理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十八讲抛物线答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 1．D 解析 由题意可得： ，解得 ．故选 D． 2.解析（I）由抛物线 经过点 ，得 . 所以抛物线 C 的方程为 ，其准线方程为 . 3.解析 设直线 ． （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ． 由 ，可得 ，则 ． 从而 ，得 ．所以 的方程为 ． （2）由 可得 ． 由 ，可得 ． 所以 ．从而 ，故 ． 代入 的方程得 ．故 ． 4．解析（1）设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 ，整理得 2 3 2 pp p  − =    8p = 2: 2C x py= − ( )2, 1− 2p = 2 4x y= − 1y = ( ) ( )1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y= + 3 ,04F      1 2 3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2 5 2x x+ = 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2 12( 1) 9 tx x −+ = − 12( 1) 5 9 2 t −− = 7 8t = − l 3 7 2 8y x= − 3AP PB=  1 23y y= − 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 2 2 0y y t− + = 1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − = C 1 2 13, 3x x= = 4 13| | 3AB = ( )1 1 1, , ,2D t A x y −   2 1 12x y= y' x= 1x 1 1 1 1 2y xx t + =− 1 12 2 +1=0. tx y− 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 . 所以直线AB过定点 . （2）由（1）得直线AB的方程为 . 由 ，可得 . 于是 ， . 设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 . 因此，四边形ADBE的面积 . 设M为线段AB的中点，则 . 由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得 t=0或 . 当 =0时，S=3；当 时， . 因此，四边形ADBE的面积为3或 . 2010-2018 年 ( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y− 2 2 1 0tx y− + = 1(0, )2 1 2y tx= + 2 1 2 2 y tx xy  = +  = 2 2 1 0x tx− − = ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 22 , 1, 1 2 1x x t x x y y t x x t+ = = − + = + + = + ( ) ( )22 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 2 1AB t x x t x x x x t= + − = + × + − = + 1 2,d d 2 1 2 2 21, 1 d t d t = + = + ( ) ( )2 2 1 2 1 | | 3 12S AB d d t t= + = + + 2 1, 2M t t +   EM AB⊥  ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ± t 1t = ± 4 2S = 4 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1．D【解析】通解 过点 且斜率为 的直线的方程为 ， 由 ，得 ，解得 或 ，所以 ，或 ， 不 妨 设 ， ， 易 知 ， 所 以 ， ， 所 以 ．故选 D． 优解 过点 且斜率为 的直线的方程为 ，由 ，得 ，设 ， ，则 ， ，根据根与系数的关 系，得 ， ．易知 ，所以 ， ， 所以 ．故选 D． 2．A【解析】由已知 垂直于 轴是不符合题意，所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ，由题意有 ，设 ， ， ， 此时直线 方程为 ， 取方程 ，得 ， ∴ 同理得 由抛物线定义可知 ( 2,0)− 2 3 2 ( 2)3 = +y x 2 2 ( 2)3 4  = +  = y x y x 2 5 4 0− + =x x 1=x 4=x 1 2 =  = x y 4 4 =  = x y (1,2)M (4,4)N (1,0)F (0,2)=FM (3,4)=FN 8⋅ = FM FN ( 2,0)− 2 3 2 ( 2)3 = +y x 2 2 ( 2)3 4  = +  = y x y x 2 5 4 0− + =x x 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 0>y 2 0>y 1 2 5+ =x x 1 2 4=x x (1,0)F 1 1( 1, )= −FM x y 2 2( 1, )= −FN x y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1 4⋅ = − − + = − + + + FM FN x x y y x x x x x x 4 5 1 8 8= − + + = 1l x 1l 1k 2l 2k 1 2 1k k⋅ = − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )D x y 4 4( , )E x y 1l 1( 1)y k x= − 2 1 4 ( 1) y x y k x  =  = − 2 2 2 2 1 1 12 4 0k x k x x k− − + = 2 1 1 2 2 1 2 4kx x k − −+ = − 2 1 2 1 2 4k k += 2 2 3 4 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 3 4| | | | 2AB DE x x x x p+ = + + + + 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 4 4 4 164 8 2 8 16k k k k k k k k + += + + = + + + =≥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当且仅当 （或 ）时，取得等号． 3．C【解析】设 （不妨设 ），则 ，∵ ，∴ ，∴ ∴ ∴ ，故选 C． 4．B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 ，由 ， ，可取 ， ，设 为坐标原点， 由 ，得 ，得 ，所以选 B． 5．A【解析】如图， ，故选 A． 6．D 【解析】当直线 的斜率不存在时，这样的直线 恰好有 2 条，即 ， 所以 ；所以当直线 的斜率存在时，这样的直线 有 2 条即可． 设 ， ， ，则 ．又 ， 两式相减得 ， ． 设圆心为 ，则 ，因为直线 与圆相切，所以 ， 解得 ，于是 ， ，又 ，即 ， 所以 ，又 ， 所以 ，选 D． 1 1 − −=== ∆ ∆ AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF 1 2 1k k= − = 1− ( ) ( )22 , 2 , ,P pt pt M x y 0t > 22 , 22 pFP pt pt = −    1 3FM FP=  22 ,2 3 6 2 ,3 p p px t pty  − = −  = 22 ,3 3 2 ,3 p px t pty  = +  = 2 2 1 1 2 12 1 2122 2 OM tk t t t = = ≤ =+ + max 2( ) 2OMk = 2 2 ( 0)y px p= > | | 4 2AB = | | 2 5DE = 4( ,2 2)A p ( , 5)2 pD − O | | | |OA OD= 2 2 16 8 54 p p + = + 4p = l l 5x r= ± 0 5r< < l l 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )M x y 1 2 0 1 2 0 2 2 x x x y y y + =  + = 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x  =  = 1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )y y y y x x+ − = − 1 2 1 2 1 2 0 4 2 AB y yk x x y y y −= = =− + (5,0)C 0 0 5CM yk x = − l 0 0 0 2 15 y y x ⋅ = −− 0 3x = 2 2 0 4y r= − 2r > 2 0 04y x< 2 4 12r − < 0 4r< < 0 5r< < 2r > 2 4r< xy 162 = : 4l x = − ( 4,2 3)A − ( 4, 2 3)B − − 2 2 2( 4) (2 3) 4 2 2 4a a a= − − = ⇔ = ⇔ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 13．D【解析】因为双曲线 ： 的离心率为 2, 所以 又渐近线方程为 所以双曲线 的渐近线 方程为 而抛物 的焦点坐标为 所以有 .故选 D． 14．C【解析】设抛物线的方程为 ，易知 ，即 ， ∵点 在准线上，∴ 到 的距离为 ，所以 面积为 36，故选 C． 15．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为 ，则过 的焦点且斜率为 的直线方 程为 ，由 ，消去 得 ， 即 ，设 ， ， 则 ， ．由 ，消去 得 ， 即 ，则 ， ， 由 ，得 ， 将 ， 与 ， 代入，得 ． 解法二 设抛物线的焦点为 ， ， ，则 ， 所以 ，则 ， 取 的中点 ，分别过点 ， 做准线 的垂线，垂足分别为 ， ， 又 ，点 在准线 上， 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 .c b aa = ⇒ = 0,bx ay± = 1C 3 0.x y± = 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > (0, ),2 p 2 2 | |2 2 8 ( 3) 1 p p= ⇒ = + 2 2y px= | | 2 12AB p= = 6p = P P AB 6p = ABP∆ (1,0) C k ( 1)y k x= − ( 0)k ≠ 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = y 2 2( 1) 4k x x− = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 1x x = 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = x 2 14( 1)y yk = + 2 4 4 0y yk − − = 1 2 4y y k + = 1 2 4y y = − 90AMB∠ =  1 1 2 2( 1, 1) ( 1, 1)MA MB x y x y⋅ = + − ⋅ + −  1 2 1 2 1 2 1 24 1 ( ) 1 0x x x x y y y y= + + + + − + + = 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 1x x = 1 2 4y y k + = 1 2 4y y = − 2k = F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x  =  = 2 2 1 2 1 24( )y y x x− = − 1 2 1 2 1 2 4y yk x x y y −= =− + AB 0 0( , )M x y′ A B 1x = − A′ B′ 90MB∠ =  M 1x = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ． 又 为 的中点，所以 平行于 轴，且 ，所以 ， 所以 ． 16．6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ， 作 与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的 定义有： ，结合题意，有 ， 故 ． 17． 【解析】 的准线方程为 ，又 ，所以 必经过双曲 线 的左焦点 ，所以 ， ． 18． 【解析】由正方形的定义可知 ，结合抛物线的定义得点 为抛物线的 焦点，所以 ， ， ，将点 的坐标代入抛物线的方程 得 ，变形得 ， 解得 或 （舍去），所以 ． 19．2， 【解析】 ；准线 ． 20． 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 的坐标为 ，设抛物线的方程为 ， 与抛物线的交点为 、 ， 根据题意知 ， 则有 ，∴ OF' B A F N M y x 62 l ( )222 −×=− a 2 1−=a 1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2MM AB AF BF AA BB′ ′ ′= = + = + M ′ AB MM ′ x 0 1y = 1 2 2y y+ = 2k = x F' MB l⊥ B NA l⊥ A 2x = − 2, 4AN FF'= = ANFF' ' 32 AN FFBM += = 3MF MB= = 3MN MF= = 3 3 6FN FM NM= + = + = 2 2 2 2y px= 2 px = − 0p > 2 px = − 2 2 1x y− = ( 2,0)− 22 p− = − 2 2p = 1 2+ BC CD= D | |AD p a= = ( ,0)2 pD ( , )2 pF b b+ F 2 22 ( ) 22 pb p b a ab= + = + 2 2( ) 1 0b b a a − − = 1 2b a = + 1 2b a = − 1 2b a = + 1x = − 1, 22 p p= = 12 px = − = − O (0,0) 2 2x py= − A B ( 2, 2)A − − (2, 2)B − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴抛物线的解析式为 水位下降 1 米，则 ，此时有 或 ∴此时水面宽为 米． 21． 【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 的值为 ，B 点坐标为 （ ）所以点 B 到抛物线准线的距离为 ． 22．【解析】(1)因为抛物线 经过点 ， 所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ． 由题意可知直线 的斜率存在且不为 0， 设直线 的方程为 （ ）． 由 得 ． 依题意 ，解得 或 ． 又 ， 与 轴相交，故直线 不过点 ．从而 ． 所以直线 斜率的取值范围是 ． (2)设 ， ． 由(1)知 ， ． 直线 的方程为 ． 令 ，得点 的纵坐标为 ． 同理得点 的纵坐标为 ． 由 ， 得 ， ． 2 2 1 xy −= 6=x 6−=x 62 3y = − 3 2 4 p 2 14 2 ， 3 24 2 2y px= (1,2)P 4 2p= 2p = 2 4y x= l l 1y kx= + 0k ≠ 2 4 1 y x y kx  =  = + 2 2 (2 4) 1 0k x k x+ − + = 2 2(2 4) 4 1 0k k∆ = − − × × > 0k < 0 1k< < PA PB y l (1, 2)− 3k ≠ − l ( , 3) ( 3,0) (0,1)−∞ − −  1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 2 4kx x k −+ = − 1 2 2 1x x k = PA 1 1 22 ( 1)1 yy xx −− = −− 0x = M 1 1 1 1 2 12 21 1M y kxy x x − + − += + = +− − N 2 2 1 21N kxy x − += +− =QM QOλ  =QN QOµ  =1 Myλ − 1 Nyµ = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ． 所以 为定值． 23．【解析】(1)由题意得 ， 的方程为 ． 设 ， 由 得 ． ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 （舍去）， ． 因此 的方程为 ． (2)由(1)得 的中点坐标为 ，所以 的垂直平分线方程为 ， 即 ． 设所求圆的圆心坐标为 ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 24．【解析】(1)设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( )1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1M N x x x x x x y y k x k x k x xλ µ − − − ++ = + = + = ⋅− − − − − 2 2 2 2 2 4 1 =211 k k k k k −+ = ⋅− 1 1 λ µ+ (1,0)F l ( 1)( 0)y k x k= − > 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 2 ( 1), 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + > 1 2 2 2 2 4 kx kx ++ = 1 2 2 2 4 4| | | | | | ( 1) ( 1)x kAB AF BF kx += + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = 1k = − 1k = l 1y x= − AB (3,2) AB 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0( , )x y 0 0 2 2 0 0 0 5, ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + 0 0 3, 2 x y =  = 0 0 11, 6. x y =  = − 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = 0 0( , )P x y 2 1 1( , )4 yA y 2 2 2( , )4 yB y PA PB 1y 2y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． (2)由(1)可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 25．【解析】（1）设 ， ， ： 由 可得 ，则 又 ， ，故 =4 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 ． 故坐标原点 在圆 上． （2）由（1）可得 ， 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 由于圆 过点 ，因此 ， 故 即 2 021 0 1 4( ) 42 2 y xy y ++ = ⋅ 2 2 1 0 1 0 02 8 0y y y x y− + − = 1 2 02y y y+ = PM y 1 2 0 2 1 2 0 0 2 8 y y y y y x y + =  = − 2 2 2 1 2 0 0 0 1 3| | ( ) 38 4PM y y x y x= + − = − 2 1 2 0 0| | 2 2( 4 )y y y x− = − PAB∆ 3 2 2 1 2 0 0 1 3 2| | | | ( 4 )2 4PABS PM y y y x∆ = ⋅ − = − 2 2 0 0 14 yx + = 0( 0)x < 2 2 0 0 0 04 4 4 4 [4,5]y x x x− = − − + ∈ PAB∆ 15 10[6 2, ]4 ( )A x ,y1 1 ( )B x ,y2 2 l 2x ym= + 2 2 2 x my y x = +  = y my− − =2 2 4 0 y y = −1 2 4 yx 2 1 1= 2 yx 2 2 2= 2 ( )y yx x 2 1 2 1 2= 4 OA OB y y x x ⋅1 2 1 2 - 4= =-14 OA OB⊥ O M y y m1 2+ =2 ( )x x m y y m +2 1 2 1 2+ = + +4=2 4 M ( )m m2+2， M ( )r m m= + +22 22 M (4, 2)P − 0AP BP =   ( )( ) ( )( )1 2 1 24 4 + + 2 + 2 = 0x x y y− − ( ) ( )x x x x y y y y− + + + + =1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由（1）可得 ， ． 所以 ，解得 或 ． 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ， 圆 的方程为 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半 径为 ，圆 的方程为 ． 26．【解析】（Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 ， ， 因为 ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 。 （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标是 因为 = = = = ， 所以 = 令 ， y y1 2=- 4 x x1 2=4 2m m− − =2 1 0 m =1 m = − 1 2 1m = l 2 0x y− − = M (3,1) M 10 M ( ) ( )x y− + − =2 23 1 10 1 2m = − l 2 4 0x y+ − = M 9 1( , )4 2 − M 85 4 M 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y− + + = k 2 1 14 1 2 2 x k x x − = = − + 1 3 2 2x− < < ( 1,1)− 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k  − + + =  + − − = 2 2 4 3 2( 1)Q k kx k − + += + | |PA 2 11 ( )2k x+ + 21 ( 1)k k+ + | |PQ 21 ( )Qk x x+ − 2 2 ( 1)( 1) 1 k k k − +− + | || |PA PQ 3( 1)( 1)k k− − + ( )f k = 3( 1)( 1)k k− − + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 ， 所以 在区间 上单调递增， 上单调递减， 因此当 时， 取得最大值 ． 27．【解析】（Ⅰ）由抛物线 C： 过点 ，得 ． 所以抛物线 的方程为 ． 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ． （Ⅱ）当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题 意，所以直线 的斜率存在且不为 0． 设 为 点 ， 过 的 直 线 方 程 为 （ ），设 ， ，显然， ， 均不为 0． 由 ，得 ． 考虑 ，由题意 ，所以 ． 则 ，① ． ② 由题意可得 ， 横坐标相等且同为 ， 因为点 P 的坐标为 ，所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 ． 直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 ． 若要证明 为 的中点，只需证 ，即证 ， 即证 ， 2( ) (4 2)( 1)f k k k′ = − − + ( )f k 1( 1, )2 − 1( ,1)2 1 2k = | || |PA PQ 27 16 2 2y px= (1,1)P 1 2p = C 2y x= C 1( ,0)4 1 4x = − MN MN 1(0, )2 Q Q MN 1 2y kx= + 0k ≠ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1x 2x 2 1 2y kx y x  = +  = 2 24 (4 4) 1 0k x k x+ − + = 2 21( 1) 4 1 24k k k∆ = − − × × = − 0∆ > 1 2k < 1 2 2 1 kx x k −+ = 1 2 2 1 4x x k = A B 1x (1,1) y x= 1 1( , )x x 2 2 yy xx = 2 1 1 2 ( , )y xx x A BM 2 A B My y y= + 1 2 1 1 2 2x y y xx + = 1 2 2 1 1 22x y x y x x+ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 将 代入上式， 即证 ， 即证 ③ 将①②代入③得 ，化简有 恒成立， 所以 恒成立． 故 A 为线段 BM 的中点． 28．【解析】由题设 .设 ，则 ，且 . 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . （Ⅰ）由于 在线段 上，故 . 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 . 所以 . （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 . 由题设可得 ，所以 （舍去）， . 设满足条件的 的中点为 . 当 与 轴不垂直时，由 可得 . 而 ，所以 . 1 1 2 2 1 2 1 2 y kx y kx  = +  = + 2 1 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x+ + + = 1 2 1 2 1(2 2) ( ) 02k x x x x− + + = 2 2 1 1(2 2) 04 2 kk k k −− + = 2 2 1 1 02 2 k k k k − −+ = 2 A B My y y= + )0,2 1(F bylayl == :,: 21 0≠ab 2 2 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 2 2 2 2 2 a b a bA a B b P a Q b R +− − − BA, l l 0)(2 =++− abybax F AB 01 =+ ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak =−=−==− −=+ −= FQAR∥ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF −=−−=−= ∆∆ 22 1 2 1 1 baxab −=−− 01 =x 11 =x AB ),( yxE AB x DEAB kk = )1(1 2 ≠−=+ xx y ba yba =+ 2 )1(12 ≠−= xxy 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 与 轴垂直时， 与 重合.所以，所求轨迹方程为 . 29．【解析】（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ， .∵ ，故 在 = 处的导数值为 ， 在 处的切线方程为 ，即 . 故 在 处的导数值为 ， 在 处的切线方程为 ，即 . 故所求切线方程为 或 . （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设 为符合题意的点， ， ， 直线 ， 的斜率分别为 . 将 代入 的方程整理得 . ∴ . ∴ = = . 当 时，有 =0，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补， 故∠ =∠ ，所以 符合题意． 30．【解析】（Ⅰ）由题意知 ，设 ，则 的中点为 因为 ，由抛物线的定义可知 ， 解得 或 （舍去） 由 ，解得 ．所以抛物线 的方程为 ． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知 ，设 ． AB x E D 12 −= xy (2 , )M a a ( 2 2, )N a− ( 2 2, )M a− (2 , )N a a 1 2y x′ = 2 4 xy = x 2 2a a C (2 2 , )a a ( 2 )y a a x a− = − 0ax y a− − = 2 4 xy = 2 2x a= − a− C ( 2 2 , )a a− ( 2 )y a a x a− = − + 0ax y a+ + = 0ax y a− − = 0ax y a+ + = (0, )P b 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y PM PN 1 2,k k y kx a= + C 2 4 4 0x kx a− − = 1 2 1 24 , 4x x k x x a+ = = − 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 2 2 ( )( )kx x a b x x x x + − + ( )k a b a + b a= − 1 2k k+ PM PN OPM OPN (0, )P a− ( ,0)2 pF ( ,0)( 0)D t t > FD 2( ,0)4 p t+ FA FD= 3 2 2 p pt+ = − 3t p= + 3t = − 2 34 p t+ = 2p = C 2 4y x= (1,0)F 0 0 0 0( , )( 0)A x y x y ≠ ( ,0)( 0)D DD x x > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 ，则 ， 由 得 ，故 ，故直线 的斜率 因为直线 和直线 平行， 设直线 的方程为 ，代入抛物线的方程得 ， 由题意 ，得 设 ，则 当 时， ， 可得直线 的方程为 ，由 ， 整理得 ，直线 恒过点 当 时，直线 的方程为 ，过点 ， 所以直线 过定点 ． （ⅱ）由（ⅰ）知直线 过定点 ， 所以 。 设直线 的方程为 ，因为点 在直线 上 故 ．设 ，直线 的方程为 由于 ，可得 ， 代入抛物线的方程得 FA FD= 01 1Dx x− = + 0Dx > 0 2Dx x= + 0( 2,0)D x + AB 0 2AB yk = − 1l AB 1l 0 2 yy x b= − + 2 0 0 8 8 0by yy y + − = 2 0 0 64 32 0b y y ∆ = + = 0 2b y = − ( , )E EE x y 2 0 0 4 4,E Ey xy y = − = 2 0 4y ≠ 0 0 2 0 0 4 4 E AE E y y yk x x y −= =− − AE 0 0 02 0 4 ( )4 yy y x xy − = −− 2 0 04y x= 0 2 0 4 ( 1)4 yy xy = −− AE (1,0)F 2 0 4y = AE 1x = (1,0)F AE (1,0)F AE (1,0)F 0 0 0 0 1 1( 1) ( 1) 2AE AF FE x xx x = + = + + + = + + AE 1x my= + 0 0( , )A x y AE 0 0 1xm y −= 1 1( , )B x y AB 0 0 0( )2 yy y x x− = − − 0 0y ≠ 0 0 2 2x y xy = − + + 2 0 0 8 8 4 0y y xy + − − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ，可求得 ， 所以点 到直线 的距离为 = = 则 的面积 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的面积的最小值为 ． 31．【解析】（Ⅰ）在 ， 方程中，令 ，可得 b=1,且得 是上半椭圆 的左右顶点， 设 的半焦距为 ，由 及 ，解得 ， 所以 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆 的方程为 ， 易知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 代入 的方程中，整理得： （*） 设点 的坐标 ，由韦达定理得 又 ，得 ，从而求得 所以点 的坐标为 ． 同理，由 得点 的坐标为 0 1 0 8y y y + = − 1 0 0 8y y y = − − 1 0 0 4 4x xx = + + B AE 0 0 0 0 2 4 84 ( ) 1 1 x m yx yd m + + + + − = + 0 0 4( 1)x x + 0 0 14( )x x + ABE∆ 0 0 00 1 1 14( )( 2) 162S x x xx = × + + + ≥ 0 0 1 xx = 0 1x = ABE∆ 16 1C 2C 0y = ( 1,0), (1,0)A B− 1C 1C c 3 2 c a = 2 2 2 1a c b− = = 2a = 2a = 1b = 1C 2 2 1( 0)4 y x y+ = ≥ l x ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1C 2 2 2 2( 4) 2 4 0k x k x k+ − + − = P ( , )P Px y 2 2 2 4P B kx x k + = + (1,0)B 2 2 4 4P kx k −= + 2 8 4P ky k −= + P 2 2 2 4 8( , )4 4 k k k k − − + + 2 ( 1)( 0) 1( 0) y k x k y x y = − ≠  = − + ≤ Q 2( 1, 2 )k k k− − − − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， ， ,即 ， ，解得 经检验， 符合题意，故直线 的方程为 32．【解析】（Ⅰ）依题意 ，解得 （负根舍去） 抛物线 的方程为 ． （Ⅱ）设点 , ， ， 由 ,即 得 ． ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 ． ∵ ， ∴ ． ∵点 在切线 上, ∴ . ① 同理， . ② 综合①、②得，点 的坐标都满足方程 . ∵经过 两点的直线是唯一的， ∴直线 的方程为 ，即 ． （Ⅲ）由抛物线的定义可知 ， 所以 0 2 3 2 22 cd − −= = 1c = ∴ C 2 4x y= 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ),( 00 yxP 2 4x y= 21 4y x ,= y′ = 1 2 x C A PA )(2 1 1 1 xxxyy −=− 2 11 1 2 1 2 xyxxy −+= 2 11 4 1 xy = 1 1 2 yxxy −= ),( 00 yxP 1l 10 1 0 2 yxxy −= 20 2 0 2 yxxy −= 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y yxxy −= 00 2 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB yxxy −= 00 2 0 02 2 0x x y y− − = 1 21, 1AF y BF y= + = + ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y y y⋅ = + + = + + + 2 2 ( ,4)4 kAP kk ∴ = +  (1, 2)AQ k k= − + AP AQ⊥ 0AP AQ∴ ⋅ =  2 2 2 [ 4( 2)] 04 k k kk − − + =+ 0k ≠ 4( 2) 0k k∴ − + = 8 3k = − 8 3k = − l 8 ( 1)3y x= − − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 联立 ，消去 得 ， 当 时， 取得最小值为 ． 33．【解析】（Ⅰ）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 点 到准线 的距离 圆 的方程为 （Ⅱ）由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 ． 34．【解析】（Ⅰ）设 ，由已知得 ， ． 所以 = ， =(0， )， =( ，-2). 2 0 0 4 2 2 0 x y x x y y  =  − − = x ( )2 2 2 0 0 02 0y y x y y+ − + = 2 2 1 2 0 0 1 2 02 ,y y x y y y y∴ + = − = 0 0 2 0x y− − = ( )22 2 2 0 0 0 0 0 02 1= 2 2 1AF BF y y x y y y∴ ⋅ = − + + − + + + 2 2 0 0 0 1 9=2 2 +5=2 +2 2y y y + +   ∴ 0 1 2y = − AF BF⋅ 9 2 BFD∆ ∆ 2BD p= A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ = F 2 2( 1) 8x y+ − = 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p = ( , )M x y ( , 3)B x − (0, 1)A − MA ( , 1 )x y− − − MB 3 y− − AB x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 再由题意可知（ + ）• =0， 即（ ， ）• ( ，－2)=0． 所以曲线 C 的方程式为 ． （Ⅱ）设 为曲线 C： 上一点，因为 ， 所以 的斜率为 ， 因此直线 的方程为 ，即 ． 则 点到 的距离 ．又 ， 所以 当 =0 时取等号，所以 点到 距离的最小值为 2． MA MB AB x− 4 2y− − x 21 24y x= − 0 0( , )P x y 21 24y x= − 1 2y x′ = l 0 1 2 x l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 0 02 2 0x x y y x− + − = O l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x O l