河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

中牟县第一高级中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1.关于 的方程 的一个根是 ，则另一根的虚部为（ ） A. B. C. -2 D. 2 2.用反证法证明命题“ 至少有一个为 0”时，应假设（ ） A. 没有一个为 0 B. 只有一个为 0 C. 至多有一个为 0 D. 两个都为 0 3.下面几种推理是合情推理的是（　　） （1）由圆的性质类比出球的有关性质； （2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 ，归纳出所有三角形的 内角和都是 ； （3）某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分； （4）三角形内角和是 ，四边形内角和是 ，五边形内角和是 ，由此得凸多边形 内角和是 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4） 4.已知随机变量 ，则 （　　） （参考数据 ） A.0.6826 B.0.3413 C.0.0026 D.0.4772 5.甲、乙、丙、丁四位同学计划去 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A=“四位同学 去的景点不相同”，事件 B=“甲同学独自去一个景点”，则 P(A|B)=（ ） A. B. C. D. 6.某运动员投篮命中率为 0.6，重复投篮 5 次，若他命中一次得 10 分，没命中不得分；命中 次数为 X，得分为 Y，则 E(X)，D(Y)分别为（ ） A. 0.6，60 B. 3，12 C. 3，120 D. 3，1.2 7.从图中的 12 个点中任取 3 个点作为一组，其中可构成三角 形 的组数是（ ） A．208 B．204 C．200 D．196 x 0522 =+− xx i21− i2 i2− ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b 180° 180° 180° 360° 540° ( )2 180n − ⋅ ° (1,4)X N ( 3 1)P X− < < = ( ) ( )0.6826, 2 2 0.9544P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ− < ≤ + = − < ≤ + = 2 9 1 3 4 9 5 9            8. （ ） A. B. C. D. 9.在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对. A．152 B．164 C．174 D．182 10.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取 出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放 入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 11.已知等式 ， 定义映射 ，则 （ ） A. B. C. D. 12.现需建造一个容积为 V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的 价格是铁的 3 倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径 r 与高 h 的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分） 13.定积分 ． 14. 的展开式中 的系数为 ． 15.把 13 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个 数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为 ． 16.若存在正实数 ，使得关于 的方程 有两个 不同的根，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是___________. 三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） ( )1 2 2 1 2 sin 1x x x dx− + − =∫ 2 π 1 2 5 2 22 π + ( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 2 1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1x a x a x a x a x b x b x b x b+ + + + = + + + + + + + + ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4: , , , , , ,f a a a a b b b b→ ( )4,3,2,1f = ( )1,2,3,4 ( )0,3,4,0 ( )0, 3,4, 1− − ( )1,0,2, 2− − 1 2 1 3 2 3 1 4 1 2 1 x xdx− − =∫ ( )62 3a b c+ − 2 3ab c m x ( ) ( )2 2 4 ln ln 0x a x m ex x m x+ + − + − =   e a17.在二项式 的展开式中 （1）若第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项. 18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方 式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一 组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时 间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ， ． 19.(本小题满分 12 分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号 和 随机地反复出现，每秒 钟变化一次，每次变化只出现 和 之一，其中出现 的概率为 ，出现 的概率 为 ， 若 第 次 出 现 ， 则 记 ； 若 第 次 出 现 ， 则 记 ， 记 ． (1)若 ，求 的分布列及数学期望； 1( 2 )2 nx+ m m m m m ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 P K k k ≥ " "O " "K " "O " "K " "O p " "K q k " "O 1ka = k " "K 1ka = − 1 2n nS a a a= + + 1 2p q= = 3S(2)若 ， ，求 且 的概率． 20.(本小题满分 12 分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体 肥料每亩使用量 x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示. （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系数 并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求 y 关于 x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加 量 y 约为多少？ 附：相关系数公式 ，参考数 据： ， . 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 21．(本小题满分 12 分） 已知函数 ,其中 为常数. （1）当 时，求 的最大值，并判断方程 是否有实数解； （2）若 在区间 上的最大值为-3，求 的值. a 1a = − ( )f x ln 1| ( ) | 2 xf x x = + ( )f x (0, ]e a 1 3p = 2 3q = 8 2S = 0( 1,2,3,4)iS i≥ = r | | 0.75r > ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = − − ∑ ∑ ∑ 1 2 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nxy x nx y ny = = = − − − ∑ ∑ ∑ 0.3 0.55≈ 0.9 0.95≈ y b x a ∧ ∧ ∧ = + ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx ∧ = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a y b x ∧ ∧ = − ( ) lnf x ax x= +22.(本小题满分 12 分） 设函数 (1)求函数 的极值点; (2)当 时，对 ，是否有不等式 恒成立，并说明理由. 试题答案 一．选择题： ( ) ln 1f x x px= − + ( ) ln 1f x x px= − + 1a ≥ (2, )x∀ ∈ +∞ ( 2) lna xe x− >1-6 DACDAC 7-12 CACBCD 二．填空题： 13. 1 14. -6480 15. 20 16. 三．解答题： 17.（1）由题意得 解得 n=7 或 n=14 当 n=7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5，且 当 n=14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8 且 （2）由 设第 r+1 项系数最大，则有 18.解： （1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间 至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分 钟．因此第二种生产方式的效率更高． （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85．5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73．5 分钟．因此第二种 生产方式的效率更高． （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效 率更高． （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最 多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布 的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完 成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高． ),2 1( +∞ e 564 n 2C nn CC =+ 4 5 3 4 70,2 35T xTx == 7 8 3432xT = 1279210 ==++ nCCC nnn 得 5 52 5 47 22 22 1 12 12)1(2 12 122 1 12 12)1(2 12 122 ≤≤⇒    ≥ ≥ −−−− +−+− r CC CC rrrr rrrr 101010 12 8 11 168962T,10, xxCrZr ===∴∈ 故以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知 ． 列联表如下： 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （3）由于 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式 的效率有差异． 19. 解：（1）由题意得 可取-3，-1,1,3 , , , 故 的分布列如下： -3 -1 1 3 (2) 当 =2 时，即前八秒出现“O”5 次和“K”3 次，又已知 , 若第一、三秒出现“O”，则其余六秒可任意出现“O”三次；若第一、二秒出现“O”，则第三 秒出现“K”，则后五秒可任出现“O”三次，故概率为： 20.解：（1）由已知数据可得 ， 所以 ， 79 81 802m += = m m 2 2 40(15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K × − ×= = >× × × 3S 8 1)2 1()3( 3 3 ==−=SP 8 3)2 1()2 1()1( 22 33 =×=−= CSP 8 3)2 1()2 1()1( 21 33 =×== CSP 8 1)2 1()3( 3 3 ===SP 3S 8 1 8 3 8 3 8 1 ( ) ( )3 1 3 3 1( ) 3 1 1 3 08 8 8 8E S = − × + − × + × + × = 8S 0( 1,2,3,4)iS i≥ = 2187 80)3 1()3 1()( 353 5 3 6 =××+= CCP 2 4 5 6 8 55x + + + += = 3 4 4 4 5 45y + + + += = ( )( )5 1 i i i x x y y = − − =∑ ( 3) ( 1) ( 1) 0 0 0 1 0 3 1 6− × − + − × + × + × + × =， ， 所以相关系数 . 因为 ，所以可用线性回归模型拟合 与 的关系. （2） . 那么 . 所以回归方程为 . 当 时， ， 即当液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 6.1 百千克. 21.解：（1） . 当 时， ， . 当 时， ；当 时， . ∴ 在 上是增函数，在 上是减函数， .∴ . 令 ， ，令 ，得 . 当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减， ∴ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴方程 没有实数解. ( ) lnf x ax x= + 1a = − ( ) lnf x x x− + 1 1'( ) 1 xf x x x −= − + = 0 1x< < '( ) 0f x > 1x > '( ) 0f x < ( )f x (0,1) (1, )+∞ max( ) (1) 1f x f= = − | ( ) | 1f x ≥ ln 1( ) 2 xg x x = + 2 1 ln'( ) xg x x −= '( ) 0g x = x e= 0 x e< < '( ) 0g x > ( )g x (0, )e x e> '( ) 0g x < ( )g x ( , )e +∞ max 1 1( ) ( ) 12g x g e e = = + < ( ) 1g x < | ( ) | ( )f x g x> ln 1| ( ) | 2 xf x x > + ln 1| ( ) | 2 xf x x = + ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 3) ( 1) 0 1 3 2 5i i x x = − = − + − + + + =∑ ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0 0 0 1 2i i y y = − = − + + + + =∑ ( )( ) ( ) ( ) 5 5 5 1 2 2 1 1 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 6 9 0.95102 5 2 = = ≈ ⋅ 0.75r > y x ( )( ) ( ) 5 1 2 1 5 6 3 0.320 10 i i i i i x x y y b x x ∧ = = − − = = = = − ∑ ∑ 4 5 0.3 2.5a ∧ = − × = 0.3 2.5y x ∧ = + 12x = 0.3 12 2.5 6.1y ∧ = × + =（2）∵ ， ，∴ . ①若 ，则 ， 在 上为增函数，∴ 不合题意. ②若 ，则由 ，即 ，由 ，即 . 从而 在 上为增函数，在 上为减函数，∴ . 令 ，则 ，∴ ，即 . ∵ ，∴ 为所求. 22.解：(1)∵ ，∴ 的定义域为 ，当 时， ， 在 上无极值点. 当 ，令 、 随 的变化情况如下表： 从上表可以看出：当 p>0 时，f(x)有唯一极大值点 . (2)证明：由（Ⅰ）可知，当 p>0 时，f(x)在 处取得极大值 ，此极大值也 是最大值，当 p=1 时，f(x) =0，即 ,当且仅当 x=0 时取等. 易得： 又 时， 假设不等式恒成立，则有 即 令 1'( )f x a x = + (0, ]x e∈ 1 1[ , )x e ∈ +∞ 1a e ≥ − '( ) 0f x ≥ ( )f x (0, ]e max( ) ( ) 1 0f x f e ae= = + ≥ 1a e < − '( ) 0f x > ⇒ 1 0a x + > 10 x a < < − ( ) 0f x < ⇒ 1 0a x + < 1 x ea − < ≤ ( )f x 1(0, )a − 1( , )ea − max 1 1( ) ( ) 1 ln( )f x f a a = − = − + − 11 ln( ) 3a − + − = − 1ln( ) 2a − = − 21 ea −− = 2a e= − 2 1e e − < − 2a e= − x + 0 - 递增 极大值 递减 ( ) ln 1f x x px= − + ( )f x (0, )+∞ / 1 1( ) pxf x px x −= − = 0p ≤ / ( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0p > 时 ' '1( ) 0, (0, ), ( )f x x f xp = ∴ = ∈ +∞ ( )f x x 1x p = 1x p = 1 1( ) lnf p p = ≤ 1 1( ) lnf p p = ln 1x x≤ − ( 2) 2a x xe e− −≥ 0>x 1ln −< xx 21 xx e −− < 1 xx e+ < ( ) 1xg x e x= − − 1(0, )p 1 p 1( , )p +∞ / ( )f x ( )f x当 时， 时增函数， 故当 时，对 ，不等式 恒成立. ' ( ) 1xg x e= − 0x > ( )g x ( ) (0) 0g x g∴ > = 1xe x∴ > + 1a ≥ (2, )x∀ ∈ +∞ ( 2) lna xe x− >