河北武邑中学 2019-2020 学年高三年级下学期第二次质检考
试
数学试题(文科)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时
间 120 分钟.
2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.
3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿
纸上作答无效.
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项
中,有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解集合 再求并集即可.
【详解】因为 , ,
所以 .
故选:B
【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2.已知 是虚数单位,且复数 ,且 是实数,则实数 的值为( )
A. 6 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
{ }2| 3 4 0A x x x= − − < { }| 2 3xB y y= = + A B =
[3,4) ( 1, )− +∞ (3,4) (3, )+∞
,A B
{ }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < < { }| 2 3xB y y= = + { | 3}y y= >
( 1, )A B = − +∞
i 1 23 , 1 2z bi z i= − = − 1
2
z
z b
6− 1
6【分析】
首先根据复数运算公式求出 ,由于 是实数,再根据复数的性质,令虚部为 0,即可求出
结果.
【详解】 ,∴ ,∵
是实数,∴ ,得 ,故选 A.
【点睛】本题主要考查复数 四则运算以及复数是实数的等价条件,根据复数的运算法则进
行化简是解决本题的关键.
3.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将
闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济
活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到
的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形
是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知,
图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选 D.
的
1
2
z
z
1
2
z
z
1 23 1 2z bi z i= − = − ,
( )( )
( )( )1
2
3 1 23 3 2 6
1 2 1 2 1 2 5 5
bi iz bi b b iz i i i
− +− + −= = = +− − +
1
2
z
z
6 05
b− = 6b =4.设 , ,则 的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用倍角公式求得 的值,利用诱导公式求得 的值,利用同角三角函数关系式求得
的值,进而求得 的值,最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】 , ,
, ,
, , ,
,
故选:D.
【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题,涉及到的知识点有诱导公式,正切倍角公式,
同角三角函数关系式,正切差角公式,属于基础题目.
5.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释
我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的
两仪数量总和.已知该数列前 10 项是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数
列中奇数项的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接代入检验,排除其中三个即可.
1tan 2
α = 4cos( ) ( (0, ))5
π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β−
7
24
− 5
24
−
5
24
7
24
tan 2α cos β
sin β tanβ
1tan 2
α = 2
2tan 4tan2 1 tan 3
αα α= =−
( ) 4cos cos5
π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈
4cos 5
β∴ = 3sin 5
β = 3tan 4
β =
( )
4 3
tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4
α βα β α β
−−− = = =+ + ×
2
2
n n− 2 1
2
n − 21
2
n( − ) 2
2
n【详解】由题意 ,排除 D, ,排除 A,C.同时 B 也满足 , ,
,
故选:B.
【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.
6.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,点 在椭圆上,如果 的中点在 轴上,
那么 是 的( )
A. 7 倍 B. 6 倍 C. 5 倍 D. 4 倍
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得 轴,再利用通径的长度的一半,可求得 ,利用椭圆的定义可
求得 ,即可得答案;
【详解】设 的中点为 , 为 的中位线,
轴, ,
,
,
故选:C.
【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查
逻辑推理能力、运算求解能力.
7.如图所示,某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形,其侧视图中的曲线为 圆周,
则该几何体的体积为( )
1 0a = 3 4a = 5 12a = 7 24a =
9 40a =
2 2
19 3
x y+ = 1F 2F P 1PF y
1PF 2PF
2PF x⊥ 2 1PF =
1 5PF =
1PF M OM 1 2PF F△
∴ 2PF x⊥ ∴ 2
2 1bPF a
= =
1 2 12 6 5PF PF a PF+ = = ⇒ =
∴ 1 25PF PF=
1
4A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图,结合题意,原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.
【详解】根据三视图,结合题意,原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,如
图所示
平面 的面积为 ,
故该几何体的体积 ,
故选 B.
【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题,关键时看懂三视图,能还原出原几何体
的形状,属于中档题.
8.函数 的图象大致为( )
16π 64 16π− 3264 3
π−
1664 3
π−
DEF
2
2 44 16 44S
π π⋅= − = −
( )4 16 4 64 16V S h π π= ⋅ = ⋅ − = −
( ) 2 1
x xf x x
= + +A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数和单调性的关系,判断函数的单调性,再判断函数的变化趋势,即可得到答案.
【详解】解: 的定义域为 ,
恒成立,
在 , 单调递增,
当 时, ,函数单调递增,故排除 , ,
当 时, , ,
,故排除 ,
故选:A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别,关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势,属
于中档题.
9.已知函数 与 轴交于点 ,距离
轴最近的最大值点 ,若 ,且 ,恒有 ,则实数
的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
1( ) 2 2 11 1
x xxf x x x
= + = − ++ + ( , 1) ( 1, )−∞ − ∪ − +∞
2
1( ) 2 ln 2 0( 1)
xf x x
∴ ′ = + >+
( )f x∴ ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞
0x x> ( ) 0f x′ > C D
x → −∞ 2 0x → 11
x
x
→+
( ) 1f x∴ → B
( ) ( )sin 0, 0,0 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > <
9
π
2 3 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
2 2 2
3 9 3 9
k kx
π π π π− ≤ ≤ + k Z∈
( ) 2, ,9 9a a
π π − ⊆ − 0 9a
π< ≤含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到
河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为
,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为 ,并假定将军只
要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 关于 的对称点 ,根据题意,则 为最短距离,即可得答案;
【详解】设点 关于直线 的对称点 ,设军营所在区域为的圆心为 ,
根据题意, 为最短距离,先求出 的坐标,
的中点为 ,直线 的斜率为 1,
故直线 为 ,
由 ,解得 , ,
所以 ,
故 ,
故选:A
【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值,考查函数与方程思想、
转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11.如图, 为 的外心, 为钝角, 是边 的中点,则
的值为( )
2 2 1x y+ ≤ ( )3,0A 4x y+ =
17 1− 17 2− 17 3 2−
A 4x y+ = A′ 1A C′ −
A 4x y+ = ( ),A a b′ C
1A C′ − A′
AA′ 3,2 2
a b+
AA′
AA′ 3y x= −
3 42 2
3
a b
b a
+ + =
= −
4a = 1b =
2 24 1 17A C′ = + =
1 17 1A C′ − = −
O ABC∆ 4, 2,AB AC BAC= = ∠ M BC
AM AO⋅ A 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
外心 在 上的投影恰好为它们的中点,分别设为 ,所以 在 上的投
影为 ,而 恰好为 中点,故考虑 ,所
以
点睛:和三角形外心有关的,多联系投影的应用,式子两边点击向量,出模长.
12.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ,且当 时,
,则函数 的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】当 时,则 ,
此时有 ,
∵ ,
∴ ,
∴函数 是周期为 2 的周期函数.
令 ,则 ,
由题意得函数 的零点个数即为函数 的图象与函数 的
图象交点的个数.
在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象(如图所示),
5 6 7
O ,AB AC ,P Q AO ,AB AC
1 1,2 2AP AB AQ AC= = M BC ( )1
2AM AB AC= +
( ) ( ) 2 21 1 1 1 1+ 52 2 2 2 2AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =
R ( )y f x= x ( ) ( )1f x f x+ = − 0 1x≤ <
( )f x x= ( ) ( ) ln | |g x f x x= −
1 0x− 1F 2F P C
Q C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
C
13 2−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F P C Q
C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
P 2QF ( )1 1,P x y , ,a b c
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F P C
Q C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
P 2QF 1 2QF QF⊥
Q 0bx ay− = OQ c= ( ),Q a b ( )2 ,0F c
( )1 1,P x y ( ) ( )1 1 1 12 , ,x a y b c x y− − = − −解得 , ,即 ,
代入双曲线的方程可得 ,解得 ,
故答案为: .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质,离心率的求法,考查转化思想以及运算能力,双曲线
的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两
种方法:①求出 , ,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 , , 的齐次
式,转化为 , 的齐次式,然后转化为关于 的方程(不等式),解方程(不等式),即可得
( 的取值范围).
16.点 为棱长是 正方体 的内切球 球面上的动点,点 满足
,则动点 的轨迹的长度为__________.
【答案】
【解析】
由题意得 经过球 的球心,动点 P 的轨迹为经过点 B 且与 垂直的平面被球 所截所
得的截面圆的圆周.
由几何知识可得,平面 为过点 B 且与 垂直的平面,由题意得截面圆即为 的
内切圆.结合题意可得 为边长等于 的等边三角形,故内切圆的半径为
,所以周长为 .
答案:
三、解答题
的
1
2
3
a cx
+= 1
2
3
by = 2 2,3 3
a c bP
+
( )2
2
2 4 19 9
a c
a
+ − = 13 2ce a
= = −
13 2−
a c ce a
= a b c
a c e
e e
P 3 1 1 1 1ABCD A B C D− O P
1BP AC⊥ P
6π
1AC O 1AC O
1A BD 1AC 1A BD∆
1A BD∆ 3 2
1 3( 3 2)3 2
× × 6
2
= 62 62
π π× × =
6π17.为利于分层教学,某学校根据学生的情况分成了 , , 三类,经过一段时间的学习后
在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成绩,其统计表如下:
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 (小于等于)
150
145 83 95 72 110
, ;
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 (小于等于)
150
85 93 90 76 101
, ;
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 (小于等于)
150
85 92 101 100 112
, ;
(1)经计算已知 , 的相关系数分别为 , ,请计算出 学生的
的相关系数,并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定;
(结果保留三位有效数字, 越大认为成绩越稳定);
A B C
A
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
180i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
B
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
60i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
C
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
63i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
A B 1 0 45r .= − 2 0 25r .= C
( )( ), 1,2,3,4,5i ix y i =
r(2)利用(1)中成绩最稳定的学生的样本数据,已知线性回归方程为 ,利用线
性回归方程预测该生第九次的成绩.
参考公式:(1)样本 的相关系数 ;
(2)对于一组数据 , ,…, ,其回归方程 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为 , .
【答案】(1) , 类学生;(2)135.2
【解析】
【分析】
(1)根据公式计算 ,比较 的大小,即可得答案;
(2)根据回归直线经过样本点的中心,可求得 的值,再将 代入方程求得 的值,即
可得答案;
【详解】(1)根据题意,可知 类学生的
,
,
,
相关系数 ,
又因 ,则 类学生学习成绩最稳定为
6.2y x a= +
( )( ), 1,2, ,i ix y i n=
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑ a y bx= −
0.984 C
3
62 0.98463r = ≈ 1 2 3| |,| |,| |r r r
a 9x = y
C
( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + =
( )1 85 92 101 100 112 985y = + + + + =
( )( )5
1
i i
i
x x y y
=
− −∑
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 3 85 98 2 3 92 98 3 3 101 98 4 3 100 98 5 3 112 98= − − + − − + − − + − − + − −
26 6 0 2 28= + + + +
62=
3
62 0.98463r = ≈
3 1 2r r r> > C(2)因为 ,
所以 ,
所以 ,
当 时, ,
所以预测该生的第九次成绩约为 135.2.
【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用,考查函数与方程思想、转化与
化归思想,考查运算求解能力.
18.已知等比数列 的公比 ,且 , 是 , 的等差中项,数列
的通项公式 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1) 由 是 , 的等差中项得 ,则 ,可得
,所以得到 ,由通项公式可求得 ,从而得到答案.
(2) ,用裂项相消法求和.
【详解】(1)由 是 , 的等差中项得 ,
所以 ,解得 ,
由 ,得 ,解得 或 ,因为 ,所以 .
所以, .
6.2y x a= +
6.2 98 6.2 3 79.4a y x= − = − × =
6.2 79.4y x= +
9x = 135.2y =
{ }na 1q > 1 3 5 42a a a+ + = 3 9a + 1a 5a
{ }nb
1
2
1 1
n
n
n n
b
a a +
=
− + − *n∈N
{ }na
{ }nb n nS
2n
na = 12 1 1n
nS += − −
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = + 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + =
3 8a = 1 5 34a a+ = q
1
1
2
1
2 1 2 1
1
n
n
n n
n nb
a a +
+=
− + −
= − − −
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = +
1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = 3 8a =
1 5 34a a+ = 2
2
8 8 34qq
+ = 2 4q = 2 1
4q = 1q > 2q =
2n
na =(2)由(1)可得 , .
所以
,
所以
.
【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和,属于中档题.
19.如图,四边形 是直角梯形, , , , ,又
, , ,直线 与直线 所成的角为 60°.
(1)求证: ;
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据已知 , ,可得 平面 ,即可证明结论;
(2)过 做 ,交 于 ,连 ,根据(1)可得 平面 ,得到
为异面直线 与直线 所成的角,在 求出 , 中可得出 ,
1
2
2 1 2 1
n
n n n
b +
=
− + − *n∈N
( )
( )( )
1
1 1 1
2 2 1 2 12 =
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n nn
n n n n n n n
b
+
+ + +
− − −
=
− + − − + − − − −
( ) ( )1 1
1
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2
n n n n n n
n n n
+ +
+
− − − − − −
= =− − + −
12 1 2 1n n+= − − −
( ) ( )2 1 3 2 1
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n
nb b b ++ + + = − − − + − − − + + − − −
12 1 1n+= − −
PCBM 90PCB∠ = ° //PM BC 1PM = 2BC =
1AC = 120ACB∠ = ° AB PC⊥ AM PC
PC AC⊥
B ACM
2 21
7
BC PC⊥ AB PC⊥ PC ⊥ ABC
M / /MO PC BC O AO OM ⊥ ABC OMA∠
AM PC AOC∆ OA Rt AOM∆ ,OM AM求出 ,用等体积法,即可求解.
【详解】(1)∵ , , ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 , .
(2)过 做 ,交 于 ,连 ,
, , 为 中点,
平面 , 平面 , ,
为异面直线 与直线 所成的角,
,在 中,由余弦定理得,
,
,
在 中, ,
,
,
,
设点 到平面 的距离为 ,
,
点 到平面 的距离为 .
,ACM ABCS S∆ ∆
BC PC⊥ AB PC⊥ AB BC B∩ =
PC ⊥ ABC
AC ⊂ ABC PC AC∴ ⊥
M / /MO PC BC O AO
1PM = 2BC = O∴ BC
PC ⊥ ABC OM ⊥ ABC OM OA∴ ⊥
OMA∴∠ AM PC
60OMA∴∠ = ° AOC∆
2 2 2 2 cos 3OA CA OC CA OC ACB= + − ⋅ ⋅ ∠ =
3, 1, 2tan 60
OAOA OM AM∴ = = = =° 2MC∴ =
ACM∆
2 2 2 4 1 2 3cos 2 2 2 1 4
AM AC MCMAC AM AC
+ − + −∠ = = =⋅ × ×
2 7sin 1 cos 4MAC MAC∴ ∠ = − ∠ =
1 7sin2 4MACS AC AM MAC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ =
1 3sin2 2ABCS CA CB ACB∆ = ⋅ ⋅ ∠ =
B ACM , M ABC B MACh V V− −=
3
1 1 2 212,3 3 77
4
ABC MACS OM S h h∆ ∆⋅ = ⋅ ∴ = =
∴ B ACM 2 21
7【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,证明直线与直线垂直,应用等体积法求点到平
面的距离,考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.
20.已知抛物线 ,过点 分别作斜率为 , 的抛物线的动弦 、 ,设
、 分别为线段 、 的中点.
(1)若 为线段 的中点,求直线 的方程;
(2)若 ,求证直线 恒过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1) ;(2)证明见解析,定点 .
【解析】
【分析】
(1)设 , ,利用“点差法”确定 的值,从而求出直线的方程;
(2)求出直线 的方程,利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点.
【详解】(1)设 , ,则 ①, ②.
①-②,得 .
又因为 是线段 的中点,所以
2 2y x= (1,1)P 1k 2k AB CD
M N AB CD
P AB AB
1 2 1k k+ = MN
y x= (0,1)
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1k
MN 1 2 1k k+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1 12y x= 2
2 22y x=
( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = −
( )1,1P AB 1 2 2y y+ =所以, .
又直线 过 ,所以直线 的方程为 ;
(2)依题设 ,直线 的方程为 ,即 ,
亦即 ,代入抛物线方程并化简得 .
所以,
于是, , .
同理, , .
易知 ,所以直线 的斜率 .
故直线 的方程为 ,
即 .此时直线过定点 .
故直线 恒过定点 .
【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题,考查数形结合思想、考
查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力.
21.已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 , ,求证: .
【答案】(1) 在 单调递增,在 单调递减;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别令 , 求出单调性;
(2)设 ,则 , 要证: ,即证:
2 1
1
2 1 2 1
2= 1y yk x x y y
−= =− +
AB ( )1,1P AB y x=
( ),M MM x y AB ( )11 1y k x− = − 1 11y k x k= + −
1 2y k x k= + ( )2 2 2
1 1 2 22 2 0k x k k x k+ − + =
1 2 1 2
1 2 2 2
1 1
2 2 2 2k k k kx x k k
− −+ = − =
1 2
2
1
1
M
k kx k
−= 1 2
1 2 1 22
11
1 1
M M
k ky k x k k k kk
−= ⋅ + = ⋅ + =
1 2
2
2
1
N
k kx k
−=
2
1
Ny k
=
1 2 0k k ≠ MN 2 1
2 11
M N
M N
y y k kk x x k k
−= =− −
MN 2 1 1 2
2
1 2 1 1
11
1
k k k ky xk k k k
−− = − −
2 1
2 1
11
k ky xk k
= +− ( )0,1
MN ( )0,1
( ) xf x e x= −
( )f x
1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x≠ 1 2 2x xe e+ >
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =− 1 2 2x xe e+ >,而 ,令 ,
, 等价于 ,
,证明 的单调性即可.
【详解】(1)函数 定义域为 ,
令 得 ,令 得 ,
故 在 单调递增,在 单调递减.
(2) ,不妨设 ,则 ,
要证: ,即证: ……(*),
而 ,令 , ,
(*)等价于 , ,
设 , ,
令 , 在 恒成立,
则 在 单调递增,故 ,故 在 单调递增,
故 ,故原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式,考查逻辑思维能力和运算
能力,属于高考常考题型.
22.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐
标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程;
( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= −
( )0,t ∈ +∞ ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞ ( )g t
( )f x ,R ( ) 1xf x e′ = −
( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( ),0x∈ −∞
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) ( )1 2f x f x= 2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =−
1 2 2x xe e+ > ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >−
( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= − ( )0,t ∈ +∞
( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞
( ) ( )1 2 2t tg t t e e= + − + ( )0,t ∈ +∞
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e′ = + + − = − +
( ) ( )1 1th t t e= − + ( )' 0th t te= > ( )0,t ∈ +∞
( )g t′ ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g′ ′> = ( )g t ( )0,t ∈ +∞
( ) ( )0 0g t g> =
xOy 1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
O x 2C 2cosρ θ=
1C 2C(2)已知曲线 的极坐标方程为 ( , ),点 是曲线 与 的交点,
点 是曲线 与 的交点, 、 均异于原点 ,且 ,求实数 的值.
【答案】(1) : , : (2) 或
【解析】
【分析】
(1)消去参数 ,可得曲线 的普通方程,利用 可得直角坐标方程;
(2)将曲线 化为极坐标方程,利用极坐标方程的几何意义
,结合辅助角公式,即得解.
【详解】(1)曲线 的参数方程为 ,消去参数 ,
可得曲线 的普通方程为:
故:曲线 的极坐标方程为 .
又
故: 的直角坐标方程为: .
(2)曲线 : 化为极坐标方程为
设点 , ,依题设知 ,
所以
由 知
因为 ,故 或
3C θ α= 0 α π< < ρ ∈R A 3C 1C
B 3C 2C A B O | | 2 2AB = α
1C ( )22 3 3x y+ − = 2C ( )2 21 1x y− + = 5
12
πα = 11
12
πα =
ϕ
1C cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C
1 2| | | | | 2 3sin 2cos |AB ρ ρ α α= − = −
1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
1C ( )22 3 3x y+ − =
2C 2cosρ θ=
2 2 cosρ ρ θ∴ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2C ( )2 21 1x y− + =
1C ( )22 3 3x y+ − = 2 3sinρ θ=
( )1,A ρ α ( )2,B ρ α
1 2 3sinρ α= 2 2cosρ α=
| | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB
πα α α = − = −
| | 2 2AB = 2sin 6 2
πα − = ±
5
6 6 6
π π πα− < − <
6 4
π πα − = 3
6 4
π πα − =因此 或
【点睛】本题考查了极坐标,参数方程与一般方程的互化,以及利用极坐标的几何意义解决
线段长度问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题.
23.已知函数 , .
解不等式 ;
若对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】
试题分析:(1)由题意得 ,所以 ,解得 ;(2)
由 题 意 , ,
, , 所 以
,解得 或 .
试题解析:
(Ⅰ)由 ,得 ,
∴ ,得不等式的解为
(Ⅱ) ,
,
对任意的 均存在 ,使得 成立,
,
,解得 或 ,
即实数 的取值范围为: 或 .
点睛:本题考查绝对值不等式.绝对值不等式的求解,掌握基本解法即可.绝对值的三角不
等式考查技巧性较高,形式上需要满足定义域及系数的统一,本题的另一个难点就是题意的
理解转化,得到值域的包含关系.
5
12
πα = 11
12
πα =
( ) 2 3f x x a x= − + + ( ) 2 3g x x= − +
( )1 ( ) 6g x <
( )2 2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )1 2g x f x=
( 1,5)− ( , 3] [0, )−∞ − ∪ +∞
6 2 3 6x− < − + < 9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
2 3 6x − + < 6 2 3 6x− < − + <
9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = +
( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )2 1f x g x=
∴ ( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
∴ 2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
a 0a ≥ 3a ≤ −