2020 届高三第七次月考试
文科数学试题
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。）
1.已知集合
A.φ B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3}
2. 已知复数 z=m+(m-1)i 在复平面所对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围
A.（0,1） B. C. D.
3.已知点 在抛物线 C: ( )上,点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是
A．4 B．3 C．2 D．1
4.
A. B. C. D.
5.若 满足约束条件 则 的最大值为
A．10 B．8 C．5 D．3
6.已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
8.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于π的级数展开式,
该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家
明安图(1692 年-1765 年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时
{ } { } =∩
== αα 2sin,2
1tan 则
5
4−
5
3−
5
4
5
3
,x y 0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤ ， 2z x y= +
ABC sin cosA B= ABC
32 4 13+ 32 2 13+
22 2 21 4 13+ + 22 2 21 2 13+ +近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个
新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图
可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中 P 表示π的近似值),若输入
,则输出的结果是
A． B．
C． D．
9.已知函数 f(x)＝x2ex，当 x∈[－1，1]时，不等式 f(x) >
2 3
3 2
3
1log 2 24g g g
− − > >
23
32
3
12 2 log 4g g g
−− > >
2 3
3 2
3
12 2 log 4g g g
− − > >
3 3log (2 ) 1 loga b ab+ = + 4 2a b+
8
3
16
3
17
33 ln( ) 3ln
x a xf x ax x
= − + − ( )1,+∞ a
( ,3) (3, )e +∞ [ )0,e ( )2 ,e +∞ ( , ) {3}e−∞
( ) ( )2 2 1a x b x= = ， ， ， 3a b⋅ > 8y x= −
AB 2 14 0x y− − =三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。
17．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了 100
位同学进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），
[50，60），[60，70），…，[90，100]分成 6 组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中 x 的值.
（2）求这组数据的中位数.
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取 5 人进行
座谈了解，再从这 5 人中随机抽取 2 人作主题发言，求抽取的 2 人恰在同一组的概率．
18．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
（1）求数列 的通项公式.
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
19．如图，正方形 和四边形 所在的平面互相垂
直． ， ， ．
（ ）求证： 平面 ．
（ ）求证： 平面 ．
20．设椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于
点 ， 圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求椭圆 的方程.
{ }na n nS 2 8 718, 49a a S+ = =
{ }na
( )( )
4
1 3n
n n
b a a
= + + { }nb n nT 1 12 nT≤ <
ABCD ACEF
EF AC 2AB = 1CE EF= =
1 AF BDE
2 CF ⊥ BDE2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2
O 2 2: 2C x y+ = x
A O A C 2 2
C（2）设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 、 ，求证： 为定值.
21．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间.
（2）求证：当 时， .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国
的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，
如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是
笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 （ ），M 为该曲线上的任意
一点.
（1）当 时，求 M 点的极坐标.
（2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求 的最大值.
23．已知 ， ，不等式 恒成立.
（1）求证: .
（2）求证: .
参考答案
一、BAAC DDAB DBCA
O P C M N MON∠
2( ) 2lnf x x x= −
( )f x
2x > ( ) 3 4f x x> −
1 sinρ θ= − 0 2 , 0θ π ρ≤ < >
3
2OM =
2
π MN
, ,a b c R+∈ x R∀ ∈ | 1| | 2 |x x a b c− − − ≤ + +
2 2 2 1
3a b c+ + ≥
2 2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + + + + ≥二、13.（-3,1） 14.1 15. 16.2
三、
17．解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得 x=0.02．
（2）中位数设为 m，则 0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得 m=75．
（3）可得满意度评分值在[60，70）内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为 a1，a2
满意度评分值在[70，80）内有 30 人，抽得样本为 3 人，记为 b1，b2，b3，
记“5 人中随机抽取 2 人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A，
基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），
（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 10 个，A 包含的基本事件个数有（a1，a2），
（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 4 个，利用古典概型概率公式可知 P（A）=0.4．
18．解：（1）设数列 的公差为 ，由 ，则 ，
又由 ， ，
，
又
所以
（2）由（Ⅰ）可知
数列 的前 项和为
由 ，所以
19．解：（ ）设 与 交于点 ，
2±
{ }na d 2 8 52 18a a a+ = = 5 9a =
( )1 7
7 4
7 7 492
a aS a
+= = = 4 7a =
5 4 2d a a∴ = − =
4 1 3 7a a d= + =
1 1a =
2 1na n∴ = −
( )
1
1nb n n
= +
1 1
1n n
= − +
∴ { }nb n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1nT n n
= − + − + − + + − +
1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1n n
= − + − + − + + − +
11 1n
= − +
1 10 1 2n
< ≤+
1 1.2 nT≤ <
1 AC BD G∵ ， ， ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ ）连接 ，
∵ ， ， ，
∴ 平行四边形 为菱形，
∴ ，
∵ 四边形 为正方形，
∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ ，
又 ，
∴ 平面 ．
20．解：(1)设椭圆的半焦距为 由椭圆的离心率为 ，
由题知 ，
椭圆的方程为
易求得 ，点 在椭圆上，
EF AG 1EF = 1 12AG AC= =
AGEF
AF EG
EG ⊂ BDE AF ⊄ BDE
AF BDE
2 FG
EF CG 1EF CG= = 1CE =
CEFG
CF EG⊥
ABCD
BD AC⊥
ACEF ⊥ ABCD ACEF ∩ ABCD AC=
BD ⊥ ACEF
CF BD⊥
BD EG G∩ =
CF ⊥ BDE
c 2
2
b c= 2a b=
∴ 2 2
2 2 12
x y
b b
+ =
( )2,0A ( )2, 2，解得 ，
椭圆 的方程为 .
(2)当过点 与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为 ，
由(1)知， ， ，
， ，
当过点 与圆 相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ， ，
，即
联立直线和椭圆的方程得 ，
，
得 ，
且 ，
21．解：(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
2 2
2 2 12b b
∴ + = 2 26, 3a b= =
∴ C
2 2
16 3
x y+ =
P O 2x =
( )2, 2M ( )2, 2N −
( )2, 2OM = ( )2, 2ON = − 0OM ON⋅ =
OM ON∴ ⊥
P O y kx m= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2
2
1
m
k
∴ =
+
( )2 22 1m k= +
( )22 2 6x kx m+ + =
( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m∴ + + + − =
( ) ( )( )2 24 2 4 1 2 2 6 0km k m∆ = − + − >
1 2 2
4
1 2
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 6
1 2
mx x k
−= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,OM x y ON x y= =
1 2 1 2OM ON x x y y ∴ ⋅ = + ( )( )1 2 1 2x x kx m kx m= + + +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 k x x km x x m= + + + +
( ) 2
2 2
2 2
2 6 41 1 2 1 2
m kmk km mk k
− −= + + ⋅ ++ +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2
2
1 2 6 4 1 2
1 2
k m k m m k
k
+ − − + +
= +
( )2 22 2
2 2
3 2 2 6 63 6 6 01 2 1 2
k km k
k k
+ − −− −= = =+ +
OM ON∴ ⊥ ∵f′(x)＝2x-2 = ，
由 f′(x)>0， 得 x>1; 由 f′(x)g(2)＝4-2ln2-6+4>0，
∴当 x>2 时， x2-2lnx>3x-4,
即当 x>2 时 .
22．解：（1）设点 M 在极坐标系中的坐标 ，
由 ，得 ，
∵
∴ 或 ，
所以点 M 的极坐标为 或
（2）由题意可设 ， .
由 ，得 ， .
故 时， 的最大值为 .
2( 1)( 1)x x
x
+ −
22 3 2 (2 1)( 2)x x x x
x x
− − + −=
( ) 3 4f x x> −
3 ,2
θ
1 sinρ θ= − 3 1 sin2
θ= − 1sin 2
θ = −
0 2θ π≤ <
7
6
θ π= 11
6
πθ =
3 7,2 6
π
3 11,2 6
π
( )1,M ρ θ 2 , 2N
πρ θ +
1 sinρ θ= − 1 1 sinρ θ= − 2 1 sin 1 cos2
πρ θ θ = − + = −
( ) ( )2 22 2
1 2 1 sin 1 cos= + = − + −M ρ ρ θ θN
( )3 2 sin cosθ θ= − +
3 2 2 sin 4
πθ = − +
5
4
πθ = MN 2 1+23．解：（1）∵ ，∴ .
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
（2）∵ ， ，
即 两边开平方得 .
同理可得 ， .
三式相加，得 .
| 1| | 2 | | 1 2 | 1x x x x− − − ≤ − − + = 1a b c+ + ≥
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2c a ac+ ≥
2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ac≥+ + + +
2 2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2 ( ) 1a b c a b c ab bc ac a b c+ + ≥ + + + + + = + + ≥
2 2 2 1
3a b c+ + ≥ cba ==
2 2 2a b ab+ ≥ ( )2 2 2 2 22 2 ( )a b a ab b a b+ ≥ + + = +
2
2 2 ( )
2
a ba b
++ ≥ 2 2 2 2| | ( )2 2a b a b a b+ ≥ + = +
2 2 2 ( )2b c b c+ ≥ + 2 2 2 ( )2c a c a+ ≥ +
2 2 2 2 2 2 2( ) 2a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + ≥
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