河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检
考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解集合 再求并集即可.
【详解】因为 , ,
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2.已知 是虚数单位，且复数 ，且 是实数，则实数 的值为( )
A. 6 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据复数运算公式求出 ，由于 是实数，再根据复数的性质，令虚部为 0，即可求出
结果．
【详解】 ，∴ ，∵
{ }2| 3 4 0A x x x= − − < { }| 2 3xB y y= = + A B =
[3,4) ( 1, )− +∞ (3,4) (3, )+∞
,A B
{ }2| 3 4 0 { | 1 4}A x x x x x= − − < = − < < { }| 2 3xB y y= = + { | 3}y y= >
( 1, )A B = − +∞
i 1 23 , 1 2z bi z i= − = − 1
2
z
z b
6− 1
6
1
2
z
z
1
2
z
z
1 23 1 2z bi z i= − = − ，
( )( )
( )( )1
2
3 1 23 3 2 6
1 2 1 2 1 2 5 5
bi iz bi b b iz i i i
− +− + −= = = +− − +
1
2
z
z是实数，∴ ，得 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数是实数的等价条件，根据复数的运算法则进
行化简是解决本题的关键．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将
闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济
活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到
的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D．
4.设 ， ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
6 05
b− = 6b =
1tan 2
α = 4cos( ) ( (0, ))5
π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β−
7
24
− 5
24
−
5
24
7
24利用倍角公式求得 的值，利用诱导公式求得 的值，利用同角三角函数关系式求得
的值，进而求得 的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】 ， ，
， ，
， ， ，
，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，
同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
5.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释
我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的
两仪数量总和.已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数
列中奇数项的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
【详解】由题意 ，排除 D， ，排除 A，C．同时 B 也满足 ， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其侧视图中的曲线为 圆周，
则该几何体的体积为( )
tan 2α cos β
sin β tanβ
1tan 2
α = 2
2tan 4tan2 1 tan 3
αα α= =−
( ) 4cos cos5
π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈
4cos 5
β∴ = 3sin 5
β = 3tan 4
β =
( )
4 3
tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4
α βα β α β
−−− = = =+ + ×
2
2
n n− 2 1
2
n − 21
2
n( − ) 2
2
n
1 0a = 3 4a = 5 12a = 7 24a =
9 40a =
1
4A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.
【详解】根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的，如
图所示
平面 的面积为 ，
故该几何体的体积 ，
故选 B.
【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题，关键时看懂三视图，能还原出原几何体
的形状，属于中档题.
7.已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能是（ ）
16π 64 16π− 3264 3
π− 1664 3
π−
DEF
2
2 44 16 44S
π π⋅= − = −
( )4 16 4 64 16V S h π π= ⋅ = ⋅ − = −
( )f x ( )f xA. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像得到函数 为偶函数，而且 时， ，通过排除法排除掉 A、B 选项，
然后通过判断 时， 的值，排除 D 选项，从而得到答案.
【详解】函数 图象如图所示，函数是偶函数， 时，函数值为 0．
是偶函数，但是 ，
是奇函数，不满足题意．
偶函数， 满足题意；
是偶函数， ， 时， ，不满足题意．
故选 C 项．
【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.
8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、
商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一．五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角
音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ）
A. 20 种 B. 24 种 C. 32 种 D. 48 种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角所在的位置，分两类：角排在一或五；角排在二或四.根据分类计数原理和排列组合的
知识可得．
的
是
( ) ( )= 4 4x xf x x−+ ( ) ( ) 24 4 logx xf x x−= −
( ) 2( ) 4 4 log | |x xf x x−= + ( ) 1
2
( ) 4 4 logx xf x x−= +
( )f x 1x = ( ) 0f x =
( )0,1x∈ ( )f x
( )f x 1x =
( ) ( )4 4x xf x x−= + ( )1 0f ≠
( ) ( ) 24 4 logx xf x x−= −
( ) ( ) 24 4 logx xf x x−= + ( )1 0f =
( ) ( ) 1
2
4 4 logx xf x x−= + ( )1 0f = ( )0,1x∈ ( ) 0f x >【详解】若角排在一或五，有 种；若角排在二或四，有 .
根据分类计数原理可得，共有 种.
故选：C．
【点睛】本题考查排列组合和计数原理，属于基础题.
9.已知函数 与 轴交于点 ，距离
轴最近的最大值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数
的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 与 轴 交 于 点 ， 则 ， 可 得 ， 最 大 值 点 , 则
， 且 ，由五点作图法知 ，解得 ，求出 的表达式，
，且 ，恒有 ，则 在 单调，由三角函数的
单调性，可得出答案.
【详解】由题意得， 的最大值点 ,则 .
与 轴交于点 ，则 ， ，所以
又 的最大值点 ，即 ，由五点作图法知 ，解得
，
∴ ，
2 2
2 32A A =24 2 2
2 22A A 8=
24 8 32+ ＝
( ) ( )sin 0, 0,0 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > <
9
π
2 3 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
2 2 2
3 9 3 9
k kx
π π π π− ≤ ≤ + k Z∈
( ) 2, ,9 9a a
π π − ⊆ − 0 9a
π< ≤
O ABC∆ 4, 2,AB AC BAC= = ∠ M BC
AM AO⋅
5 6 7
O ,AB AC ,P Q AO ,AB AC
1 1,2 2AP AB AQ AC= = M BC ( )1
2AM AB AC= +
( ) ( ) 2 21 1 1 1 1+ 52 2 2 2 2AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = =
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2F F、 2 2 2x y b+ =
1 23MF MF=A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意画出图像并过 点作 垂线交 于点 ，然后通过圆与双曲线
的相关性质判断出三角形 的形状并求出高 的长度， 的长度即 点纵坐标，
然后将 点纵坐标带入圆的方程即可得出 点坐标，最后将 点坐标带入双曲线方程即可
得出结果．
【详解】
根据题意可画出以上图像，过 点作 垂线并交 于点 ，
因为 ， 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知， ，即 ， ，
因为圆 的半径为 ， 是圆 的半径，所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，三角形 是直角三角形，
因为 ，所以 ， ，即 点纵坐标为 ，
将 点纵坐标带入圆的方程中可得 ，解得 ， ，
将 点坐标带入双曲线中可得 ，
化简得 ， ， ， ，故选 D．
【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与
2 3
M 1 2F F 1 2F F H
2OMF MH MH M
M M M
M 1 2F F 1 2F F H
1 23MF MF= M
1 2 2MF MF a- = 2 23 2MF MF a- = 2MF a=
2 2 2x y b+ = b OM 2 2 2x y b+ = OM b=
OM b= 2MF a= 2OF c= 2 2 2+ =a b c
2 90OMFÐ = 2OMF
2MH OF^ 2 2OF MH OM MF´ = ´ ab
cMH = M ab
c
M 2 2
2
2 2a b
cx b+ = 2b
cx = ( )2 ,b ab
c cM
M 4 2
2 2 2 1b a
a c c- =
4 4 2 2b a a c- = ( ) 22 2 4 2 2c a a a c- - = 2 23c a= 3c
ae = =双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是
难题．
12.已知定义在 上的函数 ，若函数 恰有 2 个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数 恰有 2 个零点转化为两函数 与 有两不同交点，作
出函数图像即可求出结果.
【详解】由题意函数 恰有 2 个零点，即是方程 有两不等实
根 ， 即 是 两 函 数 与 有 两 不 同 交 点 ， 作 出 函 数 图 像 如 下 图 ，
易得当 时，有两交点，即函数 恰有 2 个零点.
故选 B.
【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有
交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分．共 20 分）
R ( ) 2
ln , 1
, 1
x x
f x x x x
>= − ≤
( ) ( )F x f x ax= −
a
( ) { } 1, 1 0 ,e
−∞ − ∪ ∪ +∞
( ) { } 1, 1 0 ,1e
−∞ − ∪ ∪
{ }1 11, 0 ,1e e
− − ∪ ∪
{ }1 11, 0 ,e e
− − ∪ ∪ +∞
( ) ( )F x f x ax= − ( )y f x= y ax=
( ) ( )F x f x ax= − ( ) 0f x ax− =
( )y f x= y ax=
( ) { }1a , 1 ,1 0e
∞ ∈ − − ∪ ∪
( ) ( )F x f x ax= −13.若 满足约束条件 ，则 的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求出 的最小值.
【详解】做出满足 的可行域，如下图所示（阴影部分），
当目标函数 过 时，取得最小值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，
属于基础题.
14.已知 ，满足 ，则 的展开式中
的系数为______.
【答案】30
【解析】
【分析】
根据二项式定理求出 ，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得 系数．
,x y
2 2 0
3 3 0
0
x y
x y
x
+ − ≤
− − ≤
≥
z x y= −
2−
z
2 2 0
3 3 0
0
x y
x y
x
+ − ≤
− − ≤
≥
z x y= − (0,2)A 2−
2−
*n N∈ 0 1 2 22 2 2 243n n
n n n nC C C C+ + + + = ( )2 n
x x y+ + 5 2x y
n x【详解】由题意 ， ．
∴ 的展开式中 的系数为 ．
故答案为：30．
【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
15.四边形 中， ,当边 最短时，四边形
的面积为__________．
【答案】
【解析】
分析：解题的关键是要明确什么时候边 最短，从而求得 ，之后连接 ，利用
题中所给的量，利用余弦定理以及直角三角形中的边角关系，求得各边长，之后应用三角形
面积公式求得结果.
详解：当 边最短时，就是 时，连接 ，应用余弦定理可以求得
，并且可以求得 ，从而求得 ，从而求得
，利用平方关系求得
，从而求得 ， ，所以四
边形的面积 ，故答案是 .
点睛：解决该题的关键是先确定 边最短时对应的结果，之后将四边形分成两个三角形，
利用余弦定理求得对角线 ，利用差角余弦公式将直角三角形中的一个锐角确定，
之后应用相应的公式求得结果.
16.点 为棱长是 的正方体 的内切球 球面上的动点，点 满足
，则动点 的轨迹的长度为__________．
【答案】
0 1 2 22 2 2 243(1 2)n n
n n n
n
nC C C C+ + + + == + 5n =
( )52x x y+ + 5 2x y 2 2
5 3 30C C =
ABCD 0 160 ,cos , 77A B AB BC= = = = CD ABCD
37 2
2
CD 90D∠ = ° AC
CD 90D∠ = ° AC
2 21AC = 21cos 7CAB∠ = 2 7sin 7CAB∠ =
3 21 1 2 7 7sin sin(60 ) 2 7 2 7 14CAD CAB∠ = °− ∠ = × − × =
3 21cos 14CAD∠ = 72 21 314CD = × = 3 212 21 914AD = × =
1 1 4 3 37 33 9 7 72 2 7 2S = × × + × × × = 37 3
2
CD
2 21AC =
P 3 1 1 1 1ABCD A B C D− O P
1BP AC⊥ P
6π【解析】
由题意得 经过球 的球心，动点 P 的轨迹为经过点 B 且与 垂直的平面被球 所截所
得的截面圆的圆周．
由几何知识可得，平面 为过点 B 且与 垂直的平面，由题意得截面圆即为 的
内切圆．结合题意可得 为边长等于 的等边三角形，故内切圆的半径为
，所以周长为 ．
答案：
三、解答题（本题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，其它每题均 12 分．共 70 分）
17.已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项，数列
的通项公式 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1) 由 是 ， 的等差中项得 ,则 ，可得
，所以得到 ，由通项公式可求得 ，从而得到答案.
(2) ,用裂项相消法求和.
1AC O 1AC O
1A BD 1AC 1A BD∆
1A BD∆ 3 2
1 3( 3 2)3 2
× × 6
2
= 62 62
π π× × =
6π
{ }na 1q > 1 3 5 42a a a+ + = 3 9a + 1a 5a
{ }nb
1
2
1 1
n
n
n n
b
a a +
=
− + − *n∈N
{ }na
{ }nb n nS
2n
na = 12 1 1n
nS += − −
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = + 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + =
3 8a = 1 5 34a a+ = q
1
1
2
1
2 1 2 1
1
n
n
n n
n nb
a a +
+=
− + −
= − − −【详解】（1）由 是 ， 的等差中项得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，因为 ，所以 .
所以， .
（2）由（1）可得 ， .
所以
，
所以
.
【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和，属于中档题.
18.如图，已知三棱柱 中， 与 是全等的等边三角形.
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
的
3 9a + 1a 5a 1 5 32 18a a a+ = +
1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = 3 8a =
1 5 34a a+ = 2
2
8 8 34qq
+ = 2 4q = 2 1
4q = 1q > 2q =
2n
na =
1
2
2 1 2 1
n
n n n
b +
=
− + − *n∈N
( )
( )( )
1
1 1 1
2 2 1 2 12 =
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n nn
n n n n n n n
b
+
+ + +
− − −
=
− + − − + − − − −
( ) ( )1 1
1
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2
n n n n n n
n n n
+ +
+
− − − − − −
= =− − + −
12 1 2 1n n+= − − −
( ) ( )2 1 3 2 1
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n
nb b b ++ + + = − − − + − − − + + − − −
12 1 1n+= − −
1 1 1ABC A B C− ABC∆ 1B BC∆
1BC AB⊥
1
1cos 4B BA∠ = 1C B B A− −
5
5【解析】
【分析】
(1) 取 的中点 ，连接 ，可得 ， ，从而可得 平面
，即可得到结论.
(2) 设 , 由 余 弦 定 理 可 得 ， 在 中 ， 有
，则以 分别为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解
二面角的余弦值.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
由于 与 是等边三角形，
所以有 ， ，且 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
（2）设 ， 与 是全等的等边三角形，
所以 ，
又 ，由余弦定理可得 ，
在 中，有 ，
以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
BC O 1,AO B O AO BC⊥ 1B O BC⊥ BC ⊥
1B AO
AB a= 2 2 2 2
1
1 32 4 2AB a a a a a= + − ⋅ × = 1AB C∆
2 2 2
1 1AB AO B O= + 1, ,OA OB OB , ,x y z
BC O 1,AO B O
ABC∆ 1B BC∆
AO BC⊥ 1B O BC⊥ 1AO B O O= BC ⊥ 1B AO
1AB ⊂ 1B AO 1BC AB⊥
AB a= ABC∆ 1B BC∆
1 1BB AB BC AC B C a= = = = =
1
1cos 4B BA∠ = 2 2 2 2
1
1 32 4 2AB a a a a a= + − ⋅ × =
1AB C∆ 2 2 2
1 1AB AO B O= +
1, ,OA OB OB , ,x y z则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查求二面角的余弦值，求二面角的相关问
题常用向量法，属于中档题.
19.已知抛物线 ，过点 分别作斜率为 ， 的抛物线的动弦 、 ，设
、 分别为线段 、 的中点．
1
3 3,0,0 , 0, ,0 , 0,0,2 2 2
aA a B B
1ABB ( , , )n x y z=
1
3 1 00 2 2
0 3 3 02 2
ax ayn AB
n AB ax az
− + = ⋅ = ⇒ ⋅ = − + =
1x = (1, 3,1)n =
1BCB (1,0,0)m =
1C B B A− − 5cos 5| | | |
n m
n m
θ ⋅= =
⋅
2 2y x= (1,1)P 1k 2k AB CD
M N AB CD（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 ．
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，利用“点差法”确定 的值，从而求出直线的方程；
（2）求出直线 的方程，利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点.
【详解】（1）设 ， ，则 ①， ②．
①－②，得 ．
又因为 是线段 的中点，所以
所以， ．
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ；
（2）依题设 ，直线 的方程为 ，即 ，
亦即 ，代入抛物线方程并化简得 ．
所以，
于是， ， ．
同理， ， ．
易知 ，所以直线 的斜率 ．
故直线 的方程为 ，
即 ．此时直线过定点 ．
故直线 恒过定点 ．
【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考
P AB AB
1 2 1k k+ = MN
y x= (0,1)
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1k
MN 1 2 1k k+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1 12y x= 2
2 22y x=
( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = −
( )1,1P AB 1 2 2y y+ =
2 1
1
2 1 2 1
2= 1y yk x x y y
−= =− +
AB ( )1,1P AB y x=
( ),M MM x y AB ( )11 1y k x− = − 1 11y k x k= + −
1 2y k x k= + ( )2 2 2
1 1 2 22 2 0k x k k x k+ − + =
1 2 1 2
1 2 2 2
1 1
2 2 2 2k k k kx x k k
− −+ = − =
1 2
2
1
1
M
k kx k
−= 1 2
1 2 1 22
11
1 1
M M
k ky k x k k k kk
−= ⋅ + = ⋅ + =
1 2
2
2
1
N
k kx k
−=
2
1
Ny k
=
1 2 0k k ≠ MN 2 1
2 11
M N
M N
y y k kk x x k k
−= =− −
MN 2 1 1 2
2
1 2 1 1
11
1
k k k ky xk k k k
−− = − −
2 1
2 1
11
k ky xk k
= +− ( )0,1
MN ( )0,1查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.
20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，
每人必须在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进
入下一关，否则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的
频率分布直方图．
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，
并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
①求该团队能进入下一关的概率；
②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并
说明理由．
【答案】（1） ， ，甲、乙在 1 分钟内解开密码锁的频率分别是0.9，
0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中左右两边矩形面积均为 计算出中位数，可得出 、 的值，
再分别计算甲、乙在 分钟内解开密码锁的频率值；
（2）①利用独立事件概率的乘法公式可计算出所求事件的概率；
②分别求出先派甲和先派乙时随机变量 的数学期望，比较它们的大小，即可得出结论．
【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，
，解得 ；
0.024a = 0.026b =
0.5 a b
1
X
( )0.01 5 0.014 5 5 0.034 5 0.04 47 45 0.5b∴ × + × + × + × + × − = 0.026b =，解得 ；
∴甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 ；
乙在 1 分钟内解开密码锁的频率是 ；
（2）由（1）知，甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 0.9，乙是 0.7，丙是 0.5，
且各人是否解开密码锁相互独立；
①令“团队能进入下一关”的事件为 ，“不能进入下一关”的事件为 ，
，
∴该团队能进入下一关的概率为 ；
②设按先后顺序自能完成任务的概率分别 p1，p2，p3，且 p1，p2，p3 互不相等，
根据题意知 X 的取值为 1，2，3；
则 ， ， ，
，
，
若交换前两个人的派出顺序，则变为 ，
由此可见，当 时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
，
∴交换后的派出顺序则变为 ，
当 时，交换后的派出顺序可增大均值；
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
【点睛】本题考查频率分布直方图中位数的计算、离散型随机变量分布列与数学期望，在作
决策时，可以依据数学期望和方差的大小关系来作出决策，考查分析问题的能力，属于难
题．
0.04 3 0.032 5 5 0.010 10 0.5a∴ × + × + × + × = 0.024a =
1 0.01 10 0.9f = − × =甲
1 0.035 5 0.025 5 0.7f = − × − × =乙
A A
( ) ( ) ( ) ( )1 0.9 1 0.7 1 0.5 0.015P A = − − − =
( ) ( )1 1 0.015 0.985P A P A= − = − =
( ) 11P X p= = ( ) ( )1 22 1P X p p= = − ( ) ( ) ( )1 23 1 1P X p p= = − −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 3 1 1 3 2E X p p p p p p p p p= + − + − − = − − +
( ) ( )1 2 1 2 13E X p p p p p∴ = − + + −
( )1 2 1 2 23 p p p p p− + + −
1 2p p>
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2X 3 3 2 1E p p p p p p p p= − + + − = − − −
( )1 1 33 2 1p p p− − −
2 3p p>21.已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别令 ， 求出单调性；
（2）设 ，则 ， 要证： ，即证：
，而 ，令 ，
， 等价于 ，
，证明 的单调性即可.
【详解】（1）函数 定义域为 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减.
（2） ，不妨设 ，则 ，
要证： ，即证： ……（*），
而 ，令 ， ，
（*）等价于 ， ，
设 ， ，
( ) xf x e x= −
( )f x
1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x≠ 1 2 2x xe e+ >
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =− 1 2 2x xe e+ >
( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= −
( )0,t ∈ +∞ ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >− ( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞ ( )g t
( )f x ,R ( ) 1xf x e′ = −
( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( ),0x∈ −∞
( )f x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
( ) ( )1 2f x f x= 2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =−
1 2 2x xe e+ > ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >−
( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − 2 1t x x= − ( )0,t ∈ +∞
( )1 2 1 2 2 01
t
t t
t
et t e ee
+⋅ > ⇔ + − + >−
( )0,t ∈ +∞
( ) ( )1 2 2t tg t t e e= + − + ( )0,t ∈ +∞
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e′ = + + − = − +令 ， 在 恒成立，
则 单调递增，故 ，故 在 单调递增，
故 ，故原命题得证．
【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算
能力，属于高考常考题型.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐
标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），点 是曲线 与 的交点，
点 是曲线 与 的交点， 、 均异于原点 ，且 ，求实数 的值.
【答案】（1） ： ， : （2） 或
【解析】
【分析】
（1）消去参数 ,可得曲线 的普通方程，利用 可得直角坐标方程；
（2）将曲线 化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义
，结合辅助角公式，即得解.
【详解】（1）曲线 的参数方程为 ,消去参数 ，
可得曲线 的普通方程为：
故：曲线 的极坐标方程为 .
又
在
( ) ( )1 1th t t e= − + ( )' 0th t te= > ( )0,t ∈ +∞
( )g t′ ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g′ ′> = ( )g t ( )0,t ∈ +∞
( ) ( )0 0g t g> =
xOy 1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
O x 2C 2cosρ θ=
1C 2C
3C θ α= 0 α π< < ρ ∈R A 3C 1C
B 3C 2C A B O | | 2 2AB = α
1C ( )22 3 3x y+ − = 2C ( )2 21 1x y− + = 5
12
πα = 11
12
πα =
ϕ
1C cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C
1 2| | | | | 2 3sin 2cos |AB ρ ρ α α= − = −
1C 3 cos
3 3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
1C ( )22 3 3x y+ − =
2C 2cosρ θ=
2 2 cosρ ρ θ∴ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=故： 的直角坐标方程为： .
（2）曲线 ： 化为极坐标方程为
设点 ， ，依题设知 ，
所以
由 知
因为 ，故 或
因此 或
【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决
线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
23.已知函数 ， ．
解不等式 ；
若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：（1）由题意得 ，所以 ，解得 ；（2）
由 题 意 ， ，
， ， 所 以
，解得 或 ．
试题解析：
(Ⅰ)由 ，得 ，
∴ ，得不等式的解为
(Ⅱ) ，
2C ( )2 21 1x y− + =
1C ( )22 3 3x y+ − = 2 3sinρ θ=
( )1,A ρ α ( )2,B ρ α
1 2 3sinρ α= 2 2cosρ α=
| | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB
πα α α = − = −
| | 2 2AB = 2sin 6 2
πα − = ±
5
6 6 6
π π πα− < − <
6 4
π πα − = 3
6 4
π πα − =
5
12
πα = 11
12
πα =
( ) 2 3f x x a x= − + + ( ) 2 3g x x= − +
( )1 ( ) 6g x <
( )2 2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )1 2g x f x=
( 1,5)− ( , 3] [0, )−∞ − ∪ +∞
6 2 3 6x− < − + < 9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
2 3 6x − + < 6 2 3 6x− < − + <
9 2 3x− < − < 1 5x− < <
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = +，
对任意的 均存在 ，使得 成立，
，
，解得 或 ，
即实数 的取值范围为： 或 ．
点睛：本题考查绝对值不等式．绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可．绝对值的三角不
等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的
理解转化，得到值域的包含关系．
( ) 2 3 3g x x= − + ≥
2x R∈ 1x R∈ ( ) ( )2 1f x g x=
∴ ( ){ } ( ){ }y y f x y y g x= ⊆ =
∴ 2 3 3a + ≥ 0a ≥ 3a ≤ −
a 0a ≥ 3a ≤ −
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