理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十九讲曲线与方程

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十九讲 曲线与方程 2019 年 1.（2019 北京理 8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就 是其中之一（如图）。给出下列三个结论： ① 曲线 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ; ③ 曲线 所围城的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 （A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 2．（2019 浙江 15）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方， 若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______. 3．（2019 江苏 17）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 的焦 点为 F1 （–1、0），F 2 （1，0）．过 F 2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F 2: 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．已知 DF1= ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标． 4.（2019 全国 III 理 21（1））已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C C : x2 + y2 =1+ x y C C 2 C 2 2 19 5 x y+ = F P x PF O OF PF 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2( 1) 4x y a− + = 5 2 2 2 x 1 2 − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 的两条切线，切点分别为 A，B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. 5.（2019 北京理 18）已知抛物线 经过点(2，-1). (I) 求抛物线 C 的方程及其准线方程； (II) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N， 直线 y=-1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B，求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两上 定点. 6.（2019 全国 II 理 21）已知点 A(−2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积 为− .记 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明： 是直角三角形； （ii）求 面积的最大值. 7. （2019 浙江 21）如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 右侧.记 的面积为 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 的最小值及此时点 G 的坐标. 8.（2019 天津理 18）设椭圆 的左焦 点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 5 2 2: 2C x py= − 1 2 PQG△ PQG△ (1 0)F ， 2 2 ( 0)y px p= > ABC△ ,AFG CQG△ △ 1 2,S S 1 2 S S 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F B 5 5 P M PB x N 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率. 2010-2018 年 解答题 1．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点 ，圆 的直径为 ． (1)求椭圆 及圆 的方程； (2)设直线 与圆 相切于第一象限内的点 ． ①若直线 与椭圆 有且只有一个公共点，求点 的坐标； ②直线 与椭圆 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 的方程． 2．（2017 新课标Ⅱ）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的 垂线，垂足为 ，点 满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 3．(2016 年山东)平面直角坐标系 中，椭圆 C： 的离心率是 ，抛物线 E： 的焦点 F 是 C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 y | | | |ON OF= O OP MN⊥ PB y xO F2F1 xOy ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = ＞ ＞ 3 2 2 2x y= l xOy C 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− O 1 2F F C O l O P l C P l C ,A B OAB△ 2 6 7 l O M C 2 2 12 x y+ = M x N P 2NP NM=  P Q 3x = − 1OP PQ⋅ =  P OQ l C F 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线 与 y 轴交于点 G，记 的面积为 ， 的面积为 ， 求 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标． 4．(2016 年天津)设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于 点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线 的斜 率的取值范围． 5．(2016 年全国 II)已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上， ． （Ⅰ）当 时，求 的面积； （Ⅱ）当 时，求 的取值范围． 6．（2015 湖北）一种作图工具如图 1 所示． 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如 图 2 所示的平面直角坐标系． l PFG△ 1S PDM△ 2S 1 2 S S :E 2 2 13 x y t + = x A E ( 0)k k > E ,A M N E MA NA⊥ 4,| | | |t AM AN= = AMN∆ 2 AM AN= k 13 2 2 2 =+ y a x ( 3)a > F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF =+ O e A l B B x l l M y H HFBF ⊥ MOA MAO∠ ∠≤ l O AB 1DN ON= = 3MN = O O AB x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 7．（2015 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心 率为 ，且右焦点 到左准线 的距离为 3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过 的直线与椭圆交于 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于 点 ，若 ，求直线 的方程． 8．（2015 四川）如图，椭圆 ： 的离心率是 ，过点 的动 直线 与椭圆相交于 两点，当直线 平行与 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长 为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒 成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． l 1 : 2 0l x y− = 2 : 2 0l x y+ = ,P Q l C xoy ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 F l F ,A B AB l AB ,P C 2PC AB= AB E 2 2 2 2+ 1( 0)x y a ba b = > > 2 2 (0,1)P l ,A B l x l E 2 2 E xOy P Q QA PA QB PB = Q 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 9．（2015 北京）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）； （Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是 否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明 理由． 10．（2015 浙江）已知椭圆 上两个不同的点 关于直线 对称． （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）求 面积的最大值（ 为坐标原点）． 11．（2014 广东）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ， （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若动点 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程． 12．（2014 辽宁）圆 的切线与 轴正半轴， 轴正半轴围成一个三角形，当该 三角形面积最小时，切点为 （如图），双曲线 过点 且离心率为 ． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 5,0) 5 3 0 0( , )P x y C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 ( )0 1P ， ( )A m n， ( )0m≠ C PA x M C M m n O B A x PB x N y Q OQM ONQ∠ = ∠ Q 2 2 12 x y+ = ,A B 1 2y mx= + m AOB∆ O 2 2 4x y+ = x y P 2 2 1 2 2: 1x yC a b − = P 3 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）求 的方程； （2）椭圆 过点 且与 有相同的焦点，直线 过 的右焦点且与 交于 ， 两点，若以线段 为直径的圆心过点 ，求 的方程． 13．（2013 四川）已知椭圆 C： 的两个焦点分别为 ， ，且椭圆 C 经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率 （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是 MN 上的点，且 ，求点 Q 的轨迹方程． 14．（2012 湖南）在直角坐标系 中，曲线 的点均在 ： 外，且对 上任意一点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）设 （ ）为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 在直线 上运动时，四点 A，B， C，D 的纵坐标之积为定值． 15．（2011 天津）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为 椭圆 的左右焦点．已知△ 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率 ； （ Ⅱ ） 设 直 线 与 椭 圆 相 交 于 两 点 ， 是 直 线 上 的 点 ， 满 足 x P O y 1C 2C P 1C l 2C 2C A B AB P l )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1( 1 0)F − ， 2 1 0F（，） ）， 3 1 3 4(P ），（ 20A l 222 112 ANAMAQ += xoy 1C 2C 2 2( 5) 9x y− + = 1C M M 2x = − 2C 1C 0 0( , )P x y 3y ≠ ± 2C P 2C 1C P 4x = − xOy ( , )P a b ( 0)a b> > 1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2F PF e 2PF ,A B M 2PF 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，求点 的轨迹方程． 16 ．（ 2009 广 东 ） 已 知 曲 线 与 直 线 交 于 两 点 和 ，且 ．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平 面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重 合． （1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程； （2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值． 2AM BM⋅ = −  M 2:C y x= : 2 0l x y− + = ( , )A AA x y ( , )B BB x y A Bx x< C A B L AB D ( , )P s t L P A B Q AB PQ M 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D a