2020 届高三下学期 5 月调研
文科数学
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.集合 ，则 是
A. B. C. D.
2.设复数 满足 ，则
A. 5 B. C. 2 D. 1
3.已知 ，则下列不等式中恒成立的是
A. B. C. D.
4.已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则
A. B. C. D.
5.某体校甲、乙两个运动队各有 6 名编号为 1，2，3，4，5，6 的队员进行实弹射击比赛，每
人射击 1 次，击中的环数如表：
学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号
甲队 6 7 7 8 7 7
乙队 6 7 6 7 9 7
则以上两组数据的方差中较小的一个为
A. B. C. D. 1
0a b< <
1 1
a b
> a b− < − 2 2a b> 3 3a b>6.已知拋物线 的焦点为 ，过 的直线与曲线 交于 两点， ，则 中点到
轴的距离是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.函数 f(x)=(2 -2 )cosx 在区间[-5,5]上的图象大致为
A. B. C. D.
8.下列判断正确的是
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 函数 的最小值为 2
C. 当 时，命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题
D. 命题“ , ”的否定是“ , ”
9. 已 知 分 别 是 内 角 的 对 边 ， ， 当 时 ，
面积的最大值为
A. B. C. D.
10. 设 满 足 ， 且 在 上 是 增 函 数 ， 且 ， 若 函 数
对所有 ，当 时都成立，则 的取值范围是
A. B. 或 或
C. 或 或 D.
11.三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱
锥 的外接球的表面积为
A. B. C. D.
12.已知 ， ，则
x -x
, ,a b c ABC∆ , ,A B C sin 3 cosa B b A= 4b c+ =
ABC∆
3
3
3
2 3 2 3
( )f x ( ) ( )- =f x f x− [ ]1,1− ( )1 1f − = −
( ) 2 2 1f x t at≤ − + [ ]1,1x∈ − [ ]1,1a∈ − t
1 1
2 2t− ≤ ≤ 2t ≥ 2t ≤ − 0t =
1
2t ≥ 1
2t ≤ − 0t = 2 2t− ≤ ≤A. B.
C. D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
14.若 x，y 满足： ，则 的最大值是______．
15.已知双曲线 的左焦点为 ,若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的左支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为__________.
16.已知 为球 的直径， ， 是球面上两点且 ， .若球 的表面积为
，则棱锥 的体积为__________．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。其中 22、23 为选考题。解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题满分 12 分）在数列 和等比数列 中， ， ，
．
Ⅰ 求数列 及 的通项公式；
Ⅱ 若 ，求数列 的前 n 项和 ．
18（本题满分 12 分）.如图 1，已知菱形 的对角线 交于点 ，点 为线段 的
中点， ， ，将三角形 沿线段 折起到 的位置， ，如图 2 所
示．（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
19. （本题满分 12 分）某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，改款净水器为
三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，
其中每更换 个一级滤芯就需要更换 个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个
元，二级滤芯每个 元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为
.如图是根据 台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
（1）结合图，写出集合 ；
（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 元的概率（以
台净水器更换二级滤芯的频率代替 台净水器更换二级滤芯发生的概率）；
（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 折优惠（使用过程中如需再购买无优
惠）.假设上述 台净水器在购机的同时，每台均购买 个一级滤芯、 个二级滤芯作为备用
滤芯（其中 ， ），计算这 台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均
数.并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为 个，则其中
一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？
20. （本题满分 12 分）过圆 上的点 作圆 的切线，过点
作切线的垂线 ，若直线 过抛物线 的焦点 .
（1）求直线 与抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于点 ，点 在抛物线 的准线上，且 ，求
的面积.
21. （本题满分 12 分）设函数 ,其中 为自然对数的底数．
（1）若 ,求 的单调区间;
（2）若 ,求证: 无零点．
2 2: 4O x y+ = ( )3, 1M − O
( )3,2 l l 2: 2 ( 0)E x py p= > F
l E
l E ,A B P E 3PA PB⋅ = PAB∆22. （本题满分 10 分）选修 4 - 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参
数），在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程
为 .
（1）求 的普通方程和 的倾斜角；
（2）设点 和 交于 两点，求 .
23. （本题满分 10 分）已知函数 .
求不等式 的解集；
若 函 数 的 最 小 值 为 ， 整 数 、 满 足 ， 求 证
.
( ) 1f x x= −
( )Ⅰ ( ) 3 2f x x≥ −
( )Ⅱ ( ) ( ) 3g x f x x= + + m a b a b m+ =
2 2
4a b
b a
+ ≥参考答案
1.C
【解析】根据函数的定义域及值域分别求出集合 和集合 ，求出集合 的补集，即可求得
.
∵集合
∴
∵集合
∴
∵
∴
∴ 。故选 C.
2.B
【解析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可.
由 ，
得 ，
则 .故选：B.
3.A
【解析】构造函数 是减函数，已知 ,则 ，故 A 正确; ,故 B
不正确；
C 构造函数 是增函数，故 ，故选项不正确；
D. ，构造函数 是增函数，故 ，所以选项不正确.故答案为：A.
4.C
【解析】由已知求得 ，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解即可．
因为角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，
终边在直线 上，所以 ，
则 ．故选 C．
5.B
1y x
= 0a b< < 1 1
a b
> a b− > −
2ay = 2 2a b<
3 3a b> 3y x= 3 3a b 3,2 2x
π π ∈
( ) 0f x < 3 52x
π ∈ ，
( ) 0f x >【解析】由 ，故
（当且仅当 时取等号），故选：
C．
10.B
【解析】若函数 f（x）≤t2﹣2at+1 对所有的 x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得 f（x）的最大值
是 1，
∴1≤t2﹣2at+1⇔2at﹣t2≤0，
设 g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），
欲使 2at﹣t2≤0 恒成立，
则 ⇔t≥2 或 t=0 或 t≤﹣2．故选：B．
11.C
【解析】详解：如图所示，设球心为 ，
三角形 所在小圆的圆心为 ，半径为 ，
所在小圆的圆心为 ，半径为 ，
因为平面 平面 ， ，则 ，即 ，
则 平面 ， 平面 ，
又在 中，因为 ，则小圆的半径 ，
在 中， ，即 ，
所以外接球的表面积为 ，故选 C.
12.C
【解析】详解：由指数函数的性质可得，
，
πsin 3 cos tan 3 3a B b A A A= ⇒ = ⇒ =
21 3 3sin 32 4 4 2ABC
b cS bc A bc
+ = = ≤ =
2b c= =
( )
( )
1 0{ 1 0
g
g
− ≤
≤由对数函数的性质可得，
， ，
又 ，在 上递增，
所以 ，故选 C.
13.
14.4
【解析】
画出 x，y 满足： 的平面区域，如图：
由 ，解得
而 可化为 ，
由图象得直线过 时 z 最大，z 的最大值是：4，故答案为：4．
15.
1
2
−【解析】根据双曲线几何性质得渐近线斜率取值范围，再解出离心率取值范围.
因为过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，
所以
16.
【解析】如图，由题意球 的表面积为 ，可得球的半径为 ，
知 ，
，
所以 平面 ， ，
所以 ，
所以棱锥 的体积 ．
17.（1） ； ;（2） .
【解析】
Ⅰ 依题意 ， ，
设数列 的公比为 q，由 ，可知 ，
由 ，得 ，又 ，则 ，
故 ，
又由 ，得
Ⅱ 依题意 ，
则
得 ，
即 ，故18.（Ⅰ）折叠前，因为四边形 为菱形，所以 ；
所以折叠后， ， , 又 ， 平面 ，
所以 平面
因为四边形 为菱形，所以 ．
又点 为线段 的中点，所以 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（Ⅱ）图 1 中，由已知得 ， ，
所以图 2 中， ，又
所以 ，所以
又 平面 ，所以
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ．
所以三棱锥 的体积为 ．
19. （1）由题意可知当一级滤芯更换 、 、 个时，二级滤芯需要更换 个，
当一级滤芯更换 个时，二级滤芯需要更换 个，所以 ；
（2）由题意可知二级滤芯更换 个，需 元，二级滤芯更换 个，需 元，
在 台净水器中，二级滤芯需要更换 个的净水器共 台，二级滤芯需要更换 个的净水器共
台，
设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 元”为事件 ，所以
；
（3）因为 ， ，
（i）若 ， ，
则这 台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为（ii）若 ， ，
则这 台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为
所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为 个，
客户应该购买一级滤芯 个，二级滤芯 个。
20.
【解析】（1）过点 且与圆 相切的直线方程为 ，
斜率为 ，故直线 的斜率为 ，故直线 的方程为： ，
即 .
令 ，可得 ，故 的坐标为 ，
∴ ，抛物线 的方程为 ；
（2）由 可得 ，
设 ， ，则 ， ， ，
点 的坐标分别为 ， .
设点 的坐标为 ，则 ， ，
则 ，解之得 或 ，
∴ ，
则点 到直线 的距离为 ，故 或 ，
当 时， 的面积为 .
当 时， 的面积为 .
M O 3 4x y− =
3 l 3
3
− l ( )32 33y x− = − −
3 3 3 0x y+ − =
0x = 3y = F ( )0,3
6p = E 2 12x y=
2
3 3 3 0{
12
x y
x y
+ − =
=
2 10 9 0y y− + =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 1y = 2 9y = 1 2 10y y+ =
,A B ( )2 3,1 ( )6 3,9−
P ( ), 3t − ( )2 3 ,4PA t= − ( )6 3 ,12PB t= − −
( )( )2 3 6 3 4 12 3PA PB t t⋅ = − − − + × = 3t = − 3 3−
1 2AB AF BF y
ρ = + = + 2 1 2 10 6 162y y y
ρ ρ + + = + + = + =
P l
6 3
2
t
d
−
= 7 3
2d = 9 3
2
7 3
2d = PAB∆ 1 28 32S d AB= ⋅ =
9 3
2d = PAB∆ 1 36 32S d AB= ⋅ =21. 【解析】（1）若 ,则 ,∴ ．
令 ,则 ,
当 时, ,即 单调递增,又 ,
∴当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增．
∴ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ．
（2）当 时, ，显然 无零点．
当 时,
(i)当 时, ，显然 无零点．
(ii)当 时，易证 ，∴ ,
∴ ．
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
故 ，从而 ，显然 无零点.
综上, 无零点．
22.（1）解：由 消去参数 ，得
即 的普通方程为
由 ，得 ①
将 代入①得
所以直线 的斜率角为
（2）解：由（1）知，点 在直线 上，可设直线 的参数方程为
( 为参数)即 ( 为参数)，
代入 并化简得
设 两点对应的参数分别为 .
则 ，所以
所以
23.解析： 当 时，得 .∴ .
当 时，得 .∴无解.
当 时，得 .
所以，不等式的解集为 或 .
，∴ ，即 .
又由均值不等式有： ， ，
两式相加得 .∴
当且仅当 时等号成立.
( )Ⅰ 1x ≥ 41 3 2 3x x x− ≥ − ⇒ ≥ 4
3x ≥
0 1x< < 1 3 2 2x x x− ≥ − ⇒ ≥
0x ≤ 21 3 2 3x x x− ≥ + ⇒ ≤ −
4{ | 3x x ≥ 2}3x ≤ −
( )Ⅱ ( ) ( ) ( )1 3 1 3 4g x x x x x= − + + ≥ − − + = 4m = 4a b+ =
2
2a b ab
+ ≥
2
2b a ba
+ ≥
2 2
2 2a bb a a bb a
+ + + ≥ +
( )2 2
4a b a bb a
+ ≥ + =
2a b= =
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