山西省太原市实验中学校2019-2020高二数学（文）下学期期中试题（Word版附答案）

太原市实验中学校 2019-2020 学年高二下学期期中考试 数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．若复数 z 满足 ,则 z 的虚部为 A．5 B． C． D．-5 2．已知命题 p： , ，则 （） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ） A． B． C． D． 4．下面四个推理,不属于演绎推理的是( ) A.因为函数 的值域为 所以 的值域也 为 B.昆虫都是 6 条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有 6 条腿 C.在平面中,对于三条不同的直线 ,若 .则 将此结论放到空间中也 如此 D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么墙上的字迹离地面的高度大约是他 的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多, 于是他得出了凶手身高六尺多的结论 5．p：(2－x)(x＋1)>0；q：0≤x≤1。则 p 成立是 q 成立的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．直角坐标系 中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别 在曲线 （ 为参数）和曲线 上，则 的最小值为(　　) A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 7．研究变量 ， 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； ②用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好； ③在回归直线方程 中,当解释变量 每增加 1 个单位时,预报变量 平均 xoy x 1 3 cos: 4 sin xC y θ θ = +  = + θ 2 : 1C ρ = AB izi 43)1( +=+ 2 5 2 5- Rx∈∀ 012 >+− xx p¬ Rx∈∃ 012 ≤+− xx Rx∈∀ 012 ≤+− xx Rx∈∃ 012 >+− xx Rx∈∀ 012 ≥+− xx M ( 1, 3)− M (2, )3 π (2, )3 π− 2(2, )3 π (2,2 ),( )3k k Z ππ + ∈ sin ( )y x x R= ∈ [ 1,1],2 1 ,x R− − ∈ sin(2 1)( )y x x R= − ∈ [ ]1,1− , ,a b c / / , / / ,a b b c / / ,a c x y 2R 2R 0.2 .8ˆ 0y x= + x ˆy增加 0.2 个单位 ④若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强，以上正 确说法的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8．命题“若 x2>y2，则 x>y”的逆否命题是(　　) A．“若 xy2” C．“若 x≤y，则 x2≤y2” D．“若 x≥y，则 x2≥y2” 9．将曲线 x2+4y=0 作如下变换： , 则得到的曲线方程为(　　) A. B. C. D. 10.满足条件|z+i|+|z－i|=4 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )． A．椭圆 B．两条直线 C．圆 D．一条直线 11．利用反证法证明：“若 ，则 .”时，假设为（ ） A. ， 都不为 0 B. 且 ， 都不为 0 C. 且 ， 不都为 0 D. ， 不都为 0 12．已知命题 p：∃x∈R，x－1≥lgx，命题 q：∀x∈(0，π)，sinx＋ 1 sinx>2，则下列判断正确 的是(　　) A．p∨q 是假命题 B．p∧q 是真命题 C．p∨(綈 q)是假命题 D．p∧(綈 q)是真命题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13．若 为一次函数，且 ，则 14．已知函数 y＝f(x)的定义域为[－7,1]，则函数 的定义域是________ 15．设集合 A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}。若 A⊆(A∩B)，则实数 a 的取值范围 为________ 16．若函数 （ 且 ），函数 . ① 若 ，函数 无零点，则实数 的取值范围是 ； ② 若 有最小值，则实数 的取值范围是 ． 三、解答题: 17．(本题满 8 分)已知 a>0，b>0 用分析法证明： . 0a > 1a ≠ ( ) ( )g x f x k= − 1 3a = ( )g x k ( )f x a y x 0.9462r = − y x 1 2 4 x x y y  ′ =  ′ = 21 4x y′ ′= − 21 4y x′ ′= − 24y x′ ′= − 24x y′ ′= − 2 2 0x y+ = 0x y= = x y x y≠ x y x y≠ x y x y )(xf 19)]([ += xxff =)(xf 2 )32( + −= x xfy 4, 3,( ) log , 3a x xf x x x − + ≤=  > 2 2 2 2 a b a b+ +≤18.(本题满分 10 分)已知函数 (1)若 m=1，解关于 x 的不等式 (2)若 的最大值为 3，求 m。 19．(本题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标 系，设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面 积． 20．(本题满分 10 分) 2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，其年龄与人数分布表如下： 年龄段 人数（单位：人） 180 180 160 80 约定：此单位 45 岁~59 岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取 30 人作为全市庆 祝晚会的观众． （1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？ （2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12 人和 5 人不热衷关心民生大事，其 余人热衷关心民生大事．完成下列 列联表，并回答能否有 90%的把握认为年 龄层与热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30 （3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中 1 人擅长歌舞，3 人擅长乐器）中，随机 抽取 2 人上台表演节目，则抽出的 2 人能胜任才艺表演的概率是多少？ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 [ )22 35， [ )35 45， [ )45 55， [ ]55 59， 2 2× 2 0( )P K k≥ 0k ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −=21．(本题满分 10 分) “工资条里显红利，个税新政人民心”。随着 2019 年新年钟声的敲响，我国自 1980 年以来， 力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某 IT 从业者为了 解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在 26 岁~35 岁（2009 年~2018 年） 之间各月的月平均收入 y (单位：千元)的散点图： （1）由散点图知，可用回归模型 拟合 y 与 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回归方程； （2）如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3000 元/月，试利用（1）的结果， 将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他 36 岁时每个月少缴交的个人 所得税。 附注： 1 ． 参 考 数 据 ， ， ， ， ， , ，其中 ；取 ， 2．参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 , 3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点 3500 元） 新个税税率表（个税起征点 5000 元） axby += ln 55 10 1 =∑ =i ix 5.155 10 1 =∑ =i iy 5.82)- 2 10 1 =∑ = xx i i（ 9.94))- 10 1 =−∑ = yyxx i i i （（ 1.15 10 1 =∑ =i it 84.4)- 2 10 1 =∑ = tt i i（ 2.24))- 10 1 =−∑ = yytt i i i （（ ii xt ln= 4.211ln = 6.336ln = abuv += 2 1 1 )- ))- ˆ uu vvuu b n i i i n i i ∑ ∑ = = − = （ （（ ubva ˆˆ −=税缴 级数 每月应纳税所得额（含税） =收入-个税起征点 税率 （%） 每月应纳税所得额（含税） =收入-个税起征点-专项附加扣除 税率 （%） 1 不超过 1500 元的部分 3 不超过 3000 元的部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部 分 10 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部 分 20 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 4 超过 9000 元至 35000 元的 部分 25 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 5 超过 35000 元 155000 元的 部分 30 超过 35000 元至 55000 元的部分 30 数学试卷（文科）答案1~5．CACCA 6~10．CCCCA 11~12．DD 13． 或 14． 15．(－∞，9] 16． ； 17.[证明]　因为 a>0，b>0， 要证 ， 只需证， ， 只需证 a2－2ab＋b2≥0， 而 a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0 恒成立， 故 a＋b 2 ≥ 2ab a＋b成立． 18．(1)原不等式等价于 或 或 解得 或 或 综上所述 即原不等式的解集为 (2) =3 ∴m=1 19．(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcosθ，即曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4x； 由Error!(t 为参数)，得 y＝ 1 3(x－5)， 即直线 l 的普通方程为 x－ 3y－5＝0. (2)由(1)可知 C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为 2，则弦心距 d＝|2－ 3 × 0－5| 1＋3 ＝3 2，弦长|PQ| ＝2 22－ 3 22＝ 7，因此以 PQ 为一条边的圆 C 的内接矩形面积 S＝2d·|PQ|＝3 7. 20． (1) （1） ， ；（2）列联表见解析，没有 的把握认为年龄层与热衷关心民生 大事有关；（3） ． 【解析】（1）抽出的青年观众为 18 人，中年观众 12 人． （2） 列联表如下： 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 4 13 +x 2 1-3- x ]22( ，− [ 1,1)− (1, 3] 2 2 2 2 a b a b+ +≤ 2 2 2 2 2 a b a b+ +  ≤      ≥−−− > 121 1 xx x    ≥−−− ≤≤− 121 12 xx x    ≥++− −< 121 2 xx x φ∈x 12- −≤≤ x 2−