2019-2020 学年度河北名优校联考
数学（文科）
注意事项：
1.本试卷共 4 页，三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.本试卷上不要答题，请按答题纸上注意事项的要求直接把答案填写在答题纸上答
在试卷上的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.己知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合 A，B，由此能求出 .
【详解】由 变形，得 ，解得 或 ，
∴ 或 .
又∵ ，
∴ .
故选：C.
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在的
象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
{ }2 2 3A x x x= − ≥ { }0 4B x x= < < A B =
( )1,4− ( ]0,3 [ )3,4 ( )3,4
A B
2 2 3x x− ≥ ( )( )1 3 0x x+ − ≥ 3x ≥ 1x ≤ −
{ | 3A x x= ≥ }1x ≤ −
{ }0 4B x x= < <
[ )3,4A B∩ =
z ( ) 41 1i z i
+ = − i 2z −【分析】
先根据复数的四则运算求得 z，再利用复数几何意义求解结论.
【详解】由 ，
得 ，
则 ，
∴复数 在复平面内对应的点为 ，
∴复数 在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础
题.
3.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕
琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，
若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
( ) 41 1i z i
+ = −
( )
( )
( )( )
2 2 14 2 21 1 1 1
iz ii i i i
−= = = −− ⋅ + + −
( )2 2 2 2z i− = − −
2z − ( )2 2, 2− −
2z −
A OB
1
4
1
2
5
8
3
4
α R r
2
2S R
α=大扇形
2
2S r
α=小扇形 2R r=.
故选：D.
【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，
属于基础题.
4.设 , , ,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据与特殊点的比较可得因为 , , ,从而得到 ,得出答案.
【详解】解:因为 ,
,
,
所以 .
故选:B
【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如
, , .
5.若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
2 2
2 2 2
2 2
2
3 32 2
4 4
2
R r R r rP R rR
α α
α
− −= = = =
1
2
log 3a = 0.21
3b =
1
32c =
a b c> > c b a> > c a b> > b a c> >
1
2
3 0a log= < 0 1b< < 1c > c b a> >
1 1
2 2
3 log 1 0a log= < =
0.2 01 10
3 3
1b< = < =
1 1
3 32 12c = > =
c b a> >
1alog a = log 1 0a
= 0 1a =
a b ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − = 3a b a b+ = − a b
1
3
± 4
5
± 1
3
4
5根据题意，设 与 的夹角为 .由 ，可得 ，再将
两边同时平方，将 代入，变形可得 的值，即可得答案.
【详解】设 与 的夹角为 .
∵ ，
∴ ，
∴ .①
∵ ，
∴ ②
由①②，解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.
6.函数 在 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和特殊值可判断.
【详解】解：因为 ，所以 为奇函数，关于原点对称，
故排除 ，又因为 ， ， ， ，故排除 、 ,
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.
a b θ ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − = a b= 3a b a b+ = −
a b= cosθ
a b θ
( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =
2 2
0a b− =
a b=
3a b a b+ = −
2 2 2 2
2 cos 9 18 cos 9a a b b a a b bθ θ+ + = − +
4cos 5
θ =
ln | | cos( ) sin
x xf x x x
⋅= + [ ,0) (0, ]π π−
ln | | cos( ) ( )sin
x xf x f xx x
⋅− = − = −+ ( )f x
A ( )1 0f ± = ( ) 02f
π± = ( ) 03f
π > ( ) 0f π < B C7.已知 ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析：由题意利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再利用两角差的余弦公式
求得 的值，可得结论.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题.
8.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. f（x）的最小正周期为 2π B. f（x）的最大值为
C. f（x）在 上单调递增 D. f（x）的图象关于直线 x 对称
1sin 3
α = ,2
πα π ∈
2 2cos 3
α = − 2tan 4
α = −
4 2cos 4 6
πα + + = −
4 2cos 4 6
πα − − =
cos ,tanα α
cos ,cos4 4
π πα α − +
1sin 3
α = ,2
πα π ∈
2 1 2 2cos 1 sin 1 9 3
α α= − − = − − = −
1
sin 23tan cos 42 2
3
αα α= = = −
−
2 2 2 1 2cos cos cos sin sin4 4 4 3 2 3 2
π π πα α α + = − = − × − ×
4 2
6
+= −
2 2 2 1 2 4 2cos cos cos sin sin4 4 4 3 2 3 2 6
π π πα α α − − = + = − × + × = −
( ) 2 3f x sin x sinxcosx= +
3
2
5
3 6
π π
，
6
π=【答案】B
【解析】
【分析】
根据倍角公式和辅助角公式化简 ，得 .可直接判断 的正误；
选项 ，求出 的取值范围，判断 的单调性，即得 的正误；选项 ，把
代入 ，看 是否取得最值，即得 的正误.
【详解】
.
的最小正周期为 ，最大值为 ，故 错误， 正确.
对 ，当 时， ，又 在 上单调递减，
在 上单调递减.故 错误.
对 ， ，不 最值，故 错误.
故选： .
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.
9.某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会
对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了 10 株树苗，测量出的高度 （i=1，2，3，…，
10）（单位：厘米）分别为 37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这 10 株
树苗高度的平均值 ，将这 10 株树苗的高度 依次输入程序框图进行运算，则输出的 S
的值为（ ）
是
( )f x ( ) 1sin 2 6 2f x x
π = − + ,A B
C 2 6x
π− ( )f x C D 6x
π=
( )f x ( )f x D
( ) 2 1 cos2 3 3 1 13 sin 2 sin 2 cos22 2 2 2 2
xf x sin x sinxcosx x x x
−= + = + = − +
1sin 2 6 2x
π = − +
( )f x∴ π 3
2 A B
C 5
3 6x
π π ∈ ， 32 ,6 2 2x
π π π − ∈ siny t= 3,2 2t
π π ∈
( )f x∴ 5
3 6
π π
， C
D 1 1sin 2 sin 16 6 6 2 6 2f
π π π π = × − + = + = D
B
ix
27x = ixA. 25 B. 27 C. 35 D. 37
【答案】C
【解析】
【分析】
根据流程图的含义可知 表示 10 株树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方
差公式解之可得 ．
【详解】解：由 ，
由程序框图看出，程序所执行的是求这组数据的方差，
所以，这组数据的方差为：
．
故选：
【点睛】本题考查程序流程图的理解，方差的计算，属于基础题.
10.已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
S
S
27x =
2 2 2 21 [(19 27) (20 27) (21 27) (23 27)10S = − + − + − + − +
2 2 2 2 2 2(25 27) (29 27) (31 27) (32 27) (33 27) (37 27) ] 35− + − + − + − + − + − =
C
2 2
2 12
x y
a
− =
6
π
2 3
3
2 6
3
3 2【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐进线方程，可得到 值，再由 的关系和离心率公式，即可得到答案．
【详解】双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，
所以该条渐近线方程为 ；
所以 ，
解得 ；
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选 A．
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属
于基础题，
11.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 .已知 则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理将边与角的关系转化成角的关系，再运用诱导公式和两角和的正弦公式化简，再
利用辅助角公式可求得 A.
【详解】由已知和正弦定理得
a , ,a b c
2 2
2 12
x y
a
− =
6
π
3tan 6 3
π =
3
3y x=
2 3
3a
=
6a =
2 2 6 2 2 2c a b= + = + =
2 2 2 3
36
ce a
= = =
ABC∆ , ,a b c 3 sin cos 2b A a B b c− = − ， A =
6
π
4
π
3
π 2
3
π，
即 ，
即
所以 ，因为 ，所以 ，即
，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
故选 C．
【点睛】本题考查正弦定理、辅助角公式，诱导公式，利用正弦定理将已知等式中的边、角
关系转化为角之间的关系式,再利用诱导公式、两角和的正弦公式是本题的关键，属于中档题.
12.已知椭圆 ，直线 ，若椭圆 C 上存在两点关于直线 l 对称，则 m
取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ， 是椭圆 C 上关于 l 对称的两点，AB 的中点为 ，根据椭圆 C
上 存 在 两 点 关 于 直 线 对 称 ， 将 A，B 两 点 代 入 椭 圆 方 程 ， 两 式 作 差 可 得
，点 M 在椭圆 C 内部，可得 ，解不等式即可.
【详解】设 ， 是椭圆 C 上关于 l 对称的两点，AB 的中点为 ，
则 ， ， .
又因为 A，B 在椭圆 C 上，所以 ， ，
的
3sin sin sin cos 2sin sinB A A B B C− = −
3sin sin sin cos 2sin sin( )B A A B B A B− = − +
( )3sin sin sin cos 2sin sin cos cos sinB A A B B A B A B− = − +
3sin sin 2sin cos sinB A B A B= − sin 0B ≠ 3sin cos 2A A+ =
sin 16A
π + = 26 2A k
π π π+ = + 23A k
π π= + (0, )A π∈
3A
π=
2
2: 12
yC x + = :l y x m= +
2 2,3 3
−
2 2,4 4
−
3 3,3 3
−
3 3,4 4
−
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,M x y
:l y x m= +
0 02y x= 2 22 1m m+ <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,M x y
1 2 02x x x+ = 1 2 02y y y+ = 1ABk = −
2
2 1
1 12
yx + =
2
2 2
2 12
yx + =两式相减可得 ，即 .
又点 M 在 l 上，故 ，解得 ， .
因为点 M 在椭圆 C 内部，所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基
础题.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.若实数 ， 满足 则 的最大值为________.
【答案】10
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程
组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】根据题意画出可行域，如图所示：
由图可知目标函数经过点 时， 取得最大值 10.
故答案为：10.
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
14.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ______
1 2 1 2
1 2 1 2
2y y y y
x x x x
− +⋅ = −− + 0 02y x=
0 0y x m= + 0x m= 0 2y m=
2 22 1m m+ < 3 3,3 3m
∈ −
x y
1 0,
2 2 0,
1,
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥ −
3 2z x y= +
( )4, 1−A z
{ }na n nS 1
1 23 3n
na a a n−+ +…+ = 4S =【答案】
【解析】
【分析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得 的表达式，判断出数列 是等比数列，由此求得
的值.
【详解】解： ，可得 时， ，
时， ，又 ，
两式相减可得 ，即 ，上式对 也成立，可得数列 是首项为 1，公
比为 的等比数列，可得 ．
【点睛】本小题主要考查已知 求 ，考查等比数列前 项和公式，属于中档题.
15.设函数 ，若 为奇函数，则过点 且与曲线
相切的直线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，构造 求出 值.再另设切点，求出切线方程，将
代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.
【详解】∵函数 为奇函数，
∴ ，
∴ .解得 ，
∴ ，
∴ .
40
27
na { }na 4S
1
1 23 3n
na a a n−+ + + = 1n = 1 1a =
2n ≥ 2
1 2 13 3 1n
na a a n−
−+ +…+ = − 1
1 23 3n
na a a n−+ +…+ =
13 1n
na− =
11
3
n
na
− = 1n = { }na
1
3
4
4
11 40
1 271
3
3
S
−
= =
−
nS na n
( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )0, 16−
( )y f x=
13 16y x= −
( ) ( )1 1 0f f− + = a ( )0, 16−
( ) ( )3 21f x x a x ax= + − +
( ) ( )1 1 0f f− + =
( )1 1 1 1 0a a a a− + − − + + − + = 1a =
( ) 3f x x x= +
( ) 23 1f x x=′ +设切点为 ，则 .
设切线方程为 .
∵ ，
∴ .
∵该直线过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴所求直线方程为 ，
即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于中档题.
16.已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾
股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.
【详解】解析：过点 作 平面 于点 ，记球心为 .
( )0 0,x y ( ) 2
0 03 1f x x′ = +
( )( )0 0 0y y f x x x′− = −
3
0 0 0y x x= +
( ) ( )( )3 2
0 0 0 03 1y x x x x x− + = + −
( )0, 16−
( ) ( )( )3 2
0 0 0 016 3 1 0x x x x− − + = + −
0 2x =
0 10y = ( )0 13f x′ =
( )10 13 2y x− = −
13 16y x= −
13 16y x= −
S ABC− 4 3
64π
S SE ⊥ ABC E O∵在正三棱锥 中，底面边长为 6，侧棱长为 ，
∴ ，
∴ .
∵球心 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长 ，
∴ ， .
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴外接球的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.
三、解答题（共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答）
（一）必考题：共 60 分.
17.已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， ，成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
S ABC− 4 3
2 3 6 2 33 2BE = × × =
2 2 6SE SB BE= − =
O R
OB R= 6OE R= −
Rt BOE 2 2 2OB BE OE= +
( )22 12 6R R= + − 4R =
24 64S Rπ π= =
64π
{ }na 4 26a = 1a 2a 7a
{ }na
( ) 11 n
n nb a+= − { }nb n nT 511T
8 6na n= − 2042（1）设 的公差为 ， ，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式可求；
（2） ，再由数列的分组求和得答案.
【详解】解：（1）设 的公差为 ， .
∵ ， ， 成等比数列，∴ ，
即 ，整理，得 .
又 ，∴ .①
又 ，②
联立①②，得 解得
∴ .
（2）∵ ，
∴
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了数列的分组求和，是
中档题.
18.如图所示，四棱锥 的底面 是正方形， 是正方形的中心， 底面
，底面边长为 ， 是 的中点，连接 ， .
{ }na d 0d ≠
( ) ( ) ( )1 11 1 8 6n n
n nb a n+ += − = − −
{ }na d 0d ≠
1a 2a 7a 2
2 1 7a a a=
( ) ( )2
1 1 1 6a d a a d+ = + 2
14 0d da− =
0d ≠ 14d a=
4 1 3 26a a d= + =
1
1
4 ,
3 26,
d a
a d
=
+ =
1 2,
8,
a
d
=
=
( )2 8 1 8 6na n n= + − = −
( ) ( ) ( )1 11 1 8 6n n
n nb a n+ += − = − −
511 1 2 511T b b b= + +⋅⋅⋅+
2 10 18 26 4066 4074 4082= − + − +⋅⋅⋅+ − +
( ) ( ) ( )2 10 18 26 4066 4074 4082= − + − +⋅⋅⋅+ − +
( )= 8 255 4082− × +
2042=
P ABCD− ABCD O PO ⊥
ABCD a E PC BE DE
（1）证明： 平面 ，平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连结 OE，推导出 ，从而 平面 BDE，推导出 ， ，
从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
（2）由 平面 ，得 ，推导出 ，从而 ，由此能求
出四棱锥 的体积.
【详解】（1）证明：连接 .
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
在正方形 ， .
又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ，易得 .
∵ 平面 ，∴ .
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ，∴ ，即 .
在 中， ，∴ ，
/ /PA BDE PAC ⊥ BDE
60COE∠ = ° P ABCD−
36
6 a
//OE PA / /PA PO BD⊥ BD AC⊥
BD ⊥ PAC PAC ⊥ BDE
PO ⊥ ABCD PO AC⊥ / /EF PO EF AC⊥
P ABCD−
OE
O E AC PC //OE PA
OE ⊂ BDE PA ⊄ BDE / /PA BDE
PO ⊥ ABCD PO BD⊥
ABCD BD AC⊥
PO AC O= PO ⊂ PAC AC ⊂ PAC BD ⊥ PAC
BD ⊂ BDE PAC ⊥ BDE
OC F EF 1 1 2
2 4 4OF OC AC a= = =
PO ⊥ ABCD PO AC⊥
E F PC OC / /EF PO EF AC⊥ 90OFE∠ = °
Rt OFE△ 60COE∠ = ° 6tan 60 4EF OF a= ⋅ ° =∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
19.为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加
该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）；
（2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非
优秀”.请将下面的 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与
性别有关”？
优秀 非优秀 合计
男生 40
女生 50
62 2OP EF a= =
2 31 6 6
3 2 6P ABCDV a a a− = × × =
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]
a合计 100
参考公式及数据： .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） ，74.5 分；（2）表格见解析，有
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为 1，求出 ，按照平均数公式，即可求解；
（2）由频率直方图求出，在抽取的 100 名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出
的观测值，结合提供数据，即可得出结论.
【详解】（1）由题可得 ，
解得
因为 ，
所以估计这 100 名学生的平均成绩为 74.5 分
（2）由（1）知，在抽取的 100 名学生中，比赛成绩优秀的有
人，由此可得完整的 列联表：
优秀 非优秀 合计
男生
女生
合计
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
( )2
0P K k
0k
0.025a =
a
2K
( )0.005 0.010 0.020 0.030 0.010 10 1a+ + + + + × =
0.025a =
45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1× + × + × + × + × + × 74=
( )100 0.25 0.1 100 0.35 35× + = × =
2 2×
10 40 50
25 25 50
35 65 100∵ 观测值 ，
∴有 的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.
【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、
数据分析的数学核心素养，属于基础题.
20.已知抛物线 的焦点为 ， 轴上方的点 在抛物线上，且
，直线 与抛物线交于 ， 两点（点 ， 与 不重合），设直线 ， 的
斜率分别为 ， .
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 时，求证：直线 恒过定点并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 及抛物线定义可求 p，从而得到方程；
（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合 可得 关系，
从而得到定点坐标.
【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以 ，
,抛物线的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点 的坐标为
当直线 斜率不存在时，此时 重合，舍去.
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为
设 ，将直线 与抛物线联立得：
的2K
( )2100 10 25 25 40 900 9.890 6.63535 65 50 50 91k
× × − ×= = ≈ >× × ×
99%
( )2 2 0y px p= − > F x ( )2,M m−
5
2MF = l A B A B M MA MB
1k 2k
1 2 2k k+ = − l
2 2y x= −
5
2MF =
1 2 2k k+ = − ,k b
5( 2)2 2
pMF = − − =
1p∴ = 2 2y x= −
M ( 2,2)−
l ,A B
l l y kx b= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y l
2 2 2
2 (2 2) 02
y kx b k x kb x by x
= + + + + = = −又 ，
即 ，
，
，
将①代入得，
即
得 或
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 ;
当 时，直线 为 ，此时直线恒过 （舍去）
所以直线 恒过定点 .
【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求
之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.
21.已知函数 .
（1）当 时，讨论 极值点的个数；
（2）若函数 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值点 ，且 唯一极值点；（2）
【解析】
【分析】
（1）将 代入，求导得到 在 上单调递减，则 在 上存在唯一零
点 ，进而可判断出 是 的极大值点，且是唯一极值点；
是
2
1 2 1 22 2
2 2 ,kb bx x x xk k
− −+ = = ①
1 2
1 2
1 2
2 2 22 2
y yk k x x
− −+ = + = −+ +
( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2kx b x kx b x x x+ − + + + − + = − + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 8 2 4 8kx x k x x b x x x x b x x x x+ + + + − + + − = − − + −
( )1 2 1 2(2 +2) (2 +2) 4 0k x x k b x x b+ + + + =
2 2 2 ( 1) 0b b k b− − − + =
( 1)( 2 2 ) 0b b k+ − − =
1b = − 2 2b k= +
1b = − l 1y kx= − (0, 1)−
2 2b k= + l 2 2 ( 2) 2y kx k k x= + + = + + ( 2,2)−
l (0, 1)−
,k b
( ) ( )ln 1xf x x ae a R= − + ∈
1a = ( )f x
( )f x a
0x 10, e
1a = ( )'f x ( )0, ∞+ ( )'f x 1 ,12
0x 0x ( )f x（2）令 ，得到 ，则 与 的图象在 上有 2 个
交点，利用导数，数形结合即可得到 的取值范围.
【详解】解：（1）由 知 .
当 时， ， ，显然 在 上单调递减.
又 ， ，
∴ 在 上存在零点 ，且是唯一零点，
当 时， ；
当 时， ，
∴ 是 的极大值点，且是唯一极值点.
（2）令 ，则 .
令 ， ，
则 和 的图象在 上有两个交点，
.
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，而 ，
故当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减.
故 .
又 ，当 且 时， 且 ，
结合图象，可知若 和 的图象在 上有两个交点，只需 ，
( ) 0f x = ln 1
ex
xa
+= y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+= ( )0, ∞+
a
( ) ln 1xf x x ae= − + ( )0,x∈ +∞
1a = ( ) ln 1xf x x e= − + ( )' 1 xf x ex
= − ( )'f x ( )0, ∞+
' 1 2 02f e = − >
( )' 1 1 0f e= − <
( )'f x 1 ,12
0x
( )00,x x∈ ( )' 0f x >
( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x <
0x ( ) ln 1xf x x e= − +
( ) ln e 1 0xf x x a= − + = ln 1
ex
xa
+=
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+=
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+= ( )0, ∞+
( ) ( )'
1 ln 1
0x
xxg x xe
− −
= >
( ) 1 ln 1h x xx
= − − ( ) 2
' 1 1 0xh xx = − − <
( )h x ( )0, ∞+ ( )1 0h =
( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( )' 0g x > ( )g x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( )' 0g x < ( )g x
( ) ( )max
11g x g e
= =
1 0g e
= 1x > x → +∞ ( ) 0g x > ( ) 0g x →
y a= ( ) ln 1
x
xg x e
+= ( )0, ∞+ 10 a e
<
微信/支付宝扫码支付