高三数学（期中）
一、选择题: （每小题 5 分，共 45 分,每小题只有一个正确选项.）
1.已知 ， ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了集合 交集运算，属于简单题.
2.设 是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断充分性和必要性，取 ， ，得到不充分，得到答案.
【详解】若数列 为递增数列，在 ，故 ，必要性；
若取 ， ， ，不满足 ，故不充分.
故选： .
【点睛】本题考查了充分性和必要性，意在考查学生的推断能力.
3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组
成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则
该重卦恰有 3 个阳爻的概率是
的
2{ *| 3 0}A x N x x= ∈ − + ≥ 1
2
{ | log 0}B x x= ≤ A B
[ )3 + ∞， [0,1] [1 ]3， {1,2,3}
{ }1,2,3A = { }1B x x= ≥
{ }2{ *| 3 0} 1,2,3A x N x x= ∈ − + ≥ = { }1
2
{ | log 0} 1B x x x x= ≤ = ≥
{1,2,3}A B∩ =
D
{ }na 2 2
1 2a a< { }na
1 1a = 2 2a = −
{ }na 2 1 0a a> > 2 2
1 2a a<
1 1a = 2 2a = − 2 2
1 2a a< 2 1a a>
BA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算
等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有 2 种情况，一重卦的 6 爻有 情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情
况有 ，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为 = ，故选 A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排
列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
4.函数 在 上的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定函数为奇函数排除 ， ，排除 ，得到答案.
【详解】 ，则 ，函数为奇函数，
5
16
11
32
21
32
11
16
62
3
6C
3
6
62
C 5
16
( ) ( ) cosx xf x e e x−= − ⋅ [ 2,2]−
BD ( ) 11 cos1 0f e e
= − ⋅ > A
( ) ( ) cosx xf x e e x−= − ⋅ ( )( ) ( ) cosx xf x e e x f x−− = − ⋅ = −排除 ；
，排除 .
故选： .
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的识图能力和综合应用能力.
5.已知函数 ， ，则 的
大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数图像，确定函数单调递减，计算 ，得到答案.
【详解】画出函数图像，根据图像知函数单调递减，
，故 .
故选： .
BD
( ) 11 cos1 0f e e
= − ⋅ > A
C
2 2 , 0
( ) 1 , 02
x x x
f x
x x
− − ≥= − +
>
1 1
2 2
1
3
1 1
2 2
1 1 1log log 1 1 1
2 2 33 2
> = >
> >
b a c< <
C【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运
用.
6.直线 与圆 截得的弦长为 4，则 的最小值是
（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意知直线过圆心得到 ，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ，即 ，圆心为 ，半径为 .
弦长为 ，则直线过圆心，即 ，即 .
，当 时等号成立.
故选： .
【点睛】本题考查了直线和圆 位置关系，均值不等式，意在考查学生的计算能力和转化能
力.
7.关于函数 有下述四个结论：
的
2 4 0ax by+ + = 2 2 4 2 1 0x y x y+ + + + = 2 2a b+
2
2a b+ =
2 2 4 2 1 0x y x y+ + + + = ( ) ( )2 22 1 4x y+ + + = ( )2, 1− − 2
4 2 2 4 0a b− − + = 2a b+ =
( ) ( ) ( )2
2 2 22 2 22
a ba b aba ab b
+= + − ≥ + − =+ 1a b= =
B
( ) sin cosf x x x= +① 的周期为 ；② 在 上单调递增；
③函数 在 上有 个零点；④函数 的最小值为 .
其中所有正确结论的编号为（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ，再依次判断每个选项得到答案.
【 详 解 】 ， 则
，①正确；
，当 ， ，函数先增后减，
②错误；
，即 ， ，共有 2 个解，故③
错误；
，最小值为 ，④正确.
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，周期，零点，意在考查学生的计算能力和综
合应用能力.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作 的一条渐近线
的垂线，垂足为 ，若 的面积为 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
( )f x 2π ( )f x 50, 4
π
( ) 1y f x= − [ ],π π− 3 ( )f x 2−
( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = + = +
( ) sin cos sin cosf x x x x x= + = +
( ) ( ) ( )( 2 ) sin 2 cos 2f x x x f xπ π π+ = + + + =
( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = + = +
50, 4x
π ∈
3,4 4 2x
π π π + ∈
( ) 2 sin 14f x x
π = + =
2sin 4 2x
π + =
3 5,4 4 4x
π π π + ∈ −
( ) 2 sin 4f x x
π = + 2−
A
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2F F、 2F C l
M 1 2MF F∆ 24a C
y x= ± 2y x= ± 2y x= ± 4y x= ±分析】
计算 ，根据 得到 ，得到渐近线方程.
【详解】 ，故 ，取渐近线方程为 ，
取 ，则 ， ，
整理得到： ，解得 ，故渐近线为 .
故选： .
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称
点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
关于 对称的点为 ，得到直线方程 ，当 与
相切时， ，计算 ，解得答案.
【详解】取 上一点 ，则 关于 对称的点为 ，
即 ，即 ，直线过定点 .
当 时， ， ，
函数在 上单调递减，在 上单调递减，
当 与 相切时，设切点为 ，
【
3 24 4,a aM bc c
2MF
ak b
= − 4b
a
=
1 2
21 2 42MF F MS c y a∆ = ⋅ = 24
M
ay c
= by xa
=
24
M
ay c
=
3 24 4,a aM bc c
2
2
3
4
4MF
a
ack a bcbc
= = −
−
2 3
4 4b b b
a a a
= + − 4b
a
= 4y x= ±
D
2
ln 3 , 0( ) 3 , 0
x x x xf x x x x
− >= + ≤ 1y = −
1y kx= − k
1 ,12
( )1,3− ( )1,2− ( )1,3
( ),x y 1y = − ( ), 2x y− − 1y kx= − − 1y kx= − − ( )f x
2k = ( )2
3 0
3 4 0
k
k
+ >∆ = + − >
( )y f x= ( ),x y ( ),x y 1y = − ( ), 2x y− −
2 1y kx− − = − 1y kx= − − ( )0, 1−
0x > ( ) ln 3f x x x x= − ( )' ln 2f x x= −
( )20,e )2 ,e +∞
1y kx= − − ( )f x ( )0 0,x y则 ， ，解得 ，故 .
当 时， ，即 ，
则 ，解得 .
综上所述： .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据交点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
10.若 ，则复数 的虚部为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简得到 ，得到答案.
【详解】 ，则 ，故复数 虚部为 .
故答案为： ；
的
0ln 2x k− = − 0 0 00 ln 31 x xk xx− − −= 2k = 2k <
0x ≤ 2 3 1kx x x= − −+ ( )2 1 03x k x+ + =+
( )2
3 0
3 4 0
k
k
+ >∆ = + − >
1k > −
1 2k− < <
C
4 2
1 2
iz i i
−− = + z
1−
z i= −
4 2
1 2
iz i i
−− = +
( )( )
( )( )
4 2 1 2 10
1 2 1 2 5
i i iz i i ii i
− − −= + = + = −+ − 1−
1−【点睛】本题考查了复数的运算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.
11.二项式 ，则该展开式中的常数项是______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】二项式 的展开式的通项为：
，
取 得到常数项为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.在三棱锥 中， 面 ， 是等腰三角形，其中
则三棱锥 的外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算 外接圆半径为 ，根据 得到 ，得到表面积.
【详解】 ， ，则 ，设 外接圆半径为 ，
，即 ，
设外接球半径为 ，则 ，故 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12
3
1
2
x
x
−
55
2
−
12
3
1
2
x
x
−
( ) 412 3
12 12
1 12 123
1 1
2 2 1
r r
r r
r
rr
r x
x
xT C C
− −
+
− − = − ⋅
= ⋅ ⋅
9r = ( )12 9
9
12
91 5
2
51 2C
− ⋅ − = −
55
2
−
P ABC− PA ⊥ ABC ABC∆ 2AB BC= = ，
120 ,ABC∠ = ° 4,PA = P ABC−
32π
ABC∆ 2r =
2
2 2 82
PAR r = + = 2 2R =
2AB BC= = 120ABC∠ = ° 2 3AC = ABC∆ r
2 4sin
ACr ABC
= =∠ 2r =
R
2
2 2 82
PAR r = + = 2 2R = 24 32S Rπ π= =
32π13.已知 均为正数，且 ，则当 _____时，代数式 的最小值为
_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
变换 ，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ，
当 ，即 ， 时等号成立.
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换
是解题的关键.
14.在 中，已知 为边 的中点.若 ，垂足
为 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
过点 作 于 ， ， ，计算 ，根据等面积法
得到 ，得到答案.
【详解】如图所示：过点 作 于 ，易知 ，故 ，
,a b 1a b+ = a = 22 1 2a
ab
+ −
3 1
2
−
2 3
( )222 2 222 1 32 2a a ba a b
ab ab ab
+ ++ +− = − =
( )222 2 222 1 3 2 32 2 2 3a a ba a b ab
ab ab ab ab
+ ++ +− = − = ≥ =
2 23a b= 3 1
2a
−= 3 3
2b
−=
3 1
2
−
2 3
( )222 22 1 2 2a a ba
ab ab
+ ++ − = −
ABC∆ 03, 2, 120 ,AB AC BAC= = ∠ = D BC BE AD⊥
E BE AC⋅
27
7
C CF AD⊥ F BE FC= 2
BE AC FC⋅ = 7
2AD =
3 3
7
FC =
C CF AD⊥ F BED CFD∆ ≅ ∆ BE FC= .
，故 ，故 .
根据等面积法： ，解得 .
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题（共 50 分）
15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ，可得 的值，由余弦定理及已知即可解得 的值，由正弦定理即可
得解 的值；
2
cos
FC
BE AC FC AC ACF FC AC FC
AC
⋅ = ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ =
( )1
2AD AB AC= + ( )22 1 7
4 4AD AB AC= + = 7
2AD =
1 1 1 sin2 2 2AD FC AB AC BAC⋅ = ⋅ ⋅ ∠ 3 3
7
FC =
2 27
7BE AC FC⋅ = =
27
7
ABC∆ A B C a b c 8a = 2b c− =
1cos 4A = −
sin B
cos(2 )6A
π+
3 15
16
15 7 3
16
−
1cos 4A = − sin A ,b c
sin B（2）由倍角公式及（1）可求 的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值.
【详解】（1） 由 ，可得 ，
由 ，可得： ，
由 得 ；
（2） ，
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数
基本关系式，两角差 余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关
键，属于基础题.
16.某地有 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有 到过疫区.
（1）如果 受到 感染的概率分别为 ，那么 三人中恰好有一人感染新
冠状病毒的概率是多少？
（2）若 肯定受 感染，对于 ，因为难以判断他是受 还是受 感染的，于是假定他受
和受 感染的概率都是 ，同样也假设 受 和 感染的概率都是 ，在这种假定之下，
B、C、D 中直接受 感染的人数 为一个随机变量，求随机变量 的分布列和均值（数学
期望）.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）直接计算概率得到答案.
（2） 的可能取值为 ，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1） .
（2）根据题意： 的可能取值为 .
的
cos2 ,sin 2A A
1cos 4A = − 15sin 4A =
∴
2 264 2 cos
2
b c bc A
b c
= + −
− =
6
4
b
c
=
=
∴
sin sin
b a
B A
= 3 15sin 16B =
2 7 15cos2 2cos 1 ,sin 2 2sin cos8 8A A A A A= − = − = = −
7 3 15 1cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin6 6 6 8 2 8 2A A A
π π π ∴ + = − = − × − − ×
15 7 3
16
−=
A B C D、 、 、 A
B C D、 、 A 1
2 B C D、 、
B A C A B A
B 1
2 D A B、 C 1
3
A X X
3
8
( ) 11
6E X =
X 1,2,3
2
1
3
1 1 312 2 8p C = ⋅ ⋅ − =
X 1,2,3则 ； ； .
故分布列为：
.
【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用
能力.
17.如图所示，直角梯形 中， ， 四边形
为矩形， ，平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 二面角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，
求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， 或
【解析】
【分析】
（1）以 分别为 轴建立空间直角坐标系， ，得到证明.
（2）平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，计
算夹角得到答案.
( ) 1 2 11 2 3 3p X = = × = ( ) 1 2 1 1 12 2 3 2 3 2p X = = × + × = ( ) 1 1 13 2 3 6p X = = × =
X 1 2 3
p 1
3
1
2
1
6
( ) 1 1 1 111 2 33 2 6 6E X = × + × + × =
ABCD / /AD BC ,AD AB⊥ 2 2,AB BC AD= = =
EDCF 2DE = EDCF ⊥ ABCD
/ /DF ABE
B EF D− −
BE P AP BEF 6
6
2
3 3BP = 2
3BP =
, ,DA DG DE , ,x y z DF AE AB= +
DEF ( )1 2,1,0n = BEF ( )1 2,1,2n =（3）假设存在点 满足条件，设 ，设线 与平面 所成角为 ，
，解得答案.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，易知 ，
平面 ，四边形 为矩形，故 平面 .
以 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， .
， ， ，故 ，
故 平面 .
（2）设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 .
则 ，故二面角 二面角的正弦值为 .
（3）假设存在点 满足条件，设 ，则 ，
， ，设线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得 或 .
故 ，故 或 .
P BP BEλ= AP BEF θ
2
2
cos
AP n
AP n
θ
⋅
=
⋅
BC G DG DA DG⊥
EDCF ⊥ ABCD EDCF ED ⊥ ABCD
, ,DA DG DE , ,x y z
( )0,0,0D ( )1,2,2F − ( )1,0,0A ( )1,2,0B ( )1,2,0C − ( )0,0,2E
( )1,2,2DF = − ( )1,0,2AE = − ( )0,2,0AB = DF AE AB= +
/ /DF ABE
DEF ( )1 , ,n x y z= 1
1
0
0
n DE
n DF
⋅ = ⋅ =
2 0
2 2 0
z
x y z
=
− + + =
1y = ( )1 2,1,0n =
BEF ( )2 , ,n a b c= 2
2
0
0
n EF
n EB
⋅ = ⋅ =
2 0
2 2 0
x y
x y z
− + =
+ − =
1y = ( )1 2,1,2n =
1 2
1 2
1 2
5cos , 3
n nn n
n n
⋅= =
⋅
B EF D− − 2
3
P BP BEλ= ( )1 ,2 2 ,2P λ λ λ− −
( ),2 2 ,2AP λ λ λ= − − ( )1 2,1,2n = AP BEF θ
( ) ( )
2
2 22
2
2 6cos 63 2 2 2
AP n
AP n
θ
λ λ λ
⋅
= = =
⋅ + − +
2
3
λ = 2
9
λ =
3BP BEλ λ= = 3BP = 2
3BP =【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能
力.
18.已知椭圆 的右焦点 ，右顶点为 ，点 是椭圆上异于点
的任意一点， 的面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直
线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆 的方程.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1） 面积的最大值为 ，化简得到答案.
（2）直线 ： ，设圆心为 ， ，根据相切得到 ，联
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (c,0)F A P
A APF∆
23
6
b
C
F 3
4
− l x Q B x
l B 4x = − / /OB AQ C
1
2e = 2 2
116 12
x y+ =
APF∆ ( ) 21 3
2 6
bb a c− =
l ( )3
4y x c= − − ( )4,B m− 0m > 4
3
cm
+=立直线方程得到 ，代入椭圆方程解得答案.
【详解】（1） 面积的最大值为 ，化简整理得到 ，
即 ，解得 或 （舍去），故 .
（2）直线 ： ，设圆心为 ， ，
则圆方程为 .
圆 与直线 相切，则 ，故 ，
故 ，则直线 ： .
联立方程得到： ，解得 ，
将 代入椭圆方程 ，解得 .
故椭圆方程为： .
【点睛】本题考查了椭圆离心率，椭圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.已知数列 是公差为 1 的等差数列， 是单调递增的等比数列，且
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求 ；
（3）若数列 的前 项积为 ，求 .
（4）数列 满足 ， ，其中 ，求 .
( )
2 22 12 3,5 4 5
c c c cQ c c
− + − −
APF∆ ( ) 21 3
2 6
bb a c− = 2 22 3 0c ac a− + =
22 3 1 0e e− + = 1
2e = 1e = 1
2e =
l ( )3
4y x c= − − ( )4,B m− 0m >
( ) ( )2 2 24x y m m+ + − =
B l 4 12 3
5
m c m
− − = 4
3
cm
+=
4
12OB
ck
+= − AQ ( ) ( )4 4 212 12
c cy x a x c
+ += − − = − −
( )
( )
3
4
4 212
y x c
cy x c
= − − + = − −
22
5
c cx c
−= − ( )
212 3
4 5
c cy c
+= −
( )
2 22 12 3,5 4 5
c c c cQ c c
− + − −
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ = 2c =
2 2
116 12
x y+ =
{ }na { }nb 2 3 5 ,a a a+ =
4 1 24a b b= − ，3 3 5b a a= +
{ }na { }nb
2
2 2 2( 1)( 1)
n
n
n n
bc b b +
= − − { }nc n nS nS
1n n
n
a b
a
+
n nT nT
{ }nd 1 1d =
11, 2 2
, 2
k k
n k
k
nd
b n
+ < ( )g x
a ( ) ( )f x g x> ( )1 + ∞，
0a ≤ 0a > 20, 2
a
a
2 ,2
a
a
+∞
1
2a ≥
22 1'( ) axf x x
−= 0a ≤ 0a >
1( ) 0x
eg x x e
= − = 0xe ex− = ( ) xh x e ex= − ( ) ( )1 0h x h> =
0a ≤ 10 2a< < 1
2a ≥ ( ) ( )( )2
2
1 1
' 0
x x x
F x x
− + −
> >
2( ) lnf x ax a x= − −
21 2 1'( ) 2 axf x ax x x
−= − =
0a ≤ '( ) 0f x ( ) 22 1' 0axf x x
−= = 0x > 2
2
ax a
=
( )f x 20, 2
a
a
2 ,2
a
a
+∞
0a ≤ 0a > 20, 2
a
a
2 ,2
a
a
+∞
1( ) 0x
eg x x e
= − = 0xe ex− = ( ) xh x e ex= −
( )' 0xh x e e= − > ( )1 + ∞， ( ) ( )1 0h x h> = 0xe ex− =
1x > ( )g x
( ) ( )f x g x> 2 1ln x
eax a x x e
− − > −
0a ≤ ( )f x ( ) ( )1 0f x f< = ( ) 0>g x
10 2a< < 2 12
a
a
> ( )2( ) 1 02
af fa
< = ( ) 0>g x
1
2a ≥ ( ) ( ) ( )F x f x g x= −
( ) ( )( )2
1
2 2 2 2
1 11 1 1 1 1 2 1' 2 0x x x x
F x ax e x xx x x x x x x x
−
− + −
= − + − > − + − = − + = >
( ) ( )( ) ( ) 1 0F x f x g x F= − > =
1
2a ≥
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