理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十六讲椭圆答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十六讲 椭圆 答案部分 1. 解析 如图所示，设 ，则 ，所以 . 由椭圆定义 ，即 . 又 ， ，所以 . 因此点 A 为椭圆的上顶点，设其坐标为 . 由 可得点 B 的坐标为 . 因为点 B 在椭圆 上，所以 . 解得 .又 ，所以 .所以椭圆方程为 .故选 B. 2．解析（1）由题设得 ，化简得 ，所以 C 为中心在 坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． 3. 解析 由题意， ，得 ，则 ， 所以 ，即 ．故选 B． 4. 解析 设 ， ，椭圆 C： 的 ， ， ， 2BF x= 2 2AF x= 2 3BF AB x= = 1 2 2BF BF a+ = 4 2x a= 1 2 2 4AF AF a x+ = = 2 2AF x= 1 2AF x= ( )0,b 2 22AF BF= 3 ,2 2 b −   ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 9 1 14 4a + = 2 3a = 1c = 2 2b = 2 2 13 2 x y+ = 1 2 2 2 y y x x ⋅ = −+ − 2 2 1(| | 2)4 2 x y x+ = ≠ 1 2 ce a = = 2 2 1 4 c a = 2 2 2 1 4 a b a − = 2 2 24 4a b a− = 2 23 4a b= ( , )M m n , 0m n > 2 2 : 136 20 x yC + = 6a = 2 5b = 2c = y xF2F1 O B A 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，由于 M 为 C 上一点且在第一象限，可得 ， 为等腰三角形，可能 或 ， 即有 ，即 ， ； ，即 ，舍去．可得 . 2010-2018 年 1．D【解析】由题意可得椭圆的焦点在 轴上，如图所示， 设 ，所以 为等腰三角形，且 ， ∴ ，∵ ，∴点 坐标为 ，即点 ．∵点 在过点 ，且斜率为 的直线上， ∴ ，解得 ．∴ ，故选 D． 2．C【解析】由题意 ， ．由椭圆的定义可知， 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为 ，故选 C． 3．B【解析】由题意可知 ， ，∴ ，∴离心率 ， 选 B 4．A【解析】以线段 为直径的圆是 ，直线 与圆相切， O y x P F2F1A 2 3 ce a = = 1 2| | | |MF MF> 1 2MF F△ 1| | 2MF c= 2| | 2MF c= 26 83 m+ = 3m = 15n = 26 83 m− = 3 0m = − < (3, 15)M x 1 2| | 2=F F c 1 2 ∆PF F 1 2 =120∠ F F P 2 1 2| | | | 2PF F F c= = 2| |OF c= P ( 2 cos60 ,2 sin 60 )c c c+   (2 , 3 )P c c P A 3 6 3 3 2 6 c c a =+ 1 4 c a = 1 4e = 2 5=a 5=a P 2 2 5=a 2 9a = 2 4b = 2 2 2 5c a b= − = 5 3 ce a = = 1 2A A 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以圆心到直线的距离 ，整理为 ， 即 ，即 ， ，故选 A． 5 ． A 【 解 析 】 设 ， 则 直 线 的 方 程 为 ， 由 题 意 可 知 ， 和 三点共线，则 ，化简得 ， 则 的离心率 ．故选 A． 6．A【解析】由题意知 ，即 ， ， 所以 ．故选 A． 7．D【解析】由题意可设 ，圆的圆心坐标为 ，圆心到 的距离 为 ，当且仅 当 时取等号，所以 ，所以 两点间的最大距离是 ． 8．D【解析】设 ，则 =2， =－2， ① ② ①－②得 ， ∴ = = = ， 又 = = ， ∴ = ， 又 9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为 ，故选 D. 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2x x+ 1 2y y+ 2 2 1 1 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b + − + −+ = ABk 1 2 1 2 y y x x − − 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) b x x a y y +− + 2 2 b a ABk 0 1 3 1 + − 1 2 2 2 b a 1 2 2c 2 2a b− 2b 2a 2 2 118 9 x y+ = 2 2 2abd a a b = = + 2 23a b= ( )2 2 2 2 23 2 3a a c a c= − ⇒ = 2 2 2 3 c a = 6 3 ce a = = (0, )E m AE 1x y a b − + = ( , )mcM c m a − − (0, )2 m ( ,0)B a 2 2 mc m mm a c a − − =− − 3a c= C 1 3 ce a = = 2 21 1m n− = + 2 2 2m n= + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) 2 m n n ne e m n n n − + + += ⋅ = ⋅+ 4 2 4 2 4 2 2 1 11 12 2 n n n n n n + += = + >+ + 1 2 1e e > ( 10 cos ,sin )Q α α (0,6)C Q 2 2 22| | ( 10 cos ) (sin 6) 50 9(sin ) 50 5 23CQ α α α= + − = − + =≤ 2sin 3 α = − max max| | | | 5 2 2 6 2PQ CQ r+ = + =≤ QP, 6 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 9．C【解析】 是底角为 的等腰三角形 10．5【解析】设 ， ，由 ，得 ， 即 ， ．因为点 ， 在椭圆上，所以 ，得 ，所以 ， 所以当 时，点 横坐标的绝对值最大，最大值为 2． 11． 【解析】设椭圆的右焦点为 ，双曲线 的渐近线与椭圆 在第一象 限内的交点为 ，由题意可知 ，由点 在椭圆 上得， ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ （舍去）或 ，∴椭圆 的离心率 ， ∵双曲线的渐近线过点 ，渐近线方程为 ， 故双曲线的离心率 ． 12． 【解析】由题意得 ，直线 与椭圆方程联立可得 ， 2 1F PF 30 y x A FO ∆ 2 2 1 3 32( ) 22 4 cPF F F a c c e a ⇒ = = − = ⇔ = = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB=  1 2 1 2 2 1 2( 1) x x y y − =  − = − 1 22x x= − 1 23 2y y= − A B 2 22 2 2 22 2 4 (3 )4 4 x x m x y m  + − =  + = 2 1 3 4 4y m= + 2 2 2 2 2 2 1 5 9 1(3 2 ) ( 5) 4 44 2 4 4x m y m m m= − − = − + − = − − + ≤ 5m = B 3 1 2− ； ( ,0)F c N M A 3( , )2 2 c cA A M 2 2 2 2 3 14 4 c c a b + = 2 2 2 2 2 23 4b c a c a b+ = 2 2 2b a c= − 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 4 ( )a c c a c a a c− + = − 4 2 2 44 8 0a a c c− + = 4 28 +4 0e e− =椭 椭 2 4 2 3e = ±椭 3 1e = +椭 3 1e = −椭 M 3 1− 3( , )2 2 c cA 3y x= 2 2 2 2m ne m += =双 6 3 ( ),0F c 2 by = 3 ,2 2 a bB  −    天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，由 可得 ， ， ，则 ，由 可得 ， 则 ． 13． 【解析】 由题意圆过 三个点，设圆心为 ， 其 中 ， 由 ， 解 得 ， 所 以 圆 的 方 程 为 ． 14． 【解析】设 ， ，分别代入椭圆方程相减得 ，根据题意有 ， 且 ，所以 ，得 ，整理 ， 所以 ． 15．12【解析】设 交椭圆于点 ，连接 和 ，利用中位线定理可得 ． 16． 【解析】由题意可得 ， ，由题意可知点 为 的中点，所 以点 的坐标为 ，由 ，所以 ，整理得 ， 解得 ． 17． 【解析】由题意得通径 ，∴点 B 坐标为 将点 B 坐标带入椭圆方程得 ， 3 ,2 2 a bC       90BFC∠ = ° 0BF CF⋅ =  3 ,2 2 a bBF c  = + −     3 ,2 2 a bCF c  = − −     2 2 23 1 04 4c a b− + = 2 2 2b a c= − 2 23 1 4 2c a= 2 6 3 3 ce a = = = 2 23 25( )2 4 − + =x y (4,0),(0,2),(0, 2)- ( ,0)a 0a > 24 4− = +a a 3 2a = 2 23 25( )2 4 − + =x y 2 2 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b − + − ++ = 1 2 1 22, 2x x y y+ = + = 1 2 1 2 1 2 y y x x − = −− 2 2 2 2 1( ) 02a b + × − = 2 22a b= 2 22a c= 2 2e = MN P 1F P 2F P AN BN+ = 1 22 2 2 2 4 12F P F P a a+ = × = = 3 3 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F B D 2 (0, )2 b a − BFAD 1⊥ 1 1AD F Bk k⋅ = − 23 2b ac= 3 3e = 2 23 12x y+ = 2 2AF b= 25 1( , )3 3 cB b− − 2 2 2 2 1( )5 3( ) 13 bc b − − + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又 ，解得 ∴椭圆方程为 ． 18． 【解析】由题意可知， 中， ， 所以有 ，整理得 ，故答案为 ． 19． 【解析】由椭圆的性质可知： ， ， .又已知 ， ， 成等比数列，故 ，即 ，则 .故 .即椭圆的离心率为 ． 20 ． 【 解 析 】 设 点 的 坐 标 为 ， 点 的 坐 标 为 ． ， 可 得 ， ， ∵ ， ∴ ，又点 在椭圆上， ∴ ， ，解得 ， ∴点 的坐标是 ． 21．【解析】(1)由已知得 ， 的方程为 ． 由已知可得，点 的坐标为 或 ． 所以 的方程为 或 ． 13 − 21FMF∆ °=∠°=∠°=∠ 90,30,60 211221 MFFFMFFMF      = =+ ==+ 12 21 22 21 2 2 2 1 3 2 )2( MFMF aMFMF cFFMFMF 13 −== a ce 13 − 2 21b c= − 2 2 2 3 1 3 b c  =  = 2 23 12x y+ = 5 5 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F 1F B 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5 5 ce a = = 5 5 (0, 1)± A ( , )m n B ( , )c d 1 2( 2,0), ( 2,0)F F− 1 ( 2, )F A m n= + 2 ( 2, )F B c d= − 1 25F A F B=  6 2 ,5 5 m nc d += = ,A B 2 2 13 m n+ = 2 2 6 2( )5 ( ) 13 5 m n + + = 0, 1m n= = ± A (0, 1)± (1,0)F l 1=x A 2(1, )2 2(1, )2 − AM 2 22y x= − + 2 22y x= − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (2)当 与 轴重合时， ． 当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，所以 ． 当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ， 则 ， ，直线 ， 的斜率之和为 ． 由 ， 得 ． 将 代入 得 ． 所以， ， ． 则 ． 从而 ，故 ， 的倾斜角互补，所以 ． 综上， ． 22．【解析】(1)设 ， ，则 ， ． 两式相减，并由 得 ． 由题设知 ， ， 于是 ．① 由题设得 ，故 ． (2)由题意得 ，设 ，则 ． l x 0OMA OMB∠ = ∠ = ° l x OM AB OMA OMB∠ = ∠ l x l ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 1 2 + 1P 2P 2 2 2 1 1 1 3 14 b a b  =  + = 2 2 4 1 a b  = = 2 2 14 x y+ = 2P A 2P B 1k 2k l x l x t= 0t ≠ | | 2t < 24 2 t− 24 2 t−− 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t − − − ++ = − = − 2t = l y kx m= + 1m ≠ y kx m= + 2 2 14 x y+ = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 2=16(4 1) 0k m∆ − + > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 8 4 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −= + 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 1kx m kx m x x + − + −= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 由题设 ，故 ． 即 ． 解得 ． 当且仅当 时， ，欲使 ： ，即 ， 所以 过定点（2， ） 25 ．【 解 析 】（ 1 ） 设 ， ， 则 ， ， ． 由 得 ， ． 因为 在 上，所以 ． 因此点 的轨迹方程为 ． （2）由题意知 ．设 ， ，则 ， ， ， ， ， 由 得 ，又由（1）知 ， 故 ． 所以 ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，所以过点 且 垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为 . 因为椭圆 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以 ， ， 解得 ，于是 ， 1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x + − += 1 2 1k k+ = − 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x+ + − + = 2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k − −+ ⋅ + − ⋅ =+ + 1 2 mk += − 1m > − 0∆ > l 1 2 my x m += − + 11 ( 2)2 my x ++ = − − l 1− ( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= − 0(0. )NM y= 2NP NM=  0x x= 0 2 2y y= 0 0( , )M x y C 2 2 12 2 x y+ = P 2 2 2x y+ = ( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n ( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − − 3 3OQ PF m tn⋅ = + −  ( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − − 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − = 0OQ PF⋅ =  OQ PF⊥  P OQ P OQ l C F c E 1 2 1 2 c a = 22 8a c = 2, 1a c= = 2 2 3b a c= − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因此椭圆 的标准方程是 . （2）由（1）知， ， . 设 ，因为点 为第一象限的点，故 . 当 时， 与 相交于 ，与题设不符. 当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 . 因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 从而直线 的方程： ， ① 直线 的方程： . ② 由①②，解得 ，所以 . 因为点 在椭圆上，由对称性，得 ，即 或 . 又 在椭圆 上，故 . 由 ，解得 ； ，无解. 因此点 的坐标为 . 27．【解析】（Ⅰ）设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ， ， ，于是 . 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 . E 2 2 14 3 x y+ = 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 0 0( , )P x y P 0 00, 0x y> > 0 1x = 2l 1l 1F 0 1x ≠ 1PF 0 0 1 y x + 2PF 0 0 1 y x − 1 1l PF⊥ 2 2l PF⊥ 1l 0 0 1x y − + 2l 0 0 1x y −− 1l 0 0 1( 1)xy xy += − + 2l 0 0 1( 1)xy xy −= − − 2 0 0 0 1, xx x y y −= − = 2 0 0 0 1( , )xQ x y −− Q 2 0 0 0 1 x yy − = ± 2 2 0 0 1x y− = 2 2 0 0 1x y+ = P E 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 0 0 2 2 0 0 1 14 3 x y x y  − = + = 0 0 4 7 3 7,7 7x y= = 2 2 0 0 2 2 0 0 1 14 3 x y x y  + = + = P 4 7 3 7( , )7 7 F ( ,0)c− 1 2 c a = 2 p a= 1 2a c− = 1a = 1 2c = 2p = 2 2 2 3 4b a c= − = 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅱ）设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故 .将 与 联立，消去 ， 整理得 ，解得 ，或 . 由点 异于点 ，可得点 . 由 ，可得直线 的方程为 ，令 ，解得 ， 故 .所以 . 又因为 的面积为 ，故 ， 整理得 ，解得 ，所以 . 所以，直线 的方程为 ，或 . 28．【解析】（I）由题意知 ， ， 所以 ， 因此椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）设 ， 联立方程 得 ， 由题意知 ， 且 ， 2 2 ce a = = 2 2c = 2, 1a b= = E 2 2 12 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 1,2 3 ,2 x y y k x  + =  = − ( )2 2 1 14 2 4 3 1 0k x k x+ − − = 0∆ > ( )1 1 2 1 22 2 1 1 2 3 1,2 1 2 2 1 kx x x xk k + = = −+ + AP 1( 0)x my m= + ≠ l 1x = − 2( 1, )P m − − 2( 1, )Q m − 1x my= + 2 2 4 13 yx + = x 2 2(3 4) 6 0m y my+ + = 0y = 2 6 3 4 my m −= + B A 2 2 2 3 4 6( , )3 4 3 4 m mB m m − + − + + 2( 1, )Q m − BQ 2 2 2 6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4 m mx ym m m m − − +− + − + − =+ + 0y = 2 2 2 3 3 2 mx m −= + 2 2 2 3( ,0)3 2 mD m − + 2 2 2 2 2 3 6| | 1 3 2 3 2 m mAD m m −= − =+ + APD△ 6 2 2 2 1 6 2 6 2 3 2 | | 2 m m m × × =+ 23 2 6 | | 2 0m m− + = 6| | 3m = 6 3m = ± AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ． 由题意可知圆 的半径 为 由题设知 ， 所以 因此直线 的方程为 ． 联立方程 得 ， 因此 ． 由题意可知 ， 而 ， 令 ， 则 ， 因此 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ， 1 2 2 4k k = 2 1 2 4k k = OC 1 2 4y xk = 2 2 1 1,2 2 ,4 x y y xk  + =  = 2 2 21 2 2 1 1 8 1,1 4 1 4 kx yk k = =+ + 2 2 2 1 2 1 1 8 1 4 kOC x y k += + = + 1sin 2 1 SOT r OCr OC r ∠ = =+ + 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 1 4 1 1 82 2 3 2 1 k OC k r k k k + += + + + 2 1 2 2 1 1 1 23 2 4 1 4 1 k k k += + + 2 11 2t k= + ( )11, 0,1t t > ∈ 2 2 2 3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4 OC t r t t t t t = = = ≥ + −  + − − − +   1 1 2t = 2t = 1 2 2k = ± 2 2 1 12 1 1 2 2 1 1 1 81 2 1+2 + += + − = k kAB k x x k M r 2 2 1 1 2 1 1 + 1 + 82 2 2 3 3 2 + 1 k kr AB k = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ， 因此 ， 所以 最大值为 ． 综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 ． 29．【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设 ，则 . 当 时，直线 的方程为 . 令 ，得 .从而 . 直线 的方程为 . 令 ，得 .从而 . 所以 . 当 时， ， 所以 . 综上， 为定值. 1sin 2 2 SOT∠ ≤ 2 6 SOT π∠ ≤ SOT∠ 3 π SOT∠ 3 π l 1 2 2k = ±         += = = , ,12 1 ,2 3 222 cba ab a c 1,2 == ba C 14 2 2 =+ yx )1,0(),0,2( BA ),( 00 yxP 44 2 0 2 0 =+ yx 00 ≠x PA )2(20 0 −−= xx yy 0=x 2 2 0 0 −−= x yyM 2 211 0 0 −+=−= x yyBM M PB 11 0 0 +−= xx yy 0=y 10 0 −−= y xxN 122 0 0 −+=−= y xxAN N 2 2112 0 0 0 0 −+⋅−+=⋅ x y y xBMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 +−− +−−=+−− +−−++= yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4= 00 =x 10 −=y ,2,2 == ANBM 4=⋅ BMAN BMAN ⋅ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 30 ．【 解 析 】 (Ⅰ) 设 直 线 ， ， ， ． 将 代入 得 ， 故 ， ． 于是直线 的斜率 ，即 ． 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 能为平行四边形． 因为直线 过点 ， 所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ． 由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ． 由 得 ，即 ． 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ． 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 ． 于是 ．解得 ， ． 因为 ， ， ，所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 31．【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 =2． 故椭圆 的方程为 ． :l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y y kx b= + 2 2 29x y m+ = 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m+ + + − = 1 2 22 9M x x kbx k += = − + 2 9 9M M by kx b k = + = + OM 9M OM M yk x k = = − 9OMk k⋅ = − OM l OAPB l ( , )3 m m l C 0k > 3k ≠ OM 9y xk = − P Px 2 2 2 9 , 9 , y xk x y m  = −  + = 2 2 2 29 81P k mx k = + 23 9P kmx k ±= + ( , )3 m m l (3 ) 3 m kb −= 2 ( 3) 3( 9)M mk kx k −= + OAPB AB OP 2P Mx x= 23 9 km k ± = + 2 ( 3)2 3( 9) mk k k −× + 1 4 7k = − 2 4 7k = + 0, 3i ik k> ≠ 1i = 2 l 4 7− 4 7+ OAPB 2 2 2 1, 2 ,2 . b c a a b c =  =   = + 2a C 2 2 12 x y+ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 ( ，0)．因为 ，所以 ． 直线 的方程为 ， 所以 = ，即 ． （Ⅱ）因为点 与点 关于 轴对称，所以 ， 设 ，则 = ． “存在点 使得 = 等价”，“存在点 使得 = ” 即 满足 ． 因为 ， ， ， 所以 ． 所以 = 或 ． 故在 轴上存在点 ，使得 = ． 点 的坐标为 或 ． 32 ．【解 析 】（ 1 ） 由 题 设 条 件 知 ， 点 的 坐 标 为 ， 又 ， 从 而 ，进而得 ，故 ． （2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线 的方程为 ，点 的坐 标为 ，设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，则线段 的 中点 的坐标为 ．又点 在直线 上，且 ,从而 M Nx 0m ≠ 1 1n− < < PA 11 ny xm −− = Mx 1 m n− ( ,0)1 mM n− B A x ( , )B m n− ( ,0)NN x Nx 1 m n+ (0, )QQ y OQM∠ ONQ∠ (0, )QQ y OM OQ OQ ON Qy 2 Q M Ny x x= 1M mx n = − 1N mx n = + 2 2 12 m n+ = 2 2 2 21Q M N my x x n = = =− Qy 2 2Qy = − y Q OQM∠ ONQ∠ Q (0, 2) (0, 2)− M 2 1( , )3 3a b 5 10OMk = 5 2 10 b a = 2 25 , 2a b c a b b= = − = 2 5 5 ce a = = AB 1 5 x y bb + = N 5 1( , )2 2b b− N AB S 1 7( , )2x NS T 15 1 7( , )4 2 4 4 xb b+ − + T AB 1NS ABk k⋅ = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 有 ，解得 ，所以 ， 故椭圆 的方程为 ． 33．【解析】（Ⅰ）由题意知 ，则 ，又 ， ， 可得 ，所以椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由（I）知椭圆 的方程为 ． （i）设 ，由题意知 ， 因为 ，又 ，即 ， 所以 ，即 ． （ii）设 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ， 则有 ， 所以 ． 因为直线 与 轴交点的坐标为 ， 1 1 5 1 7 4 2 4 4 1 5 7 1 2 2 5 5 2 xb b bb b bx  + − + + =  + =  − 3b = 3 5b = E 2 2 145 9 x y+ = 42 =a 2=a 3 2 c a = 2 2 2a c b− = 1=b C 14 2 2 =+ yx E 1416 22 =+ yx λ= || ||),,( 00 OP OQyxP ),( 00 yxQ λλ −− 14 2 0 2 0 =+ yx 14 )( 16 )( 2 0 2 0 =−+− yx λλ 1)4(4 2 0 2 0 =+ yxλ 2=λ 2|| || = OP OQ ),(),,( 2211 yxByxA mkxy += E 01648)41( 222 =−+++ mkm 0>∆ 22 164 km +< 2 2 21221 41 164,41 8 k m kmxx + −=+−=+ 2 22 21 41 4164|| k mkxx + −+=− mkxy += y ),0( m 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 的面积 令 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ， 由①②可知 ，因此 ， 故 ， 当且仅当 时，即 时取得最大值 ， 由（i）知， 面积为 ， 所以 面积的最大值为 ． 34．【解析】 （Ⅱ） OAB∆ ||||2 1 21 xxmS −= 2 22 41 ||4162 k mmk + −+= 2 222 41 )416(2 k mmk + −+= 2 2 2 2 41)414(2 k m k m ++−= tk m =+ 2 2 41 mkxy += C 0448)41( 222 =−+++ mkm 0∆≥ 22 41 km +≤ 10 ≤< t ttttS 42)4(2 2 +−=−= 2 3S ≤ 1=t 22 41 km += 32 ABQ∆ S3 ABQ∆ 36 2 2 3(c,0) = = 3.3F cc （I ）设 ，由条件知， ，得 2 2 23 , =2, 1.2 c a b a ca = = − =又 所以 2 2 1.4 xE y+ =故 的方程为 1 1 2 2: = 2, ( , ), ( , ).l x l y kx P x y Q x y⊥ −当 轴时不合题意，故设 2 22 14 xy kx y= − + =将 代入 得 2 2(1 4 ) 16 12 0.k x kx+ − + = 2 2 2 1,2 2 3 8 2 4 3=16(4 3) 0, .4 4 1 k kk k x k ± −∆ − > > = +当 即 时， 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 .4 1 k kPQ k x x k + ⋅ −= + − = +从而 2 2 . 1 O PQ d OPQ k = ∆ + 又点 到直线 的距离 所以 的面积 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 35．【解析】（Ⅰ）设直线 的方程为 ，由 ， 消去 得， ， 由于直线 与椭圆 只有一个公共点 ，故 ，即 ， 解得点 的坐标为 ，由点 在第一象限， 故点 的坐标为 ； （Ⅱ）由于直线 过原点 ，且与 垂直，故直线 的方程为 ， 所以点 到直线 的距离 ， 整理得 ，因为 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以点 到直线 的距离的最大值为 . 2 2 1 4 4 3= .2 4 1OPQ kS d PQ k∆ −⋅ = + 2 2 4 44 3 , 0, .44OPQ tk t t S t t t ∆− = > = =+ + 设 则 4 74, 2 0.2t t kt + ≥ = = ± ∆ >因为 当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 OPQ ι∆所以，当 的面积最大时， 的方程为 7 72 22 2y x y x= − = − −或 l ( )0y kx m k= + < 2 2 2 2 1 y kx m x y a b = + + = y ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a kmx a m a b+ + + − = l C P 0∆ = 2 2 2 2 0b m a k− + = P 2 2 2 2 2 2 2 2,a km b m b a k b a k  − + +  P P 2 2 2 2 2 2 2 2 ,a k b b a k b a k  − + +  1l O l 1l 0x ky+ = P 1l 2 2 2 2 2 2 2 2 21 a k b b a k b a kd k − + + += + 2 2 2 2 2 2 2 2 a bd bb a a k k −= + + + 2 2 2 2 2ba k abk + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b b a abb a a k k − −≤ = − + ++ + + 2 bk a = P 1l ba − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 36．【解析】（Ⅰ）根据 及题设知 将 代入 ，解得 （舍去） 故 C 的离心率为 ． （Ⅱ）由题意，原点 为 的中点， ∥ 轴，所以直线 与 轴的交点 是线段 的中点，故 ，即 ① 由 得 。 设 ，由题意知 ，则 ，即 代入 C 的方程，得 。② 将①及 代入②得 解得 ， 故 . 37．【解析】：（Ⅰ）由 得 ． 因为 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 故 ． （Ⅱ）设 ，则 且 ，由椭圆定义可得 在 中，由余弦定理可得 即 2 2c a b= − 2 2( , ),2 3bM c b aca = 2 2 2b a c= − 22 3b ac= 1 , 22 c c a a = = − 1 2 O 1 2F F 2MF y 1MF y (0,2)D 1MF 2 4b a = 2 4b a= 15MN F N= 1 12DF F N= 1 1( , )N x y 1 0y < 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 ,2 1 x c y  = −  = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2c a b= − 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 27, 4 28a b a= = = 7, 2 7a b= = 1 1| | 3| |, | | 4AF F B AB= = 1 1| | 3, | | 1AF F B= = 2ABF∆ 1 24 16, | | | | 2 8a AF AF a= + = = 2 1| | 2 | | 8 3 5AF a AF= − = − = 1| |F B k= 0k > 1| | 3 , | | 4AF k AB k= = 2 2| | 2 3 , | | 2AF a k BF a k= − = − 2ABF∆ 2 2 2 2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cosAB AF BF AF BF AF B= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 2 6(4 ) (2 3 ) (2 ) (2 3 ) (2 )5k a k a k a k a k= − + − − − ⋅ − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 化简可得 ，而 ，故 于是有 ， 因此 ，可得 故 为等腰直角三角形．从而 ，所以椭圆的离心率 ． 38．【解析】（Ｉ）由题意知 ，可得 . 椭圆 C 的方程可化简为 . 将 代入可得 ， 因此 ，可得 . 因此 ， 所以椭圆 C 的方程为 . （Ⅱ）（ⅰ）设 ，则 ， 因为直线 AB 的斜率 ， 又 ，所以直线 AD 的斜率 ， 设直线 AD 的方程为 ， 由题意知 ， 由 ，可得 . 所以 ， 因此 ， ( ) ( 3 ) 0a k a k+ ⋅ − = 0a k+ > 3a k= 2 1 2| | 3 | |, | | 5AF k AF BF k= = = 2 2 2 2 2| | | | | |BF AF AB= + 1 2AF AF⊥ 1 2AF F∆ 2 2c a= 2 2 ce a = = 2 2 3 2 a b a − = 2 24a b= 2 2 24x y a+ = y x= 5 5 ax = ± 2 5 4 102 5 5 a× = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 1 1 1 1 2 2( , )( 0), ( , )A x y x y D x y≠ 1 1( , )B x y− − 1 1 AB yk x = AB AD⊥ 1 1 xk y = − y kx m= + 0, 0k m≠ ≠ 2 2 14 y kx m x y = + + = 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x mkx m+ + + − = 1 2 2 8 1 4 mkx x k + = − + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 4 my y k x x m k + = + + = + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由题意知， ，所以 ， 所以直线 BD 的方程为 ， 令 ，得 ，即 ．可得 ． 所以 ，即 ． 因此存在常数 使得结论成立. （ⅱ）直线 BD 的方程 ， 令 ，得 ，即 ， 由（ⅰ）知 ， 可得 的面积 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 此时 S 取得最大值 ，所以 的面积的最大值为 . 39．【解析】（Ｉ）设 的焦距为 ,由题可得 ,从而 , 因为点 在双曲线 上,所以 , 由椭圆的定义可得 , ,所以 的方程为 . （Ⅱ）不存在符合题设条件的直线. (1)若直线 垂直于 轴 ,因为 与 只有一个公共点, 所以直线的方程为 或 , 1 2x x≠ 1 2 1 1 1 2 1 1 4 4 y y yk x x k x += = − =+ 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0y = 13x x= 1(3 ,0)M x 1 2 12 yk x = − 1 2 1 2k k= − 1 2 λ = − 1 2 λ = − 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0x = 1 3 4y y= − 1 3(0, )4N y− 1(3 ,0)M x OMN∆ 1 1 1 1 1 3 93| | | | | || |2 4 8S x y x y= × × = 2 21 1 1 1| || | 14 xx y y≤ + = 1 1 | | 2| |2 2 x y= = 9 8 OMN∆ 9 8 2C 22c 2 12 2,2 2c a= = 1 21, 1a c= = 2 3 ,13P       2 2 2 1 1yx b − = 2 2 12 1 2 3 2 1 33 bb   − = ⇒ =    ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 32 1 1 1 1 2 33 3a    = + − + + + =          2 3a⇒ = 2 2 2 2 2 2 2b a c= − = 1 2,C C 2 2 2 2 1, 13 3 2 y y xx − = + = l x l 2C 2x = 2x = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时,易知 所以 , 此时 .当 时,同理可得 . （2）当直线 不垂直于 轴,设 的方程为 ,由 可得 ,当 与 相交于 两点时, 设 ,则 满足上述方程的两个实根,从而 , 于是 , 由 可得 ,因为直线 与 只有一个公 共点，所以上述方程的判别式 , 化简可得 ，因此 ， 于是 , 即 ,所以 , 综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线． 40．【解析】：（1）依条件 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 （Ⅱ）设 ， ， ，又设 中点为 2x = ( ) ( )2, 3 , 2, 3 ,A B − 2 2, 2 3OA OB AB+ = =   OA OB AB+ ≠   2x = − OA OB AB+ ≠   l x l y kx m= + 2 2 13 y kx m yx = + − = ( )2 2 23 2 3 0k x kmx m− − − − = l 1C ,A B ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2,x x 2 1 2 1 22 2 2 3,3 3 km mx x x xk k ++ = =− − ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 3 k my y k x x km x x m k −= + + + = − 2 2 13 2 y kx m y x = + + = ( )2 2 22 3 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = l 2C ( )( )2 2 2 20 16 8 2 3 3 0k m k m∆ = ⇒ − + − = 2 22 3k m= − 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 03 3 3 m k m kOA OB x x y y k k k + − − −⋅ = + = + = ≠− − −   2 2 2 2 2 2OA OB OA OB OA OB OA OB+ + ⋅ ≠ + − ⋅        2 2 OA OB OA OB+ ≠ −    OA OB AB+ ≠   2 2 2 2 2 2 63 24 c aa b ba b c =  = = ⇒  = − = = 2 2 16 2 x y+ = ( 3, )T m− 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y PQ 0 0( , )N x y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （i）因为 ，所以直线 的方程为： 所以 于是 ， 所以 ．因为 所以 ， ， 三点共线 即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） （ii） ， 所以 ，令 （ ） 则 （当且仅当 时取“ ”） 所以当 最小时， 即 或 ， 此时点 T 的坐标为 或 41．【解析】（Ⅰ）因为焦距为 4，所 ，又因为椭圆 C 过点 ， 所以 ，故 ， ，从而椭圆 C 的方程为 。 （Ⅱ）由题意，E 点坐标为 ，设 ，则 ， 2 2 4a b− = ( 2, 3)P 2 2 2 3 1a b + − 2 8a = 2 4b = 2 2 18 4 x y+ − 0 ( ,0)x ( ,0)D D x ( )0 , 2 2AE x= − ( 2,0)F − PQ 2x my= − 2 22 2 2 ( 3) 4 2 0 16 2 x my m y myx y = − ⇒ + − − = + = 2 2 2 1 2 2 1 2 2 16 8( 3) 24( 1) 0 4 3 2 3 m m m my y m y y m  ∆ = + + = + >  + = + − = + 1 2 0 2 2 2 3 y y my m += = + 2 0 0 2 2 2 62 23 3 mx my m m −= − = − =+ + 2 2 6 2( , )3 3 mN m m − + + 3OT ON mk k= − = O N T 2| | 1TF m= + 2 2 2 1 2 2 24( 1)| | | | 1 13 mPQ y y m mm += − + = ++ 2 2 2 2 2 2 | | 1 3 | | 24( 1) 24( 1)13 TF m m PQ m mmm + += = + +++ 2 1m x+ = 1x ≥ 2| | 2 1 2 3( )| | 32 6 2 6 TF x xPQ xx += = + ≥ 2 2x = = | | | | TF PQ 2 2x = 1m = 1− ( 3,1)− ( 3, 1)− − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，再由 知， ，即 ． 由于 ，故 ．因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 所以点 ． 故直线 的斜率 ． 又因 在椭圆 C 上，所以 ． ① 从而 故直线 的方程为 ② 将②代入椭圆 C 方程，得： ③ 再将①代入③，化简得： 解得 ，即直线 与椭圆 C 一定有唯一的公共点． 42．【解析】依题意可设椭圆 和 的方程分别为 ： ， ： . 其中 ， （Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则 ， ，所以 . 在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ， 于是 ． 若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 ． 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ． 解法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则 ( )0 , 2 2AD x= − AD AE⊥ 0AE AD• =  0 8 0D x x + = 0 0 0x y ≠ 0 8 D x x = − 0 8( ,0)G x QG 0 0 0 2 0 0 0 8 8QG y x yk xx x = = −− ( )0 0,Q x y 2 2 0 02 8x y+ = 0 2QG n xk y = QG 0 0 0 8 2 xy xy x  = − −    ( )2 2 2 2 0 0 02 16 64 16 0nx y x x x y+ − + − = 2 2 02 0nx x x x− + = 0 0,x x y y= = QG 1C 2C 1C 2 2 2 2 1x y a m + = 2C 2 2 2 2 1x y a n + = 0a m n> > > 1.m n λ = > l y l 0x = 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | | | S BD S AB = 0x = Ay m= By n= Dy m= − | || | 1 | | | | 1 B D A B y yBD m n AB y y m n λ λ − + += = =− − − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + l y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， ； ， ．. 所以 ． 若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 ． 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ． （Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 又 ， ，所以 ，即 . 由对称性可知 ，所以 ， ，于是 . ① 将 的方程分别与 C1，C2 的方程联立，可求得 ， . 根据对称性可知 ， ，于是 . ② 从而由①和②式可得 . ③ | | | | | |BD OB OD m n= + = + | | | | | |AB OA OB m n= − = − 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | 1 | | 1 S BD m n S AB m n λ λ + += = =− − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + O x y B A 第 28 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 28 题解答图 2 C D M N 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = | | | |BD ABλ= | | | |AB CD= | | | | | | ( 1) | |BC BD AB ABλ= − = − | | | | | | ( 1) | |AD BD AB ABλ= + = + | | 1 | | 1 AD BC λ λ += − l 2 2 2A amx a k m = + 2 2 2B anx a k n = + C Bx x= − D Ax x= − 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 2| | | | 21 | | A D A BB C k x x xAD m a k n BC x n a k mk x x + − += = = ++ − 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) a k n a k m λ λ λ + +=+ − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 ，则由 ，可得 ，于是由③可解得 . 因为 ，所以 . 于是③式关于 有解，当且仅当 ， 等价于 . 由 ，可解得 ， 即 ，由 ，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 又 ， ，所以 . 因为 ，所以 . 由点 ， 分别在 C1，C2 上，可得 ， ，两式相减可得 ， 依题意 ，所以 . 所以由上式解得 . 因为 ，所以由 ，可解得 . 从而 ，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 43．【解析】(Ⅰ)设 F(－c,0)，由 ，知 .过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x＝－ c，代入椭圆方程有 ， 1 ( 1)t λ λ λ += − m n> 1t ≠ 2 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) n tk a t λ −= − 0k ≠ 2 0k > k 2 2 2 2 2 ( 1) 0(1 ) n t a t λ − >− 2 2 2 1( 1)( ) 0t t λ− − < 1λ > 1 1tλ < < 1 1 1( 1) λ λ λ λ +< 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = 2 2 1 | || | | | 1 | | B D A B A BA B k x x x xBD AB x xk x x λ+ − += = =−+ − 1 1 A B x x λ λ += − ( , )A AA x kx ( , )B BB x kx 2 2 2 2 2 1A Ax k x a m + = 2 2 2 2 2 1B Bx k x a n + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0A B A Bx x k x x a m λ− −+ = 0A Bx x> > 2 2 A Bx x> 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B B A m x xk a x xλ −= − 2 0k > 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0( ) A B B A m x x a x xλ − >− 1 A B x x λ< < 11 1 λ λλ +< + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= 3 3 c a = 3a c= 2 2 2 2 ( ) 1c y a b − + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解得 ，于是 ，解得 ， 又 a2－c2＝b2，从而 a＝ ，c＝1， 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(－1,0)得直线 CD 的方程为 y＝k(x＋1)， 由方程组 消去 y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 求解可得 x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 因为 A( ，0)，B( ，0)， 所以 · ＋ · ＝(x1＋ ，y1)·( －x2，－y2)＋(x2＋ ，y2)·( －x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝ ． 由已知得 ＝8，解得 k＝ ． 44．【解析】：（Ⅰ）由于 ，将 代入椭圆方程 得 由题意知 ，即 ，又 所以 ， ，所以椭圆方程为 （Ⅱ）由题意可知： = , = ,设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： ，因为 ， 所以 ，而 ，所以 （Ⅲ）由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： ，所以 ，而 ，代入 中得 为定值． 2 2 2c a b= − x c= − 2 2 2 2 1x y a b + = 2by a = ± 22 1b a = 22a b= ce a = = 3 2 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 6 3 by = ± 2 6 4 3 3 3 b = 2b = 3 2 2 =13 2 x y+ 2 2 1 , 13 2 y k x x y = ( + ) + = 2 2 6 2 3 k k − + 2 2 3 6 2 3 k k − + 3− 3 AC DB AD CB 3 3 3 3 2 2 2 126 2 3 k k ++ + 2 2 2 126 2 3 k k ++ + 2± 1 1| || | PF PM PF PM ⋅    2 2| || | PF PM PF PM ⋅    1 1| | PF PM PF ⋅   2 2| | PF PM PF ⋅   0 0( , )P x y 2 0 4x ≠ 2 3 0 0 0(4 16) 3 12m x x x− = − 2 0 4x ≠ 0 3 4m x= 0 ( 2,2)x ∈ − 3 3( , )2 2m∈ − 0 0 14 x x y y+ = 0 04 xk y = − 0 0 1 2, 3 3 y yk k x x = = + − 1 2 1 1 kk kk + 0 0 1 2 0 0 3 31 1 4( ) 8x x kk kk x x + −+ = − + = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 45．【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 .所以椭圆 C 的方程为 . （Ⅱ）由 得 . 设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 ， ， 则 ， ， ， ． 所以|MN|= = = . 由因为点 A(2,0)到直线 的距离 ， 所以△AMN 的面积为 . 由 ， 解得 . 46．【解析】（Ⅰ） （Ⅱ）设 ；则 在 中， ， 面积： 47．【解析】（Ⅰ）由 ，所以 设 是椭圆 上任意一点，则 ，所以 2 2 2 2 2 2 a c a a b c =  =  = + 2b = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 ( 1) 14 2 y k x x y = − + = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= − 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k −= + 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x+ + − 2 2 2 2 (1 )(4 6 ) 1 2 k k k + + + ( 1y k x= − ） 2 | | 1 2 kd k = + 2 2 1 | | 4 6| |2 1 2 k kS MN d k += ⋅ = + 2 2 | | 4 6 10 1 2 3 k k k + =+ 1k = ± 1 2 160 2 2 cF AF a c e a ο∠ = ⇔ = ⇔ = = 2BF m= 1 2BF a m= − 1 2BF F∆ 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F ο= + − × × 2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a⇔ − = + + ⇔ = 1AF B∆ 2 1 1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2 10, 5, 5 3 S F F AB a a a a c b ο= × × × ⇔ × × + × = ⇔ = = = 2 22 2 3 3 ce c aa = = ⇒ = 2 2 2 21 3b a c a= − = ( , )P x y C 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2(1 ) 3yx a a yb = − = − 2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以，当 时， 有最大值 ，可得 ，所以 故椭圆 的方程为： （Ⅱ）存在点 满足要求，使 得面积最大． 假设直线 与圆 相交于不同两点 , 则圆心 到 的距离 ，∴ ① 因为 在椭圆 上，所以 ②，由①②得： ∵ 所以 ，由②得 代入上式 得 ，当且仅当 ， ∴ ，此时满足要求的点 有四个． 此时对应的 的面积为 ． 48．【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入 C 的方程得 ， ∴ =4 又 得 即 ，∴a=5 ∴C 的方程为 ． （ Ⅱ）过点 且斜率为 的直线方程为 ， 设直线与Ｃ的交点为 ， ， 1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a = 1, 2b c= = C 2 2 13 x y+ = M OAB∆ : 1l mx ny+ = 2 2: 1O x y+ = ,A B O l 2 2 1 1d m n = < + 2 2 1m n+ > ( , )M m n C 2 2 13 m n+ = 20 3m<  2 2 2 2 2 1| | 2 1 2 m nAB d m n + −= − = + 2 2 2 2 1 1 1| | (1 )2OABS AB d m n m n = ⋅ = −+ + 2 2 1 3 mn = − 2 2 2 2 13 3 2 221 2 13 3 OAB m m S m m ∆ = = + ⋅ 2 22 31 (0,3]3 2m m= ⇒ = ∈ 2 23 1,2 2m n= = 6 2( , )2 2M ± ± OAB∆ 1 2 2 16 1b = b 3 5 ce a = = 2 2 2 9 25 a b a − = 2 16 91 25a − = 2 2 125 16 x y+ = ( )3,0 4 5 ( )4 35y x= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 将直线方程 代入 的方程，得 ， 即 ，解得 ， ， 的中点坐标 ， ，即中点为 ． 49．【解析】（Ⅰ）设直线 ， 由题意， 由方程组 得 ，由题意 ，所以 设 ，由韦达定理得 所以 由于 E 为线段 AB 的中点，因此 此时 所以 OE 所在直线方程为 又由题设知 D（－3，m）， 令 =－3，得 ，即 =1，所以 当且仅当 = =1 时上式等号成立，此时 由 得 因此 当 时， 取最小值 2． （Ⅱ）（i）由（I）知 OD 所在直线的方程为 将其代入椭圆 C 的方程，并由 解得 ( )4 35y x= − C ( )22 3 125 25 xx −+ = 2 3 8 0x x− − = 1 3 41 2x −= 2 3 41 2x += ∴ AB 1 2 3 2 2 x xx += = ( )1 2 1 2 2 662 5 5 y yy x x += = + − = − 3 6,2 5  −   ( 0)l y kx t k= + >的方程为 0.t > 2 2 , 1,3 y kx t x y = + + = 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x ktx t+ + + − = 0∆ > 2 23 1 .k t+ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2 6 ,3 1 ktx x k + = − + 1 2 2 2 .3 1 ty y k + = + 2 2 3 , ,3 1 3 1E E kt tx yk k = =+ + 1 .3 E OE E yk x k = = − 1 ,3y xk = − x 1m k = mk 2 2 2 2,m k mk+ ≥ = m k 0∆ > 0 2,t< < 1 0 2m k t= = < 2 2 3 1( , ) 3 1 3 1 kG k k − + + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又 ， 由距离公式及 得 由 因此，直线 的方程为 所以，直线 （ii）由（i）得 若 B，G 关于 x 轴对称， 则 代入 即 ， 解得 （舍去）或 所以 k=1， 此时 关于 x 轴对称。 又由（I）得 所以 A（0，1）． 由于 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 的外接圆的圆心为（d，0）， 因此 故 的外接圆的半径为 ， 2 2 3 1( , ), ( 3, )3 1 3 1 k tE Dk k k − −+ + 0t > 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 9 1| | ( ) ( ) ,3 13 1 3 1 1 9 1| | ( 3) ( ) , 3 9 1| | ( ) ( ) ,3 1 3 1 3 1 k kOG kk k kOD k k kt t t kOE k k k += − + = ++ + += − + = += − + =+ + + 2| | | | | | ,OG OD OE t k= ⋅ =得 l ( 1).y k x= + ( 1,0).l −恒过定点 2 2 3 1( , ) 3 1 3 1 kG k k − + + 2 2 3 1( , ). 3 1 3 1 kB k k − − + + 2 2( 1) 3 1 3 1,y k x k k k= + − = +整理得 4 26 7 1 0k k− + = 2 1 6k = 2 1,k = 3 1 3 1( , ), ( , )2 2 2 2B G− − − 1 10, 1,x y= = ABG∆ ABG∆ 2 23 1 11 ( ) , ,2 4 2d d d+ = + + = −解得 ABG∆ 2 51 2r d= + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 的外接圆方程为 50．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知 又 （Ⅱ）L 的方程式为 ，其中 设 ,则 A，B 两点坐标满足方程组 ，化简得 则 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 即 . 则 解得 ． 51．【解析】设 ，由题意知 ＜0， ＞0. （Ⅰ）直线 l 的方程为 ，其中 . 联立 得 解得 因为 ，所以 . 即 ABG∆ 2 21 5( ) .2 4x y+ + = 2 2F + F| Α | | ΑΒ | + | Β |= 4 2 =AB AF ΒF AB2 2 4| | | | + | |, | |= 3得 y x c= + 21c b= − 1 1 1 1( ),B( )A x x，y ，y 2 2 2 1 y x c yx b = + + = 2 2 2(1 ) 2 1 2 0.b x cx b+ + + − = 2 1 2 1 22 2 2 1 2, .1 1 c bx x x xb b − −+ = =+ + 2 1x xΑΒ| |= 2 | − | 2 1 4 23 x x= | − | 2 2 4 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 4(1 ) 4(1 2 ) 8( ) 49 (1 ) 1 1 b b bx x x x b b b − −= + − = − =+ + + 2 2b = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y 3( )y x c= − 2 2c a b= − 2 2 2 2 3( ), 1 y x c x y a b  = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − = 2 2 1 22 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3 b c a b c ay ya b a b − + − −= =+ + 2AF FB=  1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3 b c a b c a a b a b + − −= •+ + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 得离心率 . （Ⅱ）因为 ，所以 . 由 得 .所以 ，得 a=3， . 椭圆 C 的方程为 ． 2 3 ce a = = 2 1 11 3AB y y= + − 2 2 2 2 4 3 15 3 43 ab a b • =+ 2 3 c a = 5 3b a= 5 15 4 4a = 5b = 2 2 19 5 x y+ =