理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆 答案部分 2019 年 1.解析 由直线 l 的参数方程消去 t，可得其普通方程为 ． 则点（1，0）到直线 l 的距离是 ．故选 D． 2. 解析 解法一：由 ，得 ， 设斜率为 的直线与曲线 切于 ， 由 ，解得 ． 所以曲线 上，点 到直线 的距离最小， 最小值为 ． 解法二：由题意可设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离 ，当且仅当 等号成立， 所以点 到直线 的距离的最小值为 4. 3.解析 解法一： （1）过A作 ，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形， .' 因为PB⊥AB， 所以 . 4 3 2 0x y− + = ( )22 4 1 3 0 2 6 54 3 d × − × += = + − 4 ( 0)y x xx = + > 2 41y x ′ = − 1− 4 ( 0)y x xx = + > 0 0 0 4( , )x x x + 2 0 41 1x − = − 0 02( 0)x x= > 4 ( 0)y x xx = + > ( 2,3 2)P 0x y+ = | 2 3 2 | 4 2 + = P 4,x x x  +   ( )0x > P 0x y+ = 4 22 2 22 2 422 2 x x xx xd x x  + + +  = = × × × ⋅ = 2x = P 0x y+ = AE BD⊥ 6, 8DE BE AC AE CD= = = = = 8 4cos sin 10 5PBD ABE∠ = ∠ = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 . 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小 于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，联结AD，由（1）知 ， 从而 ，所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP90°时，在 中， . 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时， .此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆 O的半径. 12 154cos 5 BDPB PBD = = =∠ 2 2 10AD AE ED= + = 2 2 2 7cos 02 25 AD AB BDBAD AD AB + −∠ = = >⋅ 1P 1PB AB⊥ 1P 1 1 1 1 3sin cos 15 95PD PB PBD PB EBA= ∠ = ∠ = × = 1PPB△ 1 15PB PB> = 2 2 2 215 6 3 21CQ QA AC= − = − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ= 时，d最小，此时P，Q两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+ . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ （百米）. 解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为 . 因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为 ， 直线PB的方程为 . 所以P（−13，9）， . 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4 = 2 2( 4) (9 3) 15( 4)AQ a a= − + − = > 4 3 21+ 4 3 21+ 4 3 21+ 4 3 21 ( 13) 17 3 21PQ = + − − = + 17 3 21+ 1 1 2 2 m + = − 2m = − 2 2( 2 0) ( 1 2) 5r = − − + − + = 22 0 3 4 ( 1) 4 1 mr m × − += = + + + 2m = − 5 5 5 r = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2010-2018 年 1．A【解析】圆心 到直线的距离 ， 所以点 到直线的距离 ．根据直线的方程可知 ， 两点的坐标分别 为 ， ，所以 ， 所以 的面积 ． 因为 ，所以 ，即 面积的取值范围是 ．故选 A． 2． 【解析】直线的普通方程为 ，圆的标准方程为 ， 圆心为 ，半径为 1，点 到直线 的距离 ，所 以 ，所以 ． 3．C【解析】由题意可得 （其中 ， ），∵ , ∴ ， ， ∴当 时， 取得最大值 3，故选 C． 4．A【解析】以线段 为直径的圆是 ，直线 与圆相切， 所以圆心到直线的距离 ，整理为 ， (2,0) | 2 0 2 | 2 2 2 d + += = P 1 [ 2,3 2]d ∈ A B ( 2,0)A − (0, 2)B − | | 2 2AB = ABP∆ 1 1 1 | | 22S AB d d= = 1 [ 2,3 2]d ∈ [2,6]S ∈ ABP∆ [2,6] 1 2 2 0x y+ − = 2 2( 1) 1x y− + = (1,0)C C 2 0x y+ − = |1 0 2 | 2 22 d + −= = 22| | 2 1 ( ) 22AB = − = 1 2 122 2 2ABCS∆ = × × = 2 2 | cos sin 2 | | sin cos 2 | 1 1 m md m m θ θ θ θ− − − += = + + 2 22 2 2 2 1| 1( sin cos ) 2 | | 1sin( ) 2 |1 1 1 1 mm mm m m m θ θ θ ϕ + − + + − ++ += = + + 2 cos 1 m m ϕ = + 2 1sin 1m ϕ = + 1 sin( ) 1θ ϕ− −≤ ≤ 2 2 2 2 | 2 1 | 2 1 1 1 m md m m − + + + + + ≤ ≤ 2 2 2 2 1 21 1 1 m m m + + = + + + 0m = d 1 2A A 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + = 2 2 2abd a a b = = + 2 23a b= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 ，即 ， ，故选 A． 5．A【解析】如图建立直角坐标系， 则 ， ， ， ，由等面积法可得圆的半径为 ， 所以圆的方程为 ， 所以 ， ， ， 由 ，得 ，所以 = ， 设 ，即 ， 点 在圆上，所以圆心到直线 的距离小于半径， 所以 ，解得 ，所以 的最大值为 3， 即 的最大值为 3，选 A． 6．D【解析】 关于 轴对称点的坐标为 ，设反射光线所在直线为 ，即 ，则 ， ，解得 或 ． 7．A 【解析】 设所求直线的方程为 ，则 ，所以 y x P A B C D ( )2 2 2 2 23 2 3a a c a c= − ⇒ = 2 2 2 3 c a = 6 3 ce a = = (0,1)A (0,0)B (2,1)D ( , )P x y 2 5 2 2 4( 2) 5x y− + = ( , 1)AP x y= − (0, 1)AB = − (2,0)AD = AP AB ADλ µ= +   2 1 x y µ λ =  − = − λ µ+ 12 x y− + 12 xz y= − + 1 02 x y z− + − = ( , )P x y 1 02 x y z− + − = | 2 | 2 1 514 z− + ≤ 1 3z≤ ≤ z λ µ+ ( 2, 3)− − y (2, 3)− 3 ( 2)y k x+ = − 2 3 0kx y k− − − = 2 | 3 2 2 3| 1 1 k kd k − − − −= = + 2| 5 5| 1k k+ = + 4 3k = − 3 4 − 2 0x y c+ + = ( 1)≠c 2 2 | | 5 2 1 c = + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，故所求直线的方程为 或 ． 8．C【解析】设过 三点的圆的方程为 ， 则 ，解得 ， 所求圆的方程为 ，令 ，得 ， 设 ， ，则 ， ， 所以 ． 9．C【解析】圆 标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 因此 ， ，即 ， ．选 C． 10．A【解析】当点 的坐标为 时，圆上存在点 ，使得 ，所以 符合题意，排除 B、D；当点 的坐标为 时， ，过点 作圆 的一条切线 ，连接 ，则在 中， ，则 ，故此时在圆 上不存在点 ，使得 ，即 不符 合题意，排除 C，故选 A． 11．D【解析】直线 过点 ，斜率为 ，所以直线 的方程为 ． 12．B【解析】因为圆 的圆心为 ，半径为 1， ，所以以原点为圆心、以 为半径与圆 有公共点的最大圆的半径为 6，所以 的最大值为 6，故选 B． 13．C【解析】由题意得 ， ， ，所以 ． 14．D【解析】设直线 的倾斜角为 ，由题意可知 ． 15．B【解析】圆的标准方程为 ，则圆心 ，半径 满足 C 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = (2,1)C 2r = 2 1 1 0a+ × − = 1a = − ( 4, 1)A − − 2 2 2 2( 4 2) ( 1 1) 4 6AB AC r= − = − − + − − − = 5c = ± 2 5 0x y+ + = 2 5 0x y+ − = , ,A B C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 3 10 0 4 2 20 0 7 50 0 D E F D E F D E F + + + =  + + + =  − + + = 2, 4, 20D E F= − = = − 2 2 2 4 20 0x y x y+ − + − = 0x = 2 4 20 0y y+ − = 1(0, )M y 2(0, )N y 1 2 4y y+ = − 1 2 20y y⋅ = − 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4 6MN y y y y y y= − = + − = M (1,1) (1,0)N 45OMN∠ =  0 1x = M ( 2,1) 3OM = M O MN′ ON′ Rt OMN′∆ 3 2sin 3 2OMN′∠ = < 45OMN′∠ <  O N °45OMN∠ = 0 2x = l (0,3) 1 l 3 0x y− + = C (3,4) | | 5OC = m C m 1 2(0,0), (3,4)C C 1 21, 25r r m= = − 1 2 1 2| | 1 25 5C C r r m= + = + − = 9m = l θ min max0, 2 6 3 π πθ θ= = × = 2 2( 1) ( 1) 2x y a+ + − = − ( 1,1)C − r 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，则圆心 到直线 的距离 ， 所以 ，故 16．B【解析】易知直线 过定点 ，直线 过定点 ，且两条直线相互垂直，故点 在以 为直径的圆上运动， 故 ．故选 B． 17．A【解析】由题意可知以线段 为直径的圆 C 过原点 ，要使圆 的面积最小，只 需圆 的半径或直径最小．又圆 与直线 相切，所以由平面几何知识， 知 圆 的 直 径 的 最 小 值 为 点 到 直 线 的 距 离 ， 此 时 ， 得 ，圆 的面积的最小值为 ． 18．A【解析】根据平面几何知识，直线 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连 线的斜率为 ，故直线 的斜率一定是 ，只有选项 A 中直线的斜率为 ． 19．A【解析】圆 C1，C2 的圆心分别为 C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3， ∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4 的最小值． 又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2，－3)， 所以|PC1|＋|PC2|－4 的最小值为|C3C2|－4＝ ， 故选 A． 20．C【解析】圆心 ，圆心到直线的距离 ，半径 ，所以最 后弦长为 . 21．B【解析】（1）当 过 与 的中点 时，符合要求，此 ， （2）当 位于②位置时 , ， (1,2) 1+4-5+ 5 =1 5 d = 5r = 2 22 ( 5) 1 4− = y ax b= + ( )1,0A − BC D 1 3b = y ax b= + 1 ,0bA a  −   1 1 ,1 1 b a bD a a − +   + +  2 2r a= − C 2 0x y+ + = 2 2 1 1 d = = + 2 4 2 2r a= + = − 4a = − 0x my+ = (0,0)A 3 0mx y m− − + = (1,3)B P AB | | | | | | cos | | sinPA PB AB PAB AB PAB+ = ∠ + ∠ 10 2 sin( )4PAB π= ⋅ ∠ + [ 10,2 5]∈ AB O C C C 2 4 0x y+ − = O 2 4 0x y+ − = 42 5 r = 2 5 r = C 2 4 5S rπ π= = AB 1 2 AB 2− 2− 2 22 3 3 4 4 5 2 4( − ) + (− − ) − = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 得 ,∵ ,∴ (3) 当 位于③位置时 , ， 令 ,即 ， 化简得 ,∵ , ∴ ，解得 综上： ，选 B 22．B【解析】点 M(a, b)在圆 外，∴ ．圆 到直线 距离 =圆的半径，故直线与圆相交．所以选 B． 23．C【解析】设直线斜率为 ，则直线方程为 ，即 ， 圆心 到直线的距离 ，即 ，解得 ．因为直 线与直线 垂直，所以 ， 即 ，选 C． 24．A【解析】∵圆心到直线的距离等于 ，排除 B、C；相切于第一象限排除 D，选 A.直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 . 25．C【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，设 ， 1 1 1 2A BDS∆ = 2 1 2 ba b = − 0a > 1 2b < y ax b= + 2 1,1 1 b b aA a a − −   − −  2 1 ,1 1 b a bD a a − +   + +  2 2 1 2A CDS∆ = ( )1 1 1 112 1 1 2 b bb a a − − − − = + −  2 22 4 1a b b− = − + 0a > 22 4 1 0b b− + < 2 21 12 2b− < < + y x A1 D2 D1 A2 ③ ② ① y=ax+b D OA B C 2 11 2 2b− < < k 2 ( 2)y k x− = − 2 2 0kx y k− + − = (1,0) 2 2 2 5 1 k k k + − = + 2 2 5 1 k k − = + 1 2k = − 1 0ax y− + = 1 1 2k a = − = − 2a = 1r = ( )0y x k k= − + > 1r = 2k = 2 2 1x y+ = 2 2 1a b+ > (0,0)O 1ax by+ = 2 2 1 1d a b = < + 2 4y x= (1,0) 1x = − 1 1( , )A x y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，则因为|AF|=3|BF|，所以 ，所以 ， 因为 =3 ， =9 ，所以 =3， = ，当 =3 时， ， 所以此时 ，若 ，则 , 此时 ,此时直线方程为 。若 ， 则 ,此时 ,此时直线方程为 ． 所以 的方程是 或 ，选 C. 26．A【解析】“直线 ： 与直线 ： 平行”的充要条件 是 ，解得， 或 ，所以是充分不必要条件。 27．D【解析】∵直线 与圆 相切，∴圆心 到直线的距离为 ，所以 ， 设 ，则 ，解得 . 28．A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点 的圆的弦长 达到最小，所以需该直线与直线 垂直即可.又已知点 ，则 ,故所求直线 的斜率为 1.又所求直线过点 ，故由点斜式得，所求直线的方程为 ，即 ．故选 A． 29．B【解析】圆 的圆心 到直线 的距离 弦 的长 ． 30．A【解析】设点 ，直线 的方程是 ， ，由于 的面积为 2，则这个三角形中 边上的高 满足方程 ，即 ， 由点到直线的距离公式得 ，即 ，解得有 4 个实根， 1 3 2 1 12y = 1 12 2 3y = ± = ± 1 2 3y = 1 2 3(3,2 3), ( , )3 3A B − 3ABk = 3( 1)y x= − 1 2 3y = − 1 2 3(3, 2 3), ( , )3 3A B− 3ABk = − 3( 1)y x= − − l 3( 1)y x= − 3( 1)y x= − − 2 2 4x y+ = (0,0)O 3 4 5 0x y+ − = 5 15d −= = AB 2 22 2 3AB r d= − = 2 2( , )B x y 1 21 3( 1)x x+ = + 1 23 2x x= + 1| |y 2| |y 1x 2x 1x 2x 1x 1l 2 1 0ax y+ − = 2l ( 1) 4 0x a y+ + + = ( 1) 2a a + = 1a = 2a = − ( 1) +( 1) 2=0m x n y+ + − 2 2( 1) +(y 1) =1x − − (1,1) 2 2 |( 1)+( 1) 2|= =1 ( 1) +( 1) m nd m n + + − + + 21 ( )2 m nmn m n += + + ≤ =t m n+ 21 +14 t t≥ ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )t ∈ −∞ − ∞ P OP (1,1)P 1OPk = − (1,1)P ( )1 1y x− = − − 2 0+ − =x y 2( , )C t t AB 2 0x y+ − = | | 2 2AB = ABC∆ AB h 1 2 2 22 h× = 2h = 2| 2 |2 2 t t+ −= 2| 2 | 2t t+ − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故这样的点 C 有 4 个． 31．B【解析】 ， 表示两条直线即 轴和直线 ： ， 显然 轴与 有两个交点，由题意 与 相交，所以 的圆心到 的距离 ，解得 ，又当 时， 直线 与 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选 B． 32．D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为 ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以 圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选 D． 33．D【解析】设圆心 ，则 ，即 ，解得 ，所以 圆 的方程为 ． 34 ． 3 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 又 点 为 的 中 点 ， 所 以 ， 设 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 直 线 的 斜 率 为 ， 则 ， ．又 ，所以直线 的方程为 ，又 为直线 ： 上在第一象限内的点，联立直线 与直线 的方程，得 ， 解得 ，所以点 的横坐标为 3． 35． 【解析】设 ，由 ，得 ， O5 2 5 2 2x-y+5=0 N M y x B A 2 2 1 :( 1) 1C x y− + = 2C x l ( 1)y m x= + x 1C l 2C 1C l 2 | (1 1) 0 | 1 1 md r m + −= < = + 3 3( , )3 3m∈ − 0m = l x (1,0) 1r = 2 2( 1) 1x y− + = 2 22 0x x y− + = ( ,0)( 0)O a a < 2 2 | |5 1 2 a= + | | 5a = 5a = − O 2 2( 5) 5x y+ + = 0AB CD⋅ =  AB CD⊥ C AB 45BAD∠ =  l θ AB k tan 2θ = tan( ) 34k πθ= + = − (5,0)B AB 3( 5)y x= − − A l 2y x= AB l 3( 5) 2 y x y x = − −  = 3 6 x y =  = A [ 5 2,1]− ( , )P x y 20PA PB⋅  ≤ 2 5 0x y− + ≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 如图由 可知， 在 上， 由 ，解得 ， ， 所以 点横坐标的取值范围为 ． 36．（Ⅰ） ；（Ⅱ）①②③ 【解析】（Ⅰ）由题意，设 （ 为圆 的半径），因为 ， 所以 ，所以圆心 ， 故圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）由 ，解得 或 ， 因为 在 的上方，所以 ， ． 不妨令直线 的方程为 ， ， 所以 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，所以 ． ． 正确结论的序号①②③． 37． 【解析】圆心 到直线 的距离 ． 直线 被圆 截得的弦长为 ． 38． 【解析】由题意知圆心 到直线 的距离等于 ， 即 ，解得 ． 39．2【解析】由题意得，直线 截圆所得的劣弧长为 ，则圆心到直线 的距离为 ， 032 =−+ yx 032 =−+ yx 4)1()2( 22 =++− yx 02 =−+ yax 2 5 0x y− + ≤ P MN 2 2 2 5 0 50 x y x y − + =  + = (1,7)M ( 5, 5)N − − P [ 5 2,1]− 2 2( 1) ( 2) 2x y− + − = (1, )C r r C | | 2AB = 2 21 1 2r = + = (1, 2)C C 2 2( 1) ( 2) 2x y− + − = 2 2 0 ( 1) ( 2) 2 x x y = − + − = 0 2 1 x y = = − 0 2 1 x y = = + B A (0, 2 1)A − (0, 2 1)B + MN 0x = (0, 1)M − (0,1)N | | 2MA = | | 2 2MB = + | | 2 2NA = − | | 2NB = | | 2 2 2 1| | 2 NA NB −= = − | | 2 2 1| | 2 2 MA MB = = − + | | | | | | | | NA MA NB MB = | | | | 2 ( 2 1) 2| | | | 2 2 NB MA NA MB − = − − = − | | | | 2 ( 2 1) 2 2| | | | 2 2 NB MA NA MB + = + − = − 2 55 5 (2, 1)− | 2 2 3| 3 5 5 d − −= = 92 4 5 − = 2 55 5 4 15± (1, )C a 3 2 |1 2 | 3 1 a a a ⋅ + − = + 4 15a = ± 1l 2 π 1l 2 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 ，得 ，同理可得 ，则 ． 40． 【解析】设圆心为 ，则圆的半径为 ，圆心到 轴的距 离为 ，所以 ，解得 ，所以圆 的标准方程为 ． 41． 【解析】因为点 关于直线 对称的点的坐标为 ，所以所 求圆的圆心为 ，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为 ． 42．0 或 6【解析】圆 的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径 为 3．因为 ，所以圆心 到曲线 的距离为 ， 即 ，所以 或 6． 43． 【解析】设 ，则 ， ， ∵ 为常数，∴ ，解得 或 （舍去），∴ ． 解得 或 （舍去）． 44 ． 【 解 析 】 已 知 圆 心 为 ， 半 径 为 5 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ，所以弦长 ． 45．4【解析】由题意圆心到该直线的距离为 1，而圆半径为 ＞2，故圆上有 4 个点到该 直线的距离为 1. 46． 【解析】圆心(0，2)到直线 的距离为 = ，圆的半径为 2，所以 所求弦长为 2 4 5 | | 2 22 a = 2 1a = 2 1b = 2 2 2a b+ = 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = (2 , )b b 2b x b 2 22 4 2 3, 0b b b− = > 1b = C 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − = 2 2( 1) 1x y+ − = )0,1( xy = (0,1) (0,1) 2 2( 1) 1x y+ − = :C 2 2( 1) ( 2) 9x y+ + − = ( 1,2)C − AC BC⊥ C 0=+− ayx 3 2 2 | 1 2 | 3 2 22 a− − + = 0a = 1 1,2 2 − ( ),M x y 2 2 2 21, 1x y y x+ = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1| | ( ) 2 1 1 2 2 | | ( 2) 4 4 1 5 4 2 5 4 b bMB x b y x bx b x b bx b MA x y x x x x x λ + +− + − + + − + −= = = = = − ++ + + + + − + + λ 2 5 1 02b b+ + = 1 2b = − 2b = − 2 1 2 4 bλ = − = 1 2 λ = 1 2 λ = − ( )3,4 2 3y x= + 2 3 4 3 5 5 d × − += = 2 22 4 5l r d= − = 5 2 2 y x= d 0 2 2 2 − = 2 22 ( 2) 2 2− = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 47 ．1 【解析】当 时，两直线不垂直，故 ．因为直线 与直线 的斜率分别为 和 ，由 ，故 ． 48． 【解析】以题意设圆 的方程为 ，把所给的两点 坐标代入方程得 ，解得 ，所以圆 C： ． 49． 【解析】由题意可知原点到直线 的距离为圆的半径， 即 ,所求圆的方程为 ． 50． 【解析】设圆 的方程为 ，由题意得 ，解得 ，所以圆 C 的方程为 ． 51．【解析】（Ⅰ）因为 ， ，故 ， 所以 ，故 . 又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 . 由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： （ ）． （ Ⅱ ） 当 与 轴 不 垂 直 时 ， 设 的 方 程 为 ， ， . 由 得 . 则 ， . |||| ACAD = ACEB// ADCACDEBD ∠=∠=∠ |||| EDEB = |||||||||| ADEDEAEBEA =+=+ A 16)1( 22 =++ yx 4|| =AD 4|||| =+ EBEA )0,1(−A )0,1(B 2|| =AB E 134 22 =+ yx 0≠y l x l )0)(1( ≠−= kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN    =+ −= 134 )1( 22 yx xky 01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk 34 8 2 2 21 +=+ k kxx 34 124 2 2 21 + −= k kxx 0m = 0m ≠ 2 5 0x y− + = 2 6 0x my+ − = 1 2 2 m − 1 2( ) 12 m × − = − 1m = 2 2( 2) 10x y− + = C 2 2 2( )x a y r− + = 2 2 2 2 (5 ) 1 (1 ) 9 a r a r  − + =  − + = 2 2 10 a r =  = 2 2( 2) 10x y− + = 2 2 2x y+ = 2 0x y+ − = | 0 0 2 | 2 2 r + −= = 2 2 2x y+ = 2 2( 3) 2x y− + = C 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 2(4 ) (1 ) 1 12 | 1| 2 a b r b a a b r   − + − = − = − − − − = 3 0 2 a b r  =  =  = 2 2( 3) 2x y− + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 . 过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以 .故四边形 的面积 . 可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 . 当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为 12. 综上，四边形 面积的取值范围为 . 52．【解析】（I）如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy． 由条件知 A(0, 60)，C(170, 0)， 直线 BC 的斜率 k BC=－tan∠BCO=－ . 又因为 AB⊥BC， 所以直线 AB 的斜率 k AB= . 设点 B 的坐标为(a,b)， 则 k BC= k AB= 解得 a=80，b=120. 所以 BC= . 因此新桥 BC 的长是 150 m. （II）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM=d m，(0≤d≤60). 由条件知，直线 BC 的方程为 ，即 由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r， 34 )1(12||1|| 2 2 21 2 + +=−+= k kMN )0,1(B l m )1(1 −−= xky A m 1 2 2 +k 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2 + += + −= k k k PQ MPNQ 34 1112||||2 1 2 ++== kPQMNS l x MPNQ )38,12[ l x 1=x 3|| =MN 8|| =PQ MPNQ MPNQ )38,12[ 4 3 3 4 0 4 ,170 3 b a − = −− 60 3 ,0 4 b a − =− 2 2(170 80) (0 120) 150− + − = 4 ( 170)3y x= − − 4 3 680 0x y+ − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 . 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, 所以 即 解得 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大. 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二: （I）如图，延长 OA, CB 交于点 F. 因 为 tan ∠ BCO= . 所 以 sin ∠ FCO= ， cos ∠ FCO= ． 因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tan∠FCO= . CF= ,从而 . 因为 OA⊥OC，所以 cos∠AFB=sin∠FCO== ， 又因为 AB⊥BC，所以 BF=AF cos∠AFB== ，从而 BC=CF－BF=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m. （II）设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MD⊥BC，且 MD 是圆 M 的半 径，并设 MD=r m，OM=d m(0≤d≤60). 因为 OA⊥OC，所以 sin∠CFO =cos∠FCO， 故由(1)知，sin∠CFO = 所以 . 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, 所以 即 解得 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大. 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. | 3 680 | 680 3 5 5 d dr − −= = 80 (60 ) 80 r d r d −  − − ≥ ≥ 680 3 805 680 3 (60 ) 805 d d d d − − − − − ≥ ≥ 10 35d≤ ≤ 680 3 5 dr −= 4 3 4 5 3 5 680 3 850 cos 3 OC FCO =∠ 500 3AF OF OA= − = 4 5 400 3 3,680 5 3 MD MD r MF OF OM d = = =− − 680 3 5 dr −= 80 (60 ) 80 r d r d −  − − ≥ ≥ 680 3 805 680 3 (60 ) 805 d d d d − − − − − ≥ ≥ 10 35d≤ ≤ 680 3 5 dr −= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 53 ．【 解 析 】（ I ） 由 题 设 点 ， 又 也 在 直 线 上 ， ，由题，过 A 点切线方程可设为 ， 即 ，则 ，解得： ， ∴所求切线为 或 （II）设点 ， ， ， ， ， ，即 ，又点 在圆 上， ，两式相减得 ，由题以上两式有公共点， 整理得： ，即 ， 令 ，则 ，解得： ， ，解得： ． 54．【解析】（I）设 ，圆 的半径为 ． 由题设 ，从而 故 点的轨迹方程为 ． （II）设 ，由已知得 ． 又 点在双曲线 上，从而得 P ( ,2 4)C a a − C 1−= xy 2 4 1, 3a a a∴ − = − ∴ = 2 2:( 3) ( 2) 1C x y∴ − + − = 3y kx= + 3 0kx y− + = 2 | 3 1| 1 1 k k + = + 30, 4k = − 3y = 3 34y x= − + ( ,2 4)C a a − 0 0( , )M x y 2MA MO= )3,0(A (0,0)O 2 2 2 2 0 0 0 0( 3) 4( )x y x y∴ + − = + 2 2 0 0 03 2x y y+ = − M C 2 2 0 0( ) ( 2 4) 1x a y a∴ − + − + = 2 0 0 5(2 3) ( 8 9) 02 aax a y a+ − − − + = 2 2 2 2 5| (2 3)(2 4) ( 8 9)|2 1 (2 3) aa a a a a a + − − − − + ∴ ≤ + − 2 25| 6 3| 5 12 92 a a a a− + ≤ − + 2 2 2(5 12 6) 4(5 12 9)a a a a− + ≤ − + 25 12 6t a a= − + 2 4( 3)t t≤ + 2 6t− ≤ ≤ 22 5 12 6 6a a∴− ≤ − + ≤ 120 5a≤ ≤ ( ),P x y P r 2 2 2 32 , 3y r x r+ = + = 2 22 3y x+ = + 2 2 1y x− = ( )0 0,P x y 0 0 2 22 x y− = P 2 2 1y x− = 0 0 2 2 0 0 1 1 x y y x  − =  − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由 得 此时，圆 的半径 ． 故圆 的方程为 或 55．【解析】（I）曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 （ 故可设 C 的圆心为 ，则有 解得 ． 则圆 C 的半径为 所以圆 C 的方程为 （II）设 ， ，其坐标满足方程组： 消去 ，得到方程 由已知可得，判别式 因此， 从而 ① 由于 ，可得 又 所以 ② 由①，②得 ，满足 故 56．【解析】（I）因为 ，且 ，所以 所以椭圆 C 的方程为 （II）由题意知 0 0 2 2 0 0 1 1 x y y x − =  − = 0 0 0 1 x y =  = − P 3r = P ( )22 1 3x y+ − = ( )22 1 3x y+ + = 162 +−= xxy y (0,1) x ).0,223(),0,223 −+ (3, )t ,)22()1(3 2222 tt +=−+ 1t = .3)1(3 22 =−+ t .9)1()3( 22 =−+− yx 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y    =−+− =+− .9)1()3( ,0 22 yx ayx y .012)82(2 22 =+−+−+ aaxax .041656 2 >−−=∆ aa ,4 41656)28( 2 2,1 aaa x −−±− = 2 120,4 2 2121 +−=−=+ aaxxaxx OA OB⊥ ,02121 =+ yyxx ,, 2211 axyaxy +=+= .0)(2 2 2121 =+++ axxaxx 1−=a ,0>∆ .1−=a 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 2 2 13 x y+ = (0, )( 1 1)p t t− <