江西省南昌市2019-2020高一数学下学期第二次月考试题（Word版附答案）

2019-2020 学年高一下学期第二次月考 数学试卷 一、单选题（每题 5 分，合计 60 分） 1．在 中，已知 ，则 =( ) A． B． C． D． 2．不等式 的解集为 ，则 的值（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 4．在等差数列 中，已知 ，则该数列前 9 项和 （ ） A．18 B．27 C．36 D．45 5．若两个正实数 x，y 满足 ，且不等式 有解，则实数 m 的取值范围 是 A． B． C． D． 6．设变量 、 满足约束条件 ，则 的最小值为( ) A．-3 B．-2 C．0 D．6 7．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，为使此 三角形有两个，则 满足的条件是（ ） A． B． C． D． 或 8．等差数列 中， 为它的前 项和，若 ， ， ，则当 （ ） 时， 最大. ABC∆ 2 2 2 2a b c ba+ = + C 30° 150° 45° 135° 2 5 0cx x a+ + > 1 1| 3 2x x < 20 0S > 21 0S < n = nSA． B． C． D． 9．若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是 （ ） A．0 B． C． D． 10．在 中， 则 的值等于（　　） A． B． C． D． 11． 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，已知角 ，角 为锐角， ， 周长的取值范围（ ） A． B． C． D． 12．如果数列 满足 ， ，且 ，则这个数列的第 10 项等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 5 分，合计 20 分） 13．在 中，若 ， ，则 等于__________． 14．已知 中，三边与面积的关系为 ，则 的值为_____. 15．在函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ 中，最小值为 2 的函数的序号是______. 16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长 三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自 倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间 约为_____日． （结果保留一位小数，参考数据： ， ） 8 9 10 11 2 1 0x ax+ + ≥ 10, 2x  ∈   a 2− 5 2 − 3− ABC∆ 60 1 3ABCA b S∆∠ = ° = =， ， ， 2 sin 2sin sin a b c A B C − + − + 2 39 3 26 33 8 33 2 3 ABC A B C a b c 60A = ° B 2 3a = ABC (2 3,4 3 (4 3,6 3 2 3 4,2 3 4 − +  ( ]36,32 { }na 1 2a = 2 1a = ( )1 1 1 1 2n n n n n n n n a a a a na a a a − + − + − −= ≥ 10 1 2 9 1 2 1 10 1 5 ABC△ 2 2 3a b bc− = sin 2 3sinC B= A ABC∆ 2 2 2 4 a b cS + −= cosC 1y x x = + sin 2 (0 )2 sin xy xx π= + < < 4 2x xy e e = + − 2 2 3 2 xy x += + 1y x x = + lg2 0.30≈ lg3 0.48≈三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，合计 70 分） 17．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 18．已知 的内角分别为 ，其对应边分别是 ，且满足 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ，求 的最大值. 19．已知数列 满足 . （1）证明数列 为等差数列； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 20．如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ， ， 分别为线段 上 的点，且 ， ． （1）求线段 的长； （2）求 的面积． 21．某玩具所需成本费用为 P 元，且 P＝1 000＋5x＋ x2，而每套售出的价格为 Q 元，其中 Q(x)＝a＋ (a，b∈R)， (1) 问：玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？ { }na n nS ( ) 14 2 1 1n nS n a += − + 1 1a = { }na ( ) 1 2n n n c a a = + { }nc n nT nT ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cos 2 cosb C c B a B+ = B 3b = 2a c+ { }na ( )2 * 1 2 32 3 4 Nna a a na n n n+ + + + = + ∈ { }nna 2n n nb na= ⋅ { }nb n nT ABC∆ A B C a b c 4c = 2b = 2 cosc C b= D E BC BD CD= BAE CAE∠ = ∠ AD ADE∆ 1 10 x b(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为 150 套时利润最大，此时每套价格为 30 元，求 a， b 的值．(利润＝销售收入－成本)． 22．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数 x，都有 f(x) ≥ x，且当 x∈(1,3) 时，有 f(x)≤ (x＋2)2 成立． (1)证明：f(2)＝2； (2)若 f (－2)＝0，求 f(x)的表达式； (3)设 g(x)＝f (x)－ x，x∈[0，＋∞)，若 g(x) 图象上的点都位于直线 y＝ 的上方，求实数 m 的取值范围． 1 8 2 m 1 4数学月考答案 1-5 CDADD 6-10 CCCCA 11-12 BD 13． 14． 15．③⑤ 16．2.6 三、解答题 17．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 解：（1） ①， 当 时， ，解得 当 时， ②， ①减去②得 ， 整理得 ， 即 ， ， ， ， 以上各式相乘得 ，又 ， 所以 ， （2）由（1）得 ， 6 π 2 2 { }na n nS ( ) 14 2 1 1n nS n a += − + 1 1a = { }na ( ) 1 2n n n c a a = + { }nc n nT nT 14 (2 1) 1n nS n a += − + 1n = 1 24 1S a= + 2 3a = 2n 14 (2 3) 1n nS n a− = − + 14 (2 1) (2 3)n n na n a n a+= − − − 1(2 1) (2 1)n nn a n a ++ = − 1 2 1 2 1 n n a n a n + += − ∴ 2 1 3a a = 3 2 5 3 a a = … 1 2 1 2 3 n n a n a n− −= − 1 2 1na na = − 1 1a = 2 1na n= − 1 1 1 1 1 ( 2) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n c a a n n n n  = = = − + − + − +  1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 1nT n n      ∴ = − + − + + −     − +      1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n n  = − + − +…+ − − + ， 18.（Ⅰ） ，由正弦定理得： ， 即 ，于是 ， 从而 ； （Ⅱ）由正弦定理得： ， ， ， ，（其中 ， 所以当 时， 的最大值是 . 19.（1）当 时， ； 当 时，由 ①； 得 ②， ①-②得 ， 当 时符合，即 ， 则 ，所以数列 为等差数列. （2）由题可知 . 所以 ③， ④， ③-④得 ， 1 112 2 1n  = − +  2 1 n n = + 2 1n nT n ∴ = +  cos cos 2 cosb C c B a B+ = sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ = ( )sin sin 2sin cosB C A A B+ = = 1cos 2B = 3B π= 3 2sin sin sin 3 2 a c b A C B = = = = 2sina A∴ = sinc C= ∴ ( )22 2sin 4sin 2sin 4sin 2 2sin 3cos3a c A C A A A A π + = + = + − = + =   ( )2 7sin A φ+ 3tan , 0, )2 2 πφ φ  = ∈   2A π φ= − 2a c+ 2 7 1n = 1 5a = 2n 2 1 2 32 3 4na a a na n n+ + + + = + 2 1 2 3 12 3 ( 1) ( 1) 4( 1)na a a n a n n−+ + + + − = − + − 2 3nna n= + 1n = 2 3nna n= + 1( 1) 2n nn a na++ − = { }nna (2 3) 2n nb n= + ⋅ 1 2 35 2 7 2 9 2 (2 3) 2n nT n= × + × + × + + + × 2 3 4 12 5 2 7 2 9 2 (2 3) 2n nT n += × + × + × + + + × ( )2 3 4 1 110 2 2 2 2 2 (2 3) 2 2 (2 1) 2n n n nT n n+ +− = + × + + + + − + × = − + ×所以 . 20.（1）因为 ， ，所以 ． 由余弦定理得 ， 所以 ，即 ， 在 中， ， ， 所以 ，所以 ． （2）因为 是 的平分线， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， ， 又因为 ，所以 ， 所以 ． 21.解：(1)每套玩具所需成本费用为 ＝ ＝ x＋ ＋5≥2 ＋5＝25， 当 x＝ ，即 x＝100 时等号成立， 故该玩具厂生产 100 套时每套所需成本最少． (2)设售出利润为 w，则 w＝x·Q(x)－P ＝x － 1(2 1) 2 2n nT n += + × − 4c = 2b = 1cos 2 4 bC c = = 2 2 2 2 4 16 1cos 2 4 4 a b c aC ab a + − + −= = = 4a = 4BC = ACD∆ 2CD = 2AC = 2 2 2 2 cos 6AD AC CD AC CD ACD= + − ⋅ ⋅ ∠ = 6AD = AE BAC∠ 1 sin2 21 sin2 ABE ACE AB AE BAES AB S ACAC AE CAE ∆ ∆ ⋅ ⋅ ∠ = = = ⋅ ⋅ ∠ ABE ACE S BE S EC ∆ ∆ = 2BE EC = 1 4 3 3CE BC= = 4 22 3 3DE = − = 1cos 4C = 2 15sin 1 cos 4C C= − = 1 15sin2 6ADES DE AC C∆ = × × × =＝ x2＋(a－5)x－1 000， 由题意得 解得 a＝25，b＝30. 22.(1)证明：由条件知： f(2)＝4a＋2b＋c≥2 恒成立． 又因取 x＝2 时，f(2)＝4a＋2b＋c≤ (2＋2)2＝2 恒成立，∴f(2)＝2. (2)因 ， ∴4a＋c＝2b＝1. ∴b＝ ，c＝1－4a.　 又 f(x)≥x 恒成立，即 ax2＋(b－1)x＋c≥0 恒成立． ∴a>0.Δ＝( －1)2－4a(1－4a)≤0， 解出：a＝ ，b＝ ，c＝ . ∴f(x)＝ x2＋ x＋ . (3)g(x)＝ x2＋( － )x＋ > 在 x∈[0，＋∞)必须恒成立． 即 x2＋4(1－m)x＋2>0 在 x∈[0，＋∞)恒成立， ①Δ