理科2010-2018高考数学真题分类训练专题九解析几何第二十八讲抛物线

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019 年 1.（2019 全国 II 理 8）若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 2.（2019 北京理 18（1））已知抛物线 经过点(2，-1).求抛物线 C 的方程及其准 线方程； 3．（2019 全国 I 理 19）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若 ，求 l 的方程； （2）若 ，求 ． 4. （2019 全国 III 理 21）已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两 条切线，切点分别为 A，B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. 2010-2018 年 一、选择题 1．(2018 全国卷Ⅰ)设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，则 = A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2017 新课标Ⅰ）已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 、 两点，直线 与 交于 、 两点，则 的最 2 2 3 1x y p p + = 2: 2C x py= − 3 2 4AF BF+ = 3AP PB=  AB 2 2 x 1 2 − 5 2 C 2 4=y x F ( 2,0)− 2 3 C M N ⋅ FM FN F C 2 4y x= F 1l 2l 1l C A B 2l C D E | | | |AB DE+ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 3．(2016 年四川)设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且 =2 ,则直线 的斜率的最大值为 A． B． C． D．1 4．(2016 年全国 I)以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点．已知 = ， = ，则 的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2015 浙江）如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的 点 ，其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是 A． B． C． D． 6 ．（ 2015 四 川 ） 设 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 两 点 ， 与 圆 相切于点 ，且 为线段 的中点．若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是 A． B． C． D． 7．（2014 新课标 1）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是 直线 与 的一个焦点，若 ，则 = A． B． C．3 D．2 8．（2014 新课标 2）设 为抛物线 C： 的焦点，过 且倾斜角为 30°的直线交 O P F 2 2 ( 0)y px p= > M PF PM MF OM 3 3 2 3 2 2 C C A B C D E | |AB 4 2 | |DE 2 5 C 2 4y x= F , ,A B C ,A B C y BCF∆ ACF∆ 1 1 BF AF − − 2 2 1 1 BF AF − − 1 1 BF AF + + 2 2 1 1 BF AF + + l 2 4y x= ,A B ( ) ( )2 2 25 0x y r r− + = > M M AB l r ( )1 3， ( )1 4， ( )2 3， ( )2 4， C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF 7 2 5 2 F 2 3y x= F C 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 于 两点， 为坐标原点，则△ 的面积为（ ） A． B． C． D． 9．（2014 辽宁）已知点 在抛物线 C： 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第 一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ） A． B． C． D． 10．（2013 新课标 1） 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点， 若 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 11．（2013 江西）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，射线 与抛物线 相 交于点 ，与其准线相交于点 ，则 = A．2: B．1:2 C．1: D．1:3 12．（2012 新课标）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的 准线交于 、 两点， ，则 的实轴长为 A、 B、 C、4 D、8 13 ．（ 2012 山 东 ） 已 知 双 曲 线 ： 的 离 心 率 为 2 ． 若 抛 物 线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为 A．   B．   C．    D． 14．（2011 新课标）已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点， ， 为 的准线上一点，则 的面积为 A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题 15．(2018 全国卷Ⅲ)已知点 和抛物线 ： ，过 的焦点且斜率为 的直 线与 交于 ， 两点．若 ，则 ______． O F 2: 4 2C y x= P C | | 4 2PF = POF∆ 2 2 2 2 3 4 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 1C 2C 2 8 3 3x y= 2 16 3 3x y= 2 8x y= 2 16x y= ,A B O OAB 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 ( 2,3)A − 2 2y px= 1 2 2 3 3 4 4 3 ( )2,0A 2: 4C x y= F FA C M N | |:| |FM MN 5 5 C x C xy 162 = A B 34|| =AB C 2 22 l C C l C A B | | 12AB = P C ABP∆ ( 1,1)M − C 2 4y x= C k C A B 90AMB∠ =  k = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 16．（2017 新课标Ⅱ）已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长 线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 ． 17．（2015 陕西）若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 = 18．（2014 湖南）如图 4，正方形 的边长分别为 ，原点 为 的中点，抛物线 经过 ． 19．（2013 北京）若抛物线 的焦点坐标为 ，则 ，准线方程为 ． 20．（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水 位下降 1 米后，水面宽 米． 21．（2010 浙江）设抛物线 的焦点为 ，点 ．若线段 的中点 在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题 22．（2018 北京）已知抛物线 ： 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为原点， ， ，求证： 为定值． 23．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 ABCD DEFG和正方形 , ( )a b a b< O AD 2 2 ( 0)y px p= > , bC F a =两点，则 2 2y px= (1,0) p = l F C 2 8y x= M C FM y N M FN | |FN = 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 1x y− = p 2 2 ( 0)y px p= > F (0,2)A FA B B C 2 2y px= (1,2)P (0,1)Q l C A B PA y M PB y N l O QM QOλ=  QN QOµ=  1 1 λ µ+ 2 4=：C y x F F ( 0)>k k l 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 与 交于 ， 两点， ． (1)求 的方程； (2)求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 24．（2018 浙江）如图，已知点 是 轴左侧(不含 轴)一点，抛物线 ： 上存在 不同的两点 ， 满足 ， 的中点均在 上． (1)设 中点为 ，证明： 垂直于 轴； (2)若 是半椭圆 ( )上的动点，求 面积的取值范围． 25．（2017 新课标Ⅲ）已知抛物线 ： ，过点 的直线 交 与 ， 两点， 圆 是以线段 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程． 26．（2017 浙江）如图，已知抛物线 ．点 ， ，抛物线上的点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ． P M B A O y x C A B | | 8=AB l A B C P y y C 2 4y x= A B PA PB C AB M PM y P 2 2 14 yx + = 0x < PAB∆ C 2 2y x= (2,0) l C A B M AB O M M (4, 2)P − l M 2x y= 1 1( , )2 4A − 3 9( , )2 4B ( , )P x y 1 3( )2 2x− < < B AP Q 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）求直线 斜率的取值范围； （Ⅱ）求 的最大值． 27．（2017 北京）已知抛物线 ： 过点 ．过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ， 其中 为原点． （Ⅰ）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证： 为线段 的中点． 28．(2016 年全国 III)已知抛物线 C： 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 ， 分 别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 29．（2015 新课标 1）在直角坐标系 中，曲线 ： 与直线 交 与 ， 两点， （Ⅰ）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程； （Ⅱ） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由． 30．（2014 山东）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意 一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ， 当点 的横坐标为 3 时， 为正三角形。 （Ⅰ）求 的方程； y x QA B P O AP | | | |PA PQ⋅ C 2 2y px= (1,1)P 1(0, )2 l C M N M x OP ON A B O C A BM 2 2y x= 1l 2l xoy C 2 4 xy = y kx a= + ( 0)a > M N 0k = C M N y P k OPM OPN∠ = ∠ ）＞0(2: 2 ppxyC = F A C A l C B x D FA FD= A ADF∆ C 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ， （ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说 明理由。 31．（2014 陕西）如图，曲线 由上半椭圆 和部分抛物 线 连接而成， 的公共点为 ，其中 的离心率为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）过点 的直线 与 分别交于 （均异于点 ），若 ，求 直线 的方程． 32 ．（ 2013 广 东 ） 已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 原 点 ， 其 焦 点 到 直 线 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程； （Ⅲ）当点 在直线 上移动时，求 的最小值． 33．（2012 新课标）设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， 已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 、 点． C ( )( )0, 0F c c > : 2 0l x y− − = 3 2 2 P l P C ,PA PB ,A B C ( )0 0,P x y l AB P l AF BF⋅ ll //1 1l C E AE ABE∆ C 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b + = > > ≥ 2 2 : 1( 0)C y x y= − + ≤ 1 2,C C ,A B 1C 3 2 ,a b B l 1 2,C C ,P Q ,A B AP AQ⊥ l C )0(22 >= ppyx F l A C F FA F l B D 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程； （Ⅱ）若 、 、 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共 点，求坐标原点到 、 距离的比值． 34．（2011 新课标）在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 点在直线 上， 点满足 ， ， 点的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） 为 C 上动点， 为 C 在点 处的切线，求 点到 距离的最小值． oBFD 90=∠ ABD∆ 24 p F A B F m n m n C m n xoy (0, 1)A − B 3y = − M / /MB OA  MA AB MB BA=      M P l P O l