抚州市 2020 年高中毕业班教学质量监测卷
文科数学
说明：
1.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知全集 U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合 A＝{－1，1，2，4}，集合 B＝{x∈N|y＝
}，则 A∩( B)＝
A.{－1，2，3，4} B.{－1，4} C.{－1，2，4} D.{0，1}
2.已知 i 为虚数单位，z· ＝1＋2i，则复数 z 的虚部是
A. B. i C. i D.
3.已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝6，a5＋a7＝10，则 a18＝
A.12 B.13 C. D.
4.已知 a，b∈R，则“a＋2b＝0"是“ ＝－2”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 的大小关系是
A. B.
C. D.
6.已知 tan(α＋ )＝ ，则 sin(2α＋ )＝
A. B.－ C. D.－
7.设 x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且 a⊥c，b//c，则|2a＋3b－c|＝
A.2 B. C.12 D.2
8.设函数 f(x)＝ex＋2x－4 的零点 a∈(m，m＋1)，函数 g(x)＝lnx＋2x 2－5 的零点 b∈(n，n＋
1)，其中 m∈N，n∈N，若过点 A(m，n)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝1 的切线 l，则 l 的方程为
A.y＝ B.y＝± x＋1 C.y＝1 D.x＝0，y＝1
4 2x− U
2
1 i−
3
2
3
2
1
2
1
2
13
3
14
3
a
b
1 1
3 2
32 ,5 ,log 2
−
1 1
3 2
32 5 log 2
−< <
11
32
35 2 log 2
− < <
11
32
3log 2 5 2
−< <
11
32
35 log 2 2
− < <
6
π 3
5
−
3
π
8
17
8
17
15
17
15
17
34 26 10
3 13 x± + 39.若点(x，y)在不等式组 表示的平面区域内，则实数 z＝ 的取值范围是
A.[－1，1] B.[－2，1] C.[－ ，1] D.[－1， ]
10.已知三棱锥 A－BCD 的顶点均在球 O 的球面上，且 AB＝AC＝AD＝ ，∠BCD＝π，若
H 是点 A 在平面 BCD 内的正投影，且 CH＝ ，则球 O 的表面积为
A.4 π B.2 π C.9π D.4π
11.函数 f(x)＝lnx－ x2 的大致图像是
12.已知点 F 为双曲线 E： 的右焦点，若在双曲线 E 的右支上存在点
P，使得 PF 中点到原点的距离等于点 P 到点 F 的距离，则双曲线 E 的离心率的取值范围是
A.(1，3) B.(1，3] C.(1， ] D.[ ，3]
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第 13～21 题为必考题，每个考生都必须作答第 22～
23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.中华文化博大精深，丰富多彩。“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见
的一种传统纹样，为了测算某组合花纹(如图阴影部分所示)的面积，作一个半径为 1 的圆将其
包含在内，并向该圆内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分，据此可估计阴
影部分的面积是 。
14.抛物线 y＝ax 2(a>0)的焦点与椭圆 的一个焦点相同，则抛物线的准线方程
是 。
1 0
1 0
3 3 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− − ≤
− + ≥
2 1
1
y
x
−
+
1
2
1
2
3
2
3 3
1
4
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
3 3
2
2 110
y x+ =15.已知函数 f(x)＝ ，对任意 x1，x2∈(－∞，＋∞)，都有 ，
则实数 a 的取值范围为 。
16.在三角形 ABC 中，|AB|＝2，且角 A，B，C 满足 ＝ cos2(A＋B)，三角形 ABC
的面积的最大值为 M，则 M＝ 。
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分。
17.(本小题满分 12 分)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状走向速度厚度颜色
等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，
地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜
后”，观察了所在地区 A 的 200 天日落和夜晚天气，得到如下 2×2 列联表：
参考公式：
(1)根据上面的列联表判断，能否有 99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”
有关?
(2)小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天
气中按分层抽样法抽取 4 天，再从这 4 天中随机抽出 2 天进行数据分析，求抽到的这 2 天中
仅有 1 天出现“日落云里走”的概率。
18.(本小题满分 12 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S7＝49，a2＋a8＝18。
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若 S3、a17、Sm 成等比数列，求 S3m。
19.(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为对角
线的交点，E 为 PD 上的一点，PD⊥平面 ABE，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝2，AB＝1，AC＝
。
(1)求证：AB⊥AD。
(2)求三棱锥 P－ABE 的体积。
2log , 4
2 3, 4
x x
ax x
≥
− −
2 72sin 2 4
C − 1
2
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
520.(本小题满分 12 分)已知离心率为 的椭圆 C： 的左顶点为 A，左
焦点为 F，及点 P(－4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。
(1)求椭圆 C 的方程
(2)斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记 ，线段 MN
上的点 Q 满足 ，试求△OPQ(O 为坐标原点)面积的取值范围。
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝lnx－ax。
(1)若函数 f(x)在定义域上的最大值为 1，求实数 a 的值
(2)设函数 h(x)＝(x－2)ex＋f(x)，当 a≥1 时，h(x)≤b 对任意的 x∈( ，1)恒成立，求满足条件
的实数 b 的最小整数值。
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用
2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (t 为参数)，在以坐标原点 O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ－ )－ ＝0。
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程。
(2)设点 P 是圆 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最小值
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－2|－x－1，函数 g(x)＝－|x－4|－x＋2m－1。
(1)当 f(x)>0 时，求实数 x 的取值范围。
(2)当 g(x)与 f(x)的图像有公共点时，求实数 m 的取值范围。
2020 年高三质量监测文科数学参考答案
1. 【答案】B.
解析: 依题意可知， ， ，所以 ，
所以 . 故选 B.
2. 【答案】D
解析: ，所以 的虚部是 . 故选 D.
2
2
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
PM PNλ=
MQ QNλ=
1
3
6 cos
1 sin
x t
y t
= − +
= − +
4
π
2
{ 1,0,1,2,3,4}U = − {0,1,2}B = { 1,3,4}UC B= −
( ) {-1,4}UA C B∩ ==
(1 i)(1 2i) 3 1
2 2 2z i
− += = + z 1
23. 【答案】B
解析: 由题意，设公差为 d，则 ，解得 ，
所以 ，故选 B.
（巧解）由题意，数列 是等差数列，可得 ，所以
， ，故选 B.
4. 【答案】B.
解析:当 成立时，不妨设 ，此时不满足 ，所以不是充分条件；当
，则有 ，即 ，所以是必要条件. 故选 B.
5. 【答案】D.
解析： ， ，
所以
6. 【答案】D.
解析：设 ，则 ，∵ ，
∴
7. 【答案】A.
解析:
.
8. 【答案】A.
解析: 依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)的零点 a∈
(0,1)，g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，且函数 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数 g(x)的
零点 b∈(1,2)，于是 ．设切线 l 的方程为 故由点线距离
公式或平面几何知识，可得 选 A.
=+++
=+++
1064
63
11
11
dada
dada
3
2
3
5
1 == ，da
18 1 17 13a a d= + =
}{ na 32 6 =10=a a6， 2
6 3 2
6 3 3
a ad
−= =− 18 3 18-3 13a a d= + =（ ）
2 0a b+ = 0a b= = 2a
b
= −
2a
b
= − 2a b= − 2 0a b+ =
122 03
1
=> 3 3
11 log 2 log 3 2
> > =
1
2 1 1 15 25 4
− = < =
11
32
35 log 2 2
− < <
6
πα θ+ = 2 23
πα θ+ = 3tan( ) tan6 5
πα θ+ = = −
2
2tan 15sin 2 .1 tan 17
θθ θ= = −+
2 2 0 1 (1,1), / / 4 2 0 2 (2, 2)a c x x a b c y y b⊥ ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒
2 3 10 6 2 3 2 34a b c a b c+ − = − + − = （ ， ）,
=0 =1 (0,1)m n A， ， 1( ),y kx k= + 显然 存在
3
3k =± ，9. 【答案】C.
解析:
由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，其中
， ，
设 表示定点 与 连线
的
斜率，显然 ，
故 ，选 C.
10. 【答案】 C.
解析: 因为 ，所以由三角形全等可得 ，
即 是 的外心，即 是斜边 的中点，则球心 O 在 上，由勾股定理可得
，得 ，设球 O 的半径为 ，则 ，所以 .
所以球 O 的体积为 ，故选 C.
11. 【答案】A.
解析：因为 f ′(x)＝1
x－ x＝
2－x2
2x (x>0)，所以当 00，当 x> 时，f ′(x) 1 3c
a
< <
P E 2
c aOM a
−= + PF c a= −由题意得 ，即 .
综上，得 故选 B.
（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）
13. 【答案】 .
解析： 半径为 1 的圆的面积 ，设阴影部分的面积为 S 阴，
∵该圆内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分，
∴ ，解得 S 阴
∴估计阴影部分的面积是 ．
14.【答案】 .
解析：∵椭圆 的焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，∴
抛物线的准线方程是 .
15. 【答案】 .
解析: 由题意， 在 上单调递增， ，解得 .
16. 【答案】
解析: ，即
因为
，
即 ，解得 ，所以 ，
设 分别为角 的对边，
由余弦定理得 ，即 .
2
c aa c a
−+ = − 3e =
1 3, 1 3.c ea
< ≤ ∴ < ≤
3
5
π
=圆S π
600
1000
=阴
圆
S
S
600 600 3 .1000 1000 5
= × = × =圆S π π
3
5
π
3y = −
2
2 110
+ =y x (0, 3)± )0(2 >= aaxy (0,3)
3y = −
50 8a< ≤
( )f x R 2 0
8 3 2
a
a
>
− ≤
50 8a< ≤
3 .3
28sin 2cos2( ) 72
C A B= + + 28sin 2cos2( ) 7 02
C A B− + − =
( )2 1 cos8sin 2cos2( ) 8 2cos22 2
C CA B Cπ−− + = ⋅ − −
( )2 24 4 cos 2 cos 2 4 4 cos 2 2 cos 1 4 cos 4 cos 6C C C C C C= − − = − − − = − − +
24cos 4cos 1 0C C+ + = 1cos 2C = − 2
3C
π=
cba ,, CBA ,,
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 24 a b ab= + +又因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
所以三角形 ABC 的面积
17．（本小题满分 12 分）
解析：（1）根据列联表,计算
， ……………………… 5 分
所以有 的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关. …… 6 分
（2）从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取 4 天，则从出现“日落云里走”的天气中应
抽取 1 天，从未出现“日落云里走”的天气中应抽取 3 天. .…………9 分
随机抽出 2 天，总的情况数为 6 种，仅有 1 天出现“日落云里走”的情况数为 3 种，所以根
据古典概型的公式得 ． ……………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解析:（1）设等差数列 的公差为 ，
为等差数列 的前 项和， ， ．
∴ ，解得 ，…………………………4 分
. .…………………………6 分
（2）由（1）知 ． …………………………8 分
、 、 成等比数列， ， …………………………9 分
即 ，解得 ， …………………………11 分
因此， .…………………………12 分
19.（本小题满分 12 分）
解析: (1)
2 24 2 3a b ab ab ab ab= + + ≥ + = 4
3ab ≤ =a b
1 3 3sin .2 4 3S ab C ab M= = ≤ =
( )( )( )( )
2
2 ( )n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2200 (90 30 10 70) =12.5 6.635100 100 160 40
× × − ×= >× × ×
99%
3 1
6 2P = =
{ }na d
nS { }na n 7 49S = 82 18a a+ =
4
2
7
5
4
8 5
7 49 7
2 18 9
S a a
a a a a
= = = ⇒ + = = = 2d =
( )4 4 2 1na a n d n∴ = + − = −
( ) 21 2 1
2n
n nS n
+ −= =
3S 17a mS 2
3 17mS S a∴ =
2 29 33m = 11m =
2
3 33 1089.mS == ……………………2 分
…………………4 分
且
. …………………………6 分
(2) 由（1）知底面 为长方形， ，
所以 E 为 PD 的中点， ………………………7 分
又 ， 平面 ，
……………………9 分
.…………………………12 分
20. （本小题满分 12 分）
解析：（1）依题意： ，解得 ， ……… 4 分
所以椭圆 的方程是 ； ……………… 5 分
（2）解法一：
设 ，则 ，
相减得： ……(*) ………………7 分
又由 ，知 ， ，
由 ，知 ， ， ……………… 9 分
代入(*)式得： ，即 ， ……………… 10 分
,PA ABCD AB PAAB ABCD
⊥ ⇒ ⊥⊂
平面
平面
,PD ABE AB PDAB ABE
⊥ ⇒ ⊥⊂
平面又 平面
,PA PD P AB PAD AD PAD∩ = ∴ ⊥ ⊂平面 平面
AB AD∴ ⊥
ABCD ADAB ⊥ 1 = 5AB AC= ∴， ， AD=2,
,AD PA AB AP A⊥ ∩ = AD∴ ⊥ PAB
E P A B P A B∴ 点 到 平 面 的 距 离 等 于 点 D到 平 面 的 距 离 的 一 半 .
1 1.2 3P ABE E PAB D PABV V V− − −∴ = = =
2
2
2
4
c
a
a c
=
=
2,
2
2 2
c
b
a
= ⇒ = =
C
2 2
18 4
x y+ =
1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )M x y N x y Q x y
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
1 18 4 8 4
18 4 8 4
x y x y
x y x yλ λ λ
+ = + = ⇒
+ = + =
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 18(1 )(1 ) 4(1 )(1 )
x x x x y y y yλ λ λ λ
λ λ λ λ
+ − + −+ =+ − + −
PM PNλ= 1 2 41
x xλ
λ
− = −−
1 2 01
y yλ
λ
− =−
MQ QNλ= 1 2
31
x x x
λ
λ
+ =+
1 2
31
y y y
λ
λ
+ =+
3
1 ( 4) 0 18 x⋅ ⋅ − + = 3 2x = −又因为点 在椭圆内，所以 ， ……………… 11 分
所以△ 的面积 . ……………… 12 分
解法二：设 ，则 ， ，
……………… 7 分
设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 8 分
所以 ，消去 得到 ，
所以 , ……………… 11 分
因此 △ 的面积 . ……………… 12 分
解法三：设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 6 分
所以 ， ， ……………… 7 分
，
原点 到直线 的距离 ……………… 9 分
所以△ 的面积
Q
22
3
3
( 2) 1 0 | | 28 4
y y
− + < ⇒ < <
OPQ 3 3
1 4 | | 2 | | (0,2 2)2S y y= × = ∈
1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )M x y N x y Q x y 1 2
1 2
4 ( 4)x x
y y
λ
λ
+ = +
=
1 2
3 1
+= +
y yy
λ
λ
l 4( 0)x ty t= − ≠ C
2 2( 2) 8 8 0t y ty+ − + = 0> 2 2t > | | 2t >
2 2
2
2 2
8(1 ) ,2
8
2
ty t
y t
λ
λ
+ = +
= +
2y
2 2
2
(1 ) 8
2
t
t
λ
λ
+ = +
2
3 2 2 2
2 2 8 2 8 2
1 1 ( 2)(1 ) (1 ) 2
y t ty t t t
λ λ λ
λ λ λ λ= = ⋅ = ⋅ =+ + + + + +
OPQ 3
1 44 | | (0,2 2)2 | |S y t
= × = ∈
l 4( 0)x ty t= − ≠ C
2 2( 2) 8 8 0t y ty+ − + = 0> 2 2t > | | 2t >
1 2 2
1 2 2
8 ,2
8
2
ty y t
y y t
+ = +
= +
2
1 2| | 1 | |MN t y y= + −
2
2
1 1 1PQ PM MQ MN MN MN
λ λ λ
λ λ λ= + = + =− + −
O l 2
4
1
d
t
=
+
OPQ 2
1 22 2
1 2 41 | |2 |1 | 1
S t y y
t
λ
λ= × + ⋅ − ⋅− + 1 22
4 | ||1 | y y
λ
λ= ⋅ −−因为 ，所以 .
……………… 12 分
21.（本小题满分 12 分）
解析：（1）由题意，函数的定义域为 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
在定义域上无最大值. .…………………………2 分
当 时，令 ， ,
由 ，得 ， ， ,
的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ,……4 分
所以函数
即 为所求. .…………………………6 分
（2）由 ，因为 对任意的 恒成立，
即 ，当 时，对任意的 恒成立，
， .
,
只需 对任意的 恒成立即可. …………………9 分
1
1 2
2
yy y y
λ λ= ⇒ =
1
2
1 22
1
2
2
4
| |
|1 |
y
yS y yy
y
= ⋅ −
−
1 2
1 2
4
| |
y y
y y
= +
4 (0,2 2)| |t
= ∈
( )0, ∞+ ( ) 1'f x ax
= −
0a ≤ ( ) 1' 0f x ax
= − > ( )f x ( )0, ∞+
( )f x∴
0a > ( ) 1' 0f x ax
= − = 1x a
=
( )' 0f x > 10,x a
∈
( )' 0f x < 1 ,x a
∈ +∞
( )f x 10, a
( )f x 1 ,a
+∞
max 2
1 1 1( ) ( ) = ( ) ln 1 1, ,f x f x f aa a e
= = − = ⇒ =极大值
2a e−=
( ) ( )2 lnxh x x e x ax= − + − ( )h x b≤ 1 ,13x ∈
( )2 lnxb x e x ax≥ − + − 1a≥ 1 ,13x ∈
1a ≥ 0x >
( ) ( )2 ln 2 lnx xx e x ax x e x x∴ − + − ≤ − + −
( )2 lnxb x e x x≥ − + − 1 ,13x ∈ 构造函数 , ,
， ,且 单调递增，
， , 一定存在唯一的 ，使得
即 ， . 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
,
的最小整数值为 . .……………………12 分
22．（本小题满分 10 分）选修 4─4： 极坐标系与参数方程
解析：（1）由 消去参数 ，得 ，
所以圆 的普通方程为 . .………………………2 分
由 ，得 ， .………………………3 分
所以直线 的直角坐标方程为 . .………………………5 分
（2）设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为
， .………………8 分
当 时， 取最小值， . .…………10 分
23．(本小题满分 10 分)选修 4─5：不等式选讲
解析：（1）当 时，即 ………………………1 分
即有 或 ，即 x∈Ø 或 x ， ..………………4 分
故实数 x 的取值范围为（﹣∞， ）； ..………………………5 分
（2）因为函数 与函数 的图像有公共点，
( ) ( )2 lnxg x x e x x= − + − ( ) ( ) ( )1 1' 1 1 1x xg x x e x ex x
= − + − = − −
1,13x ∈ 1 0x∴ − < ( ) 1xt x e x
= −
1
21 2 02t e = − ∴ 0
1 ,12x æ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø
( )0 0t x =
0
0
1xe x= 0 0lnx x= − ( )g x∴ 0
1,3 x
( )0 ,1x
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0max
0
12 ln 1 2 4, 3xg x g x x e x x x x
∴ = = − + − = − + ∈ − −
b∴ 3−
6 cos
1 sin
= − +
= − +
x t
y t t ( ) ( )2 26 +1 1+ + =x y
C ( ) ( )2 26 +1 1+ + =x y
sin( ) 2=04
− −πρ θ sin cos =2−ρ θ ρ θ
l 2 0x y− + =
P ( )6 cos , 1+sin− + −t t P l
3 2cos6 cos +1 sin 2 4
2 2
− + + − + − + = =
tt td
π
cos 14t
π + = d min
3 2 3 2 122
= − = −d
( ) 0f x > | 2 | 1x x− > +
+>−
≥−
12
02
xx
x
+>−
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