2020届高三数学（理）下学期入学试题（Word版附答案）

试卷第 1 页，总 9 页 高 2020 届 2019-2020 学年下学期入学考试 数学试题（理） 2020.4 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。 3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效。 4. 做选考题时，按要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2. 已知数列 为等差数列， 为其前 项和， ，则 A． B． C． D． 3. 设 ， 满足约束条件 则 的最小值是 A．－15 B．－9 C．1 D．9 4. 若命题“ 使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 5. 函数 的图象可能是 A． B． C． D． 6. 已知函数 的最小正周期为 ，且对 ， 恒成立，若函数 在 上单调递减，则 的最大值是 A． B． C． D． 7.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所 示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形 的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 A． B． C． D． { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 2 1xB y y= = + A B = ∅ ( ]1,3 ( ]0,3 ( )1,+∞ { }na nS n 5 6 32 a a a+ = + 7S = 2 7 14 28 x y 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y + − ≤  − + ≥  + ≥ 2z x y= + 0 ,x R∃ ∈ 2 0 0 2 +5 0x mx m+ + < m [ 10,6]− ( 6,2]− [ 2,10]− ( 2,10)− 2 sin 2xy x= ( ) cos( )( 0)f x xω ϕ ω= + > π x∈R ( ) 3f x f π ≥    ( )y f x= [0, ]a a π 6 π 3 2π 3 5π 6 θ πcos( θ)2 =πsin(θ- )2 + 4 3- 4 3 − 3 4 3 4试卷第 2 页，总 9 页 8. 已知两圆 和 恰有三条公切线，若 ， ，且 ，则 的最小值为 A．3 B．1 C． D． 9 ． 双 曲 线 ： ， 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， . 为 双 曲 线 左 支 上 一 点 ， 且 （ 为坐标原点）， ，则双曲线 的离心率为 A．5 B． C． D． 10．已知 外接圆的圆心为 ，若 , ，则 的值是 A．18 B．36 C．72 D．144 11． 已 知 函 数 在 上 都 存 在 导 函 数 ， 对 于 任 意 的 实 数 都 有 ， 当 时 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 12. 如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ， 棱靠近 点的三等分点， 是 棱靠近 的三等分点， 是底面 内 一个动点，若直线 与平面 平行，则 周长的最小值为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知复数 是纯虚数，则 的值为__________. 14．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 则 __________. 15. 函数 ,若 ，则 __________. 16．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆 2 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱， 则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）. 2 2 24 4 4 0x y ax a+ + + − = 2 2 22 1 0x y by b+ − + − = a R∈ b R∈ 0ab ≠ 2 2 1 1 a b + 4 9 1 9 C 2 2 2 2 1x y a b − = ( )0, 0a b> > 1F 2F P 0)( 11 =+• OPOFPF O 2 1 4cos 5PF F∠ = C 3 4 5 7 2 5 ABC∆ O 5AB = 13AC = AO BC ⋅ ( )f x R ( )f x′ )-()( 2 xfexf x = 0x ≤ ( ) ( ) 0f x f x′+ > 2(2 1) ( 1)af a e f a−− ≥ + a ]2,0[ ]0,-2[ ( ] [ )0 2,∞ ∪ +∞- ， ]( ), 2 0,−∞ − ∪ +∞ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AD DD= = 3AB = E F AB BC B G 1CC 1C P ABCD 1D P EFG 1BB P∆ 2 732 ++ 22+ 33+ 4 734 ++ ( ) 2 a iz a Ri += ∈+ a ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 3cos3sin == b B a A 2 2a c ac+ − = 2 ,0 2( ) 2 8, 2 x x xf x x x  + < xOy l 7 4 1 3 x t y t = +  = + t x C 2 2 cos 8 0ρ ρ θ+ − = l C M l M C N MN ( ) 2 2 1 2f x x x x= − + − + ( ) 1f x m≥ − m M a b 2 23a b M+ = 3 4a b+ ≤试卷第 5 页，总 9 页 2020 届高三下入学考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。 1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．C 11．A 12．A 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 14． 15． 16． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （12 分） 解析：（1） ① 当 时 当 时，令 则 ② ① ② 可得 ， 经检验当 时， 所以数列 的通项公式为 （2）因为 所以 . 18. （12 分） 解析：（1）甲班的平均分为 ，由乙班中位数为 86 ．从 而 ， ； ∵ ， ，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加． （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2． P（X=k）= （k=0，1，2）． 1 2 − 1 4 90 1 2 3 1 2n na a a a a ++ + +…+ −= 1n = 2 4a⇒ = 2n ≥ 1n n= − 1 2 3 1 2n na a a a a−+ + + + = − - 12 n na a += 2n ≥ 2n na∴ = 2n ≥ 1n = 1 2a = { }na 2n na = ( )( )2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2n n n b log a log a n n n n+ + = = = −⋅ + + + + 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1 2 2 44n nT n n n = − + − + + − =+ + + ⇒ 6y = ⇒ 2 1 27.2S = 2 2 57.2S = 1 2x x= 2 2 1 2S S< 2 32 2 5 C C C k k−⋅试卷第 6 页，总 9 页 所以，随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量 X 的数学期望 ． 19．（12 分） 解析：（1）证明：取 中点为 ，连接 ． 是等边三角形，所以 ． 因为 且相交于 ，所以 平面 ，所以 ． 因为 ，所以 ．因为 在平面 内，所以 ．所以 ． （2）以 为原点，过 作 的平行线 ，分别以 , ， 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系．设 ， 则 ， ， ， ． 因 为 在 棱 上 ， 可 设 ， 所以 ． 设平面 的法向量为 ，因为 ， 所以 令 ，可得 ，即 ． 设直线 与平面 所成角为 ，所以 ． 可知当 时， 取最大值 ； 20．（12 分） 解析：（1）因为点 ，点 是直线 上的动点， 过 作直线 ， ，线段 的垂直平分线与 交于点 ， 所以点 到点 的距离等于它到直线 的距离， 所以点 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 为准线的抛物线， 3 10 6 10 1 10 ( ) 3 6 4 10 10 10 2 01 1 5E X = × + × + × = AD O PO PAD△ PO AD⊥ PAD ABCD⊥平面 平面 AD PO ⊥ ABCD PO DC⊥ // ,AB CD AB PA⊥ CD PA⊥ PO PA P= PAD CD PAD⊥ 平面 PCD PAD⊥平面 平面 O O AB OF OA OF OP x y z 2AB AD= = (1,0,0)A (1,2,0)B ( 1,4,0)C − (0,0, 3)P M PC [ ](1 ) ( ,4 , 3(1 )), 0,1OM t OP tOC t t t t= − + = − − ∈   ( 1,4 , 3(1 ))AM t t t= − − − PBC ( , , )n x y z= ( 2,2,0), ( 1,4, 3)BC PC= − = − −  2 2 0 4 3 0 x y x y z − + =− + − = 1x = 1 1 3 x y z  =  =  = (1,1, 3)n = AM PBC θ 2 1sin cos , 5(5 1) AM nAM n AM n t t θ ⋅= = = − +      1 10t = sinθ 2 19 19 (1,0)F A 1 :l 1x = − A 2l 1 2l l⊥ AF 2l P P (1,0)F 1l P 1 :l 1x = − P A B C D M x y z O F试卷第 7 页，总 9 页 所以曲线 的方程为 . （2）设 ，点 ，点 ， 直线 的方程为： ， 化简得 ， 因为 的内切圆的方程为 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ，即 ， 整理得： ， 由题意得 ，所以上式化简得 ， 同理，有 . 所以 是关于 的方程 的两根， ， . 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 直线 的斜率 ，则 ， 所以 ，因为函数 在 单调递增， 所以 ， ，所以 0 . C 2 4y x= 0 0( , )P x y ( 1, )M m− ( 1, )N n− PM 0 0 ( 1)1 y my m xx −− = ++ 0 0 0 0( ) ( 1) ( ) ( 1) 0y m x x y y m m x− − + + − + + = PMN∆ 2 2 1x y+ = (0,0) PM 1 ( )0 0 2 2 0 0 1 1 ( ) ( 1) y m m x y m x − + + = − + + ( )( )2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1)y m x y m m y m x m x− + + = − + − + + + 0 1x > 2 0 0 0( 1) 2 ( 1) 0x m y m x− + − + = 2 0 0 0( 1) 2 ( 1) 0x n y n x− + − + = ,m n t 2 0 0 0( 1) 2 ( 1) 0x t y t x− + − + = 0 0 2 1 ym n x −+ = − 0 0 ( 1) 1 xmn x − += − ( )2 02 0 2 0 0 4 14( ) 4 ( 1) 1 xyMN m n m n mn x x += − = + − = +− − 2 0 04y x= 0 02y x= ( ) 2 00 0 0 2 2 0 0 0 4 116 4 12( 1) 1 ( 1) xx x xMN x x x + + −= + =− − − PF 0 0 1 yk x = − 00 0 0 2 1 1 xyk x x = =− − 0 2 0 0 0 0 1 14 1 4 k x MN x x x x = =+ − − + 1y x x = − (1, )+∞ 0 0 1 1 1 0x x − > − = 0 0 1 10 1 44x x < < − + 1 2 k MN < 0a ≤ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 0 1a< < ( ),1x a∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,x a∈ ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1a = ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( )0,+∞ 1a > ( )1,x a∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1x∈ ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 0a ≤ ( )0,1x∈ ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( )f x 0 1a< < ( ),1x a∈ ( )f x ( )0,x a∈ ( )1,x∈ +∞ ( )f x 1a = ( )f x ( )0,+∞ 1a > ( )1,x a∈ ( )f x ( )0,1x∈ ( ),x a∈ +∞ ( )f x ( ) ( ) lng x f x x= − 1ln 1a x xx  + − −   ( ) 2 2 21a a x ax ag x x x x − +′ = − − = ( ) ( ) lng x f x x= − 1x 2x ( )1 20 x x< < 1x 2x 2 =0x ax a− + 2 0 4 0 a a a >  − > 4a > 1 2x x a+ = 1 2x x a= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 = 1 ln 2 2 1 ln 2 2 a x xf x f x x x a x x x x x xx x a a a ++ − + + − + − − = + − − ( ) ( )1 ln 2 2h a a a a= + − − ( )4a >试卷第 9 页，总 9 页 ，所以 在 是增函数，所以 ， 即 . 22. （10 分） 解析: （1）将 的参数方程 （ 为参数）消去参数，得 . 因为 ， ， 所以曲线 的直角坐标方程为 . （2）由（1）知曲线 是以 为圆心，3 为半径的圆，设圆心为 ， 则圆心 到直线 的距离 ，所以 与圆 相离. 连接 ，在 中， ， 所以， ，即 的最小值为 . 23. （10 分） 解析（1）若不等式 有解，只需 的最大值 即可. 因为 ，所以 ，解得 ， 所以实数 的最大值 . （2）根据（1）知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ，所以， ，因为 ， 均为正实数， 所以 (当且仅当 时取“=”). ( ) ( )1 ln 1 0a ah a a + −′ = > ( )h a ( )4,+∞ ( ) ( ) 2 44 5lnh a h e > = ( ) ( )1 2 1 2 2 42 5lnf x f x x x e + − > l 7 4 1 3 x t y t = +  = + t 3 4 17 0x y− − = x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 cos 8 0ρ ρ θ+ − = C ( )2 21 9x y+ + = C ( )1,0− A A l 3 17 4 35d − −= = > l A ,AM AN Rt ANM∆ 2 2 2 2 2| | | | 4 3 7MN MA AN= − ≥ − = 7MN ≥ MN 7 ( ) 1f x m≥ − ( )f x ( ) 1maxf x m≥ − ( ) 2 2 1 2 =f x x x x= − + − + ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x− − + ≤ − − + = 1 3m − ≤ 2 4m− ≤ ≤ m 4M = a b 2 23 4a b+ = ( )( ) ( )22 23 3 1 3a b a b+ + ≥ + ( )23 16a b+ ≤ a b 3 4a b+ ≤ 1a b= =