2020 年甘肃省第一次高考诊断考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用并集的定义可求得集合 .
【详解】 ， ，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2.已知： ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘法计算得出复数 ，再利用共轭复数的定义可求得复数 .
【详解】 ，因此， .
故选：A.
{ }1 1A x x= − < < { }0B x x= < A B =
( )1,0− ( )0,1 ( )1,− +∞ ( ),1−∞
A B
{ }1 1A x x= − < ( )3,0F −
5
2y x= ± 2 5
5y x= ± 5
2y x= ±
2
5y x= ±
m
( )2 2
1 05
x y mm
− = > ( )3,0F − 23 5 4m = − =
2 2
15 4
x y− = 2 5
5y x= ±
tan 3α = sin 2 2
πα + =
4
5
− 3
5-
3
5
4
5
2 2
2 2
2 2
cos sinsin 2 cos2 cos sin2 cos sin
π α αα α α α α α
− + = = − = + 【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角求值，涉及诱导公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算
能力，属于基础题.
7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午
节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为 、 、 、 、 ，列举出所有的基本
事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为 、 、 、 、 ，
从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 ，共 种情况，
其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有： 、 、 、 ，共 种情况，
因此，所求事件的概率为 .
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，
属于基础题.
8.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】对数函数 在 上为增函数，则 ；
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 4sin 2 cos2 cos sin2 cos sin 1 tan 5
π α α αα α α α α α α
− − + = = − = = = − + +
0.7 0.6 0.4 0.3
a b c d e
a b c d e
ab ac ad ae bc bd be
cd ce de 10
ad bd cd de 4
.4 0 410
=
lna π= 1
2b e
−=
1lg 2c = a b c
a b c> > b c a> > c b a> > c a b> >
a b c
lny x= ( )0, ∞+ ln ln 1a eπ= > =指数函数 在 上为增函数，则 ，即 ；
对数函数 在 上为增函数，则 .
因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合
中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
9.已知抛物线 经过点 ，焦点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 ，再求焦点 坐标，最后求 的斜率
【详解】解：抛物线 经过点
， ，
， ，
故选：A
【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥 中，若 为侧棱 的中点，则异面直线
与 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形，连接 、 交于点 ，连接 ，可得出异面直线 与 所成的角为
，通过解三角形可求得 ，即可得解.
【详解】设四棱锥 的棱长为 ，连接 、 交于点 ，连接 ，如下图所
xy e= R 1
020 1e e
−< < = 0 1b< <
lgy x= ( )0, ∞+ 1lg lg1 02c = < =
a b c> >
( )2 2 0y px p= > ( )2,2 2M F MF
2 2 2
4
2
2 2 2−
p F MF
( )2 2 0y px p= > ( )2,2 2M
( )2
2 2 2 2p= × 2p =
( )1,0F 2 2MFk =
P ABCD− E PB PD
AE
6
3
2
3
3
3
2
2
AC BD O OE PD AE
AEO∠ sin AEO∠
P ABCD− 2 AC BD O OE示：
则点 为 的中点，又 为 的中点， ，
所以，异面直线 与 所成的角为 ，
且 ， ， ，
， ，则 .
故选：A.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查
计算能力，属于中等题.
11.在 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 ， ，
且 ，则 的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件求出角 的值，利用余弦定理求出 、 的值，由此可计算出 的周长.
【详解】 ， ，
， ，则 ， ，
， ，由余弦定理得 ，即 ，
O BD E PB //OE PD∴
PD AE AEO∠
1 12OE PD= = 1 22AO AC= = 2 2 3AE PA PE= − =
2 2 2AO OE AE∴ + = AO OE∴ ⊥ 2 6sin 33
AOAEO AE
∠ = = =
ABC A B C a b c 2 3b = cos 3sin 2 0B B+ − =
sin 2sinC A= ABC
12 2 3+ 6 3 4 3 6 2 3+
B a c ABC
cos 3sin 2sin 26B B B
π + = + = sin 16B
π ∴ + =
0 B π< < 7
6 6 6B
π π π∴ < + <
6 2B
π π+ =
3B
π∴ =
sin 2sinC A= 2c a∴ = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 23 12a =， ，因此， 周长是 .
故选：D.
【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
12.若函数 为奇函数（其中 为常数），则不等式 的整
数解的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义求得 的值，可得出函数 的解析式，并求出该函数的定义域，解
不等式 ，进而可得出该不等式的整数解的个数.
【 详 解 】 ，
，
由于函数 为奇函数，则 ，即
，
，则 ，解得 ，
，
解不等式 ，即 ，解得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
因此，不等式 的整数解的个数是 .
故选：B.
【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，在求解函数
的2a∴ = 2 4c a= = ABC 6 2 3a b c+ + = +
( ) 2020
2020log 1010f x ax
= − + a ( ) 0f x ≥
1011 1010 2020 2021
a ( )y f x=
( ) 0f x ≥
( ) 2020 2020
2020 2020 1010log log1010 1010
a axf x ax x
− − = − = + + Q
( ) 2020
2020 1010log 1010
a axf x x
− +− = −
( )y f x= ( ) ( ) 0f x f x+ − =
2020 1010 2020 1010 11010 1010
a ax a ax
x x
− − − +⋅ =+ −
( )2 2 2 2 22020 1010 1010a a x x∴ − − = − ( )2 2
2
2020 1010 1010
1
a
a
− = =
1a =
( ) 2020
1010log 1010
xf x x
−∴ = +
1010 01010
x
x
− >+
1010 01010
x
x
− − a 2021
2021
4x
ππ +
{ }na 1 1a = na 1− 1na +
{ }1na + { }na
{ }2na n+ n nS
2 1n
na = − 1 22 2n
nS n+= + −（1）根据等差中项的定义得 ，然后构造新等比数列 ，写出 的
通项即可求
（2）根据（1）的结果，分组求和即可
【详解】解：（1）由已知可得 ，即 ，可化为 ，
故数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列.
即有 ，所以 .
（2）由（1）知，数列 的通项为： ，
故 .
【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举
措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活
动．
（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采
访男性会员和女性会员各 人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：
感兴趣 无所谓 合计
男性
女性
合计
根据以上数据能否有 的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？
（参考公式 ，其中 ）
1 1 2n na a+ − = { }1na + { }1na +
1 1 2n na a+ − = 1 2 1n na a+ = + ( )1 1 2 1n na a+ + = +
{ }1na + 1 1 2a + =
( )1
11 1 2 2n
n
na a −+ = + ⋅ = 2 1n
na = −
{ }2na n+ 2 2 2 1n
na n n+ = + −
( ) ( )1 2 32 2 2 2 1 3 5 2 1n
nS n∴ = + + + + + + + + + −
( ) 2 1 22 1 2
2 21 2
n
nn n+
−
= + = + −−
1 22 2n
nS n+= + −
50
26 24 50
30 20 50
56 44 100
95%
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +（2）在感兴趣的会员中随机抽取 人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录
了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分 分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分
为“很满意”（分数不低于 分）、“满意”（分数不低于平均分且低于 分）、“基本满意”
（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访
馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．
【答案】（1）没有 的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）计算 的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）计算出这 个数据的平均数，记这 人中“满意”的 人分别为 、 、 、 ，“很
满意”的 人分别记为 、 ，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是
“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】解：（1）由列表可得：
．
所以没有 的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关；
（2）由茎叶图知，这 个数据的平均数为
( )2P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
10
10
9.5 9.5
95%
3
5
2K
10 10 4 a b c d
2 1 2
( )
( )( )( )( )
( )2 2
2 100 26 20 30 24 50 0.649 3.84150 50 56 44 77
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = = ≈ > ( )2,0F F x
3 2
C
( )0,2P C M N O 2MP PN=
MON△
2 2
18 6
x y+ = 3 5
2【分析】
（1）由题意可知点 在椭圆 上，利用椭圆的定义可求得 值，结合 的值可求得
的值，进而可求得椭圆 的标准方程；
（2）设 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭
圆 的方程联立，列出韦达定理，由 得出 ，结合韦达定理求得 的值，
再由三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）依题意有 ，椭圆 的焦点坐标为 ，且点 在椭圆
上，
由椭圆的定义可得 ，
即 ， ，
因此，椭圆 的方程为 ；
（2）设 、 ，由 ，得 ．
由题意直线 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程整理，得 ，
所以 ， ．
将 代入上式可得， ，解得 ．
所以 的面积
.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线
3 22, 2
C a c
b C
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN 2y kx= + MN
C 2MP PN=
1 22x x= − 2k
MON△
2c = C ( )2,0± 3 22, 2
C
( ) ( )2 2
2 23 2 3 22 2 2 2 2 4 22 2a
= + + + − + =
2 2a = 2 2 6b a c∴ = − =
C
2 2
18 6
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2MP PN= ( )1 2
1 2
2
2 2 2
x x
y y
− =
− = −
MN MN 2y kx= +
( )2 24 3 16 8 0k x kx+ + − =
1 2 2
16
4 3
kx x k
−+ = + 1 2 2
8
4 3x x k
−= +
1 22x x= −
2
2 2
16 82 4 3 4 3
k
k k
− − − = + +
2 1
20k =
MON△
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
1 16 3242 4 3 4 3MON
kS OP x x x x x x k k
− = ⋅ − = + − = + + + V
2
2
4 6 4 1 3 5
4 3 2
k
k
⋅ += =+问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21.函数 （ 且 ）．
（1）若 ，判断函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 的图象恒在函数 的图象的下
方．
【答案】（1）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的定义域和导数，分别解不等式 和 可求得函数
的增区间和减区间；
（2）构造函数 ，利用导数证明出 即可证得结论成立.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，
，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 .
因此，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2）令 ，其中 ，
，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，
即 ，所以， 恒成立，
( ) ( )21ln 12f x x ax a x= − + − a R∈ 0a ≠
2a = − ( )f x
2a < ( )y f x= ( ) ( )21 1 02y a x x= − − >
10, 2
( )1,+∞ 1 ,12
( )y f x= ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
( )y f x=
( ) ( ) ( )21 12g x f x a x= + − ( )max 0g x <
2a = − ( ) 2ln 3f x x x x= + − ( )0, ∞+
( ) ( )( )21 2 3 12 3 1 2 1x xf x x x x
x x
x
− +′ = + − = −= −
( ) 0f x′ > 10 2x< < 1x > ( ) 0f x′ < 1 12 x< <
( )y f x= 10, 2
( )1,+∞ 1 ,12
( ) ( ) ( )21 1 ln2 2
ag x f x a x x x= + − = − + 0x >
( ) 1 11 xg x x x
−′ = − =
0 1x< < ( ) 0g x′ > ( )y g x=
1x > ( ) 0g x′ < ( )y g x=
( )y g x= 1x =
( ) ( )max 1 1 02
ag x g= = − < ( ) 0g x
xOy 1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α O
x 2C 2 3sinρ θ=
1C 2C
( ): 0l y kx k= > 1C O A 2C O B
OA OB+ l
1 : 2cosC ρ θ= ( )22
2 : 3 3C x y+ − = 3y x=
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
α 1C 2 3sinρ θ=
ρ 2 2 2 , sinx y yρ ρ θ= + =
, 0 ,2 R
πθ ϕ ϕ ρ = < < ∈ 1 : 2cosC ρ θ= 2C
2 3sinρ θ= OA OB+
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
cos 1 cos
sin sin
ρ θ α
ρ θ α
− =
=
( ) ( )2 2cos 1 sin 1ρ θ ρ θ− + = 2cosρ θ=
1C 2cosρ θ=将 两边同时乘以 ，得
因为 ，所以
得 的直角坐标方程 .
（2）设直线 的极坐标方程
由 ，得 ，
由 ，得
故
当 时， 取得最大值
此时直线的极坐标方程为： ，
其直角坐标方程为： .
【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中
的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ，不等式 的解集为 .
（1）求实数 ， 的值；
（2）若 ， ， ，求证： .
【答案】（1） ， .（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将 ， 的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】解：（1）不等式 可化为 .
2 3sinρ θ= ρ 2 2 3 sinρ ρ θ=
2 2 2 , sinx y yρ ρ θ= + = 2 2 2 3 0x y y+ − =
2C ( )22
2 : 3 3C x y+ − =
l , 0 ,2 R
πθ ϕ ϕ ρ = < < ∈
2cos
θ ϕ
ρ θ
=
= | | 2cosOA ϕ=
2 3 cos
θ ϕ
ρ θ
= = | | 2 3sinOB ϕ=
2cos +2 3sin 4sin 6OA OB
πϕ ϕ ϕ + = = +
3
πϕ = OA OB+
( )
3 R
πθ ρ= ∈
3y x=
ρ
( ) 1f x x= − ( ) ( )1 5f x f x+ − < { }x m x n< <
m n
0x > 0y > 0nx y m+ + = 9x y xy+ ≥
1m = − 4n =
m n
( ) ( )1 5f x f x+ − < 1 2 5x x− + −
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