河北武邑中学 2019-2020 学年高三年级下学期第二次质检考
试
数学试题（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时
间 120 分钟.
2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿
纸上作答无效.
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解集合 再求并集即可.
【详解】因为 , ,
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2.已知 是虚数单位，且复数 ，且 是实数，则实数 的值为( )
A. 6 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
{ }2| 3 4 0A x x x= − − < { }| 2 3xB y y= = + A B =
[3,4) ( 1, )− +∞ (3,4) (3, )+∞
,A B
{ }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < < { }| 2 3xB y y= = + { | 3}y y= >
( 1, )A B = − +∞
i 1 23 , 1 2z bi z i= − = − 1
2
z
z b
6− 1
6【分析】
首先根据复数运算公式求出 ，由于 是实数，再根据复数的性质，令虚部为 0，即可求出
结果．
【详解】 ，∴ ，∵
是实数，∴ ，得 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查复数 四则运算以及复数是实数的等价条件，根据复数的运算法则进
行化简是解决本题的关键．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将
闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济
活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到
的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D．
的
1
2
z
z
1
2
z
z
1 23 1 2z bi z i= − = − ，
( )( )
( )( )1
2
3 1 23 3 2 6
1 2 1 2 1 2 5 5
bi iz bi b b iz i i i
− +− + −= = = +− − +
1
2
z
z
6 05
b− = 6b =4.设 ， ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用倍角公式求得 的值，利用诱导公式求得 的值，利用同角三角函数关系式求得
的值，进而求得 的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】 ， ，
， ，
， ， ，
，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，
同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
5.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释
我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的
两仪数量总和.已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数
列中奇数项的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
1tan 2
α = 4cos( ) ( (0, ))5
π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β−
7
24
− 5
24
−
5
24
7
24
tan 2α cos β
sin β tanβ
1tan 2
α = 2
2tan 4tan2 1 tan 3
αα α= =−
( ) 4cos cos5
π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈
4cos 5
β∴ = 3sin 5
β = 3tan 4
β =
( )
4 3
tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4
α βα β α β
−−− = = =+ + ×
2
2
n n− 2 1
2
n − 21
2
n( − ) 2
2
n【详解】由题意 ，排除 D， ，排除 A，C．同时 B 也满足 ， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
6.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，如果 的中点在 轴上，
那么 是 的（ ）
A. 7 倍 B. 6 倍 C. 5 倍 D. 4 倍
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得 轴，再利用通径的长度的一半，可求得 ，利用椭圆的定义可
求得 ，即可得答案；
【详解】设 的中点为 ， 为 的中位线，
轴， ，
，
，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查
逻辑推理能力、运算求解能力.
7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其侧视图中的曲线为 圆周，
则该几何体的体积为( )
1 0a = 3 4a = 5 12a = 7 24a =
9 40a =
2 2
19 3
x y+ = 1F 2F P 1PF y
1PF 2PF
2PF x⊥ 2 1PF =
1 5PF =
1PF M OM 1 2PF F△
∴ 2PF x⊥ ∴ 2
2 1bPF a
= =
1 2 12 6 5PF PF a PF+ = = ⇒ =
∴ 1 25PF PF=
1
4A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.
【详解】根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的，如
图所示
平面 的面积为 ，
故该几何体的体积 ，
故选 B.
【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题，关键时看懂三视图，能还原出原几何体
的形状，属于中档题.
8.函数 的图象大致为（ ）
16π 64 16π− 3264 3
π−
1664 3
π−
DEF
2
2 44 16 44S
π π⋅= − = −
( )4 16 4 64 16V S h π π= ⋅ = ⋅ − = −
( ) 2 1
x xf x x
= + +A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案．
【详解】解： 的定义域为 ，
恒成立，
在 ， 单调递增，
当 时， ，函数单调递增，故排除 ， ，
当 时， ， ，
，故排除 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属
于中档题．
9.已知函数 与 轴交于点 ，距离
轴最近的最大值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数
的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
1( ) 2 2 11 1
x xxf x x x
= + = − ++ + ( , 1) ( 1, )−∞ − ∪ − +∞
2
1( ) 2 ln 2 0( 1)
xf x x
∴ ′ = + >+
( )f x∴ ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞
0x x> ( ) 0f x′ > C D
x → −∞ 2 0x → 11
x
x
→+
( ) 1f x∴ → B
( ) ( )sin 0, 0,0 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > <
9
π
2 3 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
2 2 2
3 9 3 9
k kx
π π π π− ≤ ≤ + k Z∈
( ) 2, ,9 9a a
π π − ⊆ − 0 9a
π< ≤含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到
河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只
要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 关于 的对称点 ，根据题意，则 为最短距离，即可得答案；
【详解】设点 关于直线 的对称点 ，设军营所在区域为的圆心为 ，
根据题意， 为最短距离，先求出 的坐标，
的中点为 ，直线 的斜率为 1，
故直线 为 ，
由 ，解得 ， ，
所以 ，
故 ，
故选：A
【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、
转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11.如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则
的值为（ ）
2 2 1x y+ ≤ ( )3,0A 4x y+ =
17 1− 17 2− 17 3 2−
A 4x y+ = A′ 1A C′ −
A 4x y+ = ( ),A a b′ C
1A C′ − A′
AA′ 3,2 2
a b+
AA′
AA′ 3y x= −
3 42 2
3
a b
b a
+ + =
= −
4a = 1b =
2 24 1 17A C′ = + =
1 17 1A C′ − = −
O ABC∆ 4, 2,AB AC BAC= = ∠ M BC
AM AO⋅ A 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，所以 在 上的投
影为 ，而 恰好为 中点，故考虑 ，所
以
点睛：和三角形外心有关的，多联系投影的应用，式子两边点击向量，出模长．
12.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时，
，则函数 的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】当 时，则 ，
此时有 ，
∵ ，
∴ ，
∴函数 是周期为 2 的周期函数．
令 ，则 ，
由题意得函数 的零点个数即为函数 的图象与函数 的
图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象（如图所示），
5 6 7
O ,AB AC ,P Q AO ,AB AC
1 1,2 2AP AB AQ AC= = M BC ( )1
2AM AB AC= +
( ) ( ) 2 21 1 1 1 1+ 52 2 2 2 2AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =
R ( )y f x= x ( ) ( )1f x f x+ = − 0 1x≤ <
( )f x x= ( ) ( ) ln | |g x f x x= −
1 0x− 1F 2F P C
Q C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
C
13 2−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F P C Q
C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
P 2QF ( )1 1,P x y , ,a b c
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1F 2F P C
Q C P Q 22QP PF=
1 2 0QF QF⋅ =
P 2QF 1 2QF QF⊥
Q 0bx ay− = OQ c= ( ),Q a b ( )2 ,0F c
( )1 1,P x y ( ) ( )1 1 1 12 , ,x a y b c x y− − = − −解得 ， ，即 ，
代入双曲线的方程可得 ，解得 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线
的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两
种方法：①求出 ， ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 ， ， 的齐次
式，转化为 ， 的齐次式，然后转化为关于 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得
（ 的取值范围）.
16.点 为棱长是 正方体 的内切球 球面上的动点，点 满足
，则动点 的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】
由题意得 经过球 的球心，动点 P 的轨迹为经过点 B 且与 垂直的平面被球 所截所
得的截面圆的圆周．
由几何知识可得，平面 为过点 B 且与 垂直的平面，由题意得截面圆即为 的
内切圆．结合题意可得 为边长等于 的等边三角形，故内切圆的半径为
，所以周长为 ．
答案：
三、解答题
的
1
2
3
a cx
+= 1
2
3
by = 2 2,3 3
a c bP
+
( )2
2
2 4 19 9
a c
a
+ − = 13 2ce a
= = −
13 2−
a c ce a
= a b c
a c e
e e
P 3 1 1 1 1ABCD A B C D− O P
1BP AC⊥ P
6π
1AC O 1AC O
1A BD 1AC 1A BD∆
1A BD∆ 3 2
1 3( 3 2)3 2
× × 6
2
= 62 62
π π× × =
6π17.为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 ， ， 三类，经过一段时间的学习后
在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成绩，其统计表如下：
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 （小于等于）
150
145 83 95 72 110
， ；
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 （小于等于）
150
85 93 90 76 101
， ；
类
第 次 1 2 3 4 5
分数 （小于等于）
150
85 92 101 100 112
， ；
（1）经计算已知 ， 的相关系数分别为 ， ，请计算出 学生的
的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；
（结果保留三位有效数字， 越大认为成绩越稳定）；
A B C
A
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
180i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
B
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
60i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
C
x
y
( )5
1
10i
i
x x
=
− =∑ ( ) ( )5 52 2
1 1
63i i
i i
x x y y
= =
− ⋅ − ≈∑ ∑
A B 1 0 45r .= − 2 0 25r .= C
( )( ), 1,2,3,4,5i ix y i =
r（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为 ，利用线
性回归方程预测该生第九次的成绩.
参考公式：（1）样本 的相关系数 ；
（2）对于一组数据 ， ，…， ，其回归方程 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为 ， .
【答案】（1） ， 类学生；（2）135.2
【解析】
【分析】
（1）根据公式计算 ，比较 的大小，即可得答案；
（2）根据回归直线经过样本点的中心，可求得 的值，再将 代入方程求得 的值，即
可得答案；
【详解】（1）根据题意，可知 类学生的
，
，
，
相关系数 ，
又因 ，则 类学生学习成绩最稳定为
6.2y x a= +
( )( ), 1,2, ,i ix y i n=
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑ a y bx= −
0.984 C
3
62 0.98463r = ≈ 1 2 3| |,| |,| |r r r
a 9x = y
C
( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + =
( )1 85 92 101 100 112 985y = + + + + =
( )( )5
1
i i
i
x x y y
=
− −∑
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 3 85 98 2 3 92 98 3 3 101 98 4 3 100 98 5 3 112 98= − − + − − + − − + − − + − −
26 6 0 2 28= + + + +
62=
3
62 0.98463r = ≈
3 1 2r r r> > C（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以预测该生的第九次成绩约为 135.2.
【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用，考查函数与方程思想、转化与
化归思想，考查运算求解能力.
18.已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项，数列
的通项公式 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1) 由 是 ， 的等差中项得 ,则 ，可得
，所以得到 ，由通项公式可求得 ，从而得到答案.
(2) ,用裂项相消法求和.
【详解】（1）由 是 ， 的等差中项得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，因为 ，所以 .
所以， .
6.2y x a= +
6.2 98 6.2 3 79.4a y x= − = − × =
6.2 79.4y x= +
9x = 135.2y =
{ }na 1q > 1 3 5 42a a a+ + = 3 9a + 1a 5a
{ }nb
1
2
1 1
n
n
n n
b
a a +
=
− + − *n∈N
{ }na
{ }nb n nS
2n
na = 12 1 1n
nS += − −
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = + 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + =
3 8a = 1 5 34a a+ = q
1
1
2
1
2 1 2 1
1
n
n
n n
n nb
a a +
+=
− + −
= − − −
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = +
1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = 3 8a =
1 5 34a a+ = 2
2
8 8 34qq
+ = 2 4q = 2 1
4q = 1q > 2q =
2n
na =（2）由（1）可得 ， .
所以
，
所以
.
【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和，属于中档题.
19.如图，四边形 是直角梯形， ， ， ， ，又
， ， ，直线 与直线 所成的角为 60°.
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知 ， ，可得 平面 ，即可证明结论；
（2）过 做 ，交 于 ，连 ，根据（1）可得 平面 ，得到
为异面直线 与直线 所成的角，在 求出 ， 中可得出 ，
1
2
2 1 2 1
n
n n n
b +
=
− + − *n∈N
( )
( )( )
1
1 1 1
2 2 1 2 12 =
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n nn
n n n n n n n
b
+
+ + +
− − −
=
− + − − + − − − −
( ) ( )1 1
1
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2
n n n n n n
n n n
+ +
+
− − − − − −
= =− − + −
12 1 2 1n n+= − − −
( ) ( )2 1 3 2 1
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n
nb b b ++ + + = − − − + − − − + + − − −
12 1 1n+= − −
PCBM 90PCB∠ = ° //PM BC 1PM = 2BC =
1AC = 120ACB∠ = ° AB PC⊥ AM PC
PC AC⊥
B ACM
2 21
7
BC PC⊥ AB PC⊥ PC ⊥ ABC
M / /MO PC BC O AO OM ⊥ ABC OMA∠
AM PC AOC∆ OA Rt AOM∆ ,OM AM求出 ，用等体积法，即可求解.
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ， .
（2）过 做 ，交 于 ，连 ，
， ， 为 中点，
平面 ， 平面 ， ，
为异面直线 与直线 所成的角，
，在 中，由余弦定理得，
，
，
在 中， ，
，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，
，
点 到平面 的距离为 .
,ACM ABCS S∆ ∆
BC PC⊥ AB PC⊥ AB BC B∩ =
PC ⊥ ABC
AC ⊂ ABC PC AC∴ ⊥
M / /MO PC BC O AO
1PM = 2BC = O∴ BC
PC ⊥ ABC OM ⊥ ABC OM OA∴ ⊥
OMA∴∠ AM PC
60OMA∴∠ = ° AOC∆
2 2 2 2 cos 3OA CA OC CA OC ACB= + − ⋅ ⋅ ∠ =
3, 1, 2tan 60
OAOA OM AM∴ = = = =° 2MC∴ =
ACM∆
2 2 2 4 1 2 3cos 2 2 2 1 4
AM AC MCMAC AM AC
+ − + −∠ = = =⋅ × ×
2 7sin 1 cos 4MAC MAC∴ ∠ = − ∠ =
1 7sin2 4MACS AC AM MAC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ =
1 3sin2 2ABCS CA CB ACB∆ = ⋅ ⋅ ∠ =
B ACM , M ABC B MACh V V− −=
3
1 1 2 212,3 3 77
4
ABC MACS OM S h h∆ ∆⋅ = ⋅ ∴ = =
∴ B ACM 2 21
7【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平
面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20.已知抛物线 ，过点 分别作斜率为 ， 的抛物线的动弦 、 ，设
、 分别为线段 、 的中点．
（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 ．
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，利用“点差法”确定 的值，从而求出直线的方程；
（2）求出直线 的方程，利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点.
【详解】（1）设 ， ，则 ①， ②．
①－②，得 ．
又因为 是线段 的中点，所以
2 2y x= (1,1)P 1k 2k AB CD
M N AB CD
P AB AB
1 2 1k k+ = MN
y x= (0,1)
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1k
MN 1 2 1k k+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1 12y x= 2
2 22y x=
( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = −
( )1,1P AB 1 2 2y y+ =所以， ．
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ；
（2）依题设 ，直线 的方程为 ，即 ，
亦即 ，代入抛物线方程并化简得 ．
所以，
于是， ， ．
同理， ， ．
易知 ，所以直线 的斜率 ．
故直线 的方程为 ，
即 ．此时直线过定点 ．
故直线 恒过定点 ．
【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考
查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.
21.已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别令 ， 求出单调性；
（2）设 ，则 ， 要证： ，即证：
2 1
1
2 1 2 1
2= 1y yk x x y y
−= =− +
AB ( )1,1P AB y x=
( ),M MM x y AB ( )11 1y k x− = − 1 11y k x k= + −
1 2y k x k= + ( )2 2 2
1 1 2 22 2 0k x k k x k+ − + =
1 2 1 2
1 2 2 2
1 1
2 2 2 2k k k kx x k k
− −+ = − =
1 2
2
1
1
M
k kx k
−= 1 2
1 2 1 22
11
1 1
M M
k ky k x k k k kk
−= ⋅ + = ⋅ + =
1 2
2
2
1
N
k kx k
−=
2
1
Ny k
=
1 2 0k k ≠ MN 2 1
2 11
M N
M N
y y k kk x x k k
−= =− −
MN 2 1 1 2
2
1 2 1 1
11
1
k k k ky xk k k k
−− = − −
2 1
2 1
11
k ky xk k
= +− ( )0,1
MN ( )0,1
( ) xf x e x= −
( )f x
1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x≠ 1 2 2x xe e+ >
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =− 1 2 2x xe e+ >，而 ，令 ，
， 等价于 ，
，证明 的单调性即可.
【详解】（1）函数 定义域为 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减.
（2） ，不妨设 ，则 ，
要证： ，即证： ……（*），
而 ，令 ， ，
（*）等价于 ， ，
设 ， ，
令 ， 在 恒成立，
则 在 单调递增，故 ，故 在 单调递增，
故 ，故原命题得证．
【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算
能力，属于高考常考题型.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐
标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= −
( )0,t ∈ +∞ ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞ ( )g t
( )f x ,R ( ) 1xf x e′ = −
( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( ),0x∈ −∞
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) ( )1 2f x f x= 2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =−
1 2 2x xe e+ > ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >−
( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= − ( )0,t ∈ +∞
( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞
( ) ( )1 2 2t tg t t e e= + − + ( )0,t ∈ +∞
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e′ = + + − = − +
( ) ( )1 1th t t e= − + ( )' 0th t te= > ( )0,t ∈ +∞
( )g t′ ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g′ ′> = ( )g t ( )0,t ∈ +∞
( ) ( )0 0g t g> =
xOy 1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
O x 2C 2cosρ θ=
1C 2C（2）已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），点 是曲线 与 的交点，
点 是曲线 与 的交点， 、 均异于原点 ，且 ，求实数 的值.
【答案】（1） ： ， : （2） 或
【解析】
【分析】
（1）消去参数 ,可得曲线 的普通方程，利用 可得直角坐标方程；
（2）将曲线 化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义
，结合辅助角公式，即得解.
【详解】（1）曲线 的参数方程为 ,消去参数 ，
可得曲线 的普通方程为：
故：曲线 的极坐标方程为 .
又
故： 的直角坐标方程为： .
（2）曲线 ： 化为极坐标方程为
设点 ， ，依题设知 ，
所以
由 知
因为 ，故 或
3C θ α= 0 α π< < ρ ∈R A 3C 1C
B 3C 2C A B O | | 2 2AB = α
1C ( )22 3 3x y+ − = 2C ( )2 21 1x y− + = 5
12
πα = 11
12
πα =
ϕ
1C cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C
1 2| | | | | 2 3sin 2cos |AB ρ ρ α α= − = −
1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
1C ( )22 3 3x y+ − =
2C 2cosρ θ=
2 2 cosρ ρ θ∴ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2C ( )2 21 1x y− + =
1C ( )22 3 3x y+ − = 2 3sinρ θ=
( )1,A ρ α ( )2,B ρ α
1 2 3sinρ α= 2 2cosρ α=
| | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB
πα α α = − = −
| | 2 2AB = 2sin 6 2
πα − = ±
5
6 6 6
π π πα− < − <
6 4
π πα − = 3
6 4
π πα − =因此 或
【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决
线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
23.已知函数 ， ．
解不等式 ；
若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：（1）由题意得 ，所以 ，解得 ；（2）
由 题 意 ， ，
， ， 所 以
，解得 或 ．
试题解析：
(Ⅰ)由 ，得 ，
∴ ，得不等式的解为
(Ⅱ) ，
，
对任意的 均存在 ，使得 成立，
，
，解得 或 ，
即实数 的取值范围为： 或 ．
点睛：本题考查绝对值不等式．绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可．绝对值的三角不
等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的
理解转化，得到值域的包含关系．
5
12
πα = 11
12
πα =
( ) 2 3f x x a x= − + + ( ) 2 3g x x= − +
( )1 ( ) 6g x <
( )2 2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )1 2g x f x=
( 1,5)− ( , 3] [0, )−∞ − ∪ +∞
6 2 3 6x− < − + < 9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
2 3 6x − + < 6 2 3 6x− < − + <
9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = +
( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )2 1f x g x=
∴ ( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
∴ 2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
a 0a ≥ 3a ≤ −
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