理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十九讲曲线与方程答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十九讲 曲线与方程 答案部分 1. 由 可得 . 配方得 ，解得 . 所以 可取的整数值为-1，0，1， 则曲线经过 这 6 个整点，结论①正确； 当 x＞0 时，由 得 （当 x=y 时取等号）， 所以 ，所以 ，即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过 ， 结论②正确； 根据对称性可得：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超 过 ；故②正确． 如图所示， ， 根据对称性可知 . 即心形区域的面积大于 3，故③错误． 正确结论为①②. 故选 C． 2．解析 设椭圆的右焦点为 ，连接 ， 线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆， 连接AO，可得 ， 设P的坐标为（m,n），可得 ，可得 ， ， 由 ，可得直线PF的斜率为 ． 2 2 1x y x y+ = + 2 21y x y x− = − 22 3 02 41 xxy   − ≥    − = 2 3 4x ≤ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0 , 1, 1 , 0,1 , 0, 1 , 1,0 , 1,1 ,− − − − 2 2 1x y xy+ = + 2 2 2 2 1 2 x yx y xy ++ − = ≤ 2 2 2x y+ ≤ 2 2 2x y+ ≤ 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 1,0 , 1,1 , 0,1A B C D− 1 31 1 1 12 2ABCDS = × × + × = 2 3ABCDS S> =心形 F′ PF′ 2 4PF AO′ = = 23 43 m− = 3 2m = − 15 2n = ( 2,0)F − 15 2 153 22 = − + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3.解析 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= ，AF2⊥x 轴，所以 DF2= ， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆 C 的标准方程为 . （2）解法一：由（1）知，椭圆 C： ，a=2， 因为 AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1. 将 x=1 代入圆 F2 的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y=±4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2. 由 ，得 ， 解得 或 . 将 代入 ，得 ， 因此 .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： . 5 2 2 2 2 2 1 1 2 5 3( ) 22 2DF F F− = − = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2( ) 2 2 1 16 y x x y = + − + =    25 6 11 0x x+ − = 1x = 11 5x = − 11 5x = − 2 2y x= + 12 5y = − 11 12( , )5 5B − − 3 ( 1)4y x= − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由 ，得 ，解得 或 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 . 将 代入 ，得 .因此 . 解法二：由（1）知，椭圆 C： .如图所示，联结 EF1. 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B. 因为 F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而 EF1∥F2A. 因为 AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴. 因为 F1(-1，0)，由 ，得 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 . 因此 . 4. 解析（1）设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 ，整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 . 所以直线AB过定点 . 5.解析（I）由抛物线 经过点 ，得 . 所以抛物线 C 的方程为 ，其准线方程为 . 2 2 14 3 3 ( 1)4 x y x y    + = −  =  27 6 13 0x x− − = 1x = − 13 7x = 1x = − 1x = − 3 ( 1)4y x= − 3 2y = − 3( 1, )2E − − 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 3 1x x y  + = = −  3 2y = ± 3 2y = − 3( 1, )2E − − ( )1 1 1, , ,2D t A x y −   2 1 12x y= y' x= 1x 1 1 1 1 2y xx t + =− 1 12 2 +1=0. tx y− ( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y− 2 2 1 0tx y− + = 1(0, )2 2: 2C x py= − ( )2, 1− 2p = 2 4x y= − 1y = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （II）抛物线 C 的焦点为 ，设直线 l 的方程为 . 由 ，得 . 设 则 . 直线 的方程为 ，令 ，得点 A 的横坐标为 同理可得点 B 的横坐标 . 设点 ，则 . 令 即 ，得 或 . 综上，以 AB 为直径的圆经过 轴上的定点 ． 6．解析（1）由题设得 ，化简得 ，所以 C 为中心在 坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ． 由 得 ． 记 ，则 ． 于是直线 的斜率为 ，方程为 ． 由 得 ( )0, 1− ( )1 0y kx k= − ≠ 2 4 1 x y y kx  = −  = − 2 4 4 0x kx+ − = ( ) ( )1 1 2 2, , , ,M x y N x y 1 2 4x x = − OM 1 1 yy xx = 1y = − 1 1 A xx y = − 2 2 B xx y = − ( )0,D n ( ) ( )2 21 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 4 4 x x x xDA DB n ny y x x ⋅ = + + = + +  − −       ( ) ( )2 2 1 2 16 1 4 1n nx x = + + = − + + 0,DA DB⋅ =  ( )24 1 0n− + + = 1n = 3n = − y ( ) ( )0,1 0,-3和 1 2 2 2 y y x x ⋅ = −+ − 2 2 1(| | 2)4 2 x y x+ = ≠ ( 0)y kx k= > 2 2 14 2 y kx x y = + = 2 2 1 2 x k = ± + 2 2 1 2 u k = + ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u− − QG 2 k ( )2 ky x u= − 2 2 ( ),2 14 2 ky x u x y  = −  + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ．① 设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ． 从而直线 的斜率为 ． 所以 ，即 是直角三角形． （ii）由（i）得 ， ， 所以△PQG 的面积 ． 设 t=k+ ，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k=1 时取等号． 因为 在[2，+∞）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 ． 因此，△PQG 面积的最大值为 ． 7．解析 （I）由题意得 ，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1. （Ⅱ）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又由于 及重心G在x轴上，故 ， 2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u+ − + − = ( , )G GG x y u− Gx 2 2 (3 2) 2G u kx k += + 3 22G uky k = + PG 3 2 2 2 12 (3 2) 2 uk ukk u k kuk −+ = −+ −+ PQ PG⊥ PQG△ 2| | 2 1PQ u k= + 2 2 2 1| | 2 uk kPG k += + 2 2 2 2 18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( ) kk k kS PQ PG k k kk ++= = =+ + + + ‖ 1 k 2 8 1 2 tS t = + 16 9 16 9 12 p = ( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B c cA x y B x y C x y ( ),G GG x y 2 , 0Ay t t= ≠ 2 Ax t= 2 1 12 tx yt −= + 2 4y x= ( )2 2 2 1 4 0 t y yt − − − = 2 4Bty = − 2 By t = − 2 1 2,B t t  −   ( ) ( )1 1,3 3G A B c G A B cx x x x y y y y= + + = + + 22 0ct yt − + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 得 . 所以，直线AC方程为 ，得 . 由于Q在焦点F的右侧，故 .从而 . 令 ，则m>0， . 当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）. 8.解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， . 所以，椭圆的方程为 . （Ⅱ）由题意，设 . 设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程 联立 ，整理得 ， 可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 . 在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 . 2 4 2 2 1 1 2 2 2,2 , ,03 t tC t t Gt t t    − +   − −              ( )22 2y t t x t− = − ( )2 1,0Q t − 2 2t > 4 2 2 4 2 2 1 2 4 4 2 4 2 2 2 2 21 1 | 2 || | 3 2 22 21 2 2 2 2 1 1| | | 1 | | 2 |2 3 A c t t tFG y tS t t t t tS t tQG y t tt t − + − ⋅⋅ − −= = = = −− + − −⋅ − − ⋅ − 2 2m t= − 1 2 2 1 1 32 2 2 134 3 234 2 4 S m S m m m mm m = − = − − = ++ + + + ⋅ + 3m = 1 2 S S 31 2 + c 52 4, 5 cb a = = 2 2 2a b c= + 5a = 2,b = 1c = 2 2 15 4 x y+ = ( )( ) ( )0 , ,0P P p MP x y x M x≠， PB ( )0k k ≠ ( )0,2B PB 2y kx= + 2 2 2 15 4 y kx x y = + + = ( )2 24 5 20 0k x kx+ + = 2 20 4 5P kx k = − + 2y kx= + 2 2 8 10 4 5P ky k −= + OP 24 5 10 P p y k x k −= − 2y kx= + 0y = 2 Mx k = − ( )0, 1N − MN 2 k− OP MN⊥ 24 5 110 2 k k k −  ⋅ − = − −   2 24 5k = 2 30 5k = ± 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以，直线 的斜率为 或 . 2010-2018 年 1．【解析】(1)因为椭圆 的焦点为 ， 可设椭圆 的方程为 ．又点 在椭圆 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 的方程为 ． 因为圆 的直径为 ，所以其方程为 ． (2)①设直线 与圆 相切于 ，则 ， 所以直线 的方程为 ，即 ． 由 消去 ，得 ．（*） 因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 的坐标为 ． ②因为三角形 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， PB 2 30 5 2 30 5 − C 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F− C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2 C 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =  − = 2 2 4, 1, a b  = = C 2 2 14 x y+ = O 1 2F F 2 2 3x y+ = l O 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = l 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + y 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − = l C 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 )4 4 36 4 (48 )2 0x x y y y x= − − + − = − =∆ 0 0, 0x y > 0 02, 1x y= = P ( 2,1) OAB 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 的坐标为 ． 综上，直线 的方程为 ． 2 ．【 解 析 】（ 1 ） 设 ， ， 则 ， ， ． 由 得 ， ． 因为 在 上，所以 ． 因此点 的轨迹方程为 ． （2）由题意知 ．设 ， ，则 ， ， ， ， ， 由 得 ，又由（1）知 ， 故 ． 所以 ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，所以过点 且 P B A y xO F2F1 2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA = − + − 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −= =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = P 10 2( , )2 2 l 5 3 2y x= − + ( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= − 0(0. )NM y= 2NP NM=  0x x= 0 2 2y y= 0 0( , )M x y C 2 2 12 2 x y+ = P 2 2 2x y+ = ( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n ( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − − 3 3OQ PF m tn⋅ = + −  ( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − − 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − = 0OQ PF⋅ =  OQ PF⊥  P OQ P 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 3．【解析】(Ⅰ) 由离心率是 ，有 ， 又抛物线 的焦点坐标为 ，所以 ，于是 ， 所以椭圆 的方程为 ． (Ⅱ) （i）设 点坐标为 ， 由 得 ，所以 在点 处的切线 的斜率为 ， 因此切线 的方程为 ， 设 ， ， 将 代入 ，得 ． 于是 ， ， 又 ， 于是 直线 的方程为 ． 联立方程 与 ，得 的坐标为 ． 所以点 在定直线 上． （ii）在切线 的方程为 中，令 ，得 ， OQ l C F 2 3 22 4= ba yx 2=2 )2 1,0(F 2 1=b 1=a C 1=4+ 22 yx P 2 , ),( 0)2 mP m m >（ yx 2=2 xy =′ E P l m l 2= 2mmx－y ),(),,( 2211 yxByxA ),( 00 yxD 2= 2mmx－y 1=4+ 22 yx 0=1+4)4+1 2322 －mxm－xm（ 2 3 21 4+1 4=+ m mxx 2 3 21 0 4+1 2=2 += m mxxx 2 2 0 0 22 2(1 4 ) m my mx m −= − = + OD xm－y 4 1= xm－y 4 1= mx = M 1( , )4M m − M 4 1=y － l 2= 2mmx－y 0x = 2 2 my =－ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即点 的坐标为 ，又 ， ， 所以 ； 再由 ，得 于是有 ． 令 ，得 当 时，即 时， 取得最大值 ． 此时 ， ，所以 点的坐标为 ． 所以 的最大值为 ，取得最大值时点 的坐标为 ． 4．【解析】（Ⅰ）设 ，由 ，即 ， 可得 ，又 ，所以 ，因此 ， 所以椭圆的方程为 ． （Ⅱ）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 . 设 ，由方程组 ，消去 ， 整理得 ． G 2 (0, )2 mG − 2 ( , )2 mP m 1(0, )2F 4 )1+(=×2 1=S 2 1 mmGFm 3 2 2 2 2( , )4 1 2(4 1) m mD m m − + + )1+4(8 )1+2(=1+4 +2×4 1+2×2 1=S 2 22 2 32 2 m mm m mmm 22 22 2 1 )1+2( )1+)(1+4(2=S S m mm 1+2= 2mt 22 2 1 11+2= )1+)(2 1(2 =S S t－tt tt－ 2 1=1 t 2=t 2 1 S S 4 9 2 1=2m 2 2=m P )4 1,2 2P( 2 1 S S 4 9 P 2 1( , )2 4P ( ,0)F c 1 1 3 | | | | | | c OF OA FA + = 1 1 3 ( ) c c a a a c + = − 2 2 23a c c− = 2 2 2 3a c b− = = 2 1c = 2 4a = 2 2 14 3 x y+ = l k 0≠k l )2( −= xky ),( BB yxB    −= =+ )2( 134 22 xky yx y 0121616)34( 2222 =−+−+ kxkxk 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解得 ，或 ，由题意得 ，从而 ． 由（Ⅰ）知， ，设 ，有 ， . 由 ，得 ，所以 ，解得 . 因此直线 的方程为 ． 设 ，由方程组 消去 ，解得 . 在 中， ，即 ， 化简得 ，即 ，解得 或 ． 所以，直线 的斜率的取值范围为 ． 5．【解析】（I）设 ，则由题意知 ． 当 时，椭圆 的方程为 ，A 点坐标为 ， 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ． 因此直线 的方程为 ． 将 代入 得 ． 解得 或 ，所以 ． 所以 的面积为 ． （Ⅱ）由题意知 ，则直线 的方程为 ， 联立 并整理得， 2=x 34 68 2 2 + −= k kx 34 68 2 2 + −= k kxB 34 12 2 + −= k kyB )0,1(F ),0( HyH ),1( HyFH −= )34 12,34 49( 22 2 ++ −= k k k kBF HFBF ⊥ 0=⋅ HFBF 034 12 34 49 22 2 =+++ − k ky k k H k kyH 12 49 2−= MH k kxky 12 491 2−+−= ),( MM yxM    −= −+−= )2( 12 491 2 xky k kxky y )1(12 920 2 2 + += k kxM MAO∆ |||| MOMAMAOMOA ≤⇔∠≤∠ 2222)2( MMMM yxyx +≤+− 1≥Mx 1)1(12 920 2 2 ≥+ + k k 4 6−≤k 4 6≥k l ),4 6[]4 6,( +∞−−∞  1 1( , )M x y 1 0y > 4t = E 2 2 14 3 x y+ = ( )2 0− ， AM 4 π AM 2y x= + 2x y= − 2 2 14 3 x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12 7y = 1 12 7y = AMN△ 21 1 12 12 14422 2 7 7 49AMNS AM∆ = = × × × = 3, 0, ( ,0)t k A t> > − AM ( )y k x t= + ( ) 2 2 13 x y t y k x t  + =   = + ( )2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t+ + + − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解得 或 ， 所以 由题意 ，所以 的方程为 ， 同理可得 由 ,得 ，即 当 时上式成立，因此 ． 因为 ，即 ，整理得 即 ，解得 ． 6．【解析】（Ⅰ）设点 ， ，依题意， ，且 ， 所以 ，且 即 ，且 ． 由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于 0， 于是 ，故 ，代入 ，可得 ， 即所求的曲线 的方程为 ． （Ⅱ）（1）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ， 都有 ． x t= − 2 2 3 3 t tk tx tk −= − + 2 2 2 2 2 3 61 13 3 t tk t tAM k t ktk tk −= + − + = + ⋅+ + MA NA⊥ AN 1 ( )y x tk = − + 2 2 6 (1 )| | 3 k t kAN k t += + 2 AM AN= 2 2 2 3 3 k tk k t =+ + 3( 2) 3 (2 1)k t k k− = − 3 2k = 2 3 6 3 2 k kt k −= − 3t > 2 3 6 3 32 k k k − >− ( )( )2 3 1 2 02 k k k + − − − 2 10 4k≤ < 2 2 2 4 1 28( ) 8( 1 )1 4 1 4OPQ kS k k∆ += = − +− − 2 10 4k≤ < 20 1 4 1k< − ≤ 2 2 21 4k ≥− 2 28( 1 ) 81 4OPQS k∆ = − + ≥− 0k = 0k = OPQS∆ l C 2 2 c a = 2 3ac c + = 2a = 1c = 1b = 2 2 12 x y+ = AB ⊥ x 2AB = C 3Ρ = AB x AB ( )1y k x= − ( )1 1,x yΑ ( )2 2,x yΒ AB ( ) ( )2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k+ − + − = ( )2 2 1,2 2 2 2 1 1 2 k k x k ± + = + C 2 2 2 2 ,1 2 1 2 k k k k  −  + +  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 若 ，则线段 的垂直平分线为 轴，与左准线平行，不合题意． 从而 ，故直线 的方程为 ， 则 点的坐标为 ，从而 ． 因为 ，所以 ，解得 ． 此时直线 方程为 或 ． 8．【解析】（1）由已知，点 在椭圆 上． 因此， 解得 ， ． 所以椭圆的方程为 ． （2）当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点． 如果存在定点 满足条件，则 ，即 ． 所以 点在 y 轴上，可设 点的坐标为 ． 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 、 两点． 则 ， ， 由 ，有 ，解得 或 ． 所以，若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点的坐标只可能为 ． 下面证明：对任意的直线 ，均有 ． 当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， 、 的坐标分别为 ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 k AB x x y y k x x k + = − + − = + − = + 0k = AB y 0k ≠ CΡ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k ky xk k k  + = − − + +  P ( ) 2 2 5 22, 1 2 k k k  + − +  ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 1 2 k k PC k k + + = + 2PC AB= ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 3 1 1 4 2 1 1 21 2 k k k kk k + + + = ++ 1k = ± AB 1y x= − 1y x= − + ( 2,1) E 2 2 2 2 2 2 1 1, , 2 ,2 a b a b c c a  + =  − =   = 2a = 2b = 2 2 14 2 x y+ = l x l C D Q | | | | 1| | | | QC PC QD PD = = | | | |QC QD= Q Q 0(0, )y l x l M N (0, 2)M (0, 2)N − | | | | | | | | QM PM QN PN = 0 0 | 2 | 2 1 | 2 | 2 1 y y − −= + + 0 1y = 0 2y = P Q Q (0,2)Q l | | | | | | | | QA PA QB PB = l l l 1y kx= + A B 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 联立 得 ． 其判别式 ， 所以， ． 因此 ． 易知，点 关于 轴对称的点的坐标为 ． 又 ， 所以 ，即 三点共线． 所以 ． 故存在与 不同的定点 ，使得 恒成立． 9．【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 =2． 故椭圆 的方程为 ． 设 ( ，0)．因为 ，所以 ． 直线 的方程为 ， x y O Q P A B B' 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2 2 1,4 2 1 x y y kx  + =  = + 2 2(2 1) 4 2 0k x kx+ + − = 2 216 8(2 1) 0k k∆ = + + > 1 2 1 22 2 4 2,2 1 2 1 kx x x xk k + = − = −+ + 1 2 1 2 1 2 1 1 2x x kx x x x ++ = = B y 2 2( , )B x y′ − 1 2 1 1 2 2 1 2 21 1 1,QA QB y yk k k k kx x x x x′ − −= = − = = − + = −− QA QBk k ′= , ,Q A B′ 1 2 | || | | | | | | | | | | | | | xQA QA PA QB QB x PB = = =′ P (0,2)Q | | | | | | | | QA PA QB PB = 2 2 2 1, 2 ,2 . b c a a b c =  =   = + 2a C 2 2 12 x y+ = M Nx 0m ≠ 1 1n− < < PA 11 ny xm −− = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 = ，即 ． （Ⅱ）因为点 与点 关于 轴对称，所以 ， 设 ，则 = ． “存在点 使得 = 等价”， “存在点 使得 = ”即 满足 ． 因为 ， ， ， 所以 ． 所以 = 或 ． 故在 轴上存在点 ，使得 = ． 点 的坐标为 或 ． 10．【解析】（Ⅰ）由题意知 ，可设直线 的方程为 ． 由 消去 ，得 ． 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点， 所以 ，① 设 为 的中点，则 ， 代入直线方程 解得 ．② 由①②得 或 ． Mx 1 m n− ( ,0)1 mM n− B A x ( , )B m n− ( ,0)NN x Nx 1 m n+ (0, )QQ y OQM∠ ONQ∠ (0, )QQ y OM OQ OQ ON Qy 2 Q M Ny x x= 1M mx n = − 1N mx n = + 2 2 12 m n+ = 2 2 2 21Q M N my x x n = = =− Qy 2 2Qy = − y Q OQM∠ ONQ∠ Q (0, 2) (0, 2)− 0m ≠ AB 1y x bm = − + 2 2 1 12 y x bm x y  = − +  + = y 2 2 2 1 1 2( ) 1 02 bx x bm m + − + − = 1y x bm = − + 2 2 12 x y+ = 2 2 4Δ 2 2 0b m = − + + > M AB 2 2 2 2( , )2 2 mb m bM m m+ + 1 2y mx= + 2 2 2 2 mb m += − 6 3m < − 6 3m > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅱ）令 ，则 ， 且 到直线 的距离 ． 设 的面积为 ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立． 故 面积的最大值为 ． 11．【解析】（Ⅰ）可知 ，又 ， ， ， 椭圆 C 的标准方程为 ； （Ⅱ）设两切线为 ， ①当 轴或 轴时，对应 轴或 轴，可知 ②当 与 轴不垂直且不平行时， ，设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ， 的方程为 ，联立 ， 得 ， 因为直线与椭圆相切，所以 ， 得 ， ， 所以 是方程 的一个根， 5c = 5 3 c a = 3a∴ = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 19 4 x y+ = 1 2,l l 1l x⊥ 1 / /l x 2 / /l x 2l x⊥ ( 3, 2)P ± ± 1l x 0 3x ≠ ± 1l k 0k ≠ 2l 1 k − 1l 0 0( )y y k x x− = − 2 2 19 4 x y+ = 2 2 2 0 0 0 0(9 4) 18( ) 9( ) 36 0k x y kx kx y kx+ + − + − − = 0∆ = 2 2 2 2 0 0 0 09( ) (9 4)[( ) 4] 0y kx k k y kx− − + − − = 2 2 0 036 4[( ) 4] 0k y kx∴− + − − = 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y∴ − − + − = k 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1 6 6( ,0) (0, )2 2t m = ∈ −  4 2 2 2 32 2 2| | 1 1 2 t t AB t t − + + = + ⋅ + O AB 2 2 1 2 1 t d t + = + ΔAOB ( )S t 2 21 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t= ⋅ = − − + ≤ 2 1 2t = ΔAOB 2 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 同理 是方程 的另一个根， ，得 ，其中 ， 所以点 P 的轨迹方程为 （ ）， 因为 满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为 ． 12．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为 ， 点上下两段分别为 ， ， 由射影定理得 ，三角形的面积 当 时， 取得最大，此时 ∵ ， 在双曲线上 ∴ ，∴双曲线的方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 的焦点为 ，由此设 的方程为 ， 其中 ，由 在 上，得 ，∴ 的方程为 ， 显然， 不是直线 ，设 的方程为 ，点 ， 由 得 ， ∴ ① ② 由①②得 ，解得 1 k − 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1( )k k ∴ ⋅ − = 2 0 2 0 4 9 y x − − 2 2 0 0 13x y+ = 0 3x ≠ ± 2 2 13x y+ = 3x ≠ ± ( 3, 2)P ± ± 2 2 13x y+ = r P ,m n 2 4r = 2r mn= 2 2 4 2 21 14 4 4( ) 162 2s m n r m n= + + = + + + 4 2 2 4 21 18 16 8 162 2r m n r r≥ + + = + + 2m n= = s ( 2, 2)P 2 2 23,c c b aa = = + ( 2, 2)P 2 2 23 2 1c b a= = =， ， 2 2 - 12 yx = 2C (- 3,0),( 3,0) 2C 2 2 2 2 1 1 13 x y b b + =+ 1 0b > ( 2, 2)P 2C 2 1 3b = 2C 2 2 16 3 x y+ = l 0y = l 3x my= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 3 16 3 x my x y  = + + = 2 2(2 ) 2 3 -3 0m y my+ + = 1 2 1 22 2 -2 3 -3,2 2 my y y ym m + = =+ + 1 1 2 20 ( - 2, - 2)( - 2, - 2)PA PB x y x y= • = 2 1 2 1 2(1 ) [( 3- 2) - 2]( ) 7-2 6m y y m y y= + + + + 22 -2 6 4 6-11 0m m + = 1 2 3 6-2 2- 6,2 2m m= = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因此直线 的方程 或 13．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ， 所以 ．又由已知，c＝1. 所以椭圆 C 的离心率 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1．设点 Q 的坐标为(x，y)． (ⅰ)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0,1)，(0，－1)两点， 此时点 Q 的坐标为 ． (ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2． 因为 M，N 在直线 l 上， 可设点 M，N 的坐标分别为( ，k ＋2)，( ，k ＋2)， 则|AM|2＝(1＋k2) ，|AN|2＝(1＋k2) ． 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2) ． 由 ，得 ， 即 .① 将 y＝kx＋2 代入 ＋y2＝1 中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由 Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得 k2＞ . 由②可知， ＝ ， ＝ ， 代入①中并化简，得 .③ l 3 6-2 3 02x y− − = 2- 6 3 02x y− − = 2 2 2 24 1 4 11 1 2 23 3 3 3        + + + − + =               2a = 1 2 22 ce a = = = 2 2 x 3 50,2 5  −    1x 1x 2x 2x 2 1x 2 2x 2x 2 2 2 2 1 1 | | | | | |AQ AM AN = + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1k x k x k x = +( + ) ( + ) ( + ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 x x x x x x x x x ( + ) −= + = 2 2 x 3 2 1 2x x+ 2 8 2 1 k k − + 1 2x x 2 6 2 1k + 2 2 18 10 3x k = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为点 Q 在直线 y＝kx＋2 上， 所以 ，代入③中并化简，得 10(y－2)2－3x2＝18. 由③及 k2＞ ，可知 0＜x2＜ ，即 x∈ ∪ . 又 满足 10(y－2)2－3x2＝18，故 x∈ . 由题意，Q(x，y)在椭圆 C 内，所以－1≤y≤1. 又由 10(y－2)2＝18＋3x2 有(y－2)2∈ 且－1≤y≤1，则 y∈ . 所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y－2)2－3x2＝18， 其中 x∈ ，y∈ . 14．【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ，由已知得 ， 易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以 . 化简得曲线 的方程为 ． 解法 2 ：由题设知，曲线 上任意一点 M 到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 ． （Ⅱ）当点 P 在直线 上运动时，P 的坐标为 ，又 ，则过 P 且与 圆 相切的直线的斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程 为 .于是 ( , )x y 2 22 ( 5) 3x x y+ = − + − 2C 2x = − 2 0x + > 2 2( 5) 5x y x− + = + 1C 2 20y x= 1C 2C (5,0) 5x = − 1C (5,0) 5x = − 2 20y x= 4x = − 0( 4, )y− 0 3y ≠ ± 2C k 0 ( 4),y y k x− = + 0即kx- y+y +4k=0 0 2 5 4 3. 1 k y k k + + = + 2yk x −= 3 2 3 2 6 ,02  −    60, 2       3 50,2 5  −    6 6,2 2  −    9 9,5 4     1 3 5,22 5  −   6 6,2 2  −    1 3 5,22 5  −   天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 整理得 ① 设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，故 ② 由 得 ③ 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 ，则 是方程③的两个实根，所以 ④ 同理可得 ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 . 所以，当 P 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值 6400． 15．【解析】（Ⅰ）解：设 ，由题意，可得 即 整理得 （舍），或 所以 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 可得椭圆方程为 直线 PF2 方程为 A，B 两点的坐标满足方程组 2 2 0 072 18 9 0.k y k y+ + − = ,PA PC 1 2,k k 1 2,k k 0 0 1 2 18 .72 4 y yk k+ = − = − 1 0 1 2 4 0, 20 , k x y y k y x − + + =  = 2 1 0 120 20( 4 ) 0.k y y y k− + + = 1 2 3 4, , ,y y y y 0 1 1 2 1 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = 0 2 3 4 2 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = 0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k + += 2 0 1 2 0 1 2 1 2 400 4( ) 16y k k y k k k k  + + + = 4x = − , , ,A B C D 1 2,y y 2 2 0 0 1 2 1 2 400[ 16 ] 6400y y k k k k − += = 1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c− > 2 1 2| | | |,PF F F= 2 2( ) 2 .a c b c− + = 22( ) 1 0, 1c c c a a a + − = = −得 1 .2 c a = 1 .2e = 2 , 3 ,a c b c= = 2 2 23 4 12 ,x y c+ = 3( ).y x c= − 2 2 23 4 12 , 3( ). x y c y x c  + = = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 消去 y 并整理，得 解得 得方程组的解 不妨设 设点 的坐标为 ， 由 于是 由 即 ， 化简得 将 所以 因此，点 的轨迹方程是 16．【解析】（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线 段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ， 又点 在曲线 上，∴ 化简可得 ，又点 是 上 的任一点，且不与点 和点 重合，则 ，即 ，∴中点 25 8 0.x cx− = 1 2 80, .5x x c= = 2 1 1 2 8 ,0, 5 3 , 3 3 .5 x cx y c y c  ==  = −  = 8 3 3( , ), (0, 3 )5 5A c c B c− M 8 3 3( , ), ( , ), ( , 3 )5 5x y AM x c y c BM x y c= − − = + 则 33( ), .3y x c c x y= − = −得 8 3 3 8 3 3( , ),15 5 5 5AM y x y x= − − ( , 3 ).BM x x= 2,AM BM⋅ = −  8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x− ⋅ + − ⋅ = − 218 16 3 15 0.x xy− − = 2 218 15 3 10 5, 0.3 1616 3 x xy c x y c xx − += = − = >代入 得 0.x > M 218 16 3 15 0( 0).x xy x− − = > 2xy = 2+= xy 2,1 =−= BA xx AB )2 5,2 1(Q PQ M ),( yx 2 2 5 ,2 2 1 t y s x + = + = 2 52,2 12 −=−= ytxs P C 2)2 12(2 52 −=− xy 2 112 8y x x= − + P L A B 22 121