山东省菏泽市2020届高三数学联考模拟试题（Word版附解析）

山东省菏泽市 2020 届高三联合模拟考试 2020.4 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分｡在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的｡ 1.已知 是虚数单位，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】 . 故选：C． 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题. 2.若集合 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 ，按照交集定义，即可求解 【详解】易知 ， ， 所以 ． 故选：A． 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 3.2019 年 12 月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020 年 1 月 12 日，世界卫生组织 正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒”．2020 年 2 月 11 日，世界卫生组 织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳 ､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）． i 1 (1 )ii ⋅ + = i i− 1 i− 1 i+ 1 1(1 ) 1 1i ii i ⋅ + = + = − { | 1 }A x y x= = − 2{ | 2 0}B x x x= − − ≤ A B∩ = [ 1,1]− 1,2]- [1,2] ( ]1,1− ,A B { | 1 } { | 1}A x y x x x= = − = ≤ { | 1 2}B x x= − ≤ ≤ { | 1 1}A B x x∩ = − ≤ ≤A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分必要的定义，即可得出结论. 【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒， 或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、 干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力” 是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件． 故选：A． 【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题. 4.已知向量 ， 满足 ， ，若 ，则 （ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知求出 的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解. 【详解】 ． 因为 ，所以 ，解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题. 5.已知双曲线 一条渐近线上存在一点到 轴距离与到原点 的距离之比为 ， 则实数 的值为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 的 a b (1,2)a = (1 ,1)a b m+ = + //a b m = 2− 1 2 1 2 − b ( ) (1 ,1) (1,2) ( , 1)b a b a m m= + − = + − = −r rr r a b∥ 2 1 0m + = 1 2m = − 2 2 15 x y a − = x O 2 3 a【分析】 根据已知可得渐近线的斜率，建立 的方程，即可求出结论. 【详解】由题意，一条渐近线的斜率为 ， 则 ，解得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的方程和简单几何性质，属于基础题. 6.从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数， 则对数值大于 0 且小于 1 的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数的限制条件，列出所有对数的基本事件，确定出满足条件的对数个数，由古典概型 的概率公式，即可求解. 【详解】由于 1 只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数， 共得到 4 个对数，其值均为 0． 从 1 除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数， 基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 个， 所以基本事件总数为 16 个，满足题设条件的事件有 ， ， ， ， ， ，共 6 个， 由古典概型的计算公式得所求事件的概率 ． 故选：C． 【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题. 7.某校周五的课程表设计中，要求安排 8 节课（上午 4 节､下午 4 节），分别安排语文数学､英 语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语 a 2 2 2 2 53 2 = − 2 5 5 a = 4a = 1 8 1 4 3 8 1 2 (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4) 6 3 16 8P = =在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的 编排方法共有（ ）． A. 4800 种 B. 2400 种 C. 1200 种 D. 240 种 【答案】B 【解析】 【分析】 先安排生物有 ，接着安排相邻的数学和英语有 5 种相邻形式，故有 ，最后安排其它 5 节课有 ，根据分步乘法原理，即可求解结论 【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节， 所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排， 有 种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻， 注意数学和英语之间还有一个排列有 种编排方法； 第三步：剩下的 5 节课安排 5 科课程，有 种编排方法． 根据分步计数原理知共有 种编排方法． 故选：B． 【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题. 8.已知大于 1 的三个实数 满足 ，则 的大小关系不 可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令 ，则 为 的零点，根据判别式可得 ，就 和 分类讨论后可得 的大小关系. 【详解】令 ，则 为 的零点且该函数图象的对称轴为 ， 1 2A 2 25A 5 5A 1 2 2A = 2 25 10A = 5 5A 120= 2 10 120 2400× × = , ,a b c 2(lg ) 2lg lg lg lg 0a a b b c− + = , ,a b c a b c= = a b c> > b c a> > b a c> > ( ) 2 2 lg lg lgf x x x b b c= − + lg a ( )f x b c≥ b c= b c> , ,a b c ( ) 2 2 lg lg lgf x x x b b c= − + lg a ( )f x lgx b=故 ， 因为 ，故 ，所以 即 . 又 ， 若 ，则 ，故 即 . 若 ，则 ，所以 或者 ， 即 或 . 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在 定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分｡在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求｡全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分｡ 9.Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学､跑步､骑行､交友及健身饮食指 导､装备购买等--站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进 程｡不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划｡小吴根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线 图｡根据该折线图，下列结论正确的是（ ）． A. 月跑步里程逐月增加 B. 月跑步里程最大值出现在 10 月 C. 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D. 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 【答案】BCD 【解析】 【分析】 24lg 4lg lg 0b b c∆ = − ≥ 1, 1b c> > lg 0,lg 0b c> > lg lgb c≥ b c≥ ( ) ( ) ( ) ( )2 2lg lg lg lg lg lg lg , lg lg lg lg lg lg lgf b b c b b c b f c c b c c c b= − = − = − = − b c= ( ) ( )lg lg 0f b f c= = lg lg lga b c= = b c= b c> ( ) ( )lg 0, lg 0f b f c< < lg lga c< lg lgb a< a c b< < a b c> >根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由所给折线图可知：月跑步里程并不是逐月递增，故选项 A 错误； 月跑步里程最大值出现在 10 月，故选项 B 正确； 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故选项 C 正确； 1 月至 5 月的月跑步里程相对 6 月至 11 月，波动性更小， 故选项 D 正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题. 10.如图， 是正方体 的棱 的中点，下列命题中真命题是（ ） A. 过 点有且只有一条直线与直线 ､ 都相交 B. 过 点有且只有一条直线与直线 ､ 都垂直 C. 过 点有且只有一个平面与直线 ､ 都相交 D. 过 点有且只有一个平面与直线 ､ 都平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】 点 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过 点有且只有一条直线与直线 ､ 都相交， A 正确．过 点有且只有一条直线与直线 ､ 都垂直， B 正确．过 点有 无数个平面与直线 ､ 都相交，C 不正确．过 点有且只有一个平面与直线 ､ 都平行，D 正确． 【详解】解：直线 与 是两条互相垂直的异面直线，点 不在这两异面直线中的任 何一条上，如图所示： M 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD M AB 1 1B C M AB 1 1B C M AB 1 1B C M AB 1 1B C M M AB 1 1B C M AB 1 1B C M AB 1 1B C M AB 1 1B C AB 1 1B C M取 的中点 ，则 ，且 ，设 与 交于 ，则点 ､ ､ ､ ､ 共面， 直线 必与 直线相交于某点 ． 所以，过 点有且只有一条直线 与直线 ､ 都相交；故 A 正确． 过 点有且只有一条直线与直线 ､ 都垂直，此垂线就是棱 ，故 B 正确． 过 点有无数个平面与直线 ､ 都相交，故 C 不正确． 过 点有且只有一个平面与直线 ､ 都平行，此平面就是过 点与正方体的上下底都 平行的平面，故 D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查空间中过定点的直线与已知直线是否相交、平行以及过定点的平面与已知 直线是否相交、平行，基础题. 11.已知函数 的部分图象如图所示，若将函 数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列命题正确的是（ ）． A. 函数 的解析式为 1C C N //MN AB MN AB= BN 1 1B C H A B M N H HM AB O M HO AB 1 1B C M AB 1 1B C 1DD M AB 1 1B C M AB 1 1B C M ( ) sin( 4 ) 0, 0,0 8f x A x A πω ϕ ω ϕ = + > > < M N MN MN y O C 2 8y x= − 2y = l 2 0x y− + = MON△ 8 2 ,M N p 2 px my= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2,y y 1 2x x+ m 1 2 1 | |2MONS OF y y= ⋅ −△ 1 2,y y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )1 2| | 16MN x x p= − + + =又 的中点到 轴的距离为 6，∴ ， ∴ ，∴ ． ∴所求抛物线的方程为 ．故 A 项正确； 抛物线 的准线方程是 ，故 B 项错误； 设直线 的方程是 ，联立 ， 消去 得 ，则 ， 所以 ，解得 ， 故直线 的方程是 或 ．故 C 项错误； ． 故 D 项正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不 求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________． 【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定形式，即可求解结论. 【详解】存在一个无理数，它的平方不是有理数， 全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论， 故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”． 故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数 【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题. 14.在 的展开式中 项的系数为__________． MN y 1 2 62 x x+− = 1 2 12x x+ = − 4p = 2 8y x= − C 2x = l 2x my= − 2 8 2 y x x my  = −  = − x 2 8 16 0y my+ − = 1 2 1 2 8 16 y y m y y + = −  ⋅ = − 2 1 2 8 4 12x x m+ = − − = − 1m = ± l 2 0x y− + = 2 0x y+ + = 1 2 1 1| |2 2MONS OF y y= ⋅ − = ×△ ( )2 1 2 1 22 4 64 64 8 2y y y y⋅ + − = + = 82x x  −   2x【答案】1120 【解析】 【分析】 求出二项展开式的通项，令 的指数为 2，求出项数，即可求解. 【详解】展开式的通项为 ， 令 ，得 ， 所以展开式中含 项的系数为 ． 故答案为： 【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题. 15.已知直线 （其中 ， ）与圆 交于点 ， ， 是坐标原点，则 __________， __________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先求出圆心 到直线 的距离，再由相交弦长公式，求出 ；设 的 中点为 ，则有 ，利用 ，根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由 ， 可知， 圆心到直线 的距离 ， ． 设 的中点为 ，则 ， ， . x 388 2 8 8 2 ( 2) r rr r rC x C x x −− ′ − = −   38 22 r− = 4r = 2x 4 4 8 ( 2) 1120C − = 1120 0Ax By C+ + = 2 2 2A B C+ = 0C ≠ 2 2 6x y+ = M N O | |MN = OM MN⋅ =uuuur uuuur 2 5 10− O 0Ax By C+ + = | |MN ,M N D OD MN⊥ 1 2OM OD ND= +uuuur uuur uuur 2 2 2A B C+ = 0C ≠ 0Ax By C+ + = 2 2 | | 1Cd A B = = + 2 2| | 2 | | 2 6 1 2 5MN OM d= − = − = ,M N D OD MN⊥ 1 2OM OD DM OD NM= + = +uuuur uuur uuuur uuur uuuur 21 1( ) 102 2OM MN OD NM MN MN⋅ = + ⋅ = − = −uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur故答案为： ； . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性 质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题. 16.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切 圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟 合方盖”的体积之比应为 ．若“牟合方盖”的体积为 ，则正方体的外接球的表面积为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱 长，外接球的直径为其对角线，即可求解. 【详解】因为“牟合方盖”的体积为 ， 又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ， 所以正方体的内切球的体积 球 ， 所以内切球的半径 ，所以正方体的棱长为 2， 所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即 ， 2 5 10− : 4π 16 3 12π 16 3 : 4π V 16 4 4 3 3 π π= × = 1r = 2 2 3R =所以 ，所以正方体的外接球的表面积为 ． 故答案为： . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间 的关系是解题的关键，属于基础题. 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步 骤． 17.① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并解决相应问题． 已知在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，若 ， ．且 ，求 的面积 的大小． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 已知条件等式结合面积公式和余弦定理求出 ，若选①由正弦定理求出 边，利用两角和 正弦公式求出 角，再由面积公式，即可求解.若选其它条件，结果一样. 【详解】因为 ， ， ，所以 ． 显然 ，所以 ，又 ，所以 ． 若选择① ，由 ， 得 ． 又 ， 的 3R = 2 24 4 ( 3) 12S Rπ π π= = = 12π 3B π= 2a = cos 3 1b A acosB+ = + ABC A B C a b c ABC S 2 2 24S b c a= + − 6b = ABC S A a C 2 2 24S b c a= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 1 sin2S bc A= 2 sin 2 cosbc A bc A= cos 0A ≠ tan 1A = (0, )A π∈ 4A π= 3B π= sin sin a b A B = 26sin 2 2sin 3 2 b Aa B × = = = sin sin[ ( )] sin( )C A B A Bπ= − + = + 3 2 1 2 6 2sin cos cos sin 2 2 2 2 4A B A B += + = × + × =所以 ． 若选择② ，由 ，得 ， ，所以 ． ， 所以 ． 若选择③ ， 所以 ，即 ， 所以 ，又 ， 所以 ，解得 ， 所以 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础 题. 18.已知数列 满足 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 1 3 3sin2 2S ab C += = 2a = sin sin a b A B = sin 3sin 2 b AB a = = 0, 2B π ∈   1cos 2B = sin sin[ ( )] sin( )C A B A Bπ= − + = + 6 2sin cos cos sin 4A B A B += + = 1 3 3sin2 2S ab C += = cos 3 1bcos A a B+ = + cos 1a B = 2 2 6 12 a ca ac + −⋅ = 2 26 2a c c= + − 2 2 226 2 6 6 2 32a c c c c= + − ⋅ = + − 2 26 2 6 2 3c c c c+ − = + − 3 1c = + 1 3 3sin2 2S bc A += = { }na * 1 ( 1) 1( )n nna n a n+ − + = ∈N 1 1a = { }na { }nb 13 n n n ab −= { }nb n nS 2 1na n= − 1 13 3n n nS − += −（1）根据已知可得 ，由累加法可得 ，进而求出 的通项公式； （2）由（1）得 ，用错位相减法，即可求出 的前 项和 ． 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， ， … ， 所以 ． 又 ，所以 ，所以 ． 又 ，也符合上式， 所以对任意正整数 ， ． （2）结合（1）得 ，所以 ，① ，② ，得 ， ， 所以 ． 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前 项和，考查逻辑推理、 数学计算能力，属于中档题. 1 1 1 1 1 n na a n n n n + − = −+ + na n { }na 1 2 1 3n n nb − −= { }nb n nS 1 ( 1) 1n nna n a+ − + = 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n na a n n n n n n + − = = −+ + + 1 1 1 ( 2)1 1 n na a nn n n n −− = − ≥− − 1 2 1 1 1 2 2 1 n na a n n n n − −− = −− − − − 2 1 1 112 2 a a− = − 1 11 ( 2)na a nn n − = − ≥ 1 1a = 2 1na n n n −= 2 1( 2)na n n= − ≥ 1 1a = n 2 1na n= − 1 2 1 3n n nb − −= 0 1 2 3 1 1 3 5 7 2 1 3 3 3 3 3n n nS − −= + + + + +… 2 3 1 1 3 5 2 1 3 3 3 3 3n n nS −= + + + +… −① ② 2 1 2 1 1 1 2 11 23 3 3 3 3n n n nS − − = + + + + −  … 11 12 [1 ( ) ] 2 1 2 23 31 21 3 31 3 n n n n n −× − − += + − = − − 1 13 3n n nS − += − n19.如图，在三棱柱， 中，侧面 菱形， 是 中点， 平面 ，平面 与棱 交于点 ， ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）由已知可得 平面 ，由线面平行的性质定理，可得 ，再由面面 平行的性质定理，可证 ，即可证明结论； （2）根据已知可得 两两互相垂直，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ， ，确定出点 坐标，求出平面 法向量坐标，由空间 向量的线面角公式，建立 关系，即可求解. 【详解】（1）证明：在三棱柱 中，侧面 为平行四边形， 所以 ，又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 且平面 平面 ，所以 ． 因为在三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 平面 ，平面 平面 ． 所以 ，故四边形 为平行四边形． 是1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C D AC 1A D ⊥ ABC 1BB D 1 1AC E AB BC= 1BB ED 1CB 1 1ABB A 39 13 AC BD 4AC BD = 2 3 AC BD = 1B B∥ 1 1A ACC 1B B DE∥ 1BD B E 1, ,DB DC DA D BD a= AD b= 1 1, , , , ,A A B E C B 1 1ABB A ,a b 1 1 1ABC A B C− 1 1A ABB 1 1B B A A 1B B ⊄ 1 1A ACC 1A A ⊂ 1 1A ACC 1B B∥ 1 1A ACC 1B B ⊂ 1BB D 1BB D ∩ 1 1A ACC DE= 1B B DE∥ 1 1 1ABC A B C− ABC∥ 1 1 1A B C 1BB D ∩ ABC BD= 1BB D ∩ 1 1 1 1A B C B E= 1BD B E 1B BED（2）在 中，因为 ， 是 的中点，所以 ． 因为 平面 ，所以 ， ， 以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴， 建立如图空间直角坐标系 ． 设 ， ，在 中， ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， 则所以 ， ． 因为 ，所以 ， 即 ．因为 ，所以 ． 设平面 的法向量为 ． 因为 ，即 ，所以 ． 令 ，则 ， ，所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 或 ，即 或 ， 所以 或 ． ABC AB BC= D AC BD AC⊥ 1A D ⊥ ABC 1A D BD⊥ 1A D AC⊥ DB AC 1A D x y z D xyz− BD a= AD b= 1AA D△ 1 2AA AD= 1 90A DA∠ = ° 1 3A D b= (0,0,0)D (0, ,0)A b− 1(0,0, 3 )A b ( ,0,0)B a 1 (0, , 3 )AA b b=uuur ( , ,0)AB a b=uuur (0, , 3 )E b b 1 ( , , 3 )DB DE DB a b b= + =uuuur uuur uuur 1( , , 3 )B a b b (0, ,0)C b 1 ( ,0, 3 )CB a b=uuur 1ABB A ( , , )n x y z= 1 0 0 n AA n AB  ⋅ =  ⋅ =   3 0 0 by bz ax by  + = + = 3 3 y z bx za  = − = z a= 3y a= − 3x b= ( 3 , 3 , )n b a a= −r 1 1 2 2 2 2 21 2 3| cos , | | | 3 3 3 n CB abn CB n CB b a a a b ⋅ 〈 〉 = = + + × + uuurruuurr uuurr 2 2 2 2 2 3 39 134 3 3 ab a b a b = + + 4 2 2 44 37 9 0a a b b− + = 2 21 4a b= 2 29a b= 1 2a b= 3a b= 4AC BD = 2 3 AC BD =【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线平行以及空间向量法求线面角，注 意空间平行关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20.某服装店每年春季以每件 15 元的价格购入 型号童裤若干，并开始以每件 30 元的价格出 售，若前 2 个月内所购进的 型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的 型号童裤将以每 件 10 元的价格低价处理（根据经验，1 个月内完全能够把 型号童裤低价处理完毕，且处理 完毕后，该季度不再购进 型号童裤）．该服装店统计了过去 18 年中每年该季度 型号童 裤在前 2 个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）． 前 2 月内的销售量（单位：件） 30 40 50 频数（单位：年） 6 8 4 （1）若今年该季度服装店购进 型号童裤 40 件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售 型号童裤获取利润 的分布列和期望；（结果保留一位小数） （2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 型号童裤时所获得的平均利润 最大． 【答案】（1）分布列见解析， 元；（2）40 件 【解析】 【分析】 （1）先求出利润 的可能值，根据过去 18 年中销售量的频数表，得出 对应的概率，得到 的分布列，求出期望； （2）分别求出购进 型号童裤 30 件、40 件、50 件时，利润的期望值，比较即可得出结论. 【详解】（1）设服装店某季度销售 型号童裤获得的利润为 （单位：元）． M M M M M M M M X M ( ) 533.3E X ≈ X X X M M X当需求量为 30 时， ， 当需求量为 40 时， ， 当需求量为 50 时， ． 所以 ， ． 故 的分布列为 400 600 则 （元）． 所以服装店今年销售 型号童裤获得的利润均值为 533.3 元． （2）设销售 型号童裤获得的利润为 ． 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则服装店每年该季度购进的 型号童裤的件数取值可能为 30 件，40 件，50 件． 当购进 型号童裤 30 件时， ； 当购进 型号童裤 40 件时， ； 当购进 型号童裤 50 件时， ． 所以服装店每年该季度在购进 40 件 型号童裤时所获得的平均利润最大． 【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望，考查应用数学知识解决实际问题，考查计数学 建模、数学计算能力，属于中档题. 15 30 5(40 30) 400X = × − − = 15 40 600X = × = 15 40 600X = × = 1( 400) 3P X = = 2( 600) 3P X = = X X P 1 3 2 3 1 2 1600( ) 400 600 533.33 3 3E X = × + × = ≈ M M Y M M 3 4 2( ) (30 15) 30 (30 15) 30 (30 15) 30 4509 9 9E Y = − × × + − × × + − × × = M 3 4 2( ) [(30 15) 30 (15 10) 10] (30 15) 40 (30 15) 409 9 9E Y = − × − − × × + − × × + − × × 1600 533.33 = ≈ M 3 4 2( ) [(30 15) 30 (15 10) 20] [(30 15) 40 (15 10) 10] (30 15) 509 9 9E Y = − × − − × × + − × − − × × + − × × 4750 527.89 = ≈ M21.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，以 ， ， 和 为顶点的梯形的高为 ，面积为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 ， 为椭圆 上的任意两点，若直线 与圆 相切，求 面 积的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由梯形 的高求出 ，由梯形 的面积，建立关于 方程，结合 关系，即可求出椭圆标准方程； （2）设直线 的方程为： ，利用直线与圆 相切，得到 关系， 直线方程与椭圆方程联立，设 ， ，得出 关系，由相交弦长公式，求 出 关于 的函数，根据函数特征，求出其范围，再由 ，即可求 出结论. 【详解】（1）由题意，得 ，且 ， ∴ ，又 ，解得 ， ． ∴椭圆 的方程为 ． （2）如图，设 ， ， 当圆 的切线 的斜率存在时，设 的方程为： ， 切点为 ，连结 ，则 ． 因为 与圆 相切， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F ( , )M a b− ( , )N a b 2F 1F 3 3 3 C A B C AB 2 2 12: 7O x y+ = AOB 2 2 14 3 x y+ = 12 , 37      2 1MNF F b 2 1MNF F ,a c , ,a b c l y kx m= + 2 2 12: 7O x y+ = ,k m ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2,x x | |AB k 1 2 3 | |2 7AOBS AB= × ×△ 3b = 2 2 3 3 32 a c+ ⋅ = 3a c+ = 2 2 3a c− = 2a = 1c = C 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y O l l y kx m= + H OH OH AB⊥ l 2 2 12: 7O x y+ =所以 ，所以 ． 联立 ，整理得 ． 所以 ， ． 又 ． ①若 时， ． 因为 ， 当且仅当 时，“ ”成立． 2 | | 12 71 md k = = + ( )2 2 12 1 7 k m + = 2 2 14 3 y kx m x y = + + = ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 264 16( 3)(4 3)k m m k∆ = − − + 2 2 2 48(16 9)48(4 3) 07 kk m += − + = > 1 2 2 8 4 3 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k −= + ( )22 1 2 1 2| | 1 4AB k x x x x= + ⋅ + − ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 64 4 4 12 4 3 1 4 3 k m m k k k − − + = + ⋅ + ( ) ( ) 2 2 2 22 48 3 4 1 4 3 k m k k + − = + ⋅ + ( )( ) ( ) 2 2 22 1 9 164 3 7 4 3 k k k + + = + 2 4 2 4 3 1 16 24 97 k k k = + + + 0k ≠ 2 2 4 3 1| | 1 97 16 24 AB k k = + + + 2 2 916 24 2 16 9 24 48k k + + ≥ × + = 3 2k = ± =所以 即 ． ②当 时， ，所以 ． 又 ， 所以 ． 当圆 的切线斜率不存在时，则 的方程为 或 ． 此时 ， 的坐标分别为 ， 或 ， ．此时 ． 综上， 面积的取值范围为 ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与 系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 22.已知函数 ， ， 、 . （1）若 ，且函数 的图象是函数 图象的一条切线，求实数 的值； 2 2 1 10 9 4816 24k k ∴ < ≤ + + 2 2 4 3 4 3 1 4 3 11 1 79 487 7 716 24k k < + ≤ + = + + 4 3 | | 7 7 AB< ≤ 0k = 4 3| | 7 AB = 4 3 | | 7 7 AB≤ ≤ 2 3| | 7 OH = 1 2 3 12| | | | | | , 32 72 7AOBS AB OH AB  = ⋅ = ∈   △ O AB 12 7x = 12 7x = − A B 12 12,7 7       12 12,7 7  −    12 12,7 7  −    12 12,7 7  − −    12 7MBBS =△ AOB 12 , 37      ( ) xf x e= ( )g x ax b= + a b R∈ ( )1 0g − = ( )g x ( )f x a（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若对任意实数 ，函数 在 上总有零点，求实数 的取值范 围． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】 【分析】 （1）由 得出 ，由此得出 ，设切点为 ，由题意得出 ，可求出 的值； （2）由参变量分离法得出 ，构造函数 ，利用导数分析得出 ， 由此可得出实数 的取值范围； （3）根据题意，对函数 求导可得 ，对实数 分 和 两种情 况讨论，分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出实数 的取值范围. 【详解】（1）由 ，得 ， ， 设函数 与函数 相切于点 ，则 ， 由题意可得 ，解得 ，因此， ； （2）由题意得 ， 恒成立． 令 ， ，则 ， 再令 ，则 ，令 ，解得 . 故当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， 从而，函数 在 上有最小值 ， 即有 在 上恒成立， ( ) 2f x x m> + ( )0,x∈ +∞ m a ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )0, ∞+ b 1 ( ],1−∞ ( )1,+∞ ( )1 0g − = b a= ( )g x ax a= + ( )0 0 , xx e ( ) 0 0 0 1 x x e a e a x  = = + a 2xm e x< − ( ) 2xh x e x= − ( ) 1h x > m ( )y F x= ( ) xF x e a′ = − a 0a < 0a ≥ ( )y F x= b ( )1 0g a b− = − + = b a= ( )g x ax a∴ = + ( )y f x= ( )y g x= ( )0 0 , xx e ( ) xf x e′ = ( ) 0 0 0 1 x x e a e a x  = = + 0 0 1 x a =  = 1a = 2xm e x< − ( )0,x∈ +∞ ( ) 2xh x e x= − ( )0,x∈ +∞ ( ) 2xh x e x′ = − ( ) ( ) 2xx h x e xϕ ′= = − ( ) 2xx eϕ′ = − ( ) 0xϕ′ = ln 2x = ( )0,ln 2x∈ ( ) 0xϕ′ < ( )y xϕ= ( )ln 2,x∈ +∞ ( ) 0xϕ′ > ( )y xϕ= ( )y xϕ= ( )0, ∞+ ( )ln 2 2 2ln 2 0ϕ = − > ( ) 0h x′ > ( )0, ∞+所以，函数 在 上单调递增，故 ，所以 . 因此，实数 的取值范围是 ； （3）由题意可得 ，其导数 . ①当 时， 对任意的 恒成立，则函数 在 上为增函数， 若函数 在 上总有零点，则有 ，解得 ； ②当 时，令 ，解得 . 当 时， ；当 时， . 所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 则函数 在 处取得最小值，即 . （i）当 时，即当 时，对任意的 ， ， 则函数 区间 上单调递增， 若函数 在区间 上恒有零点，则 ，解得 ； （ii）当 时，即当 时，若 ，则 ；若 ，则 . 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ，可得 . 构造函数 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在区间 上单调递减，则 ， . 综上所述，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性和最值，同时也考查了函数的零点问题以及导 数的几何意义，解题时注意导数与函数单调性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力， 属于难题. 在 ( )y h x= ( )0, ∞+ ( ) ( )0 1h x h> = 1m £ m ( ],1−∞ ( ) ( ) ( ) xF x f x g x e ax b= − = − − ( ) xF x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0F x′ > x∈R ( )y F x= R ( )y F x= ( )0, ∞+ ( )0 1 0F b= − < 1b > 0a > ( ) 0xF x e a′ = − = lnx a= lnx a< ( ) 0F x′ < lnx a> ( ) 0F x′ > ( )y F x= ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( )y F x= lnx a= ( ) ( )min ln lnF x F a a a a b= = − − ln 0≤a 0 1a< ≤ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )y F x= ( )0, ∞+ ( )y F x= ( )0, ∞+ ( )0 1 0F b= − < 1b > ln 0a > 1a > 0 lnx a< < ( ) 0F x′ < lnx a> ( ) 0F x′ > ( )y F x= ( )0,ln a ( )ln ,a +∞ ( ) ( )min ln ln 0F x F a a a a b∴ = = − − < lnb a a a> − ( ) lnt a a a a= − 1a > ( ) ln 0t a a′ = − < ( ) lnt a a a a= − ( )1,+∞ ( ) ( )1 1t a t< = 1b∴ ≥ b ( )1,+∞