2019-2020 学年第二学期期中模拟
数学试题
一､单项选择题(每题 5 分，共 50 分)
1.设复数 (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 则 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. (-11) B. (1,1) C. (1,-1) D. (-1,-1)
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数为 的形式，即可得到复数 对应当点的坐标．
【详解】复数 ，
所以 ，
在复平面内 对应当点的坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，属于容易题．
2.如图所示的韦恩图中，A、B 是非空集合，定义 表示阴影部分的集合，若 x,y∈R，
，则 A*B 为（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将 除去 后剩余的元
素所构成的集合．再利用函数的定义域、值域的思想确定出集合 A，B，代入可得答案．
2
1z i
= − ,z iz
a bi+ iz
( )
( )( )
2 12 2 2 11 1 1 2
i iz ii i i
+ += = = = +− + −
( )1 1iz i i i= − = +
iz ( )1,1
*A B
2{ | 4 } { | 3 , 0}xA x y x x B y y x= = − = = >
{ | 0 4}x x< ≤ { | 0 1x x≤ ≤ 4}x >
{ | 0 1x x≤ ≤ 2}x ≥ { | 0 1x x≤ ≤ 2}x >
A B∪ A B∩【详解】依据定义， 就是指将 除去 后剩余的元素所构成的集合；
对于集合 A，求的是函数 的定义域，
解得： ；
对于集合 B，求的是函数 的值域，解得 ；
依据定义，借助数轴得： 或 ．
故选：B．
【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的
准确性,属于中档题．
3.下列对应是从集合 A 到 B 的函数的是（ ）
A. A=N，B=N，对应关系 f：“平方根” B. A=R，B={-1,1}，对应关系
C. A=R，B=Q，对应关系 D. A=N，B=N，对应关系
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义，若 A 中任一元素在 B 中都有唯一元素对应，则该对应是函数；进而得到答
案．
【详解】对于选项 A， ， ，对应关系 f：“平方根”，则A 中正元素在 B 中都有
两个元素对应， 不是函数；
对于选项 B， ，B={-1,1}，对应关系 ，则 A 中 元素在 B 中
没有元素对应，B 不是函数；
对于选项 C， ， ，对应关系 ，则 A 中元素 3 在 B 中没有元素
对应，C 不是函数；
对于选项 D， ， ，对应关系 f： ，则 A 中任一元素在 B 中都有
唯一元素对应，D 是函数；
*A B A B∪ A B∩
24y x x= −
{ | 0 4}A x x= ≤ ≤
3 ( 0)xy x= > { }1B y y=
* { | 0 1A B x x= ≤ ≤ 4}x >
1, 2: 0, 2
xf x y x
≥→ =
② 0m ≠ 0m < 2(3 ) 4 3x xy m m= + ⋅ +
0m > 3xt = ( 0)t > 2 4y mt t m= + + 2 0t m
= − < 0t =
0y m= > 2 4y mt t m m= + + >
miny m>
9 4 3x xy m m= ⋅ + ⋅ +
0m =
1
2a ≥ 1
2a > 10 2a<
m 1 2,2 ln + +∞
B10.已知函数 ，若函数
恰有 7 个不同零点,则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (0,1) B. [-1,1] C. (-1,1) D.
(-1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法 ，作出 的图象，利用数形
结合判断根的个数即可，
【详解】由
得：
则 或 ，
作出 的图象如图，
则若 ，则 或 ，
设 ，由 得 ，
此时 或 ，
当 时， ，有两个根，当 时， ，有 1 个根，
2
2
log ( 2), 2 0( ) 2 , 0
x xf x x x x
+ − < ≤= − >
2( ) [ ( ))] ( 1) ( ( )) ( )g x f x a f f x a a= − + ⋅ + ∈ R
( )t f x= ( )f x
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2[ ] 1 0g x f f x a f f x a= − + ⋅ + =
( )( ) ( )(1 [ 0,f f x f f x a − − =
( )( ) 1f f x = ( )( )f f x a=
( )f x
( ) 1f x = 0x = 1 2x = +
( )t f x= ( )( ) 1f f x = ( ) 1f t =
0t = 1 2t = +
0t = ( ) 0f x t= = 1 2t = + ( ) 1 2f x t= = +则必须有 ， 有 4 个根，
设 ，由 得 ，
若 ，由 得 ，或 ， 有 2 个根， 有 1 个根，
此时有 3 个根，不满足条件．
若 ，由 得 ， 有 1 个根，不满足条件．
若 ，由 得 ，或
当 时， ，有 3 个根，
当 时， ，有 1 个根，
此时有 个根，满足条件．
若 ，由 得 或 ，
有 1 个根， 有 2 个根，
此时有 3 个根，不满足条件．
若 ，由 得 ，或 或
当 时， 有 1 个根，
当 时， 有 2 个根，
当 时， 有 1 个根，
此时有 个根，满足条件．
若 ，由 得 ，
有 1 个根，不满足题意.
综上，a 的取值范围是 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结
合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
二､多项选择题(每题 5 分，选对部分 3 分，共 10 分)
11.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，满足 f(x+4)=-f(x)+f(2)，且在区间[0,4]上是增函数，下列命题
( )( )f f x a= ( )1a ≠
( )t f x= ( )( )f f x a= ( )f t a=
0a = ( ) 0f t a= = 1t = − 2t = ( ) 1f x = − ( ) 2f x =
1a > ( )f t a= 1 2t > + ( )f x t=
0 1a< < ( )f t a= 11 0t− < <
22 1 2t< < +
11 0t− < < ( ) 1f x t=
22 1 2t< < + ( ) 2f x t=
3 1 4+ =
1a = − ( )f t a= 1
3
2t = − 2 1t =
3( ) 2f x = − ( ) 1f x =
1 0a− < < ( )f t a= 1
3 12 t− < < − 20 1t< < 31 2t< <
1
3 12 t− < < − ( ) 1f x t=
20 1t< < 2( )f x t=
31 2t< < ( ) 3f x t=
1 2 1 4+ + =
1a < − ( )f t a= 32 2t− < < −
( )f x t=
( 1,0) (0,1)− 中正确的是（ ）
A. 函数 f(x)的一个周期为 4
B. 直线 x=-4 是函数 f(x)图象的一条对称轴
C. 函数 f(x)在[-6,-5)上单调递增，在[-5,-4)上单调递减
D. 函数 f(x)在[0,100]内有 25 个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和条件，得到 ，即函数是周期为 4 的周期函数，结合的周期性，
奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．
【详解】 偶函数 ，满足 ，
令 得 ，
即 ，得 ，
则 ，
即函数 是周期为 4 的周期函数，
故 A 正确；
是偶函数，
图象关于 y 轴即 对称，函数的周期是 4，
是函数 图象的一条对称轴，
故 B 正确；
在区间 上是增函数，
在区间 上是减函数，
则在区间 上是减函数，
故 C 错误；
， 在区间 上是减函数，
( )2 0f =
( )f x ( ) ( ) ( )4 2f x f x f+ = +
∴ 2x = − ( ) ( ) ( )2 4 2 2f f f− + = − +
( ) ( ) ( )2 2 2f f f= + ( )2 0f =
( ) ( )4f x f x+ =
( )f x
( )f x
∴ 0x =
4x∴ = − ( )f x
[ ]0,2
∴ [ ]2,0−
[ ]6, 4− −
( )2 0f = ( )f x [ ]2,0−在区间 上是减函数，
即函数在一个周期 内只有一个零点，
则函数 在 内有 25 个零点，故 D 正确．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的应用，根据条件求出函
数的周期是解决本题的关键，为中档题．
12.已知函数 的图象与直线 y=m 分别交于 A､B 两点，则（ ）
A. f(x)图像上任一点与曲线 g(x)上任一点连线线段的最小值为 2+ln2
B. ∃m 使得曲线 g(x)在 B 处的切线平行于曲线 f(x)在 A 处的切线
C. 函数 f(x)-g(x)+m 不存在零点
D. ∃m 使得曲线 g(x)在点 B 处的切线也是曲线 f(x)的切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利 用 特 值 法 ， 在 f(x) 与 g(x) 取 两 点 求 距 离 ， 即 可 判 断 出 选 项 的 正 误 ； 解 方 程
，可判断出 选项的正误；利用导数判断函数 的单调性，
结合极值的符号可判断出 选项的正误；设切线与曲线 相切于点 ， ，求出
两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出 选项的正误．进而得
出结论．
【详解】在函数 上分别取点 ，则 ，而
（注 ），故 选项不正确；
， ，则 ， ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
( )f x∴ [ ]2,4
[ ]0,4
( )f x [ ]0,100
1( ) , ( ) 1 2 2
x xf x e g x n= = +
A
1
2( ) (2 )m
f lnm g e
−′ ′= B ( ) ( )y f x g x m= − +
C ( )y g x= (C n ( ))g n
D
1( ) , ( ) 1 2 2
x xf x e g x n= = + 1(0,1), (2, )2P Q 17| | 2PQ =
17 2 ln 22
< + ln 2 0.7≈ A
( ) xf x e=
1( ) 2 2
xg x ln= + ( ) xf x e′ = 1( )g x x
′ =
( )y f x= A ( )f lnm m′ =
( )y g x= B
1
2
1
2
1(2 )
2
m
m
g e
e
−
−
′ =令 ，即 ，即 ，则 满足方程 ，
使得曲线 在 处的切线平行于曲线 在 处的切线， 选项正确；
构造函数 ，可得 ，
函数 在 上为增函数，由于 ， （1） ，
则存在 ，使得 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ．
，
函数 没有零点， 选项正确；
设曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理可得曲线 在点 处的切线方程为 ，
，消去 得 ，
令 ，则 ，
函数 在 上为减函数， （1） ， ，
则存在 ，使得 ，且 ．
当 时， ，当 时， ．
函数 在 上为减函数，
， ，
由零点存 定理知，函数 在 上有零点，
即方程 有解．
1
2( ) (2 )m
f lnm g e
−′ ′= 1
2
1
2 m
m
e
−
= 1
22 1m
me
− =
1
2m = 1
22 1m
me
− =
m∴∃ ( )y f x= A ( )y g x= B B
1( ) ( ) ( ) 2 2
x xF x f x g x m e ln m= − + = − + − 1( ) xF x e x
′ = −
1( ) xF x e x
′ = − (0, )+∞ 1( ) 2 0F ee
′ = − < F′ 1 0e= − >
1( ,1)2t ∈ 1( ) 0tF t e t
′ = − = t lnt= −
0 x t< < ( ) 0F x′ < x t> ( ) 0F x′ >
∴ 1 1( ) ( ) 22 2 2
t t
min
tF x F t e ln m e lnt m ln= = − + − = − + + −
1 1 1 1 32 2 2 2 02 2 2t m ln t m ln ln mt t
= + + + − > ⋅ + + − = + + >
∴ ( ) ( ) ( )F x f x g x m= − + C
( )y f x= A ( )y g x= (C n ( ))g n
( )y f x= A ( )lnmy m e x lnm− = − (1 )y mx m lnm= + −
( )y g x= C 1 1
2 2
ny x lnn
= + −
∴
1
1(1 ) 2 2
m n
nm lnm ln
=
− = −
n 1( 1) 2 02m m lnm ln− − + + =
1( ) ( 1) 2 2G x x x lnx ln= − − + + 1 1( ) 1 xG x lnx lnxx x
−′ = − − = −
( )y G x′= (0, )+∞ G′ 1 0= > 1(2) 2 02G ln′ = − <
(1,2)s∈ 1( ) 0G s lnss
′ = − = 1
ss e=
0 x s< < ( ) 0G x′ > x s> ( ) 0G x′ <
∴ ( )y G x= (2, )+∞
5(2) 02G = >
17(8) 20 2 02G ln= − <
( )y G x= (2, )+∞
1( 1) 2 02m m lnm ln− − + + =使得曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
故选： ．
【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考
查了转化思想和数形结合思想，属难题．
三､填空题(每题 5 分，共 20 分)
13.已知 ，则 A∩B=______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性解不等式化简集合 A，解分式不等式化简集合 B，求交集即可.
【详解】由 得： ，
解得 ，
故 ，
由 得： ，
解得 ，
故 ，
所以 A∩B=
【点睛】本题主要考查了指数不等式，分式不等式，集合的交集运算，属于中档题.
14.已知复数 ，若 表示 z2 的共轭复数，则复数 的模长等于______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的模的定义及性质运算即可.
【详解】 ，
m∴∃ ( )y f x= A ( )y g x=
BCD
2{ | 3 1, },xA x x− += ≥ ∈ R 2 1{ | 1, }3
xB x x Rx
−= ≤ ∈+
[ 3,2]−
23 1x− + ≥ 2 0x− + ≥
2x ≤
{ | 2}A x x= ≤
2 1 13
x
x
− ≤+
4 03
x
x
− ≤+
3 4x− ≤ ≤
{ | 3 4}B x x= − ≤ ≤
[ 3,2]−
1 23 4 , 1z i z i= − = +
2z 1
2
z i
z
⋅
5 2
2
1 23 4 , 1z i z i= − = +， ，
，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了复数模的定义，复数模的性质，属于容易题.
15.已知函数 ，任取 x1,x2∈[t,t+1]，若不等式|f(x1)-f(x2)| −
39 ( 2 ) 16t
maxm −> − = − 16
9m > −
1( ) ( 2 )xf x lg m −= + 12 0xm −+ > 2
2xm > −
2
2tm > − [ 2t ∈ − 1]− 4m > −
m 16( 9
− )+∞
16( 9
− )+∞16.已知函数 若 ，则正数 a
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 正 数 a 可 知 在 上 递 增 ， 不 妨 设 ， 原 问 题 转 化 为
，构造函数 ，利用函数单调性即可求解.
【详解】因为 为正数，
所以函数 在 上单调递增，
不妨设 ，
则 ，
可得 ， 恒成立，
令 ， ，
即 在 上成立，
所以函数 在 上是减函数，
，
在恒成立，
当 ， 为增函数，
即可，
解得
又 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线的斜率，转化思想，函数的最值，属于
2( ) ,xf x e ax= + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, (0,1) , 2020x x x x f x f x x x∀ ∈ ≠ − < −
2020(0, ]2
e−
2( ) xf x e ax= + (0,1) 1 2x x<
2 1 2 1( ) ( ) 2020( )f x f x x x− < − ( ) ( ) 2020g x f x x= −
a
2( ) xf x e ax= + (0,1)
1 2x x<
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, (0,1) , 2020x x x x f x f x x x∀ ∈ ≠ − < −
1 2, (0,1)x x∀ ∈ 2 1 2 1( ) ( ) 2020( )f x f x x x− < −
( ) ( ) 2020g x f x x= − [0,1]x∈
2 1( ) ( )g x g x< (0,1)
( )g x (0,1)
2( ) ( ) 2020 2020xg x f x x e ax x= − = + −
( ) 2 2020 0xg x e ax′∴ = + − ≤
(0,1)x∈ ( )g x′
(1) 2 2020 0g e a′∴ = + − ≤
2020
2
ea
−≤
0 a<
20200 2
ea
−< ≤
2020(0, ]2
e−难题.
四、解答题(17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分)
17.已知函数 的定义域为集合 A，函数 的值域为集合 B，
集合 .
（1）求 A∪B；
（2）若 ,求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）求出集合 A，B，根据集合的并集运算即可；
（2） 或 ，利用 ，列出不
等式组，求出实数 的取值范围.
【详解】由 可得： ，
所以 或 ,
因为 ，
所以 ，
所以 .
（2） ， 或 ，
因为 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
故实数 m 的取值范围 或 .
【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
2( ) lg(2 3 1)f x x x= − + ( ) 2 ( ], ,2xg x x= ∈ −∞
2 2{ | 4 3 0} ( 0)C x x mx m m= − + ≤ >
( )C A B⊆
R 10 6m< ≤ 41 3m≤ ≤
{ | 3 },C x m x m= < < 1{ | 0 2A B x x∩ = < < 1 4}x< ≤ ( )C A B⊆
m
2( ) lg(2 3 1)f x x x= − + 22 3 1 0x x− + >
1{ | 2A x x= < 1}x >
( ) 2 ( ], ,2xg x x= ∈ −∞
{ | 0 4}B x x= <
A B R=
{ | 3 }C x m x m= < < 1{ | 0 2A B x x∩ = < < 1 4}x< ≤
( )C A B⊆
0
13 2
m
m
1
2(0, )e
− 1
2( , )e
− +∞
1
2x e
−=
1 12e
− +
( )2, 1m m lnm +
2 lnk m m m= +
2 1 (2 ln )( )m lnm my m m x m− = + −−
2 ln (2 ln ) ( )m m m m m m− = + ⋅ −
ln 1m = − 1m e
=
1k e
= −
1 1 0x ye
+ − =19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， .
（1）求 f(x)的解析式；
（2）设 x∈[1,2]时，函数 ，是否存在实数 m 使得 g(x)的最小值为 6，
若存在，求 m 的取值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2） .
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据 计算 ，利用奇偶性即可求解函数解析式；
（2）通过换元，问题转化为二次函数 h (t)在[2， 4]上的最小值为 6，再通过分类讨论得出结
论.
【详解】（1）设 ，则 ，
由当 x>0 时， 可知， ，
又 f（x）为 R 上的奇函数，
于是 ，
故当 时， ，
当 时，由 知，
综上知
（2）由（1）知，x∈[1,2]时，
，
令 ， ，
函数 g(x)的最小值为 6，即 在 上的最小值为 6，
①当 ，即 m＞﹣5 时，函数 h（t）在[2，4]上为增函数，
于是 h（t）min＝h（2）＝6，此时存在满足条件的实数 m＞﹣5；
2( ) (2 1)xf x x log= + +
( )( ) 2 2 2f x xg x m m= + ⋅ −
2
2
log (2 1), 0
( ) 0, 0
2 log (2 1), 0
x
x
x x
f x x
x x
+ + >
= =
− + ( )f x−
0x < 0x− >
2( ) 1 (2 1)xf x x og= + + ( )2( ) 1 2 1xf x x og −− = − + +
( )2( ) ( ) 1 2 1xf x f x x og −= − − = − +
0x < ( )2( ) 2 log 2 1xf x x= − +
0x = ( 0) (0)f f− = − (0) 0f =
2
2
log (2 1), 0
( ) 0, 0
2 log (2 1), 0
x
x
x x
f x x
x x
+ + >
= =
− +
( )f x
2 22 2t kt t− < −
23k t t
> − 23t t
−
( )f x
1(0) 02
af b
+∴ = =+
1a = −
1
1 2( ) 2
x
xf x b+
−∴ = +
1
1 2 2 1 2 1( ) ( )2 2 2 2 2
x x x
x x xf x f xb b b
−
− +
− − −− = = = − =+ + ⋅ ⋅ +
2b =
1
1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x +
−= = −+ +故函数 在 上为增函数，
， 是奇函数，
，
又函数 在 上为增函数，
存在 t∈(1,4)时， 有解，
即 在 t∈(1,4)时有解，
令 ，则 在 t∈(1,4)上是增函数，
所以 ，
故当 时，不等式有解.
k 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的单调性，利用函数单调性求最值，转
化思想，属于中档题.
21.设 .
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）当 x>0 时，f(x)>0 恒成立，求 k 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）求函数导数，根据 的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性；
（2）由（1）求函数在 时 最小值，问题转化为函数的最小值大于 0 恒成立，根据函数
单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与 0 的大小关系即可求解.
【详解】（1） ，
，
①当 时，即 时， ，
在 上是减函数；
②当 时，即 时，
的
( )f x R
2 2( 2) (2 ) 0f t f t kt− + − −
2( ) 3h t t t
= − 2( ) 3h t t t
= −
min( ) (1) 1h t h> =
1k >
1k >
( ) ( 1) 1xf x k e x k= − − − +
2k ≥
1k −
0x >
( ) ( 1) 1xf x k e x k= − − − +
( ) ( 1) 1xf x k e∴ = − −′
1 0k − ≤ 1k ≤ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ R
1 0k − > 1k >由 ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 上单调递增，
综上， 时，函数在 上是减函数，无单调增区间；
时，函数 单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）知，
若 时， 在 无最小值，所以 f(x)>0 不恒成立；
若 时，
①当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
即当 x>0 时，f(x)>0 恒成立；
②当 时， ，
函数在 递减，在 上递增，
所以当 时，
，
只需 即可，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上是增函数，
故 ，
即 无解，
在
( ) ( 1) 1 0xf x k e′ = − − =
1ln 1x k
= −
1ln 1x k
< − ( ) 0f x′ < 1ln 1x k
> − ( ) 0f x′ >
( )f x∴ 1( ,ln )1k
−∞ −
1(ln , )1k
+∞−
1k ≤ R
1k > 1( ,ln )1k
−∞ −
1(ln , )1k
+∞−
1k ≤ ( )f x (0, )x∈ +∞
1k >
2k ≥ 1ln 01k
≤−
( )f x (0, )x∈ +∞
( ) (0) 0f x f> =
1 2k< < 1ln 01k
>−
1(0,ln )1k −
1(ln , )1k
+∞−
1ln 1x k
= −
min
1 1( ) (ln ) 2 ln 2 ln( 1)1 1f x f k k kk k
= = − − = − + −− −
2 ln( 1) 0k k− + − >
( ) 2 ln( 1)g x x x= − + − 1 2x< <
1 2( ) 1 01 1
xg x x x
−′ = − + = >− −
( )g x (1,2)
( ) (2) 0g x g< =
2 ln( 1) 0k k− + − >所以 时，f(x)>0 不恒成立。
综上，k 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思
想，属于难题.
22.已知函数 函数 与直线 相切，设函数 其
中 a、c∈R，e 是自然对数的底数.
（1）讨论 h(x)的单调性；
（2）h(x)在区间 内有两个极值点.
①求 a 的取值范围；
②设函数 h(x)的极大值和极小值的差为 M，求实数 M 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）① ②
【解析】
【分析】
直接利用导数的几何意义即可求得 c 值，得 ，求导，分类讨论即可
求解；
① 函 数 在 区 间 内 有 两 个 极 值 点 ，
，则 在区间 内有两个不同的根
即可；② 的极大值和极小值的差为 进行化简分析．
【详解】 设直线 与函数 相切与点 ，
函数 在点 处的切线方程为： ， ，
把 ， 代入上式得 ， ．
所以，实数 c 的值为 2．
所以 ，
1 2k< <
2k ≥
( ) ,af x ax x
= − ( )g x clnx= y xe
2= ( ) ( ) ( ),h x f x g x= −
1( ,2)2
4 15 a< < 12(0,4ln 2 )5
−
( )1 ( ) 2lnah x ax xx
= − −
( )2 ( ) ( )ah x ax g xx
= − − 1( ,2)2
( ) 2
2 2
2 2 0a ax x ah x a x x x
− += + − = =′ 2 2 0ax x a− + = 1( ,2)2
( )h x ( ) ( )1 2M f x f x= −
( )1 2y xe
= ( )g x clnx= ( )0 0,P x clnx
( )g x clnx= ( )0 0,P x y ( )0 0
0
ln cy c x x xx
− = −
0
2c
x e
=
0x = 0y = 0x e= 2c =
( ) 2lnah x ax xx
= − − 0x >则 ，
当 时, ，
故函数 在 上单调递减，无增区间，
当 时， ，
，
所以函数 在 上单调递增，无减区间，
当 时，令 ，
解得 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
由 知 ，
设函数 在区间 内有两个极值点 ， ，
令 ，
则 ，设
因为 ，故只需
( ) 2
2 2
2 2' a ax x ah x a x x x
− += + − =
0a ≤
2
2
( 1) 2( ) 0a x xh x x
+ −′ = <
( )h x (0, )+∞
1a ≥ 2 2 0y ax x a= − + ≥
( ) 2
2
2' ax x ah x x
− +=
( )h x (0, )+∞
0 1a< < ( ) 2
2
2' 0ax x ah x x
− += =
2 2
1 2
1 1 1 10 a ax xa a
− − + −< = < =
10 x x< < 2x x> ( ) 0h x′ > 1 2x x x< < ( ) 0h x′ <
( )h x 1 2(0, ),( , )x x +∞ 1 2( , )x x
0a ≤ ( )h x (0, )+∞
1a ≥ ( )h x (0, )+∞
0 1a< < ( )h x 1 2(0, ),( , )x x +∞ 1 2( , )x x
( )2 ① ( )1 ( ) 2lnah x ax xx
= − −
( ) ( ) ( )h x f x g x= − 1( ,2)2 1x 2 1 2( )x x x<
( ) 2
2 2
2 2' 0a ax x ah x a x x x
− += + − = =
2 2 0ax x a− + = ( ) 2 2m x ax x a= − +
1 2 1x x =
( )
0,
2 0,
2 0,
a
m
∆ >
>
>所以， ．
因为 ，
所以
．
由 ，得 ，且 ．
．
设 ， ，令 ，
，
在 上单调递减，从而 ，
所以，实数 M 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的极值，函数的最值，考查推理能力和
计算能力，属于难题．
4 15 a< <
② 1 2 1x x =
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 2
2ln 2lna aM f x f x ax x ax xx x
= − = − − − − −
1 1 1
1 1 1
12ln 2lna aax x axx x x
= − − − − −
2
1 1
1
22 2lnaax xx
= − −
2
1 12 0ax x a− + = 1
2
1
2
1
xa x
= + 1
1 12 x< <
1
2 2
2 21 1 1
1 1 12 2
1 1 1
222 1 1 12 2ln 4 ln1 1 2
x
x x xM x x xx x x
+ −= − − = − + +
2
1x t= 1 14 t< < ( ) 1 14 ln1 2
tt tt
ϕ − = − +
( ) 2
2 2
2 1 2( 1)' 4 0( 1) 2 ( 1)
tt t t t t
ϕ − −= − =
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