河北省武邑中学2020届高三数学(文)下学期第二次质检试题(Word版附解析)
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河北省武邑中学2020届高三数学(文)下学期第二次质检试题(Word版附解析)

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资料简介
河北武邑中学 2019-2020 学年高三年级下学期第二次质检考 试 数学试题(文科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿 纸上作答无效. 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求解集合 再求并集即可. 【详解】因为 , , 所以 . 故选:B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2.已知 是虚数单位,且复数 ,且 是实数,则实数 的值为( ) A. 6 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 { }2| 3 4 0A x x x= − − < { }| 2 3xB y y= = + A B = [3,4) ( 1, )− +∞ (3,4) (3, )+∞ ,A B { }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < < { }| 2 3xB y y= = + { | 3}y y= > ( 1, )A B = − +∞ i 1 23 , 1 2z bi z i= − = − 1 2 z z b 6− 1 6【分析】 首先根据复数运算公式求出 ,由于 是实数,再根据复数的性质,令虚部为 0,即可求出 结果. 【详解】 ,∴ ,∵ 是实数,∴ ,得 ,故选 A. 【点睛】本题主要考查复数 四则运算以及复数是实数的等价条件,根据复数的运算法则进 行化简是解决本题的关键. 3.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将 闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济 活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到 的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形 是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知, 图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大, 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选 D. 的 1 2 z z 1 2 z z 1 23 1 2z bi z i= − = − , ( )( ) ( )( )1 2 3 1 23 3 2 6 1 2 1 2 1 2 5 5 bi iz bi b b iz i i i − +− + −= = = +− − + 1 2 z z 6 05 b− = 6b =4.设 , ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用倍角公式求得 的值,利用诱导公式求得 的值,利用同角三角函数关系式求得 的值,进而求得 的值,最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】 , , , , , , , , 故选:D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题,涉及到的知识点有诱导公式,正切倍角公式, 同角三角函数关系式,正切差角公式,属于基础题目. 5.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释 我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的 两仪数量总和.已知该数列前 10 项是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数 列中奇数项的通项公式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接代入检验,排除其中三个即可. 1tan 2 α = 4cos( ) ( (0, ))5 π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β− 7 24 − 5 24 − 5 24 7 24 tan 2α cos β sin β tanβ 1tan 2 α = 2 2tan 4tan2 1 tan 3 αα α= =− ( ) 4cos cos5 π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈ 4cos 5 β∴ = 3sin 5 β = 3tan 4 β = ( ) 4 3 tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4 α βα β α β −−− = = =+ + × 2 2 n n− 2 1 2 n − 21 2 n( − ) 2 2 n【详解】由题意 ,排除 D, ,排除 A,C.同时 B 也满足 , , , 故选:B. 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解. 6.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,点 在椭圆上,如果 的中点在 轴上, 那么 是 的( ) A. 7 倍 B. 6 倍 C. 5 倍 D. 4 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得 轴,再利用通径的长度的一半,可求得 ,利用椭圆的定义可 求得 ,即可得答案; 【详解】设 的中点为 , 为 的中位线, 轴, , , , 故选:C. 【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查 逻辑推理能力、运算求解能力. 7.如图所示,某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形,其侧视图中的曲线为 圆周, 则该几何体的体积为( ) 1 0a = 3 4a = 5 12a = 7 24a = 9 40a = 2 2 19 3 x y+ = 1F 2F P 1PF y 1PF 2PF 2PF x⊥ 2 1PF = 1 5PF = 1PF M  OM 1 2PF F△ ∴ 2PF x⊥ ∴ 2 2 1bPF a = =  1 2 12 6 5PF PF a PF+ = = ⇒ = ∴ 1 25PF PF= 1 4A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图,结合题意,原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积. 【详解】根据三视图,结合题意,原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,如 图所示 平面 的面积为 , 故该几何体的体积 , 故选 B. 【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题,关键时看懂三视图,能还原出原几何体 的形状,属于中档题. 8.函数 的图象大致为( ) 16π 64 16π− 3264 3 π− 1664 3 π− DEF 2 2 44 16 44S π π⋅= − = − ( )4 16 4 64 16V S h π π= ⋅ = ⋅ − = − ( ) 2 1 x xf x x = + +A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数和单调性的关系,判断函数的单调性,再判断函数的变化趋势,即可得到答案. 【详解】解: 的定义域为 , 恒成立, 在 , 单调递增, 当 时, ,函数单调递增,故排除 , , 当 时, , , ,故排除 , 故选:A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别,关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势,属 于中档题. 9.已知函数 与 轴交于点 ,距离 轴最近的最大值点 ,若 ,且 ,恒有 ,则实数 的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 1( ) 2 2 11 1 x xxf x x x = + = − ++ + ( , 1) ( 1, )−∞ − ∪ − +∞ 2 1( ) 2 ln 2 0( 1) xf x x ∴ ′ = + >+ ( )f x∴ ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ 0x x> ( ) 0f x′ > C D x → −∞ 2 0x → 11 x x →+ ( ) 1f x∴ → B ( ) ( )sin 0, 0,0 2f x A x A πω ϕ ω ϕ = + > > < 9 π 2 3 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈ 2 2 2 3 9 3 9 k kx π π π π− ≤ ≤ + k Z∈ ( ) 2, ,9 9a a π π − ⊆ −   0 9a π< ≤含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到 河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为 ,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为 ,并假定将军只 要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出 关于 的对称点 ,根据题意,则 为最短距离,即可得答案; 【详解】设点 关于直线 的对称点 ,设军营所在区域为的圆心为 , 根据题意, 为最短距离,先求出 的坐标, 的中点为 ,直线 的斜率为 1, 故直线 为 , 由 ,解得 , , 所以 , 故 , 故选:A 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值,考查函数与方程思想、 转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11.如图, 为 的外心, 为钝角, 是边 的中点,则 的值为( ) 2 2 1x y+ ≤ ( )3,0A 4x y+ = 17 1− 17 2− 17 3 2− A 4x y+ = A′ 1A C′ − A 4x y+ = ( ),A a b′ C 1A C′ − A′ AA′ 3,2 2 a b+     AA′ AA′ 3y x= − 3 42 2 3 a b b a + + =  = − 4a = 1b = 2 24 1 17A C′ = + = 1 17 1A C′ − = − O ABC∆ 4, 2,AB AC BAC= = ∠ M BC AM AO⋅ A 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 外心 在 上的投影恰好为它们的中点,分别设为 ,所以 在 上的投 影为 ,而 恰好为 中点,故考虑 ,所 以 点睛:和三角形外心有关的,多联系投影的应用,式子两边点击向量,出模长. 12.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ,且当 时, ,则函数 的零点个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】当 时,则 , 此时有 , ∵ , ∴ , ∴函数 是周期为 2 的周期函数. 令 ,则 , 由题意得函数 的零点个数即为函数 的图象与函数 的 图象交点的个数. 在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象(如图所示), 5 6 7 O ,AB AC ,P Q AO ,AB AC 1 1,2 2AP AB AQ AC= =    M BC ( )1 2AM AB AC= +   ( ) ( ) 2 21 1 1 1 1+ 52 2 2 2 2AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =              R ( )y f x= x ( ) ( )1f x f x+ = − 0 1x≤ < ( )f x x= ( ) ( ) ln | |g x f x x= − 1 0x− 1F 2F P C Q C P Q 22QP PF=  1 2 0QF QF⋅ =  C 13 2− 2 2 2 2 1x y a b − = 1F 2F P C Q C P Q 22QP PF=  1 2 0QF QF⋅ =  P 2QF ( )1 1,P x y , ,a b c 2 2 2 2 1x y a b − = 1F 2F P C Q C P Q 22QP PF=  1 2 0QF QF⋅ =  P 2QF 1 2QF QF⊥  Q 0bx ay− = OQ c= ( ),Q a b ( )2 ,0F c ( )1 1,P x y ( ) ( )1 1 1 12 , ,x a y b c x y− − = − −解得 , ,即 , 代入双曲线的方程可得 ,解得 , 故答案为: . 【点睛】本题考查双曲线的几何性质,离心率的求法,考查转化思想以及运算能力,双曲线 的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两 种方法:①求出 , ,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 , , 的齐次 式,转化为 , 的齐次式,然后转化为关于 的方程(不等式),解方程(不等式),即可得 ( 的取值范围). 16.点 为棱长是 正方体 的内切球 球面上的动点,点 满足 ,则动点 的轨迹的长度为__________. 【答案】 【解析】 由题意得 经过球 的球心,动点 P 的轨迹为经过点 B 且与 垂直的平面被球 所截所 得的截面圆的圆周. 由几何知识可得,平面 为过点 B 且与 垂直的平面,由题意得截面圆即为 的 内切圆.结合题意可得 为边长等于 的等边三角形,故内切圆的半径为 ,所以周长为 . 答案: 三、解答题 的 1 2 3 a cx += 1 2 3 by = 2 2,3 3 a c bP +     ( )2 2 2 4 19 9 a c a + − = 13 2ce a = = − 13 2− a c ce a = a b c a c e e e P 3 1 1 1 1ABCD A B C D− O P 1BP AC⊥ P 6π 1AC O 1AC O 1A BD 1AC 1A BD∆ 1A BD∆ 3 2 1 3( 3 2)3 2 × × 6 2 = 62 62 π π× × = 6π17.为利于分层教学,某学校根据学生的情况分成了 , , 三类,经过一段时间的学习后 在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成绩,其统计表如下: 类 第 次 1 2 3 4 5 分数 (小于等于) 150 145 83 95 72 110 , ; 类 第 次 1 2 3 4 5 分数 (小于等于) 150 85 93 90 76 101 , ; 类 第 次 1 2 3 4 5 分数 (小于等于) 150 85 92 101 100 112 , ; (1)经计算已知 , 的相关系数分别为 , ,请计算出 学生的 的相关系数,并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定; (结果保留三位有效数字, 越大认为成绩越稳定); A B C A x y ( )5 1 10i i x x = − =∑ ( ) ( )5 52 2 1 1 180i i i i x x y y = = − ⋅ − ≈∑ ∑ B x y ( )5 1 10i i x x = − =∑ ( ) ( )5 52 2 1 1 60i i i i x x y y = = − ⋅ − ≈∑ ∑ C x y ( )5 1 10i i x x = − =∑ ( ) ( )5 52 2 1 1 63i i i i x x y y = = − ⋅ − ≈∑ ∑ A B 1 0 45r .= − 2 0 25r .= C ( )( ), 1,2,3,4,5i ix y i = r(2)利用(1)中成绩最稳定的学生的样本数据,已知线性回归方程为 ,利用线 性回归方程预测该生第九次的成绩. 参考公式:(1)样本 的相关系数 ; (2)对于一组数据 , ,…, ,其回归方程 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 , . 【答案】(1) , 类学生;(2)135.2 【解析】 【分析】 (1)根据公式计算 ,比较 的大小,即可得答案; (2)根据回归直线经过样本点的中心,可求得 的值,再将 代入方程求得 的值,即 可得答案; 【详解】(1)根据题意,可知 类学生的 , , , 相关系数 , 又因 ,则 类学生学习成绩最稳定为  6.2y x a= + ( )( ), 1,2, ,i ix y i n=  ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y y bx a= +   ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ a y bx= −  0.984 C 3 62 0.98463r = ≈ 1 2 3| |,| |,| |r r r a 9x = y C ( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + = ( )1 85 92 101 100 112 985y = + + + + = ( )( )5 1 i i i x x y y = − −∑ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 3 85 98 2 3 92 98 3 3 101 98 4 3 100 98 5 3 112 98= − − + − − + − − + − − + − − 26 6 0 2 28= + + + + 62= 3 62 0.98463r = ≈ 3 1 2r r r> > C(2)因为 , 所以 , 所以 , 当 时, , 所以预测该生的第九次成绩约为 135.2. 【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用,考查函数与方程思想、转化与 化归思想,考查运算求解能力. 18.已知等比数列 的公比 ,且 , 是 , 的等差中项,数列 的通项公式 , . (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1) 由 是 , 的等差中项得 ,则 ,可得 ,所以得到 ,由通项公式可求得 ,从而得到答案. (2) ,用裂项相消法求和. 【详解】(1)由 是 , 的等差中项得 , 所以 ,解得 , 由 ,得 ,解得 或 ,因为 ,所以 . 所以, .  6.2y x a= +   6.2 98 6.2 3 79.4a y x= − = − × =  6.2 79.4y x= + 9x =  135.2y = { }na 1q > 1 3 5 42a a a+ + = 3 9a + 1a 5a { }nb 1 2 1 1 n n n n b a a + = − + − *n∈N { }na { }nb n nS 2n na = 12 1 1n nS += − − 3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = + 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = 3 8a = 1 5 34a a+ = q 1 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n nb a a + += − + − = − − − 3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = + 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = 3 8a = 1 5 34a a+ = 2 2 8 8 34qq + = 2 4q = 2 1 4q = 1q > 2q = 2n na =(2)由(1)可得 , . 所以 , 所以 . 【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和,属于中档题. 19.如图,四边形 是直角梯形, , , , ,又 , , ,直线 与直线 所成的角为 60°. (1)求证: ; (2)求点 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据已知 , ,可得 平面 ,即可证明结论; (2)过 做 ,交 于 ,连 ,根据(1)可得 平面 ,得到 为异面直线 与直线 所成的角,在 求出 , 中可得出 , 1 2 2 1 2 1 n n n n b + = − + − *n∈N ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 1 2 12 = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n nn n n n n n n n b + + + + − − − = − + − − + − − − − ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n + + + − − − − − − = =− − + − 12 1 2 1n n+= − − − ( ) ( )2 1 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nb b b ++ + + = − − − + − − − + + − − −  12 1 1n+= − − PCBM 90PCB∠ = ° //PM BC 1PM = 2BC = 1AC = 120ACB∠ = ° AB PC⊥ AM PC PC AC⊥ B ACM 2 21 7 BC PC⊥ AB PC⊥ PC ⊥ ABC M / /MO PC BC O AO OM ⊥ ABC OMA∠ AM PC AOC∆ OA Rt AOM∆ ,OM AM求出 ,用等体积法,即可求解. 【详解】(1)∵ , , , ∴ 平面 , ∵ 平面 , . (2)过 做 ,交 于 ,连 , , , 为 中点, 平面 , 平面 , , 为异面直线 与直线 所成的角, ,在 中,由余弦定理得, , , 在 中, , , , , 设点 到平面 的距离为 , , 点 到平面 的距离为 . ,ACM ABCS S∆ ∆ BC PC⊥ AB PC⊥ AB BC B∩ = PC ⊥ ABC AC ⊂ ABC PC AC∴ ⊥ M / /MO PC BC O AO 1PM = 2BC = O∴ BC PC ⊥ ABC OM ⊥ ABC OM OA∴ ⊥ OMA∴∠ AM PC 60OMA∴∠ = ° AOC∆ 2 2 2 2 cos 3OA CA OC CA OC ACB= + − ⋅ ⋅ ∠ = 3, 1, 2tan 60 OAOA OM AM∴ = = = =° 2MC∴ = ACM∆ 2 2 2 4 1 2 3cos 2 2 2 1 4 AM AC MCMAC AM AC + − + −∠ = = =⋅ × × 2 7sin 1 cos 4MAC MAC∴ ∠ = − ∠ = 1 7sin2 4MACS AC AM MAC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ = 1 3sin2 2ABCS CA CB ACB∆ = ⋅ ⋅ ∠ = B ACM , M ABC B MACh V V− −= 3 1 1 2 212,3 3 77 4 ABC MACS OM S h h∆ ∆⋅ = ⋅ ∴ = = ∴ B ACM 2 21 7【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,证明直线与直线垂直,应用等体积法求点到平 面的距离,考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题. 20.已知抛物线 ,过点 分别作斜率为 , 的抛物线的动弦 、 ,设 、 分别为线段 、 的中点. (1)若 为线段 的中点,求直线 的方程; (2)若 ,求证直线 恒过定点,并求出定点坐标. 【答案】(1) ;(2)证明见解析,定点 . 【解析】 【分析】 (1)设 , ,利用“点差法”确定 的值,从而求出直线的方程; (2)求出直线 的方程,利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点. 【详解】(1)设 , ,则 ①, ②. ①-②,得 . 又因为 是线段 的中点,所以 2 2y x= (1,1)P 1k 2k AB CD M N AB CD P AB AB 1 2 1k k+ = MN y x= (0,1) ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1k MN 1 2 1k k+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 12y x= 2 2 22y x= ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = − ( )1,1P AB 1 2 2y y+ =所以, . 又直线 过 ,所以直线 的方程为 ; (2)依题设 ,直线 的方程为 ,即 , 亦即 ,代入抛物线方程并化简得 . 所以, 于是, , . 同理, , . 易知 ,所以直线 的斜率 . 故直线 的方程为 , 即 .此时直线过定点 . 故直线 恒过定点 . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题,考查数形结合思想、考 查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力. 21.已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)若 , ,求证: . 【答案】(1) 在 单调递增,在 单调递减;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)分别令 , 求出单调性; (2)设 ,则 , 要证: ,即证: 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y −= =− + AB ( )1,1P AB y x= ( ),M MM x y AB ( )11 1y k x− = − 1 11y k x k= + − 1 2y k x k= + ( )2 2 2 1 1 2 22 2 0k x k k x k+ − + = 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k − −+ = − = 1 2 2 1 1 M k kx k −= 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk −= ⋅ + = ⋅ + = 1 2 2 2 1 N k kx k −= 2 1 Ny k = 1 2 0k k ≠ MN 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k −= =− − MN 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 1 k k k ky xk k k k  −− = − −   2 1 2 1 11 k ky xk k = +− ( )0,1 MN ( )0,1 ( ) xf x e x= − ( )f x 1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x≠ 1 2 2x xe e+ > ( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < 2 1x x> 2 1 1 2 1 2 2 1 1 x x x x e ee x e x x x −− = − ⇒ =− 1 2 2x xe e+ >,而 ,令 , , 等价于 , ,证明 的单调性即可. 【详解】(1)函数 定义域为 , 令 得 ,令 得 , 故 在 单调递增,在 单调递减. (2) ,不妨设 ,则 , 要证: ,即证: ……(*), 而 ,令 , , (*)等价于 , , 设 , , 令 , 在 恒成立, 则 在 单调递增,故 ,故 在 单调递增, 故 ,故原命题得证. 【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式,考查逻辑思维能力和运算 能力,属于高考常考题型. 22.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐 标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程; ( )2 1 2 1 2 1 2x x x x x x e ee e − ⋅ + >− ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x ee e x xe e e − − − +⋅ + = −− − 2 1t x x= − ( )0,t ∈ +∞ ( )2 1 2 1 2 1 2x x x x x x e ee e − ⋅ + >− ( )1 2 1 2 2 01 t t t t et t e ee +⋅ > ⇔ + − + >− ( )0,t ∈ +∞ ( )g t ( )f x ,R ( ) 1xf x e′ = − ( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( ),0x∈ −∞ ( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞ ( ) ( )1 2f x f x= 2 1x x> 2 1 1 2 1 2 2 1 1 x x x x e ee x e x x x −− = − ⇒ =− 1 2 2x xe e+ > ( )2 1 2 1 2 1 2x x x x x x e ee e − ⋅ + >− ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x ee e x xe e e − − − +⋅ + = −− − 2 1t x x= − ( )0,t ∈ +∞ ( )1 2 1 2 2 01 t t t t et t e ee +⋅ > ⇔ + − + >− ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )1 2 2t tg t t e e= + − + ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e′ = + + − = − + ( ) ( )1 1th t t e= − +  ( )' 0th t te= > ( )0,t ∈ +∞ ( )g t′ ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g′ ′> = ( )g t ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g> = xOy 1C 3 cos 3 3sin x y ϕ ϕ  = = + ϕ O x 2C 2cosρ θ= 1C 2C(2)已知曲线 的极坐标方程为 ( , ),点 是曲线 与 的交点, 点 是曲线 与 的交点, 、 均异于原点 ,且 ,求实数 的值. 【答案】(1) : , : (2) 或 【解析】 【分析】 (1)消去参数 ,可得曲线 的普通方程,利用 可得直角坐标方程; (2)将曲线 化为极坐标方程,利用极坐标方程的几何意义 ,结合辅助角公式,即得解. 【详解】(1)曲线 的参数方程为 ,消去参数 , 可得曲线 的普通方程为: 故:曲线 的极坐标方程为 . 又 故: 的直角坐标方程为: . (2)曲线 : 化为极坐标方程为 设点 , ,依题设知 , 所以 由 知 因为 ,故 或 3C θ α= 0 α π< < ρ ∈R A 3C 1C B 3C 2C A B O | | 2 2AB = α 1C ( )22 3 3x y+ − = 2C ( )2 21 1x y− + = 5 12 πα = 11 12 πα = ϕ 1C cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 1C 1 2| | | | | 2 3sin 2cos |AB ρ ρ α α= − = − 1C 3 cos 3 3sin x y ϕ ϕ  = = + ϕ 1C ( )22 3 3x y+ − = 2C 2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ∴ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2C ( )2 21 1x y− + = 1C ( )22 3 3x y+ − = 2 3sinρ θ= ( )1,A ρ α ( )2,B ρ α 1 2 3sinρ α= 2 2cosρ α= | | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB πα α α = − = −   | | 2 2AB = 2sin 6 2 πα − = ±   5 6 6 6 π π πα− < − < 6 4 π πα − = 3 6 4 π πα − =因此 或 【点睛】本题考查了极坐标,参数方程与一般方程的互化,以及利用极坐标的几何意义解决 线段长度问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题. 23.已知函数 , . 解不等式 ; 若对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 试题分析:(1)由题意得 ,所以 ,解得 ;(2) 由 题 意 , , , , 所 以 ,解得 或 . 试题解析: (Ⅰ)由 ,得 , ∴ ,得不等式的解为 (Ⅱ) , , 对任意的 均存在 ,使得 成立, , ,解得 或 , 即实数 的取值范围为: 或 . 点睛:本题考查绝对值不等式.绝对值不等式的求解,掌握基本解法即可.绝对值的三角不 等式考查技巧性较高,形式上需要满足定义域及系数的统一,本题的另一个难点就是题意的 理解转化,得到值域的包含关系. 5 12 πα = 11 12 πα = ( ) 2 3f x x a x= − + + ( ) 2 3g x x= − + ( )1 ( ) 6g x < ( )2 2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )1 2g x f x= ( 1,5)− ( , 3] [0, )−∞ − ∪ +∞ 6 2 3 6x− < − + < 9 2 3x− < − < 1 5x− < < ( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ = ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 3g x x= − + ≥ 2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ − 2 3 6x − + < 6 2 3 6x− < − + < 9 2 3x− < − < 1 5x− < < ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 3g x x= − + ≥  2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )2 1f x g x= ∴ ( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ = ∴ 2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ − a 0a ≥ 3a ≤ −

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