2020 年中卫市高考第二次模拟考试
文科数学
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据复数的乘法运算，求得 ，再求其共轭复数即可.
【详解】因为 ，
故可得 .
故选：A.
【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式求出集合 A、B，然后再根据集合的交运算即可求解.
【详解】由 ，
，
所以 .
故选：C
【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
3.已知向量 ， ，则 （ ）
i(1 i)z = − z =
1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− +
z
i(1 i)z = − 1 i= +
z = 1 i−
{ }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { | 2 4}B x x= ≥ A B =
[ 1,3]− [2, )+∞ [2,3] [ 1,2]−
{ } { } [ ]2| 2 3 0 1 3 1,3A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ = −
{ } [ ){ | 2 4} 2 2,B x x x x= ≥ = ≥ = +∞
A B = [2,3]
(1,2)a b+ = ( 3,0)a b− = − a b⋅ = A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量加减的坐标运算求出 ， ，再根据向量数量积的坐标运算即可求
解.
【详解】由 ， ，
两式联立，可得 ， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积 坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于
基础题.
4.已知命题 ：任意 ，都有 ；命题 ： ，则有 ．则下列命题为真
命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别判断命题 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.
【详解】 为真命题；命题 是假命题，比如当 ,
或 时，则 不成立.
则 ， ， 均为假.
故选:B
【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.
5.已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
的
1− 3−
( )1,1a = − ( )2,1b =
(1,2)a b+ = ( 3,0)a b− = −
( )1,1a = − ( )2,1b =
1 2 1 1a b⋅ = − × + = −
p 4x ≥ 2log 2x ≥ q a b> 2 2a b>
p q∧ ( )p q∧ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∨
,p q
p q 0 a b> >
=1 2a b = −， 2 2a b>
p q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∨
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = 0 1x≤ ≤ 3( )f x x=
5
2f − = A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知函数是以 为周期的函数，从而可得 ，再根据函数为奇函数
可得 ，将 代入表达式即可求解.
【详解】由 满足 ，
所以函数的周期 ，
又因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.
6.已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点， ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
【答案】C
【解析】
点 A 到抛物线的准线： 的距离为： ，
利用抛物线的定义可得： ，
求解关于实数 的方程可得： .
本题选择 C 选项.
7.已知 , ,则 （ ）
27
8
− 1
8
− 1
8
27
8
2 5 1
2 2f f − = −
1 1
2 2f f − = −
1
2x =
( )f x ( 2) ( )f x f x+ =
2T =
( )f x 0 1x≤ ≤ 3( )f x x=
5 1 1 1
2 2 2 8f f f − = − = − = −
2:C y x= F 0 0( , )A x y C 0
5| | 4AF x= 0x =
1
4x = − 0
1
4d x= +
0 0
1 5
4 4x x+ =
0x 0 1x =
0, 2
πα ∈ 2sin2 1 cos2α α− = cosαA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ,代入已知式子中,可求出 ,再结
合 即可求解.
【详解】解: ,
即 .又
,
故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三
角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.
8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 10 B. 5 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可
求解.
【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：
1
5
5
5
3
3
2 5
5
2sin2 2sin cos ,cos2 2cos 1α α α α α= = − 2sin cosα α=
2 2sin cos 1α α+ =
2sin2 1 cos2α α− = 24sin cos 1 cos2 2cosα α α α∴ = + =
2sin cosα α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 5cos 5
α∴ = ±
0, 2
πα ∈ cos 0α∴ > 2 5cos 5
α∴ =三棱柱 截去一个三棱锥 ，如图：
该几何体的体积： .
故选：C
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了
学生的空间想象能力，属于基础题.
9.设 F1、F2 是双曲线 的左右焦点，若双曲线上存在一点 A 使∠F1AF2=90°，且
|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因 为 ， 根 据 双 曲 线 的 几 何 定 义 可 得 ， ， 所 以
． 在 中 ， 因 为 ， 所 以
，即 ，所以 ，则 ，故选 B．
10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾
八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和
15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
1 1 1ACD AC D− 1D ACD−
1 1 1 1
1 1 14 3 5 4 3 5 202 3 2ACD A C D D ACDV V V− −= − = × × × − × × × × =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
5
2
10
2
15
2 5
1 23AF AF= 1 2 22 2a AF AF AF= − =
2 1, 3AF a AF a= = 1 2Rt F AF∆ 2 1 1 2, 3 , 2AF a AF a F F c= = =
2 2 2(3 ) (2 )a a c+ = 2 25 2a c= 10
2c a= 10
2
ce a
= =
3
20
π 3
10
π
4
π 2
5
π【分析】
根据直角三角形的内切圆半径 （ ， 为直角边， 为斜边），求出圆的面积，
再利用几何概型-面积比即可求解.
【详解】由题意两直角边为 ，斜边 ，
所以内切圆半径 ，
所以落在其内切圆内的概率：
，
故选：A
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.
11.函数 在区间 上是单调函数，且 的图像关于点 对称，
则 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的单调区间，解得 的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.
【详解】因为 在区间 上是单调函数，
则由 ，可得 ，
则 ，解得 .
又因为 的图像关于点 对称，
故可得 ，即 ，
解得 .
结合 的取值范围，即可得 或 .
2
a b cr
+ −= a b c
8, 15a b= = 2 28 15 17c = + =
8 15 17 32 2
a b cr
+ − + −= = =
23 3
1 208 152
P
π π×= =
× ×
( ) cos ( 0)f x xω ω= > π[0, ]2
( )f x 3( )4 π,0M
ω =
2
3
10
3
2
3 2 14
3 2 10
3
14
3
ω
( ) cos ( 0)f x xω ω= > π[0, ]2
0, 2x
π ∈ 0, 2x
πω ω ∈
2
π ω π≤ ( ]0,2ω ∈
( )f x 3( )4 π,0M
3cos 04
πω = 3 ,4 2k k Z
πω ππ= + ∈
4 2 ,3 3
k k Zω = + ∈
ω 2
3
ω = 2故选：B.
【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题.
12.函数 ，关于 的方程 恰有四个不同实数根，则正
数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论 的根的情况，结合根的分
布求解.
【详解】 ，令 ，得 或 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，且 ;
当 时， ，函数 在 上单调递减;
当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以极大值 ，极小值 ，作出大致图象：
令 ，则方程 有两个不同的实数根，
( ) ( )2 3 xf x x e= − x ( ) ( )2 1 0f x mf x− + =
m
( )0,2 ( )2,+∞
3
3
60, 6
e
e
+
3
3
6 ,6
e
e
+ +∞
2 1 0t mt− + =
( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 1x xx x e xf ex x= + − = + −′ ( ) 0f x′ = 3x = − 1x =
3x < − ( ) 0f x′ > ( )f x ( ), 3−∞ − ( ) 0f x >
3 1x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )3,1−
1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,+∞
( ) 3
63f e
− = ( )1 2f e= −
( )f x t= 2 1 0t mt− + =且一个根在 内，另一个根在 内，
或者两个根都在 内.
因为两根之和 为正数，所以两个根不可能在 内.
令 ，因为 ，所以只需 ，即 ，得
，即 的取值范围为 .
故选：D
【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数
图象特征，结合二次方程根 分布知识求解.
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习 10 组，每组罚球 40 个，每组命中个
数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.
【答案】甲.
【解析】
【分析】
甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从
数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高
【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，
而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．
从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．
故答案为甲
【点睛】画茎叶图时的注意事项
（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的
的
3
60, e
3
6 ,e
+∞
( )2 ,0e−
m ( )2 ,0e−
( ) 2 1g x x mx= − + ( )0 1 0g = > 3
6 0g e
+ m
3
3
6 ,6
e
e
+ +∞
( ) ( )2 3 xf x x e= −数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，
把小数部分作为叶；
（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．
（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．
（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．
14.已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
分析】
求出导函数 ，令 ，求出 ，从而求出函数表达式以及导函数表
达式，求出 以及 ，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.
详解】由 ，则 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，
即为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础
题.
15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 ，与观测站 A 距离 海
里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北
的 C 处，且 ，已知 A、C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速
为海里／小时___________．
【
【
2( ) 2 (2)f x x xf ′= + ( )y f x= (1, (1))f
6 1 0x y+ + =
( ) 2 2 (2)f x x f′ ′= + 2x = ( )2f ′
( )1f ( )1f ′
2( ) 2 (2)f x x xf ′= + ( ) 2 2 (2)f x x f′ ′= +
2x = (2) 4 2 (2)f f′ ′= + ( )2 4f ′ = −
2( ) 8f x x x= − ( ) 2 8f x x′ = −
( )1 7f = − (1) 2 1 8 6f ′ = × − = −
( )y f x= (1, (1))f ( )7 6 1y x+ = − −
6 1 0x y+ + =
6 1 0x y+ + =
45 20 2
(0 45 )θ θ< 1 2,F F C P
1
2
C
2F l
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ,A B x P
PA PB⋅
2 2
14 3
x y+ = 11( ,0)8P PA PB⋅
P 1
2
2 2 2a b c= +
a b c a b
y x PA PB⋅ 1 2 1 2x x y y+
( ) 2
2
2
5 8 12
4 3
n k nk
+ + ++
5 8 12
4 3
n+ =设 , ,把 代入椭圆 的方程 ,消去 并整理得,
,则 , ,
可得 .设点 ,
那么
,
若 轴上存在定点 ,使得 为定值,则有 ,解得 ,
此时, ,
当直线 的斜率不存在时,此时直线 的方程为 ,把 代入椭圆方程 解得
,
此时, , , ,
综上,在 轴上存在定点 ,使得 为定值.
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问
题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和
数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去
变量，从而得到定值.
21.已知函数 ．
（1）若函数 在 ， 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 处的切线平行于 轴，是否存在整数 ，使不等式
在 时恒成立？若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）a ；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
21( ) 2f x lnx ax x= − −
( )f x [1 )+∞ a
( )f x 1x = x k
[ ( ) 1] ( 2)x f x x k x+ − > − 1x > k
1
4
≤ −【分析】
（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 的取值范围；
（2）问题转化为即 在 时恒成立，令 ，
求导后分 和 求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．
【详解】解：（1） 函数 在 ， 上单调递增，
在 ， 上恒成立，
，
当 时， 有最小值 ，
；
（2） ，
（1） ，
函数 在 处的切线平行于 轴，
，
，
不等式 在 时恒成立，
在 时恒成立，
即 在 时恒成立，
令 ， ，
，
当 时， 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
（1） ，则 ，矛盾，
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
a
( 1) 2 0xlnx k x k− + + > 1x > ( ) ( 1) 2g x xlnx k x k= − + +
1x > 0k 0k >
( )f x [1 )+∞
1( ) 1 0f x axx
∴ ′ = − − [1 )+∞
2
2
1 1 1 1 1( )2 4a x x x
∴ − = − −
∴ 2x = ( )21 1 1
2 4x
− − 1
4
−
1
4a∴ −
1( ) 1f x axx
′ = − −
f∴ ′ 1 1a a= − − = −
( )f x 1x = x
0a∴ =
( )f x lnx x∴ = −
[ ( ) 1] ( 2)x f x x k x+ − > − 1x >
( 2)xlnx x k x∴ − > − 1x >
( 1) 2 0xlnx k x k− + + > 1x >
( ) ( 1) 2g x xlnx k x k= − + + 1x >
( )g x lnx k∴ ′ = −
0k ( ) 0g x′ > (1, )+∞ ( )g x (1, )+∞
( )g x g> 1 0k= − > 1k >
0k > ( ) 0g x′ = kx e=
( ) 0g x′ > kx e>
( ) 0g x′ < 1 kx e<
( ) 2 kh k k e= − 0k >
( ) 2 kh k e∴ ′ = −
2k ln< ( ) 0h k′ > ( )h k
2k ln> ( ) 0h k′ < ( )h k
( ) ( 2) 2 2 2 2( 2 1) 0maxh k h ln ln ln∴ = = − = − <
∴ k 2 0kk e− >
k
l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
t x
C 2 sinmρ θ= m 0m＞ l C
,A B
2AB = m
P ( 1,2)− 4PA PB⋅ ＞ m
1m = 9( , )4
+∞圆的弦长公式求解.
（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有 求解.
【详解】（1）曲线 的极坐标方程可化为 ，
化为直角坐标系下的普通方程为： ，即 .
直线 的普通方程为： ，
而点 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）显然点 在直线 上，把 代入
并整理可得 ，
设点 对应的参数分别为 .
则 ，解得 或 .
则 ，解得 或 .
而 ， 实数 m 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，
参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23.已知 ，且 .
（1）求 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
分析】【
1 2| | | | | |PA PB t t⋅ =
C 2 2 sinmρ ρ θ=
2 2 2x y my+ = 2 2 2( )x y m m+ − =
l 1 0x y+ − =
(0, )m l | 1|
2
md
−=
2 21| | 2 ( ) 2
2
mAB m
−= − = 2 2 3 0m m+ − =
0m > 1m =
P l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 2x y my+ =
2 (3 ) 2 4 5 0t m t m+ − − + =
,A B 1 2,t t
22(3 ) 4( 4 5) 0m m∆ = − − − + > 1 2m < − − 2 1m > −
1 2| | | | | | | 4 5 | 4PA PB t t m⋅ = = − + > 9
4m > 1
4m <
0m > ∴ 9( , )4
+∞
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞ 2a b c+ + =
2a b c+ +
1 4 9 18a b c
+ + ≥
7 ,44
（1）由条件等式将 用 表示，再从 ，进一步求出 的范围，将问题转
化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；
（2）根据已知条件转化证明 ，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）依题意， ，故 .
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件
等式，属于中档题.
b c+ a 0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞ a
1 4 9( ) 36a b c a b c
+ + + + ≥
2 0a b c− = + ＞ 0 2a＜ ＜
( ) 2
2 2 1 72 2 4a b c a a a + + = + − = − +
( )2 27 2 2 2 44 a b c+ + + − =≤ ＜ 2a b c+ + 7 ,44
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞
( ) 1 4 9 4 9 4 914 b a c a c ba b c a b c a b a c b c
+ + + + = + + + + + +
4 9 4 914 2 2 2b a c a c b
a b a c b c
+ ⋅ + ⋅ + ⋅≥
14 2 4 2 9 2 36 36+ + + ==
1 2, , 13 3a b c= = =
2a b c+ + =
1 4 9 18a b c
+ + ≥
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