浙江省东阳中学2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

东阳中学 2020 年上学期期中考试卷 （高二数学） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 的元素个数是 ( ) . 个 . 个 . 个 . 个 2．直线 的斜率是 ( ) . . . . 3．“ 且 ”是“直线 过点 ”的 ( ) .充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充要条件 .既不充分又不必要条件 4．函数 的最小正周期为 ( ) . . . . 5. 已知向量 , 且 ，则实数 的值是 ( ) . . . . 6. 已知等比数列 中， ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 项和 的 值为 ( )  .  .  .  . 7. 中,角 所对的边分别为 ,若 ，则 ( ) . . . . 8．设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 . 若曲线 上的点到椭圆 的两个 焦点的距离的差的绝对值等于 ，则曲线 的标准方程为 ( ) . . . . 3 x {1,2,3,4}A = {2,4,6}B = A B A 0 B 1 C 2 D 3 2 3 0x y+ + = A 1 2 − B 1 2 C 2− D 2 2k = 1b = − y kx b= + ( )1,1 A B C D π( ) sin(2 )3f x x= + ( )x∈R A π 2 B π C 2π D 4π ( )1,2a = ( ),4b x= a b ∥ x A 2− B 2 C 8 D 8− { }na 12 3n na −= × n nS A 3 1n − B ( )3 3 1n − C 9 1 4 n − D ( )3 9 1 4 n − ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )3 cos cosb c A a C− = cos A = A 1 2 B 3 2 C 3 3 D 1C 5 13 26 2C 1C 8 2C A 2 2 2 2 14 3 x y− = B 2 2 2 2 113 5 x y− = C 2 2 2 2 13 4 x y− = D 2 2 2 2 113 12 x y− =9．设 满足约束条件 若目标函数 的最大值是 ，则 的最小值为 ( ) . . 　 . . 10. 定义域为 的偶函数 满足对任意的实数 ，有 ，且当 时， ，若函数 在 上至少有 三个零点，则 的取值范围是 ( ) . . . . 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。 11. 已知 ，则 ， . 12. 若函数 是偶函数，则 ，值域为 ． 13. 在等差数列 中，若 ，则 ， . 14．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 则该几何体的表面积为 ， 该该几何体的体积为 ． 15．过点 的直线与抛物线 交于 两点，且 则此直线的 方程为_________. 16．若函数 在区间 内是增函数，则实数 的取值范围是______ . 17．若对任意 且 ,不等式 恒成立 ,则实数 的取值范围是 ___________. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.已知向量 ，且 分别是锐角三角形 ,x y 3 6 0, 2 0, 0, 0, x y x y x y − −  − +      ( 0, 0)z ax by a b= + > > 12 2 2 9 4 a b+ A 13 25 B 1 2 C 1 D 2 R ( )f x x ( 2) ( ) (1)f x f x f+ = − [ ]2,3x∈ 2( ) 2 12 18f x x x− + −= ( )( ) log 1ay f x x= − + ( )0,+∞ a A 20, 2       B 30, 3       C 50, 5       D 60, 6       3cos = 3 θ cos2 =θ 3πsin + 2 θ  =   ( )( )( )( ) 2 Rf x a x x a= + − ∈ a = { }na 1 5 9 4πa a a+ + = 5a = ( )2 8tan + =a a ( )2,1P 2 16y x= ,A B 0PA PB+ =   3( ) 2=f x x ax+ − ( )1,+∞ a [ ]1,2x∈ [ ]2,3y ∈ 2 22xy ax y+ a ( ) ( ) 3sin ,cos , cos ,sin , 2m A A n B B m n= = ⋅ =    , ,A B C ABC 第14题 俯视图 正(主)视图 8 5 5 8 侧(左)视图 8 5 5三边 所对的角. （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）若 成等比数列，且 ，求 的值. 19.设数列 是公差大于零的等差数列，已知 . (1) 求数列 的通项公式； (2) 设数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 ． 20. 在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， (Ⅰ) 证明： 平面 ； (Ⅱ) 若二面角 的大小为 ，求 的值. 21.已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； , ,a b c C∠ , ,a c b 18CA CB⋅ =  c { }na 2 1 3 22 10= =a a a −, { }na { }nb 1 3 { }n na b− n nS P ABCD− PA ⊥ ABCD AD BC∥ 2 4BC AD= = 10AB CD= = BD ⊥ PAC A PC D− − 60° AP 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > 3 2=e 4 (第 20 题图) B P C DA（Ⅱ）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 ， 若 ， 求直线 的倾斜角. 22.设函数 . (1) 求函数 的最小值； (2) 设 ，讨论函数 的单调性； (3) 斜率为 的直线与曲线 交于 , 两点，求证： . l ,A B A ( ),0a− 4 2 5AB = l ( ) lnf x x x= ( 0)x > ( )f x 2( ) ( )F x ax f x′= + ( )Ra∈ ( )F x k ( )y f x′= 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2( )x x< 1 2 1x xk < ( ) 0f x′ = 1x e = 1(0, )x e ∈ ( ) 0f x′ < 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0f x′ > 1x e = min 1 1 1( ) lnf x e e e = = − 2( ) ln 1F x ax x= + + ( 0)x > 21 2 1( ) 2 ( 0)axF x ax xx x +′ = + = > 0≥a ( ) 0F x′ > ( )F x ),0( +∞ 0 22 1 0ax + > 10 2x a < < − ( ) 0F x′ < 22 1 0ax + < 1 2x a > − 0≥a ( )F x ),0( +∞ 0 ln 1 ln ( 1)t t t t t< − < > ( ) 1 ln ( 1)g t t t t= − − ≥ 1( ) 1 0( 1)g t tt ′ = − ≥ ≥ ( )g t [1, )+∞ 1t > ( ) 1 ln (1) 0g t t t g= − − > = 1 ln ( 1)t t t− > > ( ) ln ( 1)( 1)h t t t t t= − − ≥ ( ) ln 0( 1)h t t t′ = ≥ ≥ ( )h t [1, )+∞ 1t > ( ) ln ( 1) (1) 0h t t t t h= − − > = 1 ln ( 1)t t t t− < >