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高三线上自我检测数学试题
一、单项选择题：本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求解集合 A，B，再根据集合的及交集运算法则，即可求解.
【详解】由题意，得 或
所以
故选：B
【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题.
2.已知复数 在复平面上对应的点为 ，则 ( )
A. 是实数 B. 是纯虚数
C. 是实数 D. 是纯虚数
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得 ，然后逐一核对四个选项得答案.
【详解】由题意，
则 ，为纯虚数，故 A 错误，B 正确；
，故 C,D 错误，
故选：B
【点睛】本题考查复数的分类判断，属于基础题.
3.“ ”是“ ”成立的( )
{ }2| 2 0A x x x= − − > { }| 2B x y x= = − A B =
[ )2,+∞ ( )2,+∞ [ )1,+∞ ( )1,+∞
{ | 1A x x= < − }2x >
{ } { }| 2 0 | 2B x x x x= − ≥ = ≥
( )2,A B ∞= +
z ( )1,1−
1z + 1z +
z i+ z i+
z
1z i= − +
1z i+ =
1 2z i i+ = − +
0x y> > ( ) ( )ln 1 ln 1x y+ > +- 2 -
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要
性.
【详解】因为对数函数 是增函数，定义域为
因为 ，所以 ，即 ，所以充分性成立；
因为 ，所以 ，即 ，所以必要性不成立，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.
4.甲，乙，丙三人报考志愿，有 三所高校可供选择，每人限报一所，则每所一学校都
有人报考的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分别求每人报考一所学校的不同选法总数和每一所学校都有人报考的选法数，根
据概率公式，计算即可求解.
【详解】由题意，
每人报考一所学校，不同的选法总数是 （种）
如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是 （种）
所以如果每一所学校都有人报考的概率为
故选：D
【点睛】本题考查利用计数原理计算概率，属于基础题.
lny x= ( )0 + ∞，
0x y> > 1 1 1x y+ > + > ( ) ( )ln 1 ln 1x y+ > +
( ) ( )ln 1 ln 1x y+ > + 1 1 0x y+ > + > 1x y> > −
0x y> > ( ) ( )ln 1 ln 1x y+ > +
, ,A B C
1
3
1
9
1
27
2
9
33 27=
3
3 6A =
6 2
27 9
=- 3 -
5.下列说法正确的是( )
A. 回归直线 至少经过其样本数据 中的一个点
B. 从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃
地沟油，那么他有 99%可能患胃肠癌
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据回归直线的性质，可判断 A 的真假；根据独立性检验的相关知识，可判断 B 的真假；根
据数据的残差越小，其模型拟合的精度越高，可判断 C 的真假；根据方差性质，可判断 D 的
真假.
【详解】回归直线 可以不经过其样本数据 中的一个点，
则 A 错误；
从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟
油，那么他有 99%可能患胃肠癌，则 B 错误；
在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，表示数据的残差越小，其模型拟合的精度
越高，即 C 正确；
将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其平均数也加上或减去同一个常数，
则其方差不变，故 D 错误，
故选：C
【点睛】本题考查统计案例中的概念辨析，考查回归方程、独立性检验、残差分析及方差，
属于基础题.
6.过点 的直线将圆 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角
最小时，该直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
ˆˆ ˆy bx a= + ( ) ( ) ( )1 2 2, , , , ,i n nx y x y x y
ˆˆ ˆy bx a= + ( ) ( ) ( )1 2 2, , , , ,i n nx y x y x y
( )2, 3 ( )2 23 25x y− + =
3− 3 3
3
− 3
3- 4 -
【分析】
根据题意，判断当过点 的直线与过点 和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧
中的劣弧所对的圆心角最小，计算即可求解.
【详解】 点 为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，
只有当过点 的直线与过点 和圆心的直线垂直时，
可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，
过点 和圆心 的直线斜率为
过点 的直线斜率为
故选：D
【点睛】本题考查直线与圆相交弦的问题，属于基础题.
7.已知实数 满足 ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，将 通分化简整理，再运用基本不等式求解最值.
【详解】由题意，
的最小值是
( )2, 3 ( )2, 3
( )2, 3
∴ ( )2, 3 ( )2, 3
( )2, 3 ( )3,0 3 0 32 3k
−= = −−
∴ ( )2, 3 1 3
3k
− =
,a b 0ab >
2
a a
a b a b
−+ +
2 2− 2 2+ 3 2 2− 3 2 2+
2
a a
a b a b
−+ +
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2
2 2 3 2
a ab a aba a ab
a b a b a b a b a ab b
+ − +
− = =+ + + + + +
( )2
2 0a b− ≥
2 22 2 2 0a ab b∴ − + ≥
2 22 2 2a b ab∴ + ≥
2 23 2 3 2 2a ab b ab ab∴ + + ≥ +
2 23 2a ab b∴ + + 3 2 2ab ab+- 5 -
当 ，即 时，
的值最大
的最大值是：
的最大值为 .
故选：C
【点睛】本题考查基本不等式的应用求最值，综合性较强，属于中等题型.
8.已知 ， ，记 ，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，要求 的最小值可转化为函数 图象上的点与
直线 上的点的距离的最小值的平方，利用导数计算即可求解.
【详解】由题意， 的最小值可转化为函数 图象上的
点与直线 上的点的距离的最小值的平方.
，得 ，
与直线 平行的直线斜率为 ，
令 ，解得 ，所以切点的坐标为
切点到直线 的距离
即 的最小值为 .
故选：B
【点睛】本题考查导数的几何意义为切线的斜率，利用平行关系解决点到直线距离的最小值
0ab >
∴ 2 23 2 3 2 2a ab b ab ab+ + = + = 2a b
2 23 2
ab
a ab b+ +
2 23 2
ab
a ab b
∴ + +
1 3 2 2
3 2 2 3 2 2
ab
ab ab
= = −
+ +
2
a a
a b a b
∴ −+ + 3 2 2−
1 1 1ln 2 0x x y− − + = 2 22 4 2ln 2 0x y+ − − = ( ) ( )2 2
1 2 1 2M x x y y= − + −
M 2
5 M 4
5
M 8
5 M 12
5
( ) ( )2 2
1 2 1 2M x x y y= − + − ln 2y x x= − +
2 4 2ln 2 0x y+ − − =
( ) ( )2 2
1 2 1 2M x x y y= − + − ln 2y x x= − +
2 4 2ln 2 0x y+ − − =
ln 2y x x= − + 1 1y x
′ = −
2 4 2ln 2 0x y+ − − = 1
2
−
1 11 2x
− = − 2x = ( )2 ln 2，
2 4 2ln 2 0x y+ − − = 2 2ln 2 4 2ln 2 2 5
51 4
d
+ − −= =
+
( ) ( )2 2
1 2 1 2M x x y y= − + − 4
5- 6 -
问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中等题型.
二、多项选择题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分.
9.已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位长度
后，所得图象关于 轴对称，则下列结论中正确的是( )
A. B. 是 图象的一个对称中
心
C. D. 是 图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，先得到 向右平移 的解析式为 ，再
得到 ，可得 ，可得 的解析式，根据正弦函数的性质可知 A,B,D
正确.
【详解】由题意， 向右平移 ，
得
的图象关于 轴对称，所以 ，
，又
即
( ) ( )( )2sin 2 0f x x ϕ ϕ π= + < < ( )f x 6
π
y
5
6
πϕ = ,012
π
( )f x
( ) 2f ϕ = −
6x
π= − ( )f x
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= +
6
π 2sin 2 3y x
πϕ = + −
3 2k
π πϕ π− = + 5
6
πϕ = ( )f x
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= +
6
π
2sin 2 2sin 26 3y x x
π πϕ ϕ = − + = + −
2sin 2 3y x
πϕ = + − y
3 2k
π πϕ π− = + k Z∈
6k k Z
πϕ π 5∴ = + ∈， 0 ϕ π< <
50 6k
πϕ∴ = =，
( ) 52sin 2 6x xf
π +
= - 7 -
则 是 图象的一个对称中心， 是 图象的一条对称轴
而 ，则 C 错，A,B,D 正确
故选：ABD
【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数 性质，属于基础题.
10.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减
一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）
A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路
程多六里.
C. 此人第三天走的路程占全程的 D. 此人后三天共走了 42 里路
【答案】C
【解析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比
数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．
11.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以 为圆心，
为半径的圆交 于 两点，若 ，且 的面积为 ，则( )
A. B. 是等边三角形
C. 点 到准线的距离为 3 D. 抛物 的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，结合圆的性质和抛物线定义，可判断 ，即 是等边三角形，
再根据正三角形面积公式，可求 ，再根据焦点 到准线的距离为 可求解抛物线方程.
的
50 2 212 6 6f f f
π π π ∴ = − = = ， ，
,012
π
( )f x
6x
π= − ( )f x
( ) 2f ϕ =
1
8
1
2
( )2: 2 0C y px p= > F l A C F FA
l ,B D 90ABD∠ = ABF∆ 9 3
3BF = ABF∆
F C 2 6y x=
AB AF BF= = ABF∆
BF F p- 8 -
【详解】
由题意，以 为圆心， 为半径的圆交 于 两点，且
由抛物线定义，可得 ，所以 是等边三角形，
所以 ，
，
又焦点 到准线的距离为 ，则抛物线方程为
则有 BCD 正确，A 错误.
故选：BCD
【点睛】本题考查抛物线定义与抛物线方程的求法，属于中等题型.
12.设函数 ，若函数 有三个零，则实数 可取的值
可能是 ( )
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数零点的定义转化为 有三个根，利用数形结合进行求解即可.
【详解】由题意，函数 有三个零点，则函数 ，
F FA l ,B D 90ABD∠ =
AB AF BF= = ABF∆
30FBD∠ =
23 9 34ABFS BF∆ = =
6BF∴ =
F sin30 3p BF= = 2 6y x=
( ) ( )
ln , 0
1 , 0x
x xf x e x x
>= + ≤
( ) ( )g x f x b= − b
1
2
( )f x b=
( ) ( )g x f x b= − ( ) ( ) 0g x f x b= − =- 9 -
即 有三个根，
当 时， ，则
由 得 ，即 ，此时 为减函数，
由 得 ，即 ，此时 为增函数，
即当 时， 取得极小值 ，作出 图象如图：
要使 有三个根，则 ，则实数 可取的值可能是 ，1
故选：BC
【点睛】本题考查利用零点个数求参数范围问题，利用导数研究函数图象，考查数形结合思
想，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 的展开式中， 的系数为__________.
【答案】-5
【解析】
【分析】
展开式与 相乘得到 项，则展开式中 项与 相乘， 项与-1 相乘，再相
加，得到系数.
【详解】要求 的系数，则 展开式中 项与 相乘， 项与-1 相乘，
所以展开式中 项为 与 相乘得到 ，
的
( )f x b=
0x ≤ ( ) ( )1xf x e x= + ( ) ( ) ( )1 2x x xe x e xx ef = + + = +′
( ) 0f x′ < 2 0x + < 2x < − ( )f x
( ) 0f x′ > 2 0x + > 2 0x− < ≤ ( )f x
2x = − ( )f x ( ) 2
12f e
− = − ( )f x
( )f x b= 0 1b< ≤ b 1
2
( )51 1 1xx
− ⋅ + x
( )5
1x + 1 1x
− x 2x 1
x
x
x ( )5
1x + 2x 1
x
x
2x ( )41 2
5 5C x x= 1
x 5x- 10 -
展开式中 项为 ，与-1 相乘得到 ，
所以 的系数为
【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计
算即可得到结果，属于简单题.
14.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中 ， 为 中点，则 、
【答案】
【解析】
试题分析：将 表示为 ，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．
在菱形 ABCD 中， ，所以三角形 ABD 是正三角形，从而
故答案为 1．
考点：平面向量的数量积．
15.设双曲线 的左焦点为 ，直线 过点 且与
双曲线 在第二象限的交点为 为原点， ，则双曲线 的右焦点的坐标为
__________；离心率为_________________.
【答案】 (1). (2). 5
【解析】
分析】
根据题意，画出图象结合双曲线基本性质和三角形几何知识
【
x ( )23
5 10C x x= 10x−
x 10 5 5− + = −
60BAD∠ = E CD AE BD⋅ =
1
60BAD∠ =
( )AE BD AD DE BD∴ ⋅ = + ⋅ = AD BD⋅ + DE BD⋅
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > F 4 3 20 0x y− + = F
C ,P O OP OF= C
( )5,0- 11 -
【详解】如图所示：
直线 过点 ， ，半焦距 ，则右焦点为
为 中点， ，
由点到直线的距离公式可得 ， ，
由勾股定理可得： ，再由双曲线定义可得：
，则离心率
故答案为： ，
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高
考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线，属于中等题型.
16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的半球对接而成，在该封闭
几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱
体积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设小圆柱体底面半径为 ，则高为 ，小圆柱体体积
4 3 20 0x y− + = F ( )5,0F∴ − 5c = ( )2 5,0F
A PF OP OF= 2/ /OA PF∴
20 45OA = = 2 2 8PF OA=∴ =
2 2
2 2 6FP FF PF= − = 2 2 2PF PF a− = =
1a\ = 5ce a
= =
( )5,0 5
32
27
π
cosθ 1 sin 0, 2
πθ θ + ∈ ，- 12 -
，设 ，则 ，利用导数性
质能求出小圆柱体体积的最大值.
【详解】由题意，设小圆柱体底面半径为 ，
则高为 ，
小圆柱体体积 ，
设 ，
则
则
当 时，
故答案为：
【点睛】本题考查圆柱体体积的最值问题，根据圆柱体积公式构建函数，求导研究函数的性
质，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.现给出两个条件：① ，② ，从中选出一
个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个
都选，则按第一个解答计分）在 中， 分别为内角 所对的边( ).
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对于所选的条件，先根据正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换，即可计算 ，
再根据角的范围，即可求解；
( )2cos 1 sinV π θ θ= ⋅ ⋅ + ( )sin 0,1t tθ = ∈， ( )3 2 1V t t tπ= ⋅ − − + +
cosθ
1 sin 0, 2
πθ θ + ∈ ，
( )2cos 1 sinV π θ θ= ⋅ ⋅ +
( )sin 0,1t tθ = ∈，
( )( ) ( )2 3 21 1 1V t t t t tπ π= ⋅ − + = ⋅ − − + +
( ) ( )( )23 2 1 3 1 1V t t t tπ π′ = ⋅ − − + = ⋅ − + +
1
3t = max
32
27V
π=
32
27
π
2 3 2 cosc b a B− = ( )2 3 cos 3 cosb c A a C− =
ABC∆ , ,a b c , ,A B C
A
3 1a = - ABC∆
6
π 1
2
3cos 2A =- 13 -
（2）根据余弦定理，可得： ，利用基本不等式，
导出 ，结合三角形面积公式，即可求解.
【详解】（1）选① ，
由正弦定理可得： ，
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
选② ，
由正弦定理可得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ；
（2）由余弦定理得： ，
又 ，当且仅当“ ”时取“=”，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积的最大值为 .
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查余弦定理结合基本不等式求面积的最值，
考查计算能力，属于中等题型.
18.已知数列 为公差不为 0 的等差数列，且 成等比数列， .
（1）求数列 的通项 ；
2 2 2 2 22 cos 3a b c bc A b c bc= + − = + −
2bc ≤
2 3 2 cosc b a B− =
2sin 3sin 2sin cosC B A B− =
( )2sin 3sin 2sin cosA B B A B+ − = 2cos sin 3sinA B B=
( )0,B π∈ sin 0B ≠ 2cos 3A = 3cos 2A =
( )0,A π∈
6A
π=
( )2 3 cos 3 cosb c A a C− =
( )2sin 3sin cos 3sin cosB C A A C− =
( )2sin cos 3sin 3sinB A A C B= + =
( )0,B π∈ sin 0B ≠ 3cos 2A =
( )0,A π∈
6A
π=
2 2 2 2 22 cos 3a b c bc A b c bc= + − = + −
2 2 2b c bc+ ≥ b c=
( )2 2 3a bc≥ − ( ) ( )2
3 1 2 3 bc− ≥ − 2bc ≤
1 1 1sin2 4 2ABCS bc A bc∆ = = ≤
ABC∆ 1
2
{ }na 1 3 9a a a、 、 2 4 6a a+ =
{ }na na- 14 -
（2）设 ，求数列 的前 2020 项的和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出关于等差数列的基本量 的方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）中通项公式代入，可知 ，根据数列
的周期性，可求 ，再根据并项求和，计算即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 得：
解得
所以数列 的通项 ；
（2）由（1）知
数列 的最小正周期为 ，
∴数列 的前 2020 项的和
( )2 1cos 3
n
n n
ab a
π+= { }nb 2020S
=na n 2020
2021
2S = −
1a d，
( ) ( )2 1 2 1cos cos3 3
n
n n
a nb a n
π π+ += = { }nb
3 2 3 1 3
3
2k k kb b b− −+ + =
{ }na ( )0d d ≠
2
3 1 9
2 4 6
a a a
a a
=
+ =
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1 1
1 1
2 8
3 6
a d a a d
a d a d
+ = + + + + =
1 1
1
a
d
=
=
{ }na ( )1 1na a n d n= + − =
( ) ( )2 1 2 1cos cos3 3
n
n n
a nb a n
π π+ += =
{ }nb 3T =
3 2 3 1 3k k kb b b− −+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 13 2 cos 3 1 cos 3 cos3 3 3
k k kk k kπ π π− + − + += − + − +
( ) ( )*3 1 3 33 2 N2 2 2
k kk k
−= − − + + = ∈
{ }nb
2020 1 2 2020S b b b= + + +- 15 -
【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）并项求和，考查计算能力，属于中等题
型.
19.如图，在三陵锥 中， 为等腰直角三角形， ， 为
正三角形， 为 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的平面角为锐角，且棱锥 的体积为 ，求直线 与
平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一，可证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，即可证明；
（2）根据题意，点 在平面 内的射影 在射线 上，再根据锥体体积公式可知
，由线面垂直的判定定理，可证 平面 ，则建系：以 为坐标原点，
所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求线
面角.
【详解】（1）
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 2017 2018 2019 2020b b b b b b b b b b= + + + + + + + + + +
( )2 2020 13673 2020cos2 3
π× += × +
2019 202120202 2
= − = −
P ABC− PAC∆ , 2PA PC AC= = ABC∆
D AC
PDB ⊥ PAC
P AC B− − P ABC− 3
6
PA
PCB
42
7
P ABC O DB
1
2PO = OE ⊥ POB O
, ,OE OB OP x y z- 16 -
证明：∵ ， 为 中点，∴ ，
又 为等边三角形， ，∴ ，
，∴ 平面 ，
平面 ，∴平面 平面 ；
（2）由（1）知点 在平面 内的射影 在直线 上，又二面角 的平面角
为锐角，∴ 在射线 上， ， ，∴
，
又 ，∴ ，即 为 中点，取 中点 ，连接 ，则 ，
∴ 平面 ，∴ 两两互相垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
PA PC= D AC AC PD⊥
ABC∆ BA BC= AC BD⊥
BD PD D= AC ⊥ PDB
AC ⊂ PAC PAC ⊥ PDB
P ABC O BD P AC B− −
O DB 3 4 34ABCS∆ = × = 1 3
3 6P ABC ABCV S PO− ∆= =
1
2PO =
1PD = 3
2OD = O BD AB E OE / /OE AD
OE ⊥ POB , ,OE OB OP
O , ,OE OB OP x y z- 17 -
则
设平面 的法向量为
由 得
令 ，得平面 的一个法向量为 ，
又 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查（1）面面垂直的证明（2）空间直角坐标系求解线面角，考查计算能力，
考查逻辑推理能力，属于中等题型.
20.公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和
呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，
在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种
疫苗后出现 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的
每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行 3 个周期.已知每
只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为 ，假设每次接种后当天是否出现 症状与上次接
种无关.
（1）若某只小白鼠出现 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验
的概率；
（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状，则在这个接种周期结束后，对
其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为 ，求 的分布列及数学期望.
( ) 3 3 3 10,0,0 , 0, ,0 , 1, ,0 , 1, ,0 , 0,0,2 2 2 2O B A C P
− − −
( )3 10, , , 1, 3,02 2PB BC
= − = − −
PCB ( ), ,n x y z=
0
0
n PB
n BC
⋅ =
⋅ =
3 1 02 2
3 0
y z
x y
− =
− − =
1y = PCB ( )3,1, 3= −n
3 11, ,2 2PA
= − −
PA PCB α
2 3 42sin cos , 77 2
n PAn PA
n PA
α ⋅= = = =
⋅⋅
PA PCB 42
7
Z
1
4 Z
Z
Z
X X- 18 -
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种
周期的概率；
（2）设事件 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状”，分别求出 ，
， ，由此能求出 的分布列和数学期望.
【详解】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现 症状的概率均为 ，且每次试验间相互独立，
所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现 症状的概率为
在第二天接种后当天出现 症状的概率为：
能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为： ，
∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：
；
（2）设事件 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状”，则
；
随机变量 可能的取值为 1，2，3，则
；
所以 的分布列为
1 2 3
37
64
2617
1024
C Z ( )1P X =
( )2P X = ( )3P X = X
Z 1
4
Z 1
1
4p =
Z 2
3 1 3
4 4 16p = × =
3
3 3 1 9
4 4 4 64p = × × =
1 2 3
1 3 9 37
4 16 64 64P p p p= + + = + + =
C Z
( ) 3
2 3
3 3
1 3 1 5
4 4 4 32P C C C
2 = × + =
X
( ) ( ) 51 32P X P C= = =
( ) ( ) ( ) 5 5 1352 1 1 32 32 1024P X P C P C = = − = − × =
( ) ( ) ( ) 7293 1 1 1 1024P X P C P C= = − − × =
X
X- 19 -
随机变量 的数学期望为：
【点睛】本题考查（1）相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式（2）随机变量
的分布列及数学期望，考查计算能力，属于中等题型.
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）是否存在一个正实数 ，满足当 时， 恒成立，若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】（1） 时， 的增函数区间为 ，无减函数区间； 时， 的
增函数区间为 ，减函数区间为 ； 时， 的增函数区间为
，减函数区间为 ；（2）存在， .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析函数定义域，求导，分类讨论参数不同的取值范围时函数单调性，即可
求解；
（2）根据题意， ，由（1）知 的最大值为 ，若对任意实数 ，
恒成立，只须使 即可.又因为 ，所以不等式 等价于：
，即： ，设 ，对 求导，分析
单调性，讨论 的范围，判断不等式成立条件.
P
5
32
135
1024
729
1024
X
( ) 5 135 729 26171 2 332 1024 1024 1024E X = × + × + × =
( ) ( ) ( )1 xf x ax e a R= − ∈
( )f x
a x∈R ( ) 1f x ≤ a
0a = ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a > ( )f x
1, a
a
− −∞
1 ,a
a
− +∞ 0a < ( )f x
1 ,a
a
− +∞
1, a
a
− −∞ 1
0a > ( )f x
11 a
aaf aea
−− = x
( ) 1f x ≤ 1
1
a
aae
−
≤ 0a > 1
1
a
aae
−
≤
1
ln 0
a
aae
− ≤
1ln 0aa a
−+ ≤ ( ) ( )1ln 0ag a a aa
−= + > ( )g a
a- 20 -
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
①若 在 上为增函数；
②若 ，∵ ，∴当 时， ；当 时， ；
所以 在 上为增函数，在 上为减函数；
③若 ，∵ ，∴当 时， ；当 时， ；
所以 在 上为减函数，在 为增函数
综上可知， 时， 的增函数区间为 ，无减函数区间；
时， 的增函数区间为 ，减函数区间为 ；
时， 的增函数区间为 ，减函数区间为 ；
（2）由（1）知， 时， 的最大值为 ，
若对任意实数 ， 恒成立，只须使 即可.
又因 ，所以不等式 等价于： ，
即： ，
设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时，
所以， 在 上为减函数，在 上为增函数，
∴当 时， ，不等式 不成立，
为
( ) ( ), 1 xx R f x ax e∈ = − R
( ) ( ) ( )1 1x x xf x ae ax e e ax a′ = − + − = − + −
( ) ( )0, ,xa f x e f x= = ( ),−∞ +∞
0a > 0xe > 1 ax a
−< ( ) 0f x′ > 1 ax a
−> ( ) 0f x′ <
( )f x 1, a
a
− −∞
1 ,a
a
− +∞
0a < 0xe > 1 ax a
−< ( ) 0f x′ < 1 ax a
−> ( ) 0f x′ >
( )f x 1, a
a
− −∞
1 ,a
a
− +∞
0a = ( )f x ( ),−∞ +∞
0a > ( )f x 1, a
a
− −∞
1 ,a
a
− +∞
0a < ( )f x 1 ,a
a
− +∞
1, a
a
− −∞
0a > ( )f x
11 a
aaf aea
−− =
x ( ) 1f x ≤ 1
1
a
aae
−
≤
0a > 1
1
a
aae
−
≤
1
ln 0
a
aae
− ≤
1ln 0aa a
−+ ≤
( ) ( )1ln 0ag a a aa
−= + > ( ) ( )
2 2
11 1a a ag a a a a
− − − −′ = + =
0 1a< < ( )' 0g a < 1a > ( ) 0g a′ >
( )g a ( )0,1 ( )1,+∞
0 1a< < ( ) ( )1 0g a g> = 1ln 0aa a
−+ ≤- 21 -
当 时， ，不等式 不成立，
当 时， ，不等式 成立，
∴存在正实数 且 时，满足当 时， 恒成立.
【点睛】本题考查（1）利用导数研究函数单调性（含参）（2）利用导数研究恒成立问题，考
查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.
22.已知椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ，椭圆
的左、右焦点分别为 ，其中 也是抛物线 的焦点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 （不与 轴重合）交椭圆 于 两点，点 为椭圆 的左顶点，直
线 分别交直线 于点 ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 题 意 ， 由 抛 物 线 性 质 可 求 焦 点 坐 标 和 点 坐 标 ， 结 合 椭 圆 定 义 ， 可 求
，计算即可求解；
（2）设 ，讨论直线 与 轴 否垂直，再根据直
线与椭圆方程联立方程组法，结合韦达定理，计算 ，即可证明.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
，∴ ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
是
1a > ( ) ( )1 0g a g> = 1ln 0aa a
−+ ≤
1a = ( ) ( )1 0g a g= = 1ln 0aa a
−+ ≤
a 1a = x∈R ( ) 1f x ≤
( )2 2
1 2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > 2
2 : 4E y x= P
1E 1 2,F F 2F 2E 2
5
3PF =
1E
2F l x 1E M N、 A 1E
AM AN、 4x = B C、 2BF C∠
2 2
14 3
x y+ =
P
1 2 4 2PF PF a+ = =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , 4, , 4,B CM x y N x y B y C y l x
2 2 0F B F C =
2 4y x= ( )1,0
2
51 3pPF x= + = 2
3px =
2 63py = 2 2 63 3P
，
( )2 1,0F ( )1 1,0F −- 22 -
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴椭圆 的方程是： ；
（2）设
当直线 与 轴垂直时，易得： 或 ，
又 ，∴ ，或者 ，
∴ ，∴
当直线 与 不垂直时，设直线 的方程为： ，
联方程组 ，消去 整理得： ，
所以： ，
又 共线，
∴ ，得 ，同理： ，
∴ ，
∴
又因为
1 2
7 5 43 3PF PF+ = + = 2a =
1c = 2 2 2 3b a c= − =
1E
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , 4, , 4,B CM x y N x y B y C y
l x ( ) ( )4,3 , 4, 3B C − ( ) ( )4, 3 , 4,3B C−
( )2 1,0F ( ) ( )2 23,3 , 3, 3F B F C= = − ( ) ( )2 23, 3 , 3,3F B F C= − =
2 2 9 9 0F B F C⋅ = − =
2 2BF C
π∠ =
l x l ( )1y k x= −
( )
2 2
1
14 3
y k x
x y
= − + =
y ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,3 4 3 4
k kx x x xk k
−+ = =+ +
( ) ( ) ( )1 12,0 , , , 4, BA M x y B y−
( ) ( )1
1
0 0
2 4 2
By y
x
− −=− − − −
1
1
6
2B
yy x
= +
2
2
6
2C
yy x
= +
( ) ( )2 23, , 3,B CF B y F C y= =
( )( )1 2
2 2
1 2
369 9 2 2B C
y yF B F C y y x x
⋅ = + = + + +
( )( ) ( )( )
( )( )
2
1 2 1 2
1 2
9 2 2 36 1 1
2 2
x x k x x
x x
+ + + − −= + +
( )( ) ( )( )2
1 2 1 29 2 2 36 1 1x x k x x+ + + − −
( ) ( )( )2 2 2
1 2 1 236 9 18 36 36 36k x x k x x k= + + − + + +
( ) ( )2 2
2 2 2
2 2
4 12 836 9 18 36 36 36 03 4 3 4
k kk k kk k
−= + + − + + =+ +- 23 -
∴ ，则
综上， 为定值.
【点睛】本题考查（1）椭圆标准方程（2）联立方程组法求定值问题，考查计算能力，考查
转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.
2 2 0F B F C =
2 2BF C
π∠ =
2 2BF C
π∠ =
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