柳州市 2020 届高三第一次模拟考试卷
文科数学
（考试时间 120 分钟满分 150 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合 ，按并集的定义，即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查集合间的运算，求解对数不等式是解题的关键，属于基础题.
2.若复数 满足 ，其中 为虚数为单位，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为 ，所以， ，所以， 故选 A.
考点：复数的概念与运算.
3.为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先
了解到该地区老中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健
走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）．
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 按年龄段分层抽样 D. 系统抽样
{ }2|M x x x= = { }| lg 0N x x= ≤ M N∪ =
[ ]0,1 { }0,1 ](0,1 ]( ,1−∞
,M N
{ }2| {0,1}M x x x= = = { }| lg 0 (0,]N x x= ≤ =
[0,1]M N =∴
z
1
z ii
=− i z
1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− +
1
z ii
=−
( )1 1z i i i= − = + 1z i= −【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合分层抽样方法，即可得出结论.
【详解】根据该地区老中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，
而男女“微信健走”活动情况差异不大，最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样，
这种抽样分式，更具有代表性，比较合理.
故选：C
【点睛】本题考查抽样方法，要掌握三种抽样的区别以及适用的范围，属于基础题.
4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图还原直观图，其直观图为底面是正方形的四棱锥，将其拓展为正方体，转化为求
正方体的外接球的表面积.
【详解】由三视图可得，该几何体为底面是正方形，
一条侧棱与底面垂直的四棱锥 ，
以 为顶点将其拓展为正方体 ，
且正方体的边长为 ，则正方体的外接球为四棱锥的外接球，
外接球 直径为正方体的对角线，即 ，
所以该几何体的外接球的表面积为 .
故选：B.
的
6π 12π 12 3π 4 3
3
π
S ABCD−
, , , ,S A B C D ABCD NMES−
2
2 2 3, 3R R= =
24 ( 3) 12π π=【点睛】本题考查三视图与直观图的关系、多面体与球的“外接”问题，考查等价转化思想
以及直观想象能力，属于基础题.
5.已知 ，并且 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 9
【答案】D
【解析】
∵ 成等差数列，
，
当且仅当 a=2b 即 时“=“成立，
本题选择 D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为
正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错
误．
6.函数 在 处有极值 10，则点 为（ ）
A. B.
C. 或 D. 不存在
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： ， 则 ， 解 得
0, 0a b> > 1 1 1, ,2a b 4a b+
1 1 1, ,2a b
( )1 1 1 1 4 41 4 4 5 5 2 9a b a ba b a ba b a b b a b a
∴ + = ∴ + = + + = + + + ⋅ = ，
33, 2a b= =
( ) 3 2 2f x x ax bx a= − − + 1x = ( ),a b
( )3, 3− ( )4,11−
( )3, 3− ( )4,11−
2'( ) 3 2f x x ax b= + +
( )
( )
1 10{ 1 0
f
f
=
′ =
21 10{
3 2 0
a b a
a b
+ + + =
+ + =或 ，当 时， ，此时
在定义域 上为增函数，无极值，舍去.当 , , 为极小
值点,符合,故选 B
考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.
【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条
件， 是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当
时， ，此时 在定义域 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.
本题容易错选 A，认为两组解都符合，一定要注意检验.
7.设 、 、 是三条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ， ， ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， 是两条异面直线， ， ， ， 且 ，则 ；
④若 ， ， ， ， ，则 .
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理以及空间中平行直线的传递性可判断出命题①的正误；根据面面关
系可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理可判断
出命题③的正误；根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理可判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①， ， ， ，由直线与平面平行的性质定理可得 ，
， ，由平行线的传递性可知 ，命题①正确；
对于命题②， ， ，则平面 与平面 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，过直线 作平面 ，使得 ， ， ， ，
4{ 11
a
b
=
= −
3{ 3
a
b
= −
= 3, 3a b= − = 2 2'( ) 3 6 3 3( 2) 0f x x x x= − + = − ≥ ( )f x
R 4, 11a b= = − 2'( ) 3 8 11f x x x= − − 1x =
'( ) 0f x =
3, 3a b= − = '( ) 0f x ≥ ( )f x R
l m n α β γ
//l α l β⊂ mα β = n α⊄ //m n //l n
α γ⊥ β γ⊥ //α β
m n l m⊥ l n⊥ n ⊂ α m β⊂ //α β l α⊥
l α⊂ m β⊂ n β⊂ l m⊥ l n⊥ α β⊥
//l α l β⊂ mα β = //l m
n α⊄ //m n //l n
α γ⊥ β γ⊥ α β
m γ aγ α = m β⊂ //α β //m α∴， ， ，若 ，根据平行线的传递性可得 ，这与题意矛盾，
又 、 ， ， ， ，又 ， 、 ， ，
命题③正确；
对于命题④， ， ， ， ，但 、 不一定垂直，则 与 不一定垂
直，所以 与 也不一定垂直，命题④错误.
因此，正确的命题序号为①③.
故选 A.
【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题的判断，判断时要熟悉线面、面面平行与垂
直的判定和性质定理，考查推理能力，属于中等题.
8.某种产品的广告费支出 与销售额 之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出
关于 的线性回归方程为 ，则表中 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到 ，得到 的
值为 .
故答案为 B.
9.执行如图所示的程序框图，如果输入 n＝3，则输出的 S＝（ ）
m γ⊂ aγ α = //a m∴ //a n //m n
a n ⊂ α a n∴ ≠ ∅ l m⊥ l a∴ ⊥ l n⊥ a n ⊂ α l α∴ ⊥
m β⊂ n β⊂ l m⊥ l n⊥ m n l β
α β
x y y
x 6.5 17.5y x= + a
x 2 4 5 6 8
y 30 40 57 a 69
50 54 56.5 64
1965, 505
ax y
+= = = a
54A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
列出循环过程中 与 的数值,满足判断框的条件即可结束循环.
【详解】判断前 ,
第 1 次循环, ,
第 2 次循环, ,
第 3 次循环, ,
,此时, ,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:
故选:B
【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查裂项求和,难度较易.
10.设函数，则 ，则（ ）
A. 在 单调递增，其图象关于直线 对称
7
6
3
7
8
9
4
9
S i
1, 3, 0i n S= = =
1 , 21 3S i= =×
1 1 , 31 3 3 5S i= + =× ×
1 1 1
1 3 3 5 5 7S = + +× × ×
4i = i n>
1 1 1 1 1 1 1 1 1 311 3 3 5 5 7 2 3 3 5 5 7 7S = + + = − + − + − = × × ×
( ) sin 2 cos 24 4f x x x
π π = + + +
( )y f x= 0, 2
π
4x
π=B. 在 单调递增，其图象关于直线 对称
C. 在 单调递减，其图象关于直线 对称
D. 在 单调递减，其图象关于直线 对称
【答案】D
【解析】
,
由 得 ，再由 ,所以 .
所以 y=f(x)在 在 单调递减,其图象关于直线 对称,故选 D.
11.若定义在 上的偶函数 满足 ，且 时， ，则函数
的零点个数是（ ）．
A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
【答案】D
【解析】
【分析】
根 据 已 知 可 得 是 周 期 为 2 的 偶 函 数 ， 令 ， 转 化 为 求 出 图 象 与
的图象交点的个数，画出函数图象即可求解.
【详解】 是定义在 上的偶函数，且 时， ，
当 时， ，
又 满足 ，
所以 是周期为 2 的偶函数，且 ，
令 ， ，
设 ，则 为偶函数，
( )y f x= 0, 2
π
2x
π=
( )y f x= 0, 2
π
4x
π=
( )y f x= 0, 2
π
2x
π=
( ) sin(2 ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 2 cos24 4 2f x x x x x
π π π= + + + = + =
0 2 ,x π< < 0 2x
π< < 2 ,x k k Zπ π= + ∈ ,2 2
kx k Z
π π= + ∈
( )y f x= (0, )2
π
2x
π=
R ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = [ ]0,1x∈ ( )f x x=
( ) ( ) 5logh x f x x= −
( )f x ( ) 0h x = ( )y f x=
5logy x=
( )f x R [ ]0,1x∈ ( )f x x=
[ 1,0]x∈ − [0,1], ( ) , ( )x f x x f x x− ∈ − = − ∴ = −
( )f x ( ) ( )2f x f x+ =
( )f x ( ) [0,1]f x ∈
( ) 0h x = ( ) 5log [0,1], [ 5, 1] [1,5]f x x x= ∈ ∈ − −
5( ) logg x x= ( )g x所以 的零点的个数为 与 在 上交点个数的两倍，
画出 在 图象，
可得 与 在 上交点个数为 4 个，
所以 零点为 8 个.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点与函数交点间的关系，以及函数性质的应用，考查数形结合思
想，属于中档题.
12.已知双曲线 的右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ，
若在 的渐近线上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得以 为直径的圆与渐近线有公共点，得出 的不等量关系，结合 ，
即可求解.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
( )h x ( )f x ( )g x [1,5]
( ), ( )f x g x [1,5]
( )f x ( )g x [1,5]
( )h x
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yE a ba b
− = > > A 2: 8C y ax= F
E P PA FP⊥ E
( )1,2 3 2(1, ]4
( )2,+∞
3 2[ , )4
+∞
AF , ,a b c 2 2 2c a b= +
2: 8C y ax= (2 ,0)F a双曲线 的右顶点为 ，
在 的渐近线上存在点 ，使得 ，
不妨设渐近线方程为 ，
则以 为直径的圆与渐近线有公共点，
即 的中点 到直线 的距离 ，
即
.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计
算求解能力，属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.若 ，则 =_________________
【答案】
【解析】
分析：由二倍角公式求得 ，再由诱导公式得结论．
详解：由已知 ，
∴ ．
故答案为 ．
点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、
正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重
要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的
公式．
14.一船以每小时 的速度向东航行,船在 处看到一个灯塔 在北偏东 ，行驶 后，
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yE a ba b
− = > > ( ,0)A a
E P PA FP⊥
by xa
=
AF
AF 3( ,0)2
a 0bx ay− =
2
ad ≤
2 2
3
32 ,3 ,2 2
ab ab ad b cca b
= = ≤ ≤
+
2
2 2 2 2
2
99 ,8 9 , 8
cb c c a a
∴ ≤ ≤ ∴ ≤ 3 21 4e∴ < ≤
3cos( )4 5
π α− = sin 2α
7
25
−
cos( 2 )2
π α−
2 23 7cos( 2 ) 2cos ( ) 1 2 ( ) 12 4 5 25
π πα α− = − − = × − = −
7sin 2 cos( 2 )2 25
πα α= − = −
7
25
−
15km A B 60° 4h船到达 处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为
【答案】
【解析】
【详解】
依题意,作图如图，
,
在 中, ，
设 ,
根据正弦定理得: ,
即 ,
，
答:这时船与灯塔的距离为 ,
故答案为
15.已知圆 C 经过 两点，圆心在 轴上，则 C 的方程为__________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
C 15 km
30 2
15 4 60( )AC km= × =
ABC∆ 45 , 30ABC BAC° °∠ = ∠ =
( )BC x km=
sin sin
AC BC
ABC BAC
=∠ ∠
60
sin 45 sin30
x
° °=
60sin30
sin 45x
°
°∴ =
30 2.(km)=
30 2km
30 2
(5,1), (1,3)A B x
2 2( 2) 10x y− + =由圆的几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知，求出 的垂直平分线方程，
令 ，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】由圆 几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知， 的垂直平分线为
， 令 ， 得 ， 故 圆 心 坐 标 为 ， 所 以 圆 的 半 径
，故圆的方程为 .
【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于
基础题.
16.在等腰梯形 ABCD 中,已知 , 点 E 和点 F 分别在线
段 BC 和 CD 上,且 则 的值为 ．
【答案】
【解析】
在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , 由 , 得 ,
, ,所以
.考点：平面向量的数量积.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（一）必考题：共 60 分．
17.设正项等比数列 且 的等差中项为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 前 n 项为 ，数列 满足 ， 为数列
的
的
AB AB
0y =
AB AB
2 4y x= − 0y = 2x = (2,0)
2 2(5 2) (1 0) 10− + − = 2 2( 2) 10x y− + =
AB DC 2, 1, 60 ,AB BC ABC= = ∠ =
2 1, ,3 6BE BC DF DC= = AE AF⋅
29
18
AB DC 2, 1, 60 ,AB BC ABC= = ∠ = 1
2AD BC⋅ =
1AB AD⋅ = 1
2DC AB= ( ) ( )AE AF AB BE AD DF⋅ = + ⋅ +
22 1 2 1 1 1 1 1 2913 12 3 12 18 3 3 18 18AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + − =
{ } 4, 81,na a = 2 3,a a ( )1 2
3
2 a a+
{ }na
3 2 1logn nb a −= { }nb nS { }nc 1
4 1n
n
c S
= − nT { }nc的前 项和，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由题意，得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．
18.目前，青蒿素作为一线抗疟药品得到大力推广某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产
量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下
的试验田中各随机选取了 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：
编号位置 ① ② ③ ④
山上
山下
（1）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；
n nT
3n
na =
2 1n
nT n
= +
{ }na ( )0q q >
( )
3
4 1
2
1 1 1 1
81
3
a a q
a q a q a a q
= = + = +
1 3
3
a
q
=
=
1
1 3n n
na a q −= =
2 1
3log 3 2 1n
nb n−= = −
( ) ( )1 21 2 1
2 2
n
n
n nn b bS n
+ −+ = = =
2
1 1 1 1
4 1 2 2 1 2 1nc n n n
= = − − − +
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n
nT n n n
= − + − + + − = − + +
100
4
5.0 3.8 3.6 3.6
3.6 4.4 4.4 3.6（2）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 ， ，根据样本数据，试估
计 与 的大小关系（只需写出结论）；
（3）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 株，记这 株的产量总和为 ，求 的概
率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由山下试验田 株青蒿样本青蒿素产量数据，能求出样本平均数和山下试验田 株青
蒿的青蒿素产量 的估计值；
（2）比较山上、山下单株青蒿样本青蒿素产量数据的离散程度，可得出 、 的大小关系；
（3）记事件 ，列出表格得出从山上与山下青蒿中各随机选取 株的青蒿素产量总和，
从表格中得出基本事件的总数，并得出事件 所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公
式可计算出事件 的概率.
【详解】（1）由山下试验田 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数
，
则山下试验田 株青蒿的青蒿素的总产量 估算为： ；
（2）由样本中山上、山下单株青蒿素产量的离散程度知 ；
（3）记 为事件 ，列表：
2
1S 2
2S
2
1S 2
2S
1 2 n 8n >
400g 2 2
1 2S S> 3
8
4 100
S
2
1S 2
2S
: 8A n > 1
A
A
4
3.6 4.4 4.4 3.6 44x
+ + += =
100 S 100 400gS x= =
2 2
1 2S S>
8n > A由上表可以看出，这 株的产量总和 的所有情况共有 种，
而其中 的情况共有 种，故： .
【点睛】本题考查平均数的计算、以及方差与样本稳定性之间的关系，同时也考查了古典概
型概率的计算，考查学生收集数据和处理数据的能力，属于中等题.
19.如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，
， ，侧面 底面 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，且三棱锥 的体积为 ，求侧面 的面积．
【答案】(1)证明见解析； (2) .
【解析】
【分析】
（1）由梯形 ，设 ，则 ， ，运用勾股定理和余弦定理，可得
，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，运用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得 ，运用勾股定理和余弦
定理，可得 ， ，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．
【详解】（1）在梯形 中， ， ， ，
设 ，则 ， ，在直角三角形 中， ，
可得 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
则 ，由面 底面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
2 n 16
8n > 6 ( ) 6 3
16 8P A = =
S ABCD− ABCD / /AB DC 90ABC∠ = °
AD SD= 1
2BC CD AB= = SAD ⊥ ABCD
SBD ⊥ SAD
120SDA∠ = ° S BCD− 6
12
SAB∆
15
2
ABCD BC a= CD a= 2AB a=
AD BD ⊥ SAD
1BC =
SA SB
ABCD / /AB DC 90ABC∠ = ° 1
2BC CD AB= =
BC a= CD a= 2AB a= BCD 90BCD∠ = °
2BD a= 45CBD∠ = ° 45ABD∠ = °
2 2 2 cos45 2AD AB DB AB DB a= + − ⋅ ⋅ ° =
BD AD⊥ SAD ⊥ ABCD
BD ⊥ SAD
BD ⊂ SBD
SBD ⊥ SAD（2）解： ，且三棱锥 的体积为 ，
由 ，
在 中，可得 ，
的边 上的高 ，
由 平面 ，可得
，
解得 ，
由 平面 ，可得 ，
，
又 ，
在等腰三角形 中，
边 上的高为 ，
则 的面积为 ．
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理的运用、三棱锥的体积公式，考查转化与化归思想的
运用，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．
20.已知函数 .
(I)当 a=2 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极
值时求出极值.
120SDA∠ = ° S BCD− 6
12
2AD SD a= =
SAD∆ 2 sin 60 6SA SD a= ° =
SAD∆ AD 6sin 60 2SH SD a= ° =
SH ⊥ BCD
21 6 1 6
3 2 2 12a a× × × =
1a =
BD ⊥ SAD BD SD⊥
2 2 2 22 2 2SB SD BD a a a= + = + =
2AB a=
SBA
SA 2 26 104 4 2a a a− =
SAB∆ 1 10 15 15
2 2 2 2SA a a× × = =
( ) 3 21 1 ,3 2f x x ax a= − ∈R
( )y f x= ( )( )3, 3f
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − − ( )g x【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）
由 ,通过讨论确定 的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（Ⅰ）由题意 ，
所以，当 时， ， ，
所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以，当 时， ；当 时， .
（1）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ，
3 9 0x y− − =
( ) ( )( sin )g x x a x x= −′ − ( )g x
2( )f x x ax′ = −
2a = (3) 0f = 2( ) 2f x x x= −′
(3) 3f ′ =
( )y f x= (3, (3))f 3( 3)y x= −
3 9 0x y− − =
( ) ( ) ( )cos sing f x ax x x x= + − −
( ) ( ) cos ( )sin cosg x f x x x a x x′ ′= + − − −
( ) ( )sinx x a x a x= − − −
( )( sin )x a x x= − −
( ) sinh x x x= −
( ) 1 cos 0h x x′ = − ≥
( )h x R
(0) 0h =
0x > ( ) 0h x > 0x < ( ) 0h x <
0a < ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −
( , )x a∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
( ,0)x a∈ 0x a− > ( ) 0g x′ < ( )g x
(0, )x∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −当 时 取到极小值，极小值是 .
（2）当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值.
（3）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ；
当 时 取到极小值，极小值是 .
综上所述：
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大
值，又有极小值，极大值是 ，极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大
值，又有极小值，极大值是 ，极小值是 .
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数 f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数 f′(x)；③解方程 f′(x)
＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右
负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值．(2)若函数 y＝f(x)在区间
(a,b)内有极值,那么 y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
21.已知圆 ： 经过椭圆 ： 的左右焦点 ，且
与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 三点共线，直线 交椭圆 于 ， 两点，且
0x = ( )g x (0)g a= −
0a = ( ) ( sin )g x x x x′ = −
( , )x∈ −∞ +∞ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
( )g x ( , )−∞ +∞ ( )g x
0a > ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −
( , 0)x ∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
(0, )x a∈ 0x a− < ( ) 0g x′ < ( )g x
( , )x a∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
0x = ( )g x (0)g a= −
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −
0a < ( )g x ( , )a−∞ (0, )+∞ ( ,0)a
31( ) sin6g a a a= − − (0)g a= −
0a = ( )g x ( , )−∞ +∞
0a > ( )g x ( ,0)−∞ ( , )a +∞ (0, )a
(0)g a= − 31( ) sin6g a a a= − −
E 2 21 9( )2 4x y+ − = C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F
C A 1, ,F E A l C M N（ ）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）当三角形 的面积取得最大值时，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与 轴的交点，可求得 ，利用 三点共线，
由 是圆的直径，从而 ，利用勾股定理可求得 ，从而由椭圆的定义可求得
，于是得 ，椭圆方程即得；
（2） 是确定的， ，说明 ，于是直线 斜率已知，设出其方程为
，代入椭圆方程，消去 得 的二次方程，从而有 （ 分别是
的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长 ，再由点到直线距离公
式求出 到直线 的距离，可计算出 的面积，最后利用基本不等式可求得面积的
最大值，及此时的 值，得直线方程．
解析：
（1）
MN OAλ= 0λ ≠
C
AMN l
2 2
14 2
x y+ = 2 62 02 4x y− + ± =
x c 1F E A， ，
1F A 2 1 2AF F F⊥ 2AF
a b
OA MN OAλ= / /MN OA MN
2
2y x m= + y x 1 2 1 2,x x x x+ 1 2,x x
,M N MN
A MN AMN∆
m如图，圆 经过椭圆 的左、右焦点 ， ，所以 ，解得 ,因为
， ， 三点共线，所以 为圆 的直径， 所以 ,因为
，所以 .所以 ,由 ，得
．所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得，点 的坐标为 ，因为 ,所以直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ,联立 ，得 ,设
，由 ，得 ．因为
所以 , 又点 到直线 的距离为 ，
.当
且仅当 ，即 时，等号成立,所以直线 的方程为 或
.
点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线 方程
1F E E
l
l
l
l为 ，设出交点坐标 ，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可
得 ，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点 到直线 的距离，这样
可把三角形 的面积用参数 表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大
值时参数 的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决直线与圆锥曲线相交问题的主要方法.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分．
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 （ 为参数），以
坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）射线 l 的极坐标方程为 ，若 l 分别与 ， 交于异于极点的 ， 两点，
求 的最大值.
【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ；
（2） ；
【解析】
【分析】
（1）利用直角坐标和极坐标相互转化的公式，将曲线 的直角坐标方程转化为极坐标方程.
先求得曲线 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.
（2）将射线 的极坐标方程分别和 联立，求得 和 的表达式，利用二次函数
的性质求得 的最大值，也即求得 的最大值.
【详解】（1） ，
故 的极坐标方程为 .
2
2y x m= + 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
1 2 1 2,x x x x+ A MN
AMN m
m
xOy
2
2
1 : 14
xC y+ = 2
2 2cos: 2sin
xC y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
1C 2C
( )0θ α ρ= ≥ 1C 2C A B
OB
OA
1C ( )2 23sin 1 4ρ θ + = 2C 4cosρ θ=
4 3
3
1C
2C
l 1 2,C C 2OA 2OB
2
2
OB
OA
OB
OA
2 2
1 : 4 4C x y+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= =
1C ( )2 23sin 1 4ρ θ + =而 的直角坐标方程为 ，即 ，
的极坐标方程为 .
（2）直线 l 分别与 ， 联立得
，则
，则
，
由于 ，根据二次函数 性质可知，当 时， 有最大值为 ，故
有最大值 .
【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标的几
何性质来研究直线和圆锥曲线相交所得弦长的有关计算问题，考查利用二次函数的性质来求
最值，属于中档题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ，不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）记集合 的最大元素为 ，若 、 、 都是正实数，且 .求证：
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
的
2C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4 0x y x+ − =
2C 4cosρ θ=
1C 2C
( )2 23 1 4sinρ θ
θ α
+ =
=
2
2
4
3 1OA sin α= +
4cosρ θ
θ α
=
=
2 216OB cos α=
( )2
2 2
2 4 3 1OB cos sin
OA
α α∴ = +
( )( )2 24 1 3 1sin sinα α= − +
2
4 2
2 12 8 4OB sin sin
OA
α α∴ = − + +
20 sin 1α≤ ≤ 2 1sin 3
α =
2
2
OB
OA
16
3
OB
OA
4 3
3
( ) 2 1 2f x x x= + − − ( ) 2f x ≤ M
M
M m a b c 1 1 1
2 3 ma b c
+ + =
2 3 9a b c+ + ≥
{ }5 1x x− ≤ ≤（1）分 、 、 三种情况，去绝对值解不等式 ，可得出集合
；
（2）由（1）知， ，则 ，然后将代数式 与 相乘，
利用柯西不等式可证明出 .
【详解】（1） .
当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，解得 ，此时 .
故不等式 的解集为 ，因此，集合 ；
（2）由（1）可知 ， ，
由柯西不等式得
，
即 ，当且仅当 时，即当 ， ， 时取等号.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用柯西不等式证明三元不等式，解
题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
2
1x < − 1 22 x− ≤ ≤ 2x > ( ) 2f x ≤
M
1m = 1 1 1 12 3a b c
+ + = 2 3a b c+ + 1 1 1
2 3a b c
+ +
2 3 9a b c+ + ≥
( ) 2 1 2 2f x x x= + − − ≤
2
1x < − ( ) ( ) ( )2 1 2 3 2f x x x x= − + + − = − − ≤ 5x ≥ − 15 2x− ≤ < −
1 22 x− ≤ ≤ ( ) ( ) ( )2 1 2 3 1 2f x x x x= + + − = − ≤ 1x ≤ 1 12 x− ≤ ≤
2x > ( ) ( ) ( )2 1 2 3 2f x x x x= + − − = + ≤ 1x ≤ − x∈∅
( ) 2f x ≤ { }5 1x x− ≤ ≤ { }5 1M x x= − ≤ ≤
1m = 1 1 1 12 3a b c
+ + =
( ) 1 1 12 3 2 3 2 3a b c a b c a b c
+ + = + + + +
21 1 12 3 9
2 3
a b c
a b c
≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 3 9a b c+ + ≥ 2 3a b c= = 3a = 3
2b = 1c =
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