出函数풇(풙) = 풔풊풏(흎풙 +
휋
6)(흎＞ퟎ)的图象的大致形状，由图判断②错误；
当 x∈[0， 휋
12]时，휋
6 ≤ 흎풙 +
휋
6 ≤
휔휋
12 +
휋
6，结合 ω 的范围可得[
휋
6，
휔휋
12 +
휋
6]⫋[0，휋
2]，则 f
（x）在[0， 휋
12]上单调递增，故③正确；
当 ω＝2 时，2x +
휋
6∈[
휋
6，5휋
2 ]．画出函数的大致图象，由对称性可得풙ퟏ + 풙ퟐ =
휋
3，풙ퟐ + 풙ퟑ
=
4휋
3 ，即풙ퟏ +ퟐ풙ퟐ + 풙ퟑ =
5
3흅，故④正确．
解：当 0≤x ≤
7휋
6 时，휋
6 ≤ 흎풙 +
휋
6 ≤
7휔휋
6 +
휋
6，
此时 f（x）恰有 3 个零点，则 3π ≤
7휔휋
6 +
휋
6＜4π，
解得17
7 ≤ ω＜
23
7 ，故①正确：
作出函数풇(풙) = 풔풊풏(흎풙 +
휋
6)(흎＞ퟎ)的图象的大致形状如图，其中 m ≤
7휋
6 ＜n．
由图可知，f（x）在[0，7휋
6 ]上恰有 2 个极大值点和 1 个极小值点，故②错误；
当 x∈[0， 휋
12]时，휋
6 ≤ 흎풙 +
휋
6 ≤
휔휋
12 +
휋
6，
∵17
7 ≤ ω＜
23
7 ，∴[
휋
6，
휔휋
12 +
휋
6]⫋[0，휋
2]，则 f（x）在[0， 휋
12]上单调递增，故③正确；
当 ω＝2 时，2x +
휋
6∈[
휋
6，5휋
2 ]．
画出函数的大致图象：
由图可知，a 的取值范围为[
1
2，1），풙ퟏ + 풙ퟐ =
휋
3，풙ퟐ + 풙ퟑ =
4휋
3 ，
∴풙ퟏ +ퟐ풙ퟐ + 풙ퟑ =
5
3흅，故④正确．
∴正确命题的个数为 3．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查 y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，
考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应位置上）
13．已知向量→
풂 = （2，﹣l），→
풃 = （l，x），若|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，则 x＝ 2 ．
【分析】本题先计算出向量→
풂 + →
풃的坐标以及|→
풂 + →
풃|关于 x 的表达式，同理可计算出向量
→
풂 ― →
풃的坐标以及|→
풂 ― →
풃|关于 x 的表达式，然后根据已知条件|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，代入进行
计算可得 x 的值．
解：由题意，可知
→
풂 + →
풃 = （3，x﹣1），则|→
풂 + →
풃| = ퟑퟐ + (풙 ― ퟏ)ퟐ = 풙ퟐ ― ퟐ풙 + ퟏퟎ，
同理，→
풂 ― →
풃 = （1，﹣1﹣x），则|→
풂 ― →
풃| = ퟏ + ( ― ퟏ ― 풙)ퟐ = 풙ퟐ + ퟐ풙 + ퟐ，
∵|→
풂 + →
풃|＝|→
풂 ― →
풃|，
∴ 풙ퟐ ― ퟐ풙 + ퟏퟎ = 풙ퟐ + ퟐ풙 + ퟐ，
即 x2﹣2x+10＝x2+2x+2，
解得 x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查向量的运算及模的计算．考查了转化思想，定义法，逻辑思维能
力和数学运算能力．本题属基础题．
14．（a+b+c）7 的展开式中，ab2c4 的系数是 105 ．（用数字填写答案）
【分析】直接根据七个括号的取值情况求解即可．
解：因为要求（a+b+c）7 的展开式中，ab2c4 的系数；
故需其中的四个括号取 c，余下的三个括号中其中的两个取 b，最后一个括号取 a；
故 ab2c4 的系数是：∁ퟒퟕ•∁ퟐퟑ•∁ퟏퟏ = 105；故答案为：105．
【点评】本题主要考查二项式定理的基本应用，属于基础题目．
15．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 sinA =
3
2 ，b2+c2＝6+a2，则△ABC
的面积为 3 3
2
．
【分析】先利用余弦定理求得 cosA =
3
푏푐，由 sinA 的值求出 cosA，得到 bc 的值，从而利
用三角形面积公式求出△ABC 的面积．
解：由余弦定理得：cosA = 푏2 + 푐2 ― 푎2
2푏푐 =
6
2푏푐 =
3
푏푐＞0，
又∵sinA =
3
2 ，∴cosA =
1
2，
∴bc＝6，
∴S△ABC =
1
2풃풄 ⋅ 풔풊풏푨 =
1
2 × ퟔ ×
3
2 = 3 3
2
，
故答案为：3 3
2
．
【点评】本题主要考查了余弦定理，以及三角形面积公式，是中档题．
16．已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f′（x）是 f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞
0 时，xf′（x）﹣3f（x）＜0，则使得 f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是 （﹣∞，﹣
1）∪（0，1） ．
【分析】首先利用当 x＞0 时，xf′（x）﹣3f（x）＜0，构造函数품(풙) =
푓(푥)
푥3 ；f（x）是
定义域为 R 的奇函数，则函数품(풙) =
푓(푥)
푥3 为偶函数，图象关于 y 轴对称，而且 g（﹣1）＝﹣
f（﹣1）＝0＝g（1），于是只需求出 x＞0 的单调性画图大致图象，在利用偶函数画出 y
轴左边图象，即可解决不等式．
解：当 x≠0 时，令품(풙) =
푓(푥)
푥3 ，则，품′(풙) =
푥푓′(푥) ― 3푓(푥)
푥4
又∵当 x＞0 时，xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴x＞0 时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵f（x）是定义域为 R 的奇函数，则 x≠0 时，품(풙) =
푓(푥)
푥3 为偶函数，且 g（﹣1）＝﹣
f（﹣1）＝0＝g（1），
∴当 0＜x＜1 时，품(풙) =
푓(푥)
푥3 ＞0；当 x＞1 时，품(풙) =
푓(푥)
푥3 ＜0，则此时 f（x）＞0 成立
的 x 的取值范围是（0，1）；
当﹣1＜x＜0 时，품(풙) =
푓(푥)
푥3 ＞0；当 x＜﹣1 时，품(풙) =
푓(푥)
푥3 ＜0，则此时 f（x）＞0 成
立的 x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）；
综上，f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【点评】本题主要突破点在于能利用题目条件构造出新的函数（一般条件为含有导数的
两个函数相减的这类整体，很大可能为某个分式函数的导数一部分，再根据题目去构造），
考查了学生的构造法思想，以及函数性质的综合运用．属于中档较难题目．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12﹣a3．
（l）求{an}的通项公式；
（2）记 Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sm＝66，求 m．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为 q，则 6q＝12﹣6q2，解得 q＝﹣2 或 q＝1，由此
能求出 an．
（2）若 an＝6×（﹣2）n﹣1，则 Sn = 6 × [1 ― ( ― 2)푛]
3 = 2[1﹣（﹣2）n]，由 Sm＝66，得
2[1﹣（﹣2）m]＝66，求出 m＝5；若 an＝6，q＝1，则{an}是常数列，Sm＝6m＝66，求
出 m＝11．由此能求出 m 的值．
解：（1）设等比数列{an}的公比为 q，∵a1＝6，a2＝12﹣a3．
∴6q＝12﹣6q2，解得 q＝﹣2 或 q＝1，
∴풂풏 = ퟔ × ( ― ퟐ)풏―ퟏ或 an＝6．
（2）①若 an＝6×（﹣2）n﹣1，
则 Sn = 6 × [1 ― ( ― 2)푛]
3 = 2[1﹣（﹣2）n]，
由 Sm＝66，得 2[1﹣（﹣2）m]＝66，解得 m＝5．
②若 an＝6，q＝1，则{an}是常数列，
∴Sm＝6m＝66，解得 m＝11．
综上，m 的值为 5 或 11．
【点评】本题考查等比数列的通项公式、项数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
18．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 A1ADD1 是正方形．
（1）证明：A1D⊥平面 ABD1；
（2）若 AD＝2，AB＝4，求二面角 B1﹣AD1﹣C 的余弦值．
【分析】（1）由 AB⊥平面 ADD1A1，可得 AB⊥A1D，由四边形 A1ADD1 是正方形，可
得 AD1⊥A1D，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦
值．解：（1）证明：如图 1，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，
∵AB⊥平面 ADD1A1，
又 A1D 在平面 ADD1A1 内，
∴AB⊥A1D，
∵四边形 A1ADD1 是正方形，
∴AD1⊥A1D，
又 AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面 ABD1；
（2）如图 2，以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，
则 A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），B1（2，4，2），故 →
푨푪 = ( ― ퟐ，ퟒ，ퟎ)，
→
푨푫ퟏ = ( ― ퟐ，ퟎ，ퟐ)， →
푨푩ퟏ = (ퟎ，ퟒ，ퟐ)，
设平面 ACD1 的一个法向量为 →
풎 = (풙，풚，풛)，则{ →
풎 ⋅
→
푨푪 = ―ퟐ풙 + ퟒ풚 = ퟎ
→
풎 ⋅
→
푨푫ퟏ = ―ퟐ풙 + ퟐ풛 = ퟎ
，可取 →
풎
= (ퟐ，ퟏ，ퟐ)，同理可求平面 AD1B1 的一个法向量为→
풏 = (ퟐ， ― ퟏ，ퟐ)，
∴풄풐풔＜ →
풎，→
풏＞ =
→
푚 ⋅
→
푛
|
→
푚||
→
푛|
=
4 ― 1 + 4
9 × 9 =
7
9，
观察可得二面角二面角 B1﹣AD1﹣C 为锐角，其余弦值为7
9．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能
力及运算求解能力，属于中档题．
19．产量相同的机床一和机床二生产同一种零件，在一个小时内生产出的次品数分别记为X1，
X2，它们的分布列分别如表：
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.2 0.6 0.2
（1）哪台机床更好？请说明理由；
（2）记 X 表示 2 台机床 1 小时内共生产出的次品件数，求 X 的分布列．
【分析】（1）根据分布列，依次求出 E（X1）、E（X2）、D（X1）和 D（X2），比较
大小后即可作出判断；
（2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，再根据相互独立事件的概率逐一求
出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列．
解：（1）由 X1 的分布列知，E（X1）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1，
由 X2 的分布列知，E（X2）＝0×0.2+1×0.6+2×0.2＝1，
又 D（X1）＝（1﹣0）2×0.4+（1﹣1）2×0.3+（1﹣2）2×0.2+（1﹣3）2×0.1＝1，D（X2）＝（1﹣0）2×0.2+（1﹣1）2×0.6+（1﹣2）2×0.2＝0.4＜D（X1），
两台机床产生次品数的平均数一样，但机床二生产的产品更稳定，故机床二更好．
（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，
P（X＝0）＝0.4×0.2＝0.08，P（X＝1）＝0.3×0.2+0.4×0.6＝0.3，
P（X＝2）＝0.4×0.2+0.2×0.2+0.3×0.6＝0.3，P（X＝3）＝0.1×0.2+0.3×0.2+0.2×0.6＝
0.2，
P（X＝4）＝0.2×0.2+0.1×0.6＝0.1，P（X＝5）＝0.1×0.2＝0.02．
∴X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.08 0.3 0.3 0.2 0.1 0.02
【点评】本题考查数学期望和方差的求法与应用，离散型随机变量的分布列，考查学生
对数据的分析能力和计算能力，属于基础题．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点 F（﹣2，0），直线 l：x＝﹣4，过动点 P 作 PH⊥
l 于点 H，∠HPF 的平分线交 x 轴于点 M，且|PH| = ퟐ|MF|，记动点 P 的轨迹为曲线
C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 N（0，2）作两条直线，分别交曲线 C 于 A，B 两点（异于 N 点）．当直
线 NA，NB 的斜率之和为 2 时，直线 AB 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不
是，请说明理由．【分析】（1）设 P 的坐标，由题意可得 PH∥FM，所以∠HPM＝∠FMP，可得|푃퐹|
|푃퐻| =
|푀퐹|
|푃퐻| =
2
2 ，即 (푥 + 2)2 + 푦2
|푥 + 4|
=
2
2 ，整理可得 P 的轨迹方程；
（2）分直线 AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程与椭圆
联立，求出两根之和及两根之积，求出直线 NA，NB 的斜率之和，由题意可得参数的关
系，代入直线方程可得直线 AB 恒过定点．当直线的斜率不存在时，也成立．
解：（1）设 P（x，y），由已知 PH∥FM，所以∠HPM＝∠FMP，
因为∠HPM＝∠FPM，所以∠FMP＝∠FPM，所以|MF|＝|PF|
所以|푃퐹|
|푃퐻| =
|푀퐹|
|푃퐻| =
2
2 ，即 (푥 + 2)2 + 푦2
|푥 + 4|
=
2
2 ，
化简可得：푥2
8 + 푦2
4 = 1，
所以曲线 C 的方程为：푥2
8 + 푦2
4 = 1（y≠0）．
（2）当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为：y＝kx+m（k≠0，m≠2），设 A（x1，y1），
B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程{풚 = 풌풙 + 풎
푥2
8 +
푦2
4 = ퟏ ，整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8
＝0，由△＞0，x1+x2 = ―
4푘푚
1 + 2푘2，x1x2 =
2푚2 ― 8
1 + 2푘2 ，
由已知 kNA+kNB＝2，得
푘푥1 + 푚 ― 2
푥1
+
푘푥2 + 푚 ― 2
푥2
= 2，
整理可得 2（k﹣1）x1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝0，
2（k﹣1）•
2푚2 ― 8
1 + 2푘2 + （m﹣2）•
―4푘푚
1 + 2푘2 = 0，整理可得（m﹣2）•（4k﹣2m﹣4）＝0，因为 m≠2，所以 m＝2k﹣2，
所以直线 AB 的方程为：y＝kx+2k﹣2＝k（x+2）﹣2，
所以直线 AB 过定点（﹣2，﹣2），
当直线 AB 的斜率不存在时，设方程为 x＝n，且 A（n，y1），B（n，y2），
其中 y1＝﹣y2，
由已知 kNA+kNB＝2，可得
푦1 ― 2
푛 +
푦2 ― 2
푛 =
푦1 + 푦2 ― 4
푛 = ―
4
푛 = 2，
所以 n＝﹣2，
所以直线 AB 的方程为 x＝﹣2 此时直线 AB 也过定点（﹣2，﹣2），
综上所述，直线 AB 恒过定点（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合和求证直线恒过定点的方法，属
于中档题．
21．已知函数 f（x）＝x﹣1﹣alnx．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）证明：(ퟏ +
1
12 + 1)(ퟏ +
1
22 + 2)⋯(ퟏ +
1
푛2 + 푛)＜풆(풏 ∈ 푵 ∗ )．
注：e═2.71828…为自然对数的底数．
【分析】（1）f（x）＝x﹣1﹣alnx．x∈（0，+∞）．f′（x）＝1 ―
푎
푥 =
푥 ― 푎
푥 ．对 a 分
类讨论即可得出．（2）当 a＝1 时，f（x）＝x﹣1﹣lnx．由（1）可知：f（（x）≥f（1）＝0，∴lnx≤x﹣
1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．令 x＝1 +
1
푛2 + 푛
（n∈一、选择题*），可得 x＞1．可
得 ln（1 +
1
푛2 + 푛
）＜
1
푛2 + 푛 =
1
푛 ―
1
푛 + 1．通过累加求和、对数的运算性质即可证明结
论．
解：（1）f（x）＝x﹣1﹣alnx．x∈（0，+∞）．
f′（x）＝1 ―
푎
푥 =
푥 ― 푎
푥 ．
a≤0 时，f′（x）＞0，函数 f（x）在 x∈（0，+∞）上单调递增．
a＞0 时，令 f′（x）＞0，解得 x＞a；令 f′（x）＜0，解得 0＜x＜a．
函数 f（x）在 x∈（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
综上可得：a≤0 时，函数 f（x）在 x∈（0，+∞）上单调递增．
a＞0 时，函数 f（x）在 x∈（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（2）证明：当 a＝1 时，f（x）＝x﹣1﹣lnx．
由（1）可知：f（（x）≥f（1）＝0，∴lnx≤x﹣1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．
令 x＝1 +
1
푛2 + 푛
（n∈N*），可得 x＞1．
∴ln（1 +
1
푛2 + 푛
）＜
1
푛2 + 푛 =
1
푛 ―
1
푛 + 1．
∴ln（1 +
1
12 + 1
）+ln（1 +
1
22 + 2
）+……+ln（1 +
1
푛2 + 푛
）＜1 ―
1
2 +
1
2 ―
1
3 +⋯⋯ +
1
푛 ―
1
푛 + 1＜1．
∴ln[（1 +
1
12 + 1
）（1 +
1
22 + 2
）•…•（1 +
1
푛2 + 푛
）]＜1，
即（1 +
1
12 + 1
）（1 +
1
22 + 2
）•…•（1 +
1
푛2 + 푛
）＜e．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、累加求和、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
四、选考题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目
的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位
置答题．如果多做，则桉所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10
分）
22．已知曲线 C：{풙 = ퟐ풄풐풔휶
풚 = ퟐ풔풊풏휶（α 为参数），设曲线 C 经过伸缩变换{풙′ = 풙，
풚′ =
1
2풚 得到曲线 C'，
以直角坐标中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C′的极坐标方程；
（2）若 A，B 是曲线 C'上的两个动点，且 OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2 的最小值，
【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和伸缩变换的应
用求出结果．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（1）曲线 C：{풙 = ퟐ풄풐풔휶
풚 = ퟐ풔풊풏휶（α 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+y2＝4，曲线 C
经过伸缩变换{풙′ = 풙，
풚′ =
1
2풚 得到曲线 C'为푥2
4 + 풚ퟐ = ퟏ，根据{풙 = 흆풄풐풔휽
풚 = 흆풔풊풏휽 转换为极坐标方程
为흆 =
2
1 + 3푠푖푛2휃
．
（2）设 A（ρ1，θ）B（흆ퟐ，휽 +
휋
2），
所以|OA|2+|OB|2 = 흆ퟏ
ퟐ + 흆ퟐ
ퟐ =
4
1 + 3푠푖푛2휃 +
4
1 + 3푐표푠2휃 =
8 + 12(푠푖푛2휃 + 푐표푠2휃)
(1 + 3푠푖푛2휃)(1 + 3푐표푠2휃)
，
=
20
(1 + 3푠푖푛2휃)(1 + 3푐표푠2휃) =
20
1 + 3(푠푖푛2휃 + 푐표푠2휃) + 9
4푠푖푛22휃
，
=
20
4 + 9
4푠푖푛22휃 ≥
16
5 ．当 sin2θ＝±1 时，|OA|2+|OB|2 的最小值为16
5 ．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径
的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算
能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 0 分）
23．已知函数 f（x）＝|x+2|+|x﹣2|，M 为方程 f（x）＝4 的解集．
（l）求 M；
（2）证明：当 a，b∈M，|2a+2b|≤|4+ab|．
【分析】（1）由绝对值不等式的性质，可得所求解集 M；
（2）运用分析法证明，结合两边平方和因式分解，以及不等式的性质，即可得证．
解：（1）由 f（x）＝|x+2|+|x﹣2|≥|x+2﹣x+2|＝4，
当且仅当（x+2）（x﹣2）≤0 即﹣2≤x≤2 时，等号成立，
则方程 f（x）＝4 的解集为 M＝{x|﹣2≤x≤2}；
（2）证明：要证|2a+2b|≤|4+ab|，只要证（2a+2b）2≤（4+ab）2，
即证 4a2+8ab+4b2≤16+8ab+a2b2，即证 4a2﹣16+4b2﹣a2b2≤0，
即证（a2﹣4）（4﹣b2）≤0，
因为 a，b∈M，
所以 a2≤4，b2≤4，
从而（a2﹣4）（4﹣b2）≤0，
故原不等式成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的性质，注意函数方程的关系，考查不等式的证明，注
意运用分析法证明，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
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