天津市静海一中2020届高三数学3月月考试题（Word版附解析）

静海一中 2019-2020 第二学期高三数学（3 月） 学生学业能力调研考试试卷 一、选择题: （每小题 6 分，共 48 分，每小题只有一个正确选项） 1.设集合 ，集合 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先通过解不等式得出集合 ，然后再求 . 【详解】由 得， ，即 . 由 得， ，即 . 所以 故选：B 【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题. 2.在 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， ，则 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 ，得到 ，利用余弦定理，得到关于 的方程，从而得到 的值， 得到 的周长. 【详解】在 中，由正弦定理 因为 ，所以 2{ log 1}A x x= ≤ 2{ | 2 0}B x x x= + − < A B (0,1) ( 2,2]− ( ,2]−∞ ( 2,1)− ,A B A B 2log 1x ≤ 0 2x< ≤ ( ]0,2A = 2 2 0x x+ − < 2 1x− < < ( )2,1B = − ( ]2,2A B = − ABC , ,A B C , ,a b c 3a = 3A π= sin 2sinC B= ABC 3 2 3+ 3 2 6+ 3 3 3+ 3 3 6+ sin 2sinC B= 2c b= b ,b c ABC ABC 2sin sin sin a b c RA B C = = = sin 2sinC B= 2c b=因 ， ，所以由余弦定理得 即 ，解得 ， 所以 所以 的周长为 . 故选 C. 【点睛】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题. 3.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的 值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能 力的考查. 【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综 上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋 值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4.设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 为 3a = 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 19 4 2 2 2b b b b= + − × × 3b = 2 2 3c b= = ABC 3 3 3+ 0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤ ,a b 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤ ,a b 1 24a −= 1 2 1log 3b = 3log 2c = a b c< < a c b< < c a b< < c b a< = 1 2 14 2 − = 3 3 11 log 2 log 3 2 > > = 1 2 3 1 2 14 log 2 log 3 − < < a c b< < { }na 1 1,a = 1 3, 2 1, n n n n n a aa a a+ +=  + 为奇数 为偶数 6a = 6a 2 1 3 4a = + = 3 2 4 1 9a = × + = 4 9 3 12a = + = 5 2 12 1 25a = × + = 6 25 3 28a = + = ( ) ( )3 3 lgx xf x x−= + ⋅C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。 【详解】解：函数的定义域为 ， ， 则函数 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B， 当 时， ，排除 A， 当 时， ，排除 C， 故选：D. 【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。 7.已知函数 的图像的一条对称轴为直线 ，且 ，则 的最小值为( ) A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用辅助角公式，化简函数 的解析式，由对称轴的方程，求得 的值，得出函数 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数 为辅助角 ， 由于函数的对称轴的方程为 ，且 ， 即 ，解得 ，所以 ， 又由 ，所以函数必须取得最大值和最小值， { }0x x ≠ ( ) ( ) ( )3 3 lgx xf x x f x−− = + ⋅ = ( )f x 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < ( ) sin 3 cosf x a x x= − 5 6x π= 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+ 3 π− 3 π 2 3 π ( )f x a ( )f x 2( ) sin 3 cos 3sin( )(f x a x x a x θ θ= − = + + ) 5 6x π= 5 3( )6 2 2 af π = + 23 32 2 a a+ = + 1a = ( ) 2sin( )3f x x π= − 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = −所以可设 ， ， 所以 ， 当 时， 的最小值 ，故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化 简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和 解答问题的能力，属于中档试题. 8.定义域为 R 的偶函数 满足任意 ，有 ，且当 时， .若函数 至少有三个零点，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 的周期为 ，当 时， ，令 ， 则 的图像和 的图像至少有 个交点，画出图像，数形结合，根据 ，求 得 的取值范围. 【详解】 是定义域为 R 的偶函数，满足任意 ， ，令 ， 又 ， 为周期为 的偶函数， 当 时， ， 当 ， 当 ， 作出 图像，如下图所示： 1 1 1 52 ,6x k k Z ππ= + ∈ 2 2 22 ,6x k k Z ππ= − ∈ 1 2 1 2 22 2 ,3x x k k k Z ππ π+ = + + ∈ 1 2 0k k= = 1 2x x+ 2 3 π ( )f x x∈R ( 2) ( ) (1)f x f x f+ = − [2,3]x∈ 2( ) 2 12 18f x x x= − + − ( ) log ( 1)ay f x x= − + a 20, 2       30, 3       50, 5       60, 6       ( )f x 2 [2,3]x∈ 2( ) 2 12 18f x x x= − + − ( ) log ( 1)ag x x= + ( )f x ( )g x 3 (2) (2)g f> a ( )f x x∈R ( 2) ( ) (1)f x f x f+ = − 1, (1) ( 1) (1)x f f f= − = − − ( 1) (1), (1) )( 2) (0,f f x f xf f− = ∴ + == ( )f x∴ 2 [2,3]x∈ 2 2( ) 2 12 18 2( 3)f x x x x= − + − = − − 2[0,1], 2 [2,3], ( ) ( 2) 2( 1)x x f x f x x∈ + ∈ = + = − − 2[ 1,0], [0,1], ( ) ( ) 2( 1)x x f x f x x∈ − − ∈ = − = − + ( ), ( )f x g x函数 至少有三个零点， 则 的图像和 的图像至少有 个交点， ，若 ， 的图像和 的图像只有 1 个交点，不合题意， 所以 ， 的图像和 的图像至少有 个交点， 则有 ，即 ， . 故选:B. 【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考 的热点问题，属于中档题. 二、填空题（每小题 6 分共 24 分） 9.已知复数 z 满足(1＋i)z＝1＋ i(i 是虚数单位)，则|z|＝________. 【答案】 【解析】 z＝ ，|z|＝| |＝ ＝ ＝ . 10.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直 方图，若一个月以 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 个的天数为 ( ) log ( 1)ay f x x= − + ( )f x ( )g x 3 ( ) 0f x ≤ 1a > ( )f x ( )g x 0 1a< < ( )f x ( )g x 3 (2) (2)g f> log (2 1) (2) 2, log 3 2a af+ > = − ∴ > − 2 2 1 1 33, , 0 1, 03 3a a aa ∴ > < < < ∴ < > = ABC∆ 3AB AC= = D BC 6AB AD⋅ =  15 2AC AD⋅ =  AB AC⋅  9 2 A AB x ( ),D x y BAC θ∠ = A AB x设 ，则 ， ∵ ，记 ， ∴ ， ， ， 则 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 又 为边 上一点， ∴ ，则 ，即 ， 又 ， ∴ ∴ ，解得 ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于 中档题． 三、解答题（46 分） ( ),D x y ( ),AD x y= 3AB AC= = BAC θ∠ = ( )0,0A ( )3,0B ( )3cos ,3sinC θ θ ( )3,0AB =uuur ( )3cos ,3sinAC θ θ= 6AB AD⋅ =  15 2AC AD⋅ =  3 6x = 153 cos 3 sin 2x yθ θ+ = 2x = 52cos sin 2yθ θ+ = D BC //BD BC  ( )3cos 3 3sin 0yθ θ− + = ( )sin 1 cosyθ θ= − ( )0,θ π∈ sin 1 cosy θ θ= − 2sin2cos 1 cos θθ θ+ − 52cos 1 cos 2 θ θ= + + = 1cos 2 θ = 99cos 2AB AC θ⋅ = =  9 215.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 【解析】 分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 b= ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， 即 ，可得 ． 又因为 ，可得 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ， 有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a ( )g x 2 ( 1) 1( ) x a xg x x − + +′ = 1 2 1x x a+ = + 1 2 1=x x 2 1 1x x = 3 2a ≥ 1 10 2x< ≤ ( ) ( )1 2g x g x k− ≥ 1x k ( ) ln 1f x ax x= − − (0, )x∈ +∞ 1 1( ) axf x a x x ′ −= − = 0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > 1( ) 0f x x a ′ = ⇒ = ( )f x 10, a      1 ,a  +∞  综上所述：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）∵ ， , 由 得 ， ∴ ， ，∴ ∵ ∴ 解得 . ∴ . 设 ， 则 , ∴ 上单调递减； 当 时， . ∴ ，即所求 的取值范围为 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想， 求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数 研究单变量函数的性质. 在 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   21( ) ln ( 1)2g x x x a x= + − + 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x ax x − + +′ = + − + = ( ) 0g x′ = 2 ( 1) 1 0x a x− + + = 1 2 1x x a+ = + 1 2 1=x x 2 1 1x x = 3 2a ≥ 1 1 1 1 1 5 2 10 x x x x  + ≥  <