浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题（Word版附解析）

浙江省 2020 年 1 月普通高校学业水平考试数学试题 一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分.每小题列出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的并集运算,即可求解. 【详解】因为集合 , 由集合的并集定义可知 故选:D 【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】由诱导公式可知 故选:A 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3. （ ） { }1,2,4A = { }2,4,6B = A B = { }4 { }1,6 { }2,4 { }1,2,4,6 { }1,2,4A = { }2,4,6B = { }1,2,4,6A B = ( )tan aπ − = tan a− tan a tan a± 1 tan a ( )tan aπ − tan a= − 6 6log 2 log 3+ = A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知 故选:B 【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4.圆 的半径是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 分析】 将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆 化为标准方程可得 所以圆的半径为 3 故选:B 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5.不等式 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【 6log 5 12log 5 6 6log 2 log 3+ ( )6log 2 3= × 6log 6 1= = 2 2 2 8 0x y x+ + − = 2 2 2 8 0x y x+ + − = ( )2 21 9x y+ + = 1 2x − < { }1 3x x− < < { }1 3x x< < { 1x x < − }3x > { 1x x < }3x > 【解析】 【分析】 根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】不等式 当 时,不等式可化为 ,即 .所以 当 时,不等式可化为 ,即 .所以 综上可知,不等式的解集为 ,即 故选:A 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题. 6.椭圆 的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得 .再根据椭圆中 的关系即可求得 焦点坐标. 【详解】椭圆 所以为焦点在 轴上,且 由椭圆中 可得 因而 所以焦点坐标为 , 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中 的关系及焦点坐标求法,属于 1 2x − < 1x ≥ 1 2x − < 3x < 1 3x≤ < 1x < 1 2x− < 1 x− < 1 1x− < < 1 3x- < < { }1 3x x− < < 2 2 125 9 x y+ = ( )5,0− ( )5,0 ( )0, 5− ( )0,5 ( )4,0− ( )4,0 ( )0, 4− ( )0,4 ,a b a b c、 、 2 2 125 9 x y+ = x 2 225, 9a b= = 2 2 2a b c= + 2 2 2 25 9 16c a b= − = − = 4c = ( )4,0− ( )4,0 a b c、 、 基础题. 7.若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 分析】 根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示: 将 平移即可得目标函数 因而当经过点 时,目标函数的截距最大 此时 所以 的最大值是 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题. 8.已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线（ ） A. 只有一条，不在平面 内 B. 只有一条，且在平面 内 C. 有无数条，一定在平面 内 D. 有无数条，不一定在平面 内 【答案】B 【解析】 【 【 x y 0, 0, 2, x x y x y ≥  − ≤  + ≤ 2x y+ 1 2y x= − 1 2 2 zy x= − + ( )0,2A 2 0 2 2 4z x y= + = + × = 2x y+ 4 l α / /l α P α∈ P l α α α α 【分析】 假设 m 是过点 P 且平行于 l 的直线， n 也是过点 P 且平行于 l 的直线，则与平行公理得出的 结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n，则 m∥l 且 n∥l 由平行公理得 m∥n，这与两条直线 m 与 n 相交与点 P 相矛盾， 故过点 且平行于 的直线只有一条， 又因为点 P 在平面内，所以过点 P 且平行于 l 的直线只有一条且在平面内． 故选 B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关 系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 9.过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般 式可得解. 【详解】因为直线 可化为 当直线垂直时的斜率乘积为 1,所以 因为经过点 由点斜式可知直线方程为 化简可得 故选:D 【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于 基础题. 10.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， 则 P l ( )3, 1A − 2 3 0x y+ − = 2 1 0x y+ + = 2 1 0x y+ − = 2 7 0x y− + = 2 7 0x y− − = 2 3 0x y+ − = 1 3 2 2y x= − + 2k = ( )3, 1A − ( )1 2 3y x+ = − 2 7 0x y− − = ABC∆ A B C a b c 60A = ° 45B = ° 3a = （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理,即可求得 的值. 【详解】在 中, 角 , , 所对的边分别是 , , 若 , , 由正弦定理可知 代入可得 解得 故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题. 11.函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 b = 3 6 b ABC∆ A B C a b c 60A = ° 45B = ° 3a = sin sin a b A B = 3 sin 60 sin 45 b=   6b = ( ) sinf x x x= ⋅ 根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 【详解】因为 而 为偶函数, 为奇函数,所以 为奇函数,所以排除 C,D. 当 时, , ,所以 ,所以排除 B 选项. 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排 除选项,属于基础题. 12.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示: ( ) sinf x x x= ⋅ ( )g x x= ( ) sinh x x= ( ) sinf x x x= ⋅ 0.001x = ( )0.001 0.001 0.001 0g = = > ( )0.001 sin 0.001 0h = > ( )0.001 0.001 sin 0.001 0f = ⋅ > cm 3cm 1 3 2 3 则由三视图中的线段长度可知 则 故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基 础题. 13.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为 当 时, ,所以 .即“ ”是“ ”的充分条 件. 当 时,由于 成立,所以 ,即“ ”是“ ” 的必要条件. 1 2 1 12ABCS∆ = × × = 1 21 23 3P ABCV − = × × = ,a b∈R 0a b+ > 3 3 0a b+ > ( )( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 3 2 4 b ba b a b a ab b a b a   + = + − + = + − +      0a b+ > 2 23 02 4 b ba − + >   3 3 0a b+ > 0a b+ > 3 3 0a b+ > 3 3 0a b+ > 2 23 02 4 b ba − + >   0a b+ > 0a b+ > 3 3 0a b+ > 综上可知, “ ”是“ ”的充要条件 故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题. 14.设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点.若双曲线上存在一点 ，使得 ，且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义及 ,用 表示出 ,再在三角形 中由余弦定理 求得 的关系,进而求得离心率. 【详解】 , 分别是双曲线 左、右焦点,且双曲线上的点 满足 所以 ,解得 因为 , 所以在三角形 中由余弦定理可得 ,代入可得 化简可得 ,即 所以 的 0a b+ > 3 3 0a b+ > 1F 2F ( )2 2 2 2 1 , 0x y a ba b − = > P 1 24PF PF= 1 2 60F PF∠ = ° 13 5 13 3 21 5 21 3 1 24PF PF= a 1 2PF PF、 1 2F PF a c、 1F 2F ( )2 2 2 2 1 , 0x y a ba b − = > P 1 24PF PF= 1 2 1 2 2 4 PF PF a PF PF  − = = 1 2 8 3 2 3 aPF aPF  =  = 1 2 60F PF∠ = ° 1 2 2F F c= 1 2F PF 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosF F PF PF PF PF F PF= + − ⋅ ∠ 2 2 2 264 4 8 2 14 9 9 3 3 2 a ac a a= ×× ×+ − 2 29 13c a= 22 2 13 9 ce a = = 13 3e = 故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题. 15.点 P 从 O 出发, 按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周, 点 O 、P 的距离（ ）与点 P 走 过的路程( )的函数关系如图所示.那么点 P 所走过的图形是图中的( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点 P 走过的路程为 时，OP 不是最大值(过点 P 作 OP 的垂线交椭圆于点 P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中 , 其图像如图.选 C. 16.设数列 满足 ， ， ， ，则满足 的 的最大值是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数列 满足的条件,讨论 n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可 求得满足条件的 的最大值. 【详解】数列 满足 , , l y x 2 lx = πsinπ l xy l = { }na 1 1a = 2 2 1 2n na a −= + 2 1 2 1n na a+ = − *n N∈ 4na n− ≤ n { }na n { }na 1 1a = 2 2 1 2n na a −= + 2 1 2 1n na a+ = − 2 3a = 则 则当 奇数时, 所以 ,代入可得 ,解不等式可得 而 ,所以此时 的最大值是 9 则当 偶数时, 所以若 ,代入可得 ,解不等式可得 而 ,所以此时 的最大值是 12 综上可知, 的最大值是 12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的 解法,属于中档题. 17.设点 ， 的坐标分别为 ， ， ， 分别是曲线 和 上的动 点，记 ， .（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 【详解】根据题意,在直线 上取 ,且 .过 分别作直线 的垂线,交 曲线 于 和交 于 .在曲线 上取点 ,使 .如下图 所示: 2 1 2 1 1n na a+ −− = n∈ 1 2n na += 4na n− ≤ 1 42 n n + − ≤ 7 9n− ≤ ≤ *n N∈ n n∈ 2 2n na = + 4na n− ≤ 2 42 n n+ − ≤ 4 12n− ≤ ≤ *n N∈ n n A B ( )0,1 ( )1,0 P Q 2xy = 2logy x= 1I AQ AB= ⋅  2I BP BA= ⋅  1 2I I= ( )PQ AB Rλ λ= ∈  1 2I I= AP BQ=  ( )PQ AB Rλ λ= ∈  1 2I I= AP BQ=  1 2I I= AB ', 'P Q ' 'AP BQ= ', 'P Q AB 2xy = 1 2,P P 2logy x= 1 2,Q Q 2xy = 3P 1 3AP AP= 若 ,则 若 ,则 即可.此时 可以与 重合, 与 重合,满足题意,但是 不成立,且 所以 A、B 错误; 对于 C,若 ,则 ,此时必有 与 对应(或 与 ),所以满足 ,所以 C 正确; 对于 D,对于点 ,满足 ,但此时 在直线 上的投影不在 处,因而不满足 ,即 ,所以 D 错误 综上可知,C 为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性 强,较为复杂,属于难题. 18.如图，在圆锥 中， ， 是 上的动点， 是 的直径， ， 是 的两 个三等分点， ，记二面角 ， 的平面角分别 为 ， ，若 ，则 的最大值是（ ） 1 cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB= ⋅ = ⋅ ∠ = ⋅      2 cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA= ⋅ = ⋅ ∠ = ⋅      ' 'AP BQ= ' 'AQ BP= 1 2I I= ' 'AQ BP= P 1P Q 2Q ( )PQ AB Rλ λ= ∈  AP BQ≠  ( )PQ AB Rλ λ= ∈  PQ AB ∥ 1P 1Q 2P 2Q 1 2I I= 3P 1 3AP AP= 3P AB P' ' 'AQ BP= 1 2I I≠ SO A B O BB′ O M N SB ( )0AOB θ θ π∠ = < < N OA B− − M AB B′− − α β α β≤ θ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设底面圆的半径为 , ,以 所在直线为 轴,以垂直于 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角 与 夹角的余弦值.结合 即可求得 的取值范围,即可得 的最大值. 【详解】设底面圆的半径为 , ,以 所在直线为 轴,以垂直于 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,如下图所示: 则由 可得 , , 是 的两个三等分点 则 5 6 π 2 3 π 2 π 4 π r OS a= 'B B x 'B B y OS z N OA B− − M AB B′− − α β≤ θ θ r OS a= 'B B x 'B B y OS z ( )0AOB θ θ π∠ = < < ( ) ( ) ( )0,0,0 , ,0,0 , 0,0,O B r S a ( ) ( )cos , sin ,0 , ' ,0,0A r r B rθ θ − M N SB 2 2,0, , ,0,3 3 3 3 r a r aM N           所以 设平面 的法向量为 则 ,代入可得 化简可得 令 ,解得 所以 平面 的法向量为 由图可知, 二面角 的平面角 为锐二面角,所以二面角 的平面角 满 足 设二面角 的法向量为 则 代入可得 化简可得 令 ,解得 ( ) 2cos , sin ,0 , ,0,3 3 r aOA r r ONθ θ  = =      NOA ( )1 1 1, ,m x y z= 0 0 m OA m ON  ⋅ =  ⋅ =   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 , , cos , sin ,0 0 2, , ,0, 03 3 x y z r r r ax y z θ θ ⋅ =   ⋅ =    1 1 1 1 cos sin 0 2 03 3 x r y r x r az θ θ+ = + = 1 1x = 1 1 cos 2,sin ry z a θ θ= − = − cos 21, ,sin rm a θ θ  = − −    OAB ( )0,0,1n = N OA B− − α N OA B− − α 2 2 2 2 2 cos cos 41 sin r m n a m n r a α θ θ −⋅= = ⋅ + +     M AB B′− − ( )2 2 2, ,k x y z= ( ) 2' cos , sin ,0 , cos , sin ,3 3 r aB A r r r AM r rθ θ θ θ = + = − −     ' 0 0 k B A k AM  ⋅ =  ⋅ =   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , , cos , sin ,0 0 2, , cos , sin , 03 3 x y z r r r r ax y z r r θ θ θ θ  ⋅ + =   ⋅ − − =    2 2 2 2 2 2 2 cos sin 0 2cos sin 03 3 x r x r y r x r azx r y r θ θ θ θ + + = − − + = 2 1x = 2 2 1 cos 2,sin ry z a θ θ − −= = − 所以 平面 的法向量为 由图可知, 二面角 的平面角 为锐二面角,所以二面角 的平面角 满足 由二面角的范围可知 结合余弦函数的图像与性质可知 即 化简可得 ,且 所以 所以 的最大值是 故选:B 【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角 坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分） 19.设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ______， ______. 【答案】 (1). 1 (2). 15 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式,可求得 与 .再求得 ,即可求得 的值. 1 cos 21, ,sin rk a θ θ − − = −    AB B′ ( )0,0,1h = M AB B′− − β M AB B′− − β 2 2 2 2 cos 1 cos 41 sin r k h a k h r a β θ θ −⋅= = ⋅ − − + +       0 α β π≤ ≤ ≤ cos cosα β≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 4 1 cos 41 1sin sin r r a a r r a a θ θ θ θ − − ≥ − − + + + +   1cos 2 θ ≤ − 0 θ π< < 20 3 πθ< ≤ θ 2 3 π { }na n ( )* nS n N∈ 2 2a = 3 4a = 1a = 4S = 1a q 4a 4S 【详解】因为数列 为等比数列,由等比数列的通项公式可知 而 , 所以 ,解方程组可得 所以 所以 故答案为: ; 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前 n 项和的求法,属于基础题. 20.设 ， 分别是平面 ， 的法向量， ， .若 ，则实数 ______. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数 m 的值. 【详解】因为 ,且 , 分别是平面 , 的法向量 则 因为 , 所以存在 ,满足 则 即 解得 所以 故答案为: { }na 1 1 n na a q −= 2 2a = 3 4a = 2 1 2 3 1 2 4 a a q a a q = =  = = 1 1 2 a q =  = 3 3 4 1 1 2 8a a q= = × = 4 1 2 3 4+ + +S a a a a= 1 2 4 8 15= + + + = 1 15 u v a β ( )1,2, 2u = − ( )2, 4,v m= − − a β∥ m = a β∥ u v a β u v ∥ ( )1,2, 2u = − ( )2, 4,v m= − − λ u vλ=  ( ) ( )1,2, 2 2, 4,mλ− = − − 1 2 2 4 2 m λ λ λ = −  = − − = 1 2 4m λ = −  = 4m = 4 【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题. 21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体. 如图，在直角 中， 为斜边 上的高， ， ，现将 沿 翻 折 ，使得四面体 为一个鳖臑，则直线 与平面 所成角的余弦值是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 作 于交 于 ,可证明 平面 ,则 即为 与平面 的夹角.根据线段关系即可求解. 【详解】作 于交 于 因为 且 所以 平面 而 平面 所以平面 平面 又因为平面 平面 ,且 所以 平面 则 即为 与平面 的夹角 因为直角 中, , ABC∆ AD BC 3AB = 4AC = ABD∆ AD AB D′∆ AB CD′ B D′ ADC 9 16 'B M CD⊥ CD M 'B M ⊥ ACD 'B DM∠ B D′ ADC 'B M CD⊥ CD M , 'AD CD AD DD⊥ ⊥ 'CD DD D∩ = AD ⊥ 'DB C AD ⊂ ACD ACD ⊥ 'DB C ACD  'DB C DC= 'B M CD⊥ 'B M ⊥ ACD 'B DM∠ B D′ ADC ABC∆ 3AB = 4AC = 所以 则 所以 在直角三角形 中, 故答案 : 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间 想象能力和计算能力要求较高,属于中档题. 22.已知函数 ，若存在 ，使得 在 上恰有两个零点， 则实数 的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数 存在 在 上恰有两个零点,则求得当 时满足条件的 .再由当 时取到零点,即可求得 的值. 【详解】因为函数 , 在 上恰有两个零点 则必在 与 时恰好取到零点的边界 若 时, 的零点满足 解方程求得 或 当 时, ,满足 在 上恰有两个零点 则 ,且 解方程可得 (舍)或 (舍) 当 时, ,满足 在 上恰有两个零点 为 2 2 9 16 5BC AB AC= + = + = 3 4 12 5 5 AB ACAD BC × ×= = = 2 2 2 2 12 164 5 5DC AC AD  = − = − =   16 9' 5 5 5DB BC DC= − = − = 'B DC 9 ' 95cos ' cos ' 16 16 5 DBB DM B DC DC ∠ = ∠ = = = 9 16 ( ) 2 2 6f x x ax= + − − a R∈ ( )f x [ ]2,b b 2 2 3+ ( )f x a R∈ [ ]2,b 2x = a x b= b ( ) 2 2 6f x x ax= + − − ( )f x [ ]2,b 2x = x b= 2x = ( )f x ( ) 22 2 2 2 6 0f a= + − − = 2a = 4a = − 2a = ( ) 2 2 2 6f x x x= + − − ( )f x [ ]2,b ( ) 2 2 2 6 0f b b b= + − − = 2b > 2b = 4b = − 4a = − ( ) 2 4 2 6f x x x= − − − ( )f x [ ]2,b 则 ,且 解方程可得 (舍)或 综上可知,当 时满足 在 上恰有两个零点 故答案为: 【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取 等时能刚好取得,属于中档题. 三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分） 23.已知函数 ， （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最小正周期； （Ⅲ）求 在 上的值域. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将 代入解析式,即可求得 的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得 的最小正周期. （Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得 在 上的值域. 【详解】（Ⅰ） 即 ( ) 2 4 2 6 0f b b b= − − − = 2b > 2 2 3b = − 2 2 3b = + 2 2 3b = + ( )f x [ ]2,b 2 2 3+ ( ) 2sin cos6 6f x x x π π   = − −       x∈R 3f π     ( )f x ( )f x 0, 2 π     3 3 2f π  =   π 3 ,12  −    3 π 3f π     ( )f x ( )f x 0, 2 π     2sin cos3 3 6 3 6f π π π π π     = − −           1 3 32sin cos 26 6 2 2 2 π π= = × × = 3 3 2f π  =   （Ⅱ）因 故 的最小正周期 （Ⅲ）当 时, 因此当 ,即 时, 当 ,即 时, 所以 在 上的值域为 . 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题. 24.如图，设抛物线 与 的公共点 的横坐标为 ，过 且与 相切的直线交 于另一点 ，过 且与 相切的直线交 于另一点 ，记 为 的面积. （Ⅰ）求 的值（用 表示）； （Ⅱ）若 ，求 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直 线与抛物线相切. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 ( ) sin 2 sin 26 3f x x x π π   = − = −       ( )f x 2 2T π π= = 0, 2x π ∈   22 ,3 3 3x π π π − ∈ −   2 3 3x π π− = − 0x = ( ) 3 2minf x = − 2 3 2x π π− = 5 12x π= ( )max 1f x = ( )f x 0, 2 π     3 ,12  −    2 1C x y= ( )2 2 : 2 0C y px p= > M ( )0t t > M 1C 2C A M 2C 1C B S MBA∆ p t 1 ,24S  ∈   t 3 2 tp = 2 4,3 3t  ∈   【分析】 （Ⅰ）将 的横坐标为 代入抛物线 解析式可得 ,再代入抛物线 解析式,化简即 可用 表示 的值. （Ⅱ）设出点 的坐标,结合 M 的坐标即可表示出直线 的方程.联立抛物线 ,根据相切时 判别式 可得 ,表示出直线 的方程.利用两点式表示出直线 的斜率,即可用 表 示出点 的坐标.同理可求得 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出 ,利用点到直线 距离公式求得 到直线 的距离,即可表示出 的面积 .结合 的取值范围,即可求得 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因点 在抛物线 : 上,故 又点 在抛物线 ： 上,故 , 则 （Ⅱ）设点 ,直线 的方程为 联立方程组 消去 ,得 则 因此 即直线 的方程为 则直线 的斜率 从而 ,即 同理,直线 的方程为 ,点 因此 M t 1C ( )2,M t t 2C t p A MA 1C 0∆ = 2k t= MA MA t A B MB A MB MBA∆ S S t M 1C 2x y= ( )( )2, 0M t t t > M 2C ( )2 2 0y px p= > ( )22 2t pt= 3 2 tp = ( )1 1,A x y MA ( ) 2y k x t t= − + 2 2 ( ) , , y k x t t x y  = − +  = y 2 2 0x kx kt t− + − = ( ) ( )22 24 2 0k kt t k t∆ = − − = − = 2k t= MA 22y tx t= − MA 2 2 3 1 1 2 2 11 1 3 2y t y t tk tyx t y ttt − −= = = =− +− 2 1 2 ty = − 2 ,4 2 t tA  −   MB 2 2 2 t ty x= + 2 ,2 4 t tB  −   2 231 12 2 2 4 t t t tMB t = + − − = +   点 到直线 ： 的距离 故 的面积 即 因为 即 解得 . 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两 点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 25.设 ，函数 ， ， . （I）若 为偶函数，求 的值； （Ⅱ）当 时，若 在 上均单调递增，求 的取值范围； （Ⅲ）设 ，若对任意 ，都有 ，求 的最大值. 【答案】（I） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）－15. 【解析】 【分析】 （I）由题意函数为偶函数，运用偶函数定义求出 的值 2 ,4 2 t tA  −   MB 2 02 2 t tx y− + = 2 2 2 2 2 9 2 4 2 2 8 11 42 t t t t t d tt  ⋅ − − +  = =   ++   MBA∆ 2 2 3 2 9 1 1 3 27812 2 2 4 32 14 t t t tS MB d t = = ⋅ + ⋅ = + 327 32 tS = 1 ,24S  ∈   31 27 24 32 t≤ ≤ 2 4,3 3t  ∈   ,a b∈R 2( ) 3f x ax bx= + − ( ) | |g x x a= − x∈R ( )f x b 1 2b = − ( ), ( )f x g x [1, )+∞ a [1,3]a ∈ [1,3]x∈ ( ) ( ) 0f x g x+ ≤ 2 6a b+ 0b = 1 14 a  b （Ⅱ）代入 ，求出满足题意的条件，得到不等式组，即可求出结果 （Ⅲ）由题意化简 ，去绝对值后转化为恒成立问题，求解满足条件的不等式， 继而求出 的最大值 【详解】（Ⅰ）若 为偶函数，则对任意 ，都有 ， 即 亦即 ， 则 ； （Ⅱ）由题意，得 ，其中 ， 则 ； （Ⅲ）对任意 ， 恒成立等价于对任意 ， 恒成立，且 恒成立， 即 恒成立，且 恒成立. 分别令函数 ， ， 注意到 ，故对任意 ， 与 恒成立的充要条件是 即 1 2b = − ( ) ( ) 0f x g x+ ≤ 2 6a b+ ( )f x x∈R ( ) ( )f x f x− = 2 23 3ax bx ax bx− − = + − 0bx = 0b = 0, 1,2 1, a b a a > − ≤    1 2b = − 1 14 a  [ ]1,3x∈ ( ) ( ) 0f x g x+  [ ]1,3x∈ ( )2 3 0ax bx x a+ − + −  ( )2 3 0ax bx x a+ − − −  ( )2 1 3 0ax b x a+ + − − ≤ ( )2 1 3 0ax b x a+ − + − ≤ ( ) ( )2 1 3F x ax b x a= + + − − ( ) ( )2 1 3G x ax b x a= + − + − 0a > [ ]1,3x∈ ( ) 0F x  ( ) 0G x  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0, 3 0, 1 0, 3 0, F F G G         2 0, 8 3 0, 2 4 0, 10 3 6 0, b a b a b a b −  + + −  + −     亦即 因 ，故 ， 因此 . 从而 ， 即 ， 当且仅当 ， 时，等号成立， 所以 最大值是－15. 【点睛】本题考查了运用函数的奇偶性定义求参量的值，运用函数单调性求参量的值以及运 用不等式问题求解最值，考查了转化的思想，需要熟练掌握解题方法. 2, 8 ,3 4 2 , 102 .3 b ab b a ab    − −  −     [ ]1,3a∈ 8 102 4 2 23 3 a a a− ≤ − ≤ − ≤ 8 3 ab − 2 2 286 6 16 153 aa b a a a + + × − = − −    2 6 15a b+ ≤ − 1a = 8 3b = − 2 6a b+