广西玉林市2020届高三数学（文）第一次适应性试题（Word版附解析）

2020 届高中毕业班第一次适应性测试 文科数学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将 自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合 中的一次不等式即可. 【详解】因为 ， 所以 故选：B 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单. 2.设 ，其中 是实数，则 在复平面内所对应 点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 的 { } { }1 0 , 1 2A x x B x x= − > = − ≤ ≤ A B (1, )+∞ [ 1, )− +∞ [ 1,1]− [ 1,2]− A { } { }1 0 1A x x x x= − > = > { }1 2B x x= − ≤ ≤ A B = [ 1, )− +∞ (1 ) 1i x yi− = + ,x y x yi+由 ，其中 是实数，得： ，所以 在复平面内所 对应的点位于第四象限. 本题选择 D 选项. 3.已知 ， ，则 的值为 　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知结合同角平方关系可求 ，然后结合两角差的正弦公式即可求解． 【详解】解： ， ， ， 则 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题. 4.PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级，在 35μg/m3～75μg/m3 之间空气质量为二级， 在 75μg/m3 以上空气质量为超标.如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位： μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A. 这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B. 这 10 天中有 5 天空气质量为二级 ( )1 1i x yi− = + ,x y 1 1, 1 x x x y y = = ∴ − = = −  x yi+ (0, )α π∈ 3cos 5 α = sin( )6 πα − ( ) 4 3 3 10 − 3 3 4 10 − 7 10 2 3 5 sinα (0, )α π∈ 3cos 5 α = 4sin 5 α∴ = 3 1 4 3 3 1 4 3 3sin( ) sin cos6 2 2 5 2 5 2 10 πα α α −− = − = × − × =C. 从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D. 这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47 【答案】C 【解析】 【分析】 先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项 A，B，D 正确， 对于选项 C，由于 10 日的 PM2.5 日均值大于 9 日的 PM2.5 日均值， 故 C 错误， 故选：C. 【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题. 5.若实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，作直线 ，再将其平移至 时，直线的纵截距最小 详解】作出可行域如图所示： 作直线 ，再将其平移至 时，直线的纵截距最小 的最小值为 4 【 ,x y 1 1 0 2 2 0 x x y x y ≥  − + ≤  − − ≤ 2z x y= + 2y x z= − + ( )1,2A 2y x z= − + ( )1,2A z故选：B 【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单. 6.已知圆 与直线 相切，则圆的半径为 　　 A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可. 【详解】解：圆 的圆心 ，半径为： ， 圆 与直线 相切， 可得： ， 解得 ． 所以圆的半径为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考查 转化思想以及计算能力，属于基础题. 7.已知双曲线 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为 的 直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且 • 0，若 a 1，则 F2 的坐标为（ ） A. （1，0） B. （ ，0） C. （2，0） D. （ 1， 0） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件可得 ， ，进而根据双曲线的定义可得 ，带入 的值即可． 2 2 4 2 0x y ax ay+ + + = 2 10 0x y+ − = ( ) 5 2 5 2 2 4 2 0x y ax ay+ + + = ( 2 , )a a− − 25a 2 2 4 2 0x y ax ay+ + + = 2 10 0x y+ − = 2 2 2 | 2 ( 2 ) ( ) 10 | 5 2 1 a a a × − + − − = + 1a = − 5 2 2 2 2 x y a b − = 3− 1AF 2AF = 3= − 3 3 + 1 2AF AF⊥ 1 2 6AF F π∠ = 3 2c c a− = a【详解】解：因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，则由 ， 根据双曲线的定义可得 ，则 ， 故选：C． 【点睛】本题考查双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题. 8.如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1B1，CD 中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连结 ， 、 ，推导出 为平行四边形，从而 ，异面直线 与 所成角为 与 所成锐角，即 ，由此能求出异面直线 与 所成的角的余弦 值． 【详解】解：如图，连结 ， 、 ， 由题意知 为平行四边形， ， 异面直线 与 所成角为 与 所成锐角，即 ， 的 1 2 0AF AF =   1 2AF AF⊥ 2 3AFk = − 1 2 6AF F π∠ = 1 3=AF c 3 2c c a− = 2( 3 1) 2 3 1 c −= = − 5 5 5 6 3 3 3 6 BE BF 1D F 1BED F 1 / /D E BF 1D E 1A F 1A F BF 1A FB∠ 1D E 1A F BE BF 1D F 1BED F 1 / /D E BF∴ ∴ 1D E 1A F 1A F BF 1A FB∠连结 ，设 ，则在△ 中， ， ， ， ． 异面直线 与 所成的角的余弦值为 ． 故选： ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 9.已知 为正实数，若函数 的极小值为 0，则 的值为 　　 A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由 于 ， 而 ， 可 求 得 在 处 取 得 极 小 值 ， 即 ，从而可求得 的值． 【详解】解：由已知 ， 又 ， 所以由 得 或 ，即函数在 和 上单调递增， 由 得 ，函数在 上单调递减， 所以 在 处取得极小值 0， 1A B 2AB = 1A BF 1 2 2A B = 5BF = 2 2 2 1 1 3A F AA AD DF= + + = 2 2 2 1 1 1 1 9 5 8 5cos 2 52 3 5 A F BF A BA FB A F BF + − + −∴ ∠ = = = × ×  ∴ 1D E 1A F 5 5 A a 3 2 2( ) 3 2f x x ax a= − + a ( ) 1 2 3 2 ( ) 3 ( 2 )f x x x a′ = − 0a > ( )f x 2x a= ( )( ) 2 0f x f a= =极小值 a 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x x ax x x a′ = − = − 0a > ( ) 0f x′ > 0x < 2x a> ( ),0−∞ ( )2 ,a +∞ ( ) 0f x′ < 0 2x a< < ( )0,2a ( )f x 2x a=即 ， 又 ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题. 10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 与 轴的交点为 ，点 在抛物线 上， 过点 作 ，垂足为 ．若 ，则 　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 过 做 于 ，可得 ，因为 ，可得 ， ， 的关系，进而求出 的值． 【详解】解：由题意如图过 做 于 ， 因为 ，设 ，则可得 ，由抛物线的性质可得 ， 所以 解得 ，所以 ， 故选：D ． 【点睛】本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题. 11.已知函数 的一个零点是 ，则当 取最小值时，函数 ( ) 3 2 2 3 2( ) 2 (2 ) 3 (2 ) 2 4 2 0f x f a a a a a a a= = − + = − + =极小值 0a > 1 2a = 2: 4C y x= F l l x P A C A AA l′ ⊥ A′ 3cos 5FAA′∠ = | | (AF = ) F FB AA′⊥ B | | 2 | | 2A B OF′ = = 3cos 5FAA′∠ = | |AF | |BA | |A B′ | |AF F FB AA′⊥ B | | 2 | | 2A B OF′ = = 3cos 5FAA′∠ = | | 3AB x= | | | | 5AA AF x′ = = | | | | | | 5 2AB AA A B x′ ′= − = − 3 5 2x x= − 1x = | | 5AF = 2( ) 2cos( ) 1( 0)3f x x πω ω= + − > 4x π= ω的一个单调递减区间是 　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数零点关系，求出 的取值，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】解： 的一个零点是 ， 由 得 ，得 ，即 或 ， ， ， 的最小值为 ， 此时 ， 由 ， ，得 ， ， 当 时， 的一个单调递减函数区间为 ， ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性 是解决本题的关键.属于中档题 12.已知定义域为 R 奇函数 的导函数为 ，当 时， .若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ，由条件可得出 是偶函数且在 上单调递增，然后即可比较出 的 ( )f x ( ) [ 3 π− ]6 π− [ 12 π− ]6 π [12 π ]3 π [ 3 π 7 ]12 π ω ( )f x 4x π= ( ) 04f π = 2 1cos(( )4 3 2 π πω + = 2 24 3 3k π π πω π+ = ± 8 4kω = − 48 3kω = − k Z∈ 0ω > ω∴ 4ω = 2( ) 2cos(4 ) 13f x x π= + − 22 0 4 23k x k ππ π π+ + +  k Z∈ 1 1 2 6 2 12k x k π ππ π− +  k Z∈ 1k = ( )f x [ 3 π 7 ]12 π ( )f x ( )f x′ 0x > ( ) ( )xf x f x′ > 2 4 2 4 (sin )( log 3) (log 6) 8, ,log 3 log 6 sin 8 ff fa b c π π −= = =− , ,a b c a b c< < c a b< < c b a< < b c a< < ( ) ( )f xg x x = ( )g x ( )0,+¥的大小 【详解】设 ，因为 是奇函数，所以 是偶函数 当 时 ，所以 在 上单调递增 因为 ， 所以 ，即 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关 键，属于中档题. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.在平面上， 是方向相反的单位向量，若向量 满足 ，则 的值 ____________． 【答案】1 【解析】 【分析】 由 得 ，由 是方向相反的单位向量得 ， ，然后即可算出答案 【详解】由 得 即 因为 是方向相反的单位向量，所以 ， 所以 ，即 , ,a b c ( ) ( )f xg x x = ( )f x ( )g x 0x > ( ) ( ) ( ) 2 0xf x f xg x x ′ −′ = > ( )g x ( )0,+¥ 2 4 20 sin 1 log 6 log 6 log 38 π< < < = < ( )22 2 2 log 3( log 3) log 3 log 3 ffa −= =− ( ) ( )4 2sin log 6 log 38g g g π  < x y 1 4 π− π l ( , )x y ( , )x y 2 2 1x y+ > x y 1x y+ > 1 4 π− ( , )x y 2 2 1x y+ = 52m = ∴ 52 1240 4 π= − 47 15 π∴ = 47 15点值为代表） （2）请根据以上统计数据填写下面的 2×2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“产量高”与 “播种方式”有关？ 产量高 产量低 合计 直播 散播 合计 附 ： P（K2≥k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）100 块直播农田的平均产量为 907 斤，（2）有 99%的把握认为“产量高”与“播种 方式”有关. 【解析】 【分析】 （1）根据 ，算出答案即可 （2）由题目中给的数据完善 列联表，然后算出 的观察值即可 【详解】（1）100 块直播农田的平均产量为： （斤） （2）由题中所给的数据得到 列联表如下所示： 产量高 产量低 合计 直播 70 30 100 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 4 8 18 39 31850 870 890 910 930100 100 100 100 100X = × + × + × + × + × 2 2× 2K 4 8 18 39 31850 870 890 910 930 907100 100 100 100 100X = × + × + × + × + × = 2 2×散播 50 50 100 合计 120 80 200 由表中的数据可得 的观察值 所以有 99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题. 18.已知数列{an}满足 ， ． （1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1）证明见详解， ，（2） 【解析】 【分析】 （1）由 得 ，然后 ，即可算出答 案 （2） ，然后即可求出 【详解】（1）因为 ，所以 即数列 是以首项为 2，公差为 3 的等差数列 所以 所以 （2）由 得 2K ( )2 120 8 200 70 50 30 50 25 8 6.0 100 1 635300k × × × >× × − ×= = > 1 4a = 1 1 2 3 2n n na a + + = + × 2 n n a    { }na 1 6 4n n n n b a a + ×= { }nb nT ( )3 1 2n na n= − ⋅ 3 6 4n nT n = + 1 1 2 3 2n n na a + + = + × 1 1 32 2 n n n n a a+ + − = ( )2 1 3 3 12 n n a n n= + − × = − ( ) ( ) ( )( )13 1 2 6 4 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2n n nnb n n n nn n+− ⋅ ⋅ ×= = = −+ ⋅ −− ++ nT 1 1 2 3 2n n na a + + = + × 1 1 32 2 n n n n a a+ + − = 2 n n a    ( )2 1 3 3 12 n n a n n= + − × = − ( )3 1 2n na n= − ⋅ ( )3 1 2n na n= − ⋅所以 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相 减法 19.如图所示，在四棱柱 中，侧棱 平面 ，底面 是直角 梯形， ， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）若四棱锥 的体积为 ，求四棱柱 的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由侧棱 平面 ，得 ， ，结合 ，可得 平 面 ，则 ，再由 ， ，得到四边形 是正方形，则 ，进一步得到 平面 ； （2）记 与 的交点为 ，则 平面 ，设 ，由四棱锥 的体积为 列式求得 ，进一步求得 ，再由侧面积公式求得四棱柱 的侧面积． ( ) ( ) ( )( )13 1 2 6 4 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2n n nnb n n n nn n+− ⋅ ⋅ ×= = = −+ ⋅ −− ++ 1 1 11 1 1 1 1 2 5 5 8 2 3 3 1 3 2 3 2 6 4n n nT n n n      = − + − + + =  − − =− + +         + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD ABCD AD AB⊥ //AB CD 12 2 4AB AD AA= = = 1A D ⊥ 1 1ABC D 1 1 1A ABC D− 10 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 14 2 13+ 1AA ⊥ ABCD 1AA AD⊥ 1AA AB⊥ AB AD⊥ AB ⊥ 1 1AA D D 1 1AB A D⊥ 1AA AD⊥ 1AA AD= 1 1AA D D 1 1A D AD⊥ 1A D ⊥ 1 1ABC D 1A D 1AD O 1AO ⊥ 1 1ABC D 1 1CD C D x= = 1 1 1A ABC D− 10 3 x BC 1 1 1 1ABCD A B C D−【详解】（1）证明： 侧棱 平面 ， ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 而 平面 ， ， 又 ， ， 四边形 是正方形，则 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）解：记 与 的交点为 ， 平面 ， 又 ， ， ． 设 ，则 ． 解得： ，即 ． ． 四棱柱 的侧面积 ． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了棱柱体积 与侧面积的求法，属于中档题. 20.已知函数 ． （1）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性． 【答案】（1）y+3＝0；（2）见解析 【解析】 【分析】  1AA ⊥ ABCD 1AA AD∴ ⊥ 1AA AB⊥ AB AD⊥ 1AA AD A= AD ⊂ 1 1AA D D 1AA ⊂ 1 1AA D D AB∴ ⊥ 1 1AA D D 1A D ⊂ 1 1AA D D 1 1AB A D∴ ⊥ 1AA AD⊥ 1AA AD= ∴ 1 1AA D D 1 1A D AD⊥ 1AB AD A= 1AD ⊂ 1 1ABC D AB Ì 1 1ABC D 1A D∴ ⊥ 1 1ABC D 1A D 1AD O 1AO∴ ⊥ 1 1ABC D 12 2 4AB AD AA= = = ∴ 1 2AO = 1 2 2AD = 1 1CD C D x= = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 8 10 3 2 3 3A ABC D AB C D xV AD AO− + += = =   1x = 1CD = 2 2(4 1) 2 13BC∴ = − + = ∴ 1 1 1 1ABCD A B C D− (1 2 4 13) 2 14 2 13S = + + + × = + 2( ) 2( 1) 2 ( 0)f x x a x alnx a= − + + ≠ 1a = ( )f x 1x = ( )f x（1）先把 代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线 方程； （2）先对函数求导，对 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：（1） 时， ， ， ， ， 故 的图象在点 处的切线方程 ； （2）函数的定义域 ， ， 当 时， 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调 递增， 当 时， 时， ，函数单调递减， ， 时， ， 函数单调递增， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增， 当 时， 时， ，函数单调递减， ， 时， ，函 数单调递增， 综上：当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时，函数在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增， 当 时，函数在 单调递减，在 ， 上单调递增． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思 想的应用，属于中档题. 21.已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆 的右焦点， ， 为椭圆的上、下顶点，且 的面积为 ． （1）求椭圆 的方程； 1a = a 1a = 2( ) 4 2f x x x lnx= − + 2( ) 2 4f x x x ′ = − + ( )1 3f∴ = − ( )1 0f ′ = ( )f x 1x = 3 0y + = (0, )+∞ 2 2( 1)( )( ) 2 2( 1) a x x af x x a x x − −′ = − + + = 0a < (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 0 1a< < ( ,1)x a∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ (0, )a ( ) 0f x′ > 1a = 22( 1)( ) 0xf x x −′ =  ( )f x (0, )+∞ 1a > (1, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( , )x a∈ +∞ (0,1) ( ) 0f x′ > 0a < (0,1) (1, )+∞ 0 1a< < ( ,1)a (1, )+∞ (0, )a 1a = ( )f x (0, )+∞ 1a > (1, )a ( , )a +∞ (0,1) 2 2 2: 1(0 2)4 x yC bb + = < < 20, 2e       ∈ F C D E DEF∆ 3 C（2）动直线 与椭圆 交于 ， 两点，证明：在第一象限内存在定点 ，使 得当直线 与直线 的斜率均存在时，其斜率之和是与 无关的常数，并求出所有满足条 件的定点 的坐标． 【答案】（1） 1；（2）证明见解析，（1， ） 【解析】 【分析】 （1）设椭圆的半焦距为 ，由 ， ， 的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解 方程可得 ， ，进而得到椭圆方程； （2）设 ， ， ， ， ，联立直线 和椭圆方程，运用韦达定理 和判别式大于 0，以及斜率公式，化简计算 ，考虑它的和为常数，可令 的系数为 0，进而得到 的坐标． 【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ， 又由 的面积为 ，可得 ，解得 ，或 ， 离心率 ，则 时， ，舍去， 则 ， ，所以椭圆的方程为 ； （2）证明：设 ， ， ， ， ， 将直线 代入椭圆 可得 ， 由 ，可得 ，则有 ， ， 为与 无关的常数， 可得当 ， 时，斜率的和恒为 0，解得 或 （舍去）， 1: 2l y x t= + C A B M AM BM t M 2 2 4 3 x y+ = 3 2 c a b c b c 1(A x 1 1 )2 x t+ 2(B x 2 1 )2 x t+ ( , )M m n l AM BMk k+ t M c 2 2 2 24c a b b= − = − DEF∆ 3 1 2 32 c b bc= =  1c = 3c = 2(0, )2e∈ 3c = 3 2(0, )2 2 ce a = = ∉ 1c = 3b = 2 2 14 3 x y+ = 1(A x 1 1 )2 x t+ 2(B x 2 1 )2 x t+ ( , )M m n 1: 2l y x t= + 2 23 4 12x y+ = 2 2 3 0x tx t+ + − = 2 24( 3) 0t t∆ = − − > 2 2t− < < 1 2x x t+ = 2 1 2 3x x t= − 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3( )( ) ( )( ) ( ) 2 32 2 2 2 2 ( )( ) 3AM BM n x t n x t n x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x m x m x t mt m − − − − − − − + − − − − + − + = + = =− − − − + + − t 3 2n m= 2 3mn = 1 3 2 m n = = 1 3 2 m n = − = −综上所述，在第一象限内满足条件的定点 的坐标为 ． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考 查化简运算能力和推理能力，属于中档题. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，若多做，则 按所做的第一个题目计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 中，直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，以坐标原点 O 为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ，从原点 O 作射线交 于点 M， 点 N 为射线 OM 上的点，满足| ，记点 N 的轨迹为曲线 C． （1）①设动点 ，记 是直线 的向上方向的单位方向向量，且 ，以 t 为参数求 直线 的参数方程 ②求曲线 C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 的值 【答案】（1）①直线 的参数方程为 （ 为参数），②曲线 C 的极坐标方程为 ，直角坐标方程为： ；（2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） ① 由 题 意 可 得 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）， ② 设 ， 由 题 意 可 得 ， 由 可 得 M 31, 2      xOy 1l 30° ( )2,1A x 2 : cos 3l ρ θ = 2l 12OM ON⋅ = 1P l∈ e 1l AP te=  1l 1l 1 1 AP AQ + 1l 32 2 11 2 x t y t  = +  = + t 4cosρ θ= ( )2 2 4 0 0x y x x+ − = ≠ 13 3 1l 2 cos30 1 sin30 x t y t = + °  = + ° t ( ) ( )( )1 1 1, , , 0, 0N Mρ θ ρ θ ρ ρ> > 1 1 12ρρ θ θ =  = 1 1cos 3ρ θ = 12 cos 3θρ ⋅ =（2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程中得： ，化简得 ，设 为方程 的两个根，则 ，然后利用 算出即可. 【详解】（1）①由题意可得直线 的参数方程为 （ 为参数） 即 （ 为参数） ②设 ，由题意可得 因为点 在直线 上，所以 所以 ，即 所以 ，所以曲线 C 的直角坐标方程为： （2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程中得： ，化简得 设 为方程 的两个根，则 所以 【点睛】本题考查了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程 的求法，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23.己知函数 （1）求不等式 的解集； 1l C 2 23 1 32 1 4 2 02 2 2t t t     + + + − + =            2 3 0t t+ − = 1 2,t t 2 3 0t t+ − = 1 2 1 21, 3 0t t t t+ = − = − < ( )2 1 2 1 2 1 2 41 1 t t t t AP AQ t t + −+ = 1l 2 cos30 1 sin30 x t y t = + °  = + ° t 32 2 11 2 x t y t  = +  = + t ( ) ( )( )1 1 1, , , 0, 0N Mρ θ ρ θ ρ ρ> > 1 1 12ρρ θ θ =  = M 2 : cos 3l ρ θ = 1 1cos 3ρ θ = 12 cos 3θρ ⋅ = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= ( )2 2 4 0 0x y x x+ − = ≠ 1l C 2 23 1 32 1 4 2 02 2 2t t t     + + + − + =            2 3 0t t+ − = 1 2,t t 2 3 0t t+ − = 1 2 1 21, 3 0t t t t+ = − = − < ( ) ( )2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 1 121 1 1 1 13 3 3 t t t tt t AP AQ t t t t t t + − − +−+ = + = = = = ( ) 2 1f x x x= + + − ( ) 8f x x≥ +（2）记函数 的最小值为 ，若 是正实数，且 ，求证 . 【答案】（1）不等式的解集为 ，（2）证明见详解 【解析】 【分析】 （1）分 3 种情况解出即可 （2）首先求出 ，即可得到 ，然后 ，用基本不等 式即可证明. 【详解】（1） 等价于 或 或 解得 或 或 所以不等式的解集为 （2）因为 当 时等号成立，所以 的最小值为 3，即 所以 所以 当且仅当 时等号成立 【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题. ( )y f x= k , ,a b c 3 3 1 12ka kb kc + + = 2 3 9a b c+ + ≥ ( ] [ ), 3 7,x∈ −∞ − ∪ +∞ 3k = 1 1 1 12 3a b c + + = ( ) 1 2 2 3 32 3 2 3 32 3 2 3 3 2 1 1 a a b b c ca b c a b c a b c b c a c a b  + + = + + + + = + + + + + +   ( ) 2 1 8f x x x x= + + − ≥ + 1 2 1 8 x x x ≥  + ≥ + 2 1 3 8 x x − ≤