苏州第一中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试
数学试卷（试题卷）
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．复数(2‒i)i（i 是虚数单位）的虚部是( )
A．2i B．2 C．1+2i D．‒2
2．有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72 种 B．48 种 C． 54 种 D．8 种
3．已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
4．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同
的取法种数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
5．函数 的单调递减区间为( )
A． B． C． D．
6．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的 2×2 列联表：( )
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 χ2＝ 算得，χ2＝ ≈7.8.
附表：
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；
C．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
D．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．
7．设随机变量 ξ 服从二项分布 ξ～B(6， )，则 P(ξ≤3)等于( )
A． B． C． D．
8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若 a2＝80，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．－32 B．1 C．32 D．1 或－32
21 ln2
= −y x x
( 1,1)− ( 1,1]− (0,1) (0, )+ ∞
2( )
( )( )( )( )
n ad bc
a b c d a c b d
−
+ + + +
2110 (40 30 20 20)
60 50 60 50
× × − ×
× × ×
1
2
21
32
7
32
11
32
7
64二、多项选择题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
9．在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，那么概率为 的事件是( )
A．至多一件一等品 B．至少一件一等品
C．至多一件二等品 D．至少一件二等品
10．定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
11．下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇
到红灯的概率都是 ，那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破译
密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中各任取一个
球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不
发生的概率相同，则事件 A 发生的概率是
12．函数 ，下列结论正确的是( )
A．函数 有两个不同零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若 时， ，则 t 的最小值为 2
7
10
1[ , 4]2
− ( )f x ( )f x′
( )f x ( )0,4
( )f x 1( ,0)2
−
( )f x 1x =
( )f x 0x =
1
3
4
27
1
5
1
3
1
4
2
5
1
2
1
9
2
9
2 1( ) ex
x xf x
+ −=
( )f x
( )f x
e 0k− < < ( )f x k=
[ , )x t∈ +∞ 2
5( ) emaxf x =三、填空题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．已知复数 z 满足 z(1＋i)＝i，（i 为虚数单位），则|z|为 ▲ ．
14．若二项式 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ▲ ．
15．将 A，B，C，D 四个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个
球且 A，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有 ▲ 种．
16．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则
实数 a 的取值范围是 ▲ ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本小题共 10 分）
已知函数 f (x)＝1
3x3－2x2＋ax (x∈R)，在曲线 y＝f (x)的所有切线中，有且仅有一条切线 l
与直线 y＝x 垂直．求实数 a 的值和切线 l 的方程．
18．（本小题共 12 分）
设 .已知 .
（1）求n的值；
（2）设 ，其中 ，求 的值.
19．（本小题共 12 分）
某设备的使用时间 x（单位：年）和所支出的维修费用 y（单位：万元）有如下统计数据：
使用时间 x /年 2 3 4 5 6
维修费用 y /万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由数据知 x 与 y 具有线性相关关系.
（1）试求线性回归方程 ；
（2）试估计使用年限为 10 年时的维修费用是多少？
参考公式：线性回归方程 中，
20．（本小题共 12 分）
已知函数 f (x)＝a(x－1)＋bex
ex (a≠0)．
1( )nx
x
−
( ) e (2 1)xf x x ax a= − − + 1a < 0x 0( ) 0f x <
2 *
0 1 2(1 ) , 4,n n
nx a a x a x a x n n+ = + + + + ∈N
2
3 2 42a a a=
(1 3) 3n a b+ = + *,a b∈N 2 23a b−
ˆy bx a= +
ˆy bx a= +
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
,
( ) ( )
.
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x n x
a y bx
= =
= =
− − −
= = − −
= −
∑ ∑
∑ ∑（1）当 a＝－1，b＝0 时，求函数 f (x)的极值；
（2）当 b＝1 时，若函数 f (x)没有零点，求实数 a 的取值范围．
21．（本小题共 12 分）
经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A，B，C 三
种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送 5 元优惠券的活动．已知某网民购买 A，B，
C 商品的概率分别为 ，p1，p2(p10，则 h′(x)>0，h(x)在 R 上单调递增，存在 x0，使得 h(x0)＝0，不合题意；
若 a0，得 x>ln(－a)；
令 h′(x)0，
解得－e2 lnx b> ( ) 0xϕ′ < lnx b<
( )xϕ ( ,ln )b−∞ (ln , )b +∞
0 1b< < ln 0b < (0) 0ϕ = (ln ) 0bϕ < ( ) ( )f x g x≥
1b > (ln ) 0bϕ < ( ) ( )f x g x≥
1b = ln 0b = ( )xϕ ( ,0)−∞ (0, )+∞
( ) (0) 0xϕ ϕ =≥ 1b =
b {1}
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