高 2020 级高三（下）强化训练一
文科数学
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.设复数 满足 ，其中 为虚数单位，在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知命题 ， ；命题 ， ，下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
4.如图，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 为半圆弧的两个三等分点，则
A. B.
C. D.
5.已知 是第二象限的角， ，则
A． B． C． D．
6.数列 为等差数列， 为其前 项和， ，且 ， ， 成等比数列，则
A.33 B．28 C.4 D．4 或 28
7.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，比如夏季包含
立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、
秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制一个季节，则甲乙两名同学绘制不同季节的概率
为
A． B． C． D．
2{ | 5 6 0}A x x x= − − < { }2 0B x x= − ≤ A B∩ =
{ }3 2x x− < ≤ { }2 2x x− < ≤ { }6 2x x− < ≤ { }1 2x x− < ≤
z 2 2 3i z i= + i z
:p x R∃ ∈ 2 1 0x x− + < :q x R∃ ∈ 2 3x x>
p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬
=AB
ADAC − ACAD 22 −
ACAD − ADAC 22 −
α 3tan( ) 4
π α+ = − cos2 =α
7
25
12
25
− 7
25
− 12
25
{ }na nS n 3 12S = 1a 2a 6a 10a =
1
16
1
4
3
4
1
28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
9.已知函数 ， 的部分图象
如图所示，其中 ， ，则
A. B. C. D.
10.如图，正方形 的边长为 2，动点 P 从 开始沿 的方向以 2 个单位长
度 秒的速度运动到 点停止，同时动点 Q 从点 开始沿 边以 1 个单位长度 秒的速
度运动到 点停止，则 的面积 与运动时间 （秒 之间的函数图象大致是
A． B．
C． D．
11.若奇函数 满足 ， 为 上的单调函数，对任意实数 都有
，当 ， 时， ，则
A． B． C． D．
12.已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 与双曲
8
3
3
8
5
12
11
24
( ) 2sin( )( 0f x xω ϕ ω= + > )2
π ϕ π< <
(0) 1f = 5| | 2MN = 3( )2f =
3 3− 1− 1
ABCD A A B C→ →
/ C C CD /
D AQP∆ y x )
( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − ( )g x R x R∈
[ ( ) 2 2] 1xg g x − + = [0x∈ 1] ( ) ( )f x g x= 2(log 10)f =
3
5
− 3
8
− 3
8 9
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2F 1F l线 的两支分别交于 ， 两点， ， ， 则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
14.已知抛物线 ，焦点为 ，直线 ，点 在直线 上，线段 与抛物
线 的交点为 ，若 ，则 ．
15.在锐角三角形 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ，且
，则 的取值范围为 ．
16.记 为数列 的前 项和，若 ，则 ，数列
的前 项和 ．
三．解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 中， 是线段 上的点，且 ， .
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）若 ，求 和 的长．
18.图 1 是直角梯形 ，
以 为折痕将 折起，使 到达 的位置，且 ，如图 2.
（Ⅰ）证明：平面 平面 ;（Ⅱ）求点 到平面 的距离.
2: 16C y x= F : 1l x = − AF
C B
C A B 2 90AF B∠ = ° | | 4AB a=
y x= ± 3y x= ± 2y x= ± 2
2y x= ±
x y
3 3 0
3 0
2
x y
x y
x
+ −
+ −
2x y+
A l
5AF BF= | |BF =
ABC A B C a b c 3a =
sin sin( ) 2sin 2A B C C+ − = c
nS { }na n 1
12 02n n nS a −− − = 4 5a a+ = 2{ }n na a+ −
n nT =
ABC∆ D BC DCBD =2 2sin sinC B=
CADBAD ∠=∠
2,2 == ACDC AD AB
, / / , 90 , 2,ABCD AB CD D AB°∠ = = 3, 3, 2DC AD CE ED= = =
BE BCE∆ C 1C 61 =AC
⊥EBC1 ABED B DAC1
19．近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至 2018 年底，中国铁路运营里
程达 13.2 万千米，这个数字比 1949 年增长了 5 倍；高铁运营里程突破 2.9 万千米，占世
界高铁运营里程的 以上，居世界第一位．如表截取了 年中国高铁密度的
发展情况（单位：千米 万平方千米）．
年份 2012 2013 2014 2015 2016
年份代码 1 2 3 4 5
高铁密度 9.8 11.5 17.1 20.7 22.9
已知高铁密度 与年份代码 之间满足关系式 ， 为大于 0 的常数）．
（Ⅰ）求 关于 的回归方程；
（Ⅱ）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过 32 千米 万平方千米．
参考公式：设具有线性相关系的两个变量 ， 的一组数据为 ， ，2，
，
则回归方程 的系数： ，
参 考 数 据 ： ， ， ，
， ， ．
60% 2012 2016−
/
y x (by ax a= b
y x
/
x y ( ix )( 1iy i =
)n……
ˆˆ ˆy bx a= + 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
∧
=
=
−
=
−
∑
∑
a y b x
∧ ∧
= −
5
1
ln ln 5ln ln 0.96i i
i
x y x y
=
− ≈∑
5
2 2
1
( ) 5( ) 1.6i
i
lnx lnx
=
− ≈∑ 5
1
5i
i
lnx
=
≈∑
5
1
14i
i
lny
=
≈∑ 2.1 8.2e ≈ 32 3.46ln ≈20．点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 为
的中点，点 的轨迹记为 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作 的平行线 交曲线 于 两点，是否存在常数 使得
，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
21．设函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个极值点 ；记过点 的直线斜率为 ，
求证： .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参
数）．以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程
为 ．
（Ⅰ）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
M 4: 22 =+ yxO M x N P MN
P C
P C
)0,3(F OP l C BA, λ
|||| 2 ABOP λ= λ
1( ) ln ( )f x x a x a Rx
= − − ∈
( )f x
( )f x 1 2,x x 1 1( , ( )),A x f x 2 2( , ( ))B x f x k
0xf
)(342 xfxmm >−+− Rx∈ m强化训练（一）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C B A D C D B A A C
1.解：
2.解： ， ，在第四象限
3.解： ，
4.解：
5.解：
6.解：当 时， ；
当 时，
( 1,6), ( ,2], ( 1,2]A B A B= − = −∞ ∴ ∩ = −
2 3 3 1 3
2 2 2
iz ii i
+= = + = − 3( , 1)2z∴ −对应的坐标为
2 21 31 ( ) 0,2 4x x x p− + = − + > ∴ 为假命题 2 31 ,2x x x q= > ∴当 ， 为真命题
2 2( )AB CD AD AC= = −
2 2 2
2 2 2
913 cos sin 1 tan 716tan( ) tan , cos2 94 cos sin 1 tan 251 16
α α απ α α α α α α
−− −+ = = − ∴ = = = =+ + +
0d = 1 10 4a a= =
0d ≠ 2 2
2 1 6 1 1 1 1( ) ( 5 ) 3 ,a a a a d a a d d a= ⋅ ⇒ + = + ⇒ = ，
7.解：
甲 春 春 春 春 夏 夏 夏 夏 秋 秋 秋 秋 冬 冬 冬 冬
乙 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬 春 夏 秋 冬
8.解：
9.解： ，
，
10.解：当 P 在线段 AB 上时， ，
当 P 在线段 BC 上时，
11.解：因为 为 上的单调函数，且对任意实数 都有 ，
故可设 即 ，因为 ，故 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
又 ， 时， ，
3 1 13 3 12 12S a d a∴ = + = = 1 101, 3, 28a d a∴ = = ∴ =
12 3
16 4P = =
1 1 1 1 1 111 1 1 12 3 2 2 2 24V = × × × − × × × × =
25 4 ( ) 6,2 4 3
TMN T
πω= = + ⇒ = ∴ = ( ) 2sin( ),3f x x
π ϕ∴ = +
5(0) 2sin 1, 6f ϕ ϕ π= = ∴ =
5 3 5( ) 2sin( ), ( ) 2sin( ) 33 6 2 2 6f x x f
π ππ π∴ = + ∴ = + = −
2AP x= 1 2 2 2 (0 1)2y x x x= ⋅ ⋅ = ≤ ≤
ABCD ABP QCP ADQy S S S S∆ ∆= − − −
21 1 1 3 72 2 2 2( 1) - (4 2 ) 2 (2 ) ( )2 2 2 2 4y x x x x x∴ = × − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = − +
( )g x R x R∈ [ ( ) 2 2] 1xg g x − + =
( ) 2 2xg x t− + = ( ) 2 2xg x t= − + ( ) 2 2 1tg t t= − + = 1t =
( ) 2 1xg x = − ( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( )f x f x+ =
[0x∈ 1] ( ) ( ) 2 1xf x g x= = −则
12.解：根据双曲线的定义： ， ，则 ，
且有 ，代入可得 ，则 ，
因为 ，则 ，且 ，
则 ，则 ，
在△ 中， ，则 ，
即 ，整理可得 ，则 ，
二、填空题
13.解：1
14.解：
过 B 作 轴的垂线，垂足为 D，则 ，
15.解： ，
，
，
，
在锐角三角形 中， ，
， ， 是锐角三角形，
2
8log 5
2 2 2 2
5 8 3(log 10) (log 10 4) (log ) (log ) (2 1)8 5 5f f f f= − = = − = − − = −
1 2 2AF AF a− = 2 1 2BF BF a− = 2 1 2BF BF a= +
1 1 14AF AB BF a BF= + = + 2 12AF a BF= + 2 2BF AF=
2 90AF B∠ = 2 2 45ABF BAF∠ = ∠ = ° 2 2 2
2 2AB AF BF= +
2 2 2 2BF AF a= = 1 (2 2 2)BF a= −
1 2BF F 1 2 135BF F∠ = °
2 2 2
1 2 1 2
1 2
cos135 2
BF BF F F
BF BF
+ −° =
2 2
2
2 (20 8 2) 4
2 (16 8 2)
a c
a
− −− =
−
2
2
2 3ce a
= = 3e = 2b
a
∴ =
5 ,AF BF= x 1DF = 3, 4 7B Bx BF x∴ = ∴ = + =
sin sin cos cos sin 2sin 2 4sin cosA B C B C C C C+ − = =
sin( ) sin cos cos sin 4sin cosB C B C B C C C∴ + + − =
sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cosB C B C B C B C C C∴ + + − =
2sin cos 4sin cosB C C C∴ =
ABC cos 0C >
sin 2sinB C∴ = 2b c∴ = ABC∆解得 ，
16. 解：（1）由于数列 满足 ，①
当 时， ②,
① ②得： ，整理得 ，
所以 ．
（2）由于 ,故 ③，
所以 ④，
③ ④得： ，
所以 ，
，
， ．
三、解答题
17.解(1)法一：在 ， …..2
分
，
，又 …………………4 分
…………6 分
法二： , ………………..2 分
∴
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0 9 3 0
0, 9 3 0,
0 5 9 0
a b c c
a c b c
b c a c
+ − > + >
+ − > − >
+ − > − >
代入得 3 5 35 c< <
{ }na 1
12 2n n nS a −− =
2n 1 1 2
12 2n n nS a− − −− =
− 1 1 2
1 12 2 2n n n n na a a − − −− + = − 1 1 2
1 1
2 2n n n na a − − −+ = −
5 4 4 3
1 1 1
2 2 16a a+ = − = −
1 1 2
1 1
2 2n n n na a − − −+ = − 2 1 1
1 1
2 2n n n na a+ + ++ = −
1 1
1 1
2 2n n n na a+ −+ = −
− 2 1 1
1 2 1
2 2 2n n n n na a+ + −− = − +
2 1 0 3 2 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n nT + −= − + + − + +…+ − +
2 3 1 1 2 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n+ −= + +…+ − × + +…+ + + +…+
1 1 1 1 1(1 ) (1 ) 14 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( )1 1 11 1 12 2 2
n n n
× − × − −
= − × +
− − − 1
1 1
2 2n+= −
sin sin
c BDABD ADB BAD
=∠ ∠ 中，
sin sin
b DCADC ADC DAC
=∠ ∠ 中，
sin sinsin = sin =BD ADB DC ADCBAD DACc b
⋅ ∠ ⋅ ∠∴ ∠ ∠，
2sin sin , 2C B c b= ∴ = 2 ,sin sinBD DC ADB ADC= ∠ = ∠
1 sin2sin = =sin1
2
DC ADC
BAD DAC
b
⋅ ∠
∴ ∠ ∠
2 , 2 ABD ACDBD DC S S= ∴ =
2sin sin , 2C B AB AC= ∴ =又 ,……………………4 分
……………………………………………………………………6 分
(2) ………………………………………..8 分
，
, ……………………………………………..12 分
18.解(1)
连接 AC 交 EB 与 M 点，则 ,
,又 ,
……..
6
分
(2)设 B 到平面 的距离为 d，则
……………………………………….8 分
，
……………………………….10 分
……………………………….12 分
19.解:(1) 对 两边取自然对数，得 ；
令 ， ， ，2，3， ， ；得 与 具有线性相关关系，
1 1= sin , sin2 2ABD ACDS AB AD BAD S AC AD DAC⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ∠
sin 1 , sin sinsin 2
ABD
ADC
S AB BAD BAD DACS AC DAC
⋅ ∠∴ = = ∴ ∠ = ∠⋅ ∠
DAC BAD∴∠ = ∠
22, 2, , 12DC AC BD AB= = ∴ = =
cos cosBAD DAC∠ = ∠
2
2
11+ 4 22
2 4
AD AD
AD AD
− + −∴ = 1AD∴ =
2, 1, 3, 2AB DE AD EB EC BC= = = ∴ = = =
ECM BAM≅ M BE∴ 为 的中点
1 3C M MA∴ = = 1 6C A = 1 1, , ,C M MA C M BE BE AM M∴ ⊥ ⊥ ∩ =又
1AC D 1
1
1
3
B AC D
AC D
Vd
S
−
∆
=
1 1
1 13 3 2 13 2B AC D C ABDV V− −= = × × × × =
1 13, 3, 6DM C M C D= = ∴ =
1
2 21 3 3 73 ( 6) ( )2 2 4AC DS∴ = × × − =
1
1
1 4
1 1 3 7 7
3 3 4
B AC D
AC D
Vd
S
−
∆
∴ = = =
×
( 0, 0)by ax a b= > > lny blnx lna= +
i iv lnx= i iu lny= 1i = … n u v
1 1 1 1,C M ABED C M C EB ABED C EB∴ ⊥ ⊂ ∴ ⊥平面 又 平面 ， 平面 平面计算 ，……………………………….2 分
，……………………………….4 分
所以 ， ，所以 ，所以 关于 的回归方程 ，
即 ；……………………………….6 分
(2) 在(1)的回归方程中， ，高铁密度超过 32 千米 万平方千米；
即 ， ， ． ，
即 时，高铁密度超过 32 千米 万平方千米；所以预测 2020 年，高铁密度超过 32 千
米 万平方千米．……………………………….12 分
20.解:（1）设 ，则 ，代入 ，得
所以点 P 的轨迹为 ……………….4 分
（2）设 ，……………5 分
…………………8 分
……………11 分
， …………………12 分
21.（Ⅰ） ，令 ,
①当 在 单调递增;..................2 分.
5
^
1
25
2
1
ln 5 0.96 0.61.65
i i
i
i
v u vu
b
v v
=
=
−
= = =
−
∑
∑
^ ^ 14ln ln ln 0.6 2.25ia y b x= − = − =
^
0.6b = ^
ln 2.2a = 0.6 2.2lny lnx= + y x 0.6 2.2ˆ lnxy e +=
2.2 0.6ˆy e x=
0.6 2.2lnxy e += /
0.6 2.2 32lnxe + > 0.6 2.2 32 3.46lnx ln+ > ≈ 2.1lnx > 2.1 8.2x e> ≈
9x = /
/
1 1( , ), ( , )M x y P x y 1
1 2
x x
y y
=
=
2 2
1 1 4x y+ =
2
2 14
x y+ =
2
2 14
x y+ =
2 2: 3, (4 ) 2 3 1 0ABl x my m y m= + + + − =代入椭圆方程得
2
2 2
1 2 2 2
4 41 1 4 4
mAB m y y m m m
∆ += + − = + =+ +
2
2 2 2 2
2 2
4 4: , ( 4) 4, ,4 4OP
ml x my m y y xm m
= + = ∴ = =+ +代入椭圆方程得
2
2 2 2
2
4 4
4
mOP x y m
+∴ = + = +
2
2
2
2
2
4 4
4= 14 4
4
m
OP m
mAB
m
λ
+
+∴ = =+
+
x
axx
x
a
xxf 111)(
2
2
+−=−+=′ 1)( 2 +−= axxxh 42 −=∆ a
0)(,2 >′≤ xfa ),0( +∞②当 时，由
又因为 ，所以
单调递增;
单调递减..................5 分.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时， 有两个极值点 ，且满足 .
........................................8 分.
要证： ，即证 ，即证
令 ， ,即证 .
令
单调递增. ,所以 ....................12 分
22.解：（1）曲线 的普通方程： ；…………………………………………3
分
直线 的直角坐标方程： …………………………………5 分
（2）设直线 的参数方程为： （ 为参数）…………………………………6 分
2>a 2
4,2
40)(
2
2
2
1
−+=−−=⇒= aaxaaxxh
01)0( >=h 01 >x
)(,0)(,0)(),,(),0( 21 xfxfxhxxx >′>+∞∪∈
)(,0)(,0)(),,( 21 xfxfxhxxx −−
+
xxxx
xx
2
1
x
xt = )1,0(∈t
1
12ln +
−<
t
tt
2
2
2 )1(
12
)1(
41)(,1
12ln)( +
+−=+−=′
+
−−=
t
tt
tttFt
tttF
)(,0)(),1,0( tFtFt >′∈ 0)1( =F
1
12ln +
−<
t
tt
C 1925
22
=+ yx
l 0323 =−+ yx
l
=
−=
ty
tx
2
3
22
t带入 ，得： ，
∴ ………………8 分
∴=…………………10 分
23. 解（1）∵ ………………………………2
分
∴ 或 或
∴ 或 ……………………………………………………………………5 分
（2）∵ ………………………………7 分
又∵ …………………………………………………………………8 分
∴ ，∴ 或 ……………………………………………………10 分
1925
22
=+ yx 225)2
3(25)22(9 22 =+− tt
01891821 2 =−− tt
≤−−
−−
2
1
02
x
x
3
4>x 2−− xxxxmm
56212 ≤−−− xx
542 >− mm 5>m 5−
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