西藏2020届高三数学（理）第七次月考试题（Word版附答案）

2020 届高三第七次月考试 理科数学试题 （满分：150 分，考试时间：120 分钟。请将答案填写在答题卡上） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。） 1.已知集合 A.φ B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} 2. 已知复数 z=m+(m-1)i 在复平面所对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围 A.（0,1） B. C. D. 3.如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是 A． B． C． D． 4. A. B. C. D. 5.若 满足约束条件 则 的最大值为 A．10 B．8 C．5 D．3 6.已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． { } { } =∩          2 3 3 2 3 1log 2 24g g g − −     > >         23 32 3 12 2 log 4g g g −−     > >         2 3 3 2 3 12 2 log 4g g g − −     > >         3 3log (2 ) 1 loga b ab+ = + 4 2a b+ 8 3 16 3 17 33 ln( ) 3ln x a xf x ax x = − + − ( )1,+∞ a ( ,3) (3, )e +∞ [ )0,e ( )2 ,e +∞ ( , ) {3}e−∞  ( ) ( )2 2 1a x b x= = ， ， ， 3a b⋅ > 8y x= − AB 2 14 0x y− − = { }na n nS 2 8 718, 49a a S+ = = { }na ( )( ) 4 1 3n n n b a a = + + { }nb n nT 1 12 nT≤ < ABCD ACEF EF AC 2AB = 1CE EF= = 1 AF  BDE 2 CF ⊥ BDE（ ）在直线 上是否存在点 ，使得 平面 ？并说明理由． 20．设椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于 点 ， 圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 . (1)求椭圆 的方程. (2)设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 、 ，求证： 为定值. 21．已知函数 . （1）求函数 的最小值； （2）设函数 ，讨论函数 的零点个数. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红 心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型 曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲 线，其极坐标方程为 （ ），M 为该曲线上的任意一点. （1）当 时，求 M 点的极坐标. （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求 的最大值. 23．已知 ， ，不等式 恒成立. （1）求证: . （2）求证: . 3 CD M AM ⊥ BDE2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 O 2 2: 2C x y+ = x A O A C 2 2 C O P C M N MON∠ ( ) ( 2), ( ) lnxf x e x g x x x= − = − ( ) ( )y f x g x= + ( ) ( ) ( )h x f x ag x= − ( 0)a ≠ ( )h x 1 sinρ θ= − 0 2 , 0θ π ρ≤ < > 3 2OM = 2 π MN , ,a b c R+∈ x R∀ ∈ | 1| | 2 |x x a b c− − − ≤ + + 2 2 2 1 3a b c+ + ≥ 2 2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + + + + ≥参考答案 一、BAAC DDAB DBCA 二、13.（-3,1） 14.70 15. 16.2 三、 17．解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得 x=0.02． （2）中位数设为 m，则 0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得 m=75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为 a1，a2 满意度评分值在[70，80）内有 30 人，抽得样本为 3 人，记为 b1，b2，b3， 记“5 人中随机抽取 2 人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A， 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 10 个，A 包含的基本事件个数有（a1，a2），（b1， b2），（b1，b3），（b2，b3）共 4 个，利用古典概型概率公式可知 P（A）=0.4． 18．解：（1）设数列 的公差为 ，由 ，则 ， 又由 ， ， ， 2± { }na d 2 8 52 18a a a+ = = 5 9a = ( )1 7 7 4 7 7 492 a aS a += = = 4 7a = 5 4 2d a a∴ = − =又 所以 （2）由（Ⅰ）可知 数列 的前 项和为 由 ，所以 19．解：（ ）设 与 交于点 ， ∵ ， ， ， ∴ 四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （ ）连接 ， ∵ ， ， ， ∴ 平行四边形 为菱形， ∴ ， ∵ 四边形 为正方形， ∴ ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 4 1 3 7a a d= + = 1 1a = 2 1na n∴ = − ( ) 1 1nb n n = + 1 1 1n n = − + ∴ { }nb n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1nT n n        = − + − + − + + −       +        1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1n n = − + − + − + + − + 11 1n = − + 1 10 1 2n < ≤+ 1 1.2 nT≤ < 1 AC BD G EF AG 1EF = 1 12AG AC= = AGEF AF EG EG ⊂ BDE AF ⊄ BDE AF  BDE 2 FG EF CG 1EF CG= = 1CE = CEFG CF EG⊥ ABCD BD AC⊥ ACEF ⊥ ABCD ACEF ∩ ABCD AC=∴ 平面 ， ∴ ， 又 ， ∴ 平面 ． （ ）直线 上是否存在点 ．理由如下． 以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设平面 一个法向量为 ， 由 ，得 , 令 ，得 ， 设 ，则 ， 若 平面 ，则有 ， 但 ，即 与 平行不会成立， ∴ 不存在点 使得 平面 ． 20．解：(1)设椭圆的半焦距为 由椭圆的离心率为 ， 由题知 ， 椭圆的方程为 BD ⊥ ACEF CF BD⊥ BD EG G∩ = CF ⊥ BDE 3 CD M C CB CD CE x y z C xyz− ( )0,0,0C ( )2,0,0D ( )B 0, 2,0 ( )0,0,1E ( )2, 2,0A ( )2, 2,0BD = − ( )0 2,1BE = − ， ( )2,01DE = − ， BDE ( ), ,n x y z= · 2 2 0 · 2 0 n BD x y n DE x z  = − = = − + =   2 y x z x = = 1x = ( )1,1, 2n = ( )00, ,0M y ( )02, 2,0AM y= − − AM ⊥ BDE AM n    AM kn=  AM n M AM ⊥ BDE c 2 2 b c= 2a b= ∴ 2 2 2 2 12 x y b b + =易求得 ，点 在椭圆上， ，解得 ， 椭圆 的方程为 . (2)当过点 与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为 ， 由(1)知， ， ， ， ， 当过点 与圆 相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ， ， ，即 联立直线和椭圆的方程得 ， ， 得 ， 且 ， ( )2,0A ( )2, 2 2 2 2 2 12b b ∴ + = 2 26, 3a b= = ∴ C 2 2 16 3 x y+ = P O 2x = ( )2, 2M ( )2, 2N − ( )2, 2OM = ( )2, 2ON = − 0OM ON⋅ =  OM ON∴ ⊥ P O y kx m= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1 m k ∴ = + ( )2 22 1m k= + ( )22 2 6x kx m+ + = ( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m∴ + + + − = ( ) ( )( )2 24 2 4 1 2 2 6 0km k m∆ = − + − > 1 2 2 4 1 2 kmx x k + = − + 2 1 2 2 2 6 1 2 mx x k −= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,OM x y ON x y= =    1 2 1 2OM ON x x y y ∴ ⋅ = + ( )( )1 2 1 2x x kx m kx m= + + + ( ) ( )2 2 1 2 1 21 k x x km x x m= + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 6 41 1 2 1 2 m kmk km mk k − −= + + ⋅ ++ + ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 4 1 2 1 2 k m k m m k k + − − + + = +21．解：（1）令 ， 令 ， ， 所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， 所以 时， 取得极小值，也是最小值， 所以 ； （2） ，令 ， 的递减区间是 ，递增区间是 ， 所以 的极小值为 ，也是最小值， . 所以 ， 因为 ， 令 ， 令 ， 的递减区间是 ，递增区间是 ， 所以 的极小值为 ，也是最小值， 所以 ， 所以 的递减区间是 ，递增区间是 ， ( )2 22 2 2 2 3 2 2 6 63 6 6 01 2 1 2 k km k k k + − −− −= = =+ + OM ON∴ ⊥  ( ) ( ) ( )x f x g xϕ = + 1 1( ) e ( 1) 1 ( 1) ex xx x xx x ϕ    ′ = − + − = − +       ( ) 0, 1x xϕ′ = = ( ) 0, 1, ( ) 0,0 1x x x xϕ ϕ′ ′> > < < < ( )xϕ (1, )+∞ (0,1) 1x = ( )xϕ min( ) (1) 1 exϕ ϕ= = − 1 1( ) 1 xg x x x −′ = − = ( ) 0, 1g x x′ = = ( ) 0,0 1, ( ) 0, 1g x x g x x′ ′< < < > > ( )g x (0,1) (1, )+∞ ( )g x (1)g ( ) (1) 1 0g x g≥ = > ( ) 0h x = e ( 2) ( )ln x xa s xx x −⇔ = =− 2 2( 1) ln 1 ( ) ( ln ) xe x x x xs x x x  − − − +  ′ = − 2( ) ln 1k x x x x = − − + 2 ( 1)( 2)( ) x xk x x + −′⇒ = ( ) 0, 2k x x′ = = ( ) 0,0 2, ( ) 0, 2k x x k x x′ ′< < < > > ( )k x (0,2) (2, )+∞ ( )k x (2)k ( ) (2) 2 ln 2 0k x k≥ = − > ( )s x (0,1) (1, )+∞又因为 ，且 ， 所以，当 时， 有 0 个零点； 当 或 时， 有 1 个零点； 当 时， 有 2 个零点. 22．解：（1）设点 M 在极坐标系中的坐标 ， 由 ，得 ， ∵ ∴ 或 ， 所以点 M 的极坐标为 或 （2）由题意可设 ， . 由 ，得 ， . 故 时， 的最大值为 . 23．解：（1）∵ ，∴ . ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立. 0 ,x +→ ( ) 0,s x → ,x → +∞ ( )s x → +∞ (1) es = − ea < − ( )h x a e= − 0a > ( )h x e 0a− < < ( )h x 3 ,2 θ     1 sinρ θ= − 3 1 sin2 θ= − 1sin 2 θ = − 0 2θ π≤ < 7 6 θ π= 11 6 πθ = 3 7,2 6 π     3 11,2 6 π     ( )1,M ρ θ 2 , 2N πρ θ +   1 sinρ θ= − 1 1 sinρ θ= − 2 1 sin 1 cos2 πρ θ θ = − + = −   ( ) ( )2 22 2 1 2 1 sin 1 cos= + = − + −M ρ ρ θ θN ( )3 2 sin cosθ θ= − + 3 2 2 sin 4 πθ = − +   5 4 πθ = MN 2 1+ | 1| | 2 | | 1 2 | 1x x x x− − − ≤ − − + = 1a b c+ + ≥ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2c a ac+ ≥ 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ac≥+ + + + 2 2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2 ( ) 1a b c a b c ab bc ac a b c+ + ≥ + + + + + = + + ≥ 2 2 2 1 3a b c+ + ≥ cba ==（2）∵ ， ， 即 两边开平方得 . 同理可得 ， . 三式相加，得 . 2 2 2a b ab+ ≥ ( )2 2 2 2 22 2 ( )a b a ab b a b+ ≥ + + = + 2 2 2 ( ) 2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 2| | ( )2 2a b a b a b+ ≥ + = + 2 2 2 ( )2b c b c+ ≥ + 2 2 2 ( )2c a c a+ ≥ + 2 2 2 2 2 2 2( ) 2a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + ≥