高三二模数学试卷（第 1 页，共 4 页）
天津市部分区 2020 年高三质量调查试卷（二）
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120
分钟.
参考公式：
如果事件 互斥，那么 .
如果事件 相互独立，那么 .
柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面面积， 表示柱体的高.
锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面面积， 表示锥体的高.
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
2．本卷共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ， ，则
A. B. C. D.
2. 已知命题 ， ，则命题 的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3. 已知 为虚数单位，若复数 （ ）的实部为 ，则
A． B． C． D.
4. 函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， （ 为常数），则
A． B． C． D.
5. 若 ， ，则
A． B． C． D.
6. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则
A． B． C． D.
BA, )()()( BPAPBAP +=
BA, )()()( BPAPABP =
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
{ }1,0,1A = − { }1,2,3B = − {C x= ∈ R }1 1x− ≤ < ( )A B C = { }1− { }1,0− { }1,1− { }1,0,1− :p x∃ ∈ R 2 2 3 0x x+ + < p x∃ ∈ R 2 2 3 0x x+ + > x∀ ∈ R 2 2 3 0x x+ + ≤
x∀ ∈ R 2 2 3 0x x+ + ≥ x∀ ∈ R 2 2 3 0x x+ + >
i 1 i
2 i
az
+= − a∈ R 1− z =
1
3 2 5
3 10
( )f x R 0≥x ( ) 2= + +xf x x a a
( ) =f a
1
2
3
2
3
2
− 2−
3sin 3 2
πθ − =
∈θ ( )0,π cos 6
πθ − =
0 1
2 1 3
2
{ }na n nS 3 109 100S S= =， 7a =
11 13 15 17
高三二模数学试卷（第 2 页，共 4 页）
A
A1
C1
O
E
F
G
H
B
D C
B1
D1
7. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B. C． D．
8. 若函数 （ ）在区间 上单调递减，且在区间
上存在零点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
9. 已知函数
函数 .若关于 的方程
有 个互异的实数根，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上.
2．本卷共 11 个小题，共 105 分.
二、填空题：本大题共 6 小题, 共 30 分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.
10. 双 曲 线 （ ） 的 右 焦 点 为 ， 且 一 条 渐 近 线 方 程 是
，则该双曲线的方程是 ▲ .
11. 若 的展开式中的常数项为 ，则实数 ▲ .
12. 已知点 在直线 上，则 的最小值为 ▲ .
13. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .
若 ，则 ▲ .
14. 如图，点 是长方体 的中心， ，
， ， 分别为其所在棱的中点，且 .
记棱 的长度为 ，点 到平面 的距离为
，则 ▲ ；若该长方体的体积为 ，则四棱锥 的体积为 ▲ .
15. 在梯形 中， ， ， ， ，若点 在线
段 上，则 的最小值为 ▲ .
3log 0.3a = 0.3log 2b = 0.23c = a b c
a b c> > b c a> > c b a> > c a b> >
( ) cos(2 )f x x ϕ= + 0 ϕ< < π ,6 6 π π − 0, 6 π ϕ ,6 2 π π 2 5 3 6 π π ， 2,2 3 π π 3 2 π π ， ( ) 2 17 1, 2 0,6 ln , 0 , x x xf x x x e + + − ≤ > ( )5,0F
4
3y x=
6ax x
+ 160− a =
( , )P x y 2 3 0x y+ − = 2 4x y+
∆ABC A B C a b c
2 sin cos 04a C c A
π − − = cos A =
O 1 1 1 1
−ABCD ABC D E
F G H BC 1BB=
AB l O 1 1BCC B
0l l = 0l 120 −O EFGH
ABCD AB // CD 90∠ = DAB 2AB = 1CD AD= = M
BD
AM CM
高三二模数学试卷（第 3 页，共 4 页）
三、解答题：本大题共 5 个小题,共 75 分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步
骤.
16.（本小题满分 14 分）
天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，
提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”
（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数
学、英语三个兴趣小组学生人数分别为 10 人、10 人、15 人.经过一段时间的学习，上
学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数
学，英语三个兴趣小组中抽取 7 人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？
（2）若抽取的 7 人中恰好有 5 人三科成绩全部及格，其余 2 人三科成绩不全及格.现
从这 7 人中随机抽取 4 人做进一步的调查．
（ⅰ）记 表示随机抽取 4 人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机
变量 的分布列和数学期望；
（ⅱ）设 为事件“抽取的 4 人中，有人成绩不全及格”，求事件 发生的概率．
17.（本小题满分 15 分）
已知各项均为正数的数列 ，满足 （ ）.
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 （ ），求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分 15 分）
如图，四棱锥 中，底面四边形 是直角
梯形， 底面 ， , ，
， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
求二面角 的余弦值.
19．（本小题满分 15 分）
已知 , 分别是椭圆 的左、右焦点,其焦距为 , 过 的
X
X
M M
{ }na ( )2 =3 1n nS a − n∈ N∗
{ }na
( )2 1= −n nb n a n∈ N∗ { }nb n nT
−P ABCD ABCD
⊥PC ABCD AB // CD 90∠ = BAD
1= =AD CD 45∠ = ABC E PB
⊥BC PAC
PB PAC 3
3
− −P AC E
1F 2F :C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 6 1F
B
D C
A
P
E
高三二模数学试卷（第 4 页，共 4 页）
直线与 交于 ， 两点，且 的周长是 .
（1）求 的方程；
（2）若 是 上的动点，从点 （ 是坐标系原点）向圆
作两条切线，分别交 于 ， 两点．已知直线 ， 的斜率存在，并分别记为
, .
（ⅰ）求证： 为定值；
（ⅱ）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 ，函数 ，其中 是
自然对数的底数.
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 （ ），讨论 的单调性；
（3）若对任意 ，恒有关于 的不等式 成立，求实数 的
取值范围.
C A B 2ABF∆ 12 2
C
0 0( , )M x y C O O ( ) ( )2 2
0 0 6x x y y− + − =
C P Q OP OQ
1k 2k
1 2k k
2 2OP OQ+
( ) ( )sin cos 4= − +xf x e x x ( ) 2 cos= −g x x x 2.71828e =
( )=y f x ( )( )0, 0f
( ) ( ) ( )= −h x f x ag x ∈a R ( )h x
50, 12
π ∈ x x cos 0
+− ≤x
x mx e m
高三二模数学试卷（第 5 页，共 4 页）
天津市部分区 2020 年高三质量调查试卷（二）
数学试卷参考答案
一、选择题：(本大题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C D D A B C D B
二、填空题：(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分)
10． 11． 12．
13．
14． ； 15．
三、解答题：（本大题共 5 个小题，共 75 分）
16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为 ，
因此，采用分层抽样方法从中抽取 人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别
抽取 人、 人、 人． ……………………………………………………………3 分
（2）（ⅰ）依题意，得随机变量 的所有可能取值为 ．………………4 分
所以， ．…………………………………………5 分
因此，所求随机变量 的分布列为
………………………………………………10 分
故随机变量 的数学期望为
． ……………………………………11 分
（ⅱ）依题意，设事件 为“抽取的 人中，三科成绩全及格的有 人，三科成绩不全
及格的有 人”；事件 为“抽取的 人中，三科成绩全及格的有 人，三科成绩不全
及格的有 人”.
则有 ，且 与 互斥.
2 2
19 16
x y− = 2− 4 2
2
2 2 10 9
20
−
2 : 2 : 3
7
2 2 3
X 2，3，4
4
5 2
4
7
( ) ( 2,3,4)
k kC CP X k kC
−⋅= = =
X
X
10 20 5 20( ) 2 3 435 35 35 7E X = × + × + × =
B 4 2
2 C 4 3
1
M B C= B C
X 2 3 4
P 10
35
20
35
5
35
高三二模数学试卷（第 6 页，共 4 页）
由①知， ，
所以 ………………………13 分
故事件 发生的概率为 ． ……………………………………………………14 分
17.（1）证明：因为 （ ）， ①
所以，当 时，有 ， ② ……………………………1 分
①-②得 ，
即 ，所以 （ ， ）．………………………3 分
所以数列 是公比为 的等比数列． …………………………………………4 分
又由①得 ，所以 ． …………………………………………5 分
所以 ． …………………………………………………7 分
（2）解：由题意及（1）得 ． ………………………8 分
所以 ， ③
所以 ， ④ …………10 分
③-④，得
………………12 分
， …………14 分
故 ． …………………………………………………………15 分
18.（1）证明：因为 ， ，所以 .
又因为 ，所以 是等腰直角三角形,
所以 ， ． …………………………………………………2 分
( ) ( 2), ( ) ( 3)P B P X P C P X= = = =
6( ) ( ) ( 2) ( 3) .7P M P B C P X P X= = = + = =
M 6
7
( )2 =3 1n nS a − n∈ N∗
2n ≥ ( )-1 -12 =3 1n nS a −
( ) ( )1 12 =3n n n nS S a a− −− −
12 =3 3n n na a a −−
1
=3n
n
a
a −
n∈ N∗ 2n ≥
{ }na 2
( )1 12 =3 1S a − 1 3a =
1 1
1 3 3 3n n n
na a q − −= = × =
( ) ( )2 1 2 1 3= − = − n
n nb n a n
( )1 21 3 3 3 2 1 3= × + × + + − ⋅
n
nT n
( ) ( )2 3 13 1 3 3 3 2 3 3 2 1 3 += × + × + + − ⋅ + − ⋅
n n
nT n n
( )1 2 3 12 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 +− = × + × + × + + × − − ⋅
n n
nT n
( ) ( )1 1 2 3 13 2 3 3 3 3 2 1 3 += − + + + + + − − ⋅
n nn
( ) ( ) ( )1 13 3 1
3 2 2 1 3 6 2 1 33 1
+ +
−
= − + × − − ⋅ = − − −−
n
n nn n
( ) 13 1 3n
nT n += + −
AB // CD 90∠ = BAD 90ADC∠ =
1= =AD CD ACD∆
2AC = 45CAD∠ =
高三二模数学试卷（第 7 页，共 4 页）
又因为 ， ，
所以 ，即 ． ………………………………………………3 分
因为 底面 ， 平面 ，所以 .
又 ,所以 平面 ． ………………………………………6 分
（2）解：在 中, ， ，所以 .
由（1）知， 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角，则 ． ………7 分
在 中, ，
所以 ． ……………………………………………………8 分
【方法一】以点 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建
立空间直角坐标系 ． …………………………9 分
则 .
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ．…………10 分
设平面 法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．所以 ． ………………………12 分
由 平面 ，则 为平面 的一个法向量． ……………13 分
所以 ．
90∠ = BAD 45ABC∠ =
90ACB∠ = AC BC⊥
⊥PC ABCD BC ⊂ ABCD PC BC⊥
PC AC C= BC ⊥ PAC
Rt ∆ABC 45ABC∠ = 2AC = 2BC =
BC ⊥ PAC
BPC∠ PB PAC 3sin 3BPC∠ =
Rt ∆PBC 2 6sin 3
3
BCPB BPC
= = =∠
2 2 2PC PB BC= − =
C , ,AC CB CP x y z
C xyz−
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,2 , 2,0,0 , 0, 2,0C P A B−
E PB 20, 12E
，
( ) 22,0,0 , 0, ,12CA CE
= − =
ACE ( ), ,m x y z=
0,
0,
CA m
CE m
⋅ = ⋅ =
2 0,
2 0.2
x
y z
− =
+ =
2y = 0, 2x z= = − ( )0,2, 2m = −
BC ⊥ PAC ( )0,1,0n = PAC
2 6cos , 36 1
m nm n
m n
⋅= = =
×
B
D C
A
P
E
x
y
z
高三二模数学试卷（第 8 页，共 4 页）
故所求二面角 的余弦值为 ． …………………………………15 分
【方法二】以点 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建
立空间直角坐标系 ． ………………………9 分
则 .
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ． …………10 分
设平面 法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．所以 ． ………………………12 分
由 平面 ，则 为平面 的一个法向量.………………13 分
所以 ．
故所求二面角 的余弦值为 ． ……………………………………15 分
19.（1）解：设椭圆 的焦距为 （ ），
则 ，所以 ． ……………………………………………………………1 分
因为直线 过 的焦点 ，且 的周长是 ，
所以 ，
所以 ． ……………………………………………………………………2 分
所以 ． …………………………………………………3 分
P AC E− − 6
3
C , ,CB CA CP x y z
C xyz−
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,2 , 0, 2,0 , 2,0,0C P A B
E PB 2 012E
，，
( ) 20, 2,0 , ,0,12CA CE
= =
ACE ( ), ,m x y z=
0,
0,
CA m
CE m
⋅ = ⋅ =
2 0,
2 0.2
y
x z
=
+ =
2x = 0, 2y z= = − ( )2,0, 2m = −
BC ⊥ PAC ( )1,0,0n = PAC
2 6cos , 36 1
m nm n
m n
⋅= = =
×
P AC E− − 6
3
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2c 0c >
2 6c = 3c =
AB C 1F 2ABF∆ 12 2
( ) ( ) ( )2 1 1 2 22 4 12 2AB AF BF AF BF AF BF a+ + = + + + = =
3 2a =
2 2 2 18 9 9b a c= − = − =
B
D C
A
P
Ey
x
z
高三二模数学试卷（第 9 页，共 4 页）
所以，椭圆 的方程是 ． ……………………………………………4 分
（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线 ： ，直线 ： .
因为直线 与圆 相切，
所以 ,化简，得 ；
同理，得 ．……………………………………6 分
所以 是一元二次方程 的两实数根，
则有 ．………………………………………………………………7 分
又因为点 在 上，所以 ，即 ，
所以 （定值）． ……………………………9 分
（ⅱ）解： 是定值，且定值为 ． ……………………………10 分
理由如下：
【方法一】设 .
由（1）、（2）联立方程组
解得
…………11 分
所以 ． …………………………………………………12 分
同理，得 ． ……………………………………………13 分
由（2）知 ，
C
2 2
118 9
x y+ =
OP 1y k x= OQ 2y k x=
,OP OQ M
1 0 0
2
1
| | 6
1
k x y
k
− =
+
2 2 2
0 1 0 0 1 0( 6) 2 6 0x k x y k y− − + − =
2 2 2
0 2 0 0 2 0( 6) 2 6 0x k x y k y− − + − =
1 2,k k 2 2 2
0 0 0 0( 6) 2 6 0x k x y k y− − + − =
2
0
1 2 2
0
6
6
yk k x
−⋅ = −
0 0( , )M x y C
2 2
0 0 118 9
x y+ = 2 2
0 0
19 2y x= −
( )2 2
0 0
1 2 2 2
0 0
1 13 6 12 2
6 6 2
x x
k k x x
− −
= = = −− −
2 2OP OQ+ 27
),(,),( 2211 yxQyxP
1
2 2
,
1,18 9
y k x
x y
= + =
2
1 2
1
2
2 1
1 2
1
18 ,1 2
18 .1 2
x k
ky k
= +
= +
2
2 2 1
1 1 2
1
18(1 )
1 2
kx y k
++ = +
2
2 2 2
2 2 2
2
18(1 )
1 2
kx y k
++ = +
1 2
1
2k k = −
高三二模数学试卷（第 10 页，共 4 页）
所以
，
所以 （定值）．……………………………………………15 分
【方法二】设 ,
由（2）知 ，所以 ． ………………………………11 分
因为 在 上，
所以 ， 即 ………………………………12 分
所以 ，整理得 ，
所以 ． ………………………………14 分
故有 （定值）.………………………………………………15 分
20.解：（1）由题意,得
，………1 分
所以 ．
因为 ，所以 ，
即所求曲线 在点 处的切线方程为 ． ………3 分
（2）易知，函数 的定义域为 ， ，
且有
．……………5 分
由于 在 上恒成立，所以
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2OP OQ x y x y+ = + + + 2 2
1 2
2 2
1 2
18(1 ) 18(1 )
1 2 1 2
k k
k k
+ += ++ +
2
2
1 1
2
21
1
118(1 ( ) )18(1 ) 2
11 2 1 2( )2
k k
k
k
+ −+= ++ + −
2
1
2
1
27 54
1 2
k
k
+= + 27=
2 2 =27OP OQ+
),(,),( 2211 yxQyxP
1 2
1
2k k = − 2 2 2 2
1 2 1 2
1
4y y x x=
),(,),( 2211 yxQyxP C
2 2
1 1
2 2
2 2
1,18 9
1,18 9
x y
x y
+ =
+ =
2 2
1 1
2 2
2 2
19 ,2
19 .2
y x
y x
= −
= −
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1(9 )(9 )2 2 4x x x x− − = 2 2
1 2 18x x+ =
2 2 2 2
1 2 1 2
1 19 9 92 2y y x x + = − + − =
2 2 =27OP OQ+
( ) ( ) ( ) ( )sin cos 4 cos sin 2sin 4x x xf x e x x e x x e x′ = − + + + = +
( )0 4f ′ =
( )0 3f = ( )3 4 0y x− = −
( )=y f x ( )( )0, 0f 4 3 0x y− + =
( )h x R ( ) 2 sin′ = +g x x
( ) ( )′ ′= −h x f x ( )′ag x
( ) ( ) ( )( )2sin 4 sin 2 2 sin 2= + − + = − +x xe x a x e a x
sin 2 0+ >x ∈x R
高三二模数学试卷（第 11 页，共 4 页）
①当 时， 在 上恒成立，此时 ，
所以， 在区间 上单调递增． ……………………………………7 分
②当 时，由 ，即 ，解得 ；
由 ，即 ，解得 .
所以， 在区间 上单调递减；
在区间 上单调递增． ………………………………………9 分
（3）易知， 等价于 .
设 （ ）．…………………………………10 分
由题意，对 时，不等式 恒成立，
只需 ． ………………………………………………………………11 分
易得 ， .
令 ， ，
所以 ． ……………………………………………………13 分
显然，当 时， 恒成立.
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
即 在 恒成立．……………………………………………14 分
0≤a 2 0− >xe a ∈x R ( ) 0′ >h x
( )h x ( ),−∞ +∞
0>a ( ) 0′ >h x 2 0− >xe a ln 2
> ax
( ) 0′
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