2020 届高三下学期 5 月调研
理科数学
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
A. B. C.
D.
2.复数 , 是虚数单位.若 ，则
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）
3.已知实数 ， ， ，则 的最小值是
A. B. C.
D.
4.已知将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象，则 在 上的值域为
A. B. C.
D.
{ }1 2x x− < < { }1 0x x− < < { }1x x <
{ }2 0x x− < <
( )(1 )z a i i= + − ,Ra i∈ 2z = a =
1±
0a > 0b > 1 1 11 1a b
+ =+ + 2a b+
3 2 2 2 3
2
( ) 2 13sin cos cos 2f x x x x= + − 5
12
π
( )y g x= ( )g x ,12 3
π π −
1 ,12
−
11, 2
−
3 1,2 2
−
1 3,2 2
−
5.已知 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 的展开
式中常数项的系数是
A. -20 B. 20 C.
D. 60
6. 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ． 也 是 抛 物 线
的焦点，点 为 与 的一个交点，且直线 的倾斜角为 ，则 的
离心率为
A. B. C.
D.
7.函数 的图象大致是
A. B.
S
63S x
x
−
20
3
−C. D.
8.下列说法中正确的是
①“ ，都有 ”的否定是“ ，使 ”.
②已知 是等比数列， 是其前 项和，则 ， ， 也成等比数列.
③“事件 与事件 对立”是“事件 与事件 互斥”的充分不必要条件.
④已知变量 ， 的回归方程是 ，则变量 ， 具有负线性相关关系.
A. ① ④ B. ② ③ C. ② ④
D. ③④
9.已知 的三个内角 的对边分别为 ，若 ，且
，则 的面积的最大值为
A. B. C.
D.
10.函数 ，图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数
的图象上，其中 ， 则 的最小值是
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11.已知直三棱柱 中， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为
ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2sin 12 6
A π − =
2a = ABC∆
3 3
3
3
2
2 3
1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = 2AB = 1 1BC CC= =
1AB 1BCA. B. C.
D.
12.已知 ，当 时， 的大小关系为
A. B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
14.已知实数 满足不等式组 ，则 是最小值为 _____.
15.已知双曲线 的离心率为 ，左焦点为 ，点 （ 为
半焦距）. 是双曲线 的右支上的动点，且 的最小值为 .则双曲线 的方
程为_____.
16.边长为 2 的等边 的三个顶点 ， ， 都在以 为球心的球面上，若
球 的表面积为 ，则三棱锥 的体积为__________．
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。其中 22、23 为选考题。解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题满分 12 分）已知数列{ }、{ }满足 ＋ ＝ ，数列{ }的前 n 项和
为 ．
（1）若 ＝ ，且数列{ }为等比数列，求 a1 的值；
3
2
15
5
10
5
3
3
ABC∆ A B C O
O 148
3
π
O ABC−（2）若 ＝ ，且 S71＝2088，S2018＝1880，求 a1，a2 的值．
18. （本题满分 12 分）如图所示，正三棱柱 的底面边长为 2， 是
侧棱 的中点.
（1）证明:平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成锐角的大小为 ，求四棱锥 的体积.
19. （本题满分 12 分）某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数
学英语 3 门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6
门等级性考试科目中自主选择 3 个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或
未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为 A、B、
C、D、E 五等 21 级，该省的某市为了解本市 万名学生的某次选考化学成绩水平，
统计在全市范围内选考化学的原始成绩，发现其成绩服从正态分布 ，
现从某校随机抽取了 名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直
方图.
（1）估算该校 名学生成绩的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表）；
（2）现从该校 名考生成绩在 的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名
（从高到低）在全市前 名的人数记为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.参考
1 1 1ABC A B C− D
1CC
1AB D ⊥ 1 1ABB A
1AB D ABC 4
π
1 1 1B AAC D−数据：若 ，则 ， ，
.
20. （本题满分 12 分）如图, 在平面直角坐标系 中, 抛物线 的
准线 与 轴交于点 ,过点 的直线与抛物线交于 两点, 设 到准线
的距离 .
（1）若 ,求抛物线的标准方程；
（2）若 ,求证：直线 的斜率的平方为定值.
21. （本题满分 12 分）已知 ，函数 在点 处与 轴相切
（1）求 的值，并求 的单调区间；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围。
22. （本题满分 10 分）在极坐标系中，曲线 C1：ρsin2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，
极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy，曲线 C2 的参数方程为： ，
（θ∈[﹣ ， ]），曲线 C： （t 为参数）．
（Ⅰ）求 C1 的直角坐标方程；
（Ⅱ）C 与 C1 相交于 A，B，与 C2 相切于点 Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．
23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 的一个零点为 2.
（1）求不等式 的解集；
（2）若直线 与函数 的图象有公共点，求 的取值范围.
xOy ( )2 2 0y px p= >
l x M M ,A B ( )1 1,A x y l
( )2 0d pλ λ= >
1 3y d= =
0AM ABλ+ = AB
( ) ( )1 3 0f x x a x a= − + − − ≠
( ) 2f x ≤
2y kx= − ( )f x k参考答案
1.B
【解析】求解函数 的定义域可得： ，则
求解指数不等式 可得： ，
结合交集的定义可得： .
本题选择 B 选项.
2.D.
【解析】试题分析：由题意得， ，故选 D．
3.B
【解析】∵ ， ，
∴
当且仅当 ，即 ， 时取等号.故选 B
4.B
【解析】因 ，故
，因 ，故
，则 ，所以 ，应选答案 B。
5.A
【 解 析 】 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程 ， 如 下 ： ， 是 ，
； ，是， ； ，是， ；
，否，退出循环，输出 的值为 二项式 的展开式中的
y x= { }| 0A x x= ≥ { }| 0RC A x x= <
1 2 42
x< < { }| 1 2B x x= − < <
( ) { }| 1 0RC A B x x∩ = − < <
2| | 2 1 2 2 1z a a= ⇒ + ⋅ = ⇒ = ±
0a > 0b > 1 1 11 1a b
+ =+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 11 1 12 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 31 1 1 1
b aa b a b a b a b a b
+ + + = + + + − = + + + ⋅ + − = + + + − + + + +
3+2 2 3=2 2≥ −
( )2 1 1
1 1
b a
a b
+ +=+ + 2a = 2
2b =
( ) 3 1sin2 cos2 sin 22 2 6f x x x x
π = + = +
( ) ( )5sin 2 sin 2 sin212 6g x x x x
π π π = + + = + = − 12 3x
π π− ≤ ≤
226 3x
π π− ≤ ≤ 1 sin2 12 x− ≤ ≤ ( ) 11 2g x− ≤ ≤
0, 1, 1, 4i s i i= = = <
1 2 11s
−= = − 2,2 4i = < 1 2 31s
− −= =− 3,3 4i = < 3 2 1
3 3s
−= =
4,4 4i = < s 1 ,3
∴
61 3
3 x
x
− 通项是 ，令 ，得
常数项是 ，故选 A.
6.B
【解析】由题意可得：c= = ．直线 AF1 的方程为：y=x+c．联立 ，解
得 A（c，2c），代入椭圆方程可得： ，即 ，化为：e2+
=1，解出即可得出．
详解：由题意可得：c= =
直线 AF1 的方程为 y=x+c．
联立 ，解得 x=c，y=2c．
∴A（c，2c），
代入椭圆方程可得： ，
∴ ，化为：e2+ =1，
化为：e4﹣6e2+1=0，解得 e2=3 ，解得 e= ﹣1．
故答案为：B
7.A
【解析】由题意 ，所以函数 为偶函数，
图象关于 轴对称，排除 B、C；
又由 ，排除 D，故选 A.
8.D
【解析】①“ ，都有 ”的否定是“ ，使 ”，该说法错
误；
②当数列 的公比为-1 时， 可能是 0，该说法错误.
③对立一定互斥，互斥不一定对立，故“事件 与事件 对立”是“事件 与事件 互斥”
( )
6 6 2
3
1 6 6
3 3 113 3
r r r
rr r r
rT C C x
x
− −
−
+
= ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅
3 0r− = 3,r = ∴
( ) 0
3 3
4 6
11 203T C = − ⋅ ⋅ = − 的充分不必要条件，该说法正确.
④ 则变量 ， 具有负线性相关关系，该说法正确.
综合可得：正确的说法是③④.本题选择 D 选项.
9.B
【解析】 ，由于 为定值，由余弦定理得
，即 .根据基本不等式得
，即 ，当且仅当 时，等号成立.
，故选 .
10.C
【解析】令对数的真数等于 1，求得 的值，可得函数的图象恒过定点 A 的坐标，
根据点 A 在一次函数 的图象上，可得 ，再利用基本不等式求得
的最小值．
解：对于函数 ，令 ，求得 ， ，可得函
数的图象恒过定点 ，
若点 A 在一次函数 的图象上，其中 ， 则有 ，
则 ，
当且仅当 时，取等号，
故 的最小值是 8，故选：C．
11.C
【解析】
π 1 π π 2πsin , ,2 6 2 2 6 6 3
A A A − = − = = 2a =
2 2 2π4 2 cos 3b c bc= + − 2 24 b c bc= + +
2 24 2 3b c bc bc bc bc= + + ≥ + = 4
3bc ≤ b c=
1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3S bc A∆ = ≤ ⋅ ⋅ = B如图所示,设 分别为 和 的中点，
则 夹角为 和 夹角或其补角
(因异面直线所成角为 ，
可知 ，
；
作 中点 Q，则 为直角三角形；
∵ ，
中，由余弦定理得
，
∴ ，
∴ ；
在 中, ；
在 中，由余弦定理得
M N P、 、 1,AB BB 1 1B C
11AB BC、 MN NP
0, 2
π
1
1 5
2 2MN AB= =
1
1 2
2 2NP BC= =
BC PQM
11, 2PQ MQ AC= =
ABC
2 2 2 12 4 1 2 2 1 72AC AB BC AB BC cos ABC = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × − =
7AC =
7
2MQ =
MQP
2 2 11
2MP MQ PQ= + =
PMN又异面直线所成角的范围是 ，
∴ 与 所成角的余弦值为 。故选 C.
12.B
【解析】取 ，则 .所以 .故选 B.
13.
14.-13
【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标
函数 z＝2x+y 对应的直线进行平移，可得当 x＝y＝1 时，z＝2x+y 取得最小值．
作出不等式组 表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由 解得 B（﹣11，﹣2）设 z＝F（x，y）＝
x+y，将直线 l：z＝x+y 进行平移，
2 2 2
2 2 2
5 2 11( ) ( ) ( ) 102 2 2
2 55 22 2 2
MN NP PMcos MNP MH NP
+ −+ −∠ = = = −⋅ ⋅ × ×
0, 2
π
1AB 1BC 10
5
18
5当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，
∴z 最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案为：﹣13
15.
【解析】由 ，可知 ，而 的最小
值为 ，结合离心率为 2，联立计算即可。
设双曲线右焦点为 ，则 ，所以 ，而
的最小值为 ，所以 最小值为 ，
又 ，解得 ，于是 ，故双曲线方程为 .
16.
【解析】设球半径为 ，则 ，解得 ．
设 所在平面截球所得的小圆的半径为 ，则 ．
故球心到 所在平面的距离为 ，即为三棱锥
的高，所以 ．答案：
17.（1） ； （2） .
【解析】（1）依题意， ，即 ；
故当 时， ， ，……， ，
将以上各式累加得 ，
故 ，因为 为等比数列，故 ；
（2）依题意， ，故 ①， ②，
①+②得 ， ，
数列 是一个周期为 6 的周期数列，
33
3
R 2 1484 3R
ππ = 2 37
3R =
ABC∆ r 2 3 2 323 2 3r
= × × =
ABC∆ 2 2 37 4 113 3d R r= − = − =
O ABC− 21 1 3 332 113 3 4 3O ABC ABCV S d− ∆
= = × × × =
33
3设 ， ，则 ， ， ， ， ， ，……
，即数列 的任意连续 6 项之和为 0，
因为 ，故 ；
因为 ，故 ；
解得 ， ， 即 .
18.解析：（1）如图①，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，易
知
又 ，∴四边形 为平行四边形，∴ .
又三棱柱 是正三棱柱，
∴ 为正三角形，∴ .
又 平面 ，
,而 ，
∴ 平面 .
又 ，
∴ 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面
（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，
1AB E AB F , ,DE EF CF
//
1EF BB=
//
1
1
2CD BB= CDEF / /DE CF
1 1 1ABC A B C−
ABC∆ CF AB⊥
CF ⊂ ABC
1CF BB⊥ 1AB BB B∩ =
CF ⊥ 1 1ABB A
/ /DE CF
DE ⊥ 1 1ABB A
DE ⊂ 1AB D
1AB D ⊥ 1 1ABB A设 ，则 ，得
即 .
所以 .
（方法二）如图②，延长 与 交于点 ,连接 .
∵ , 为 的中点，∴ 也是 的中点,
又∵ 是 的中点,∴ .
∵ 平面 ,∴ 平面 .
∴ 为平面 与平面 所成二面角的平面角.
所以 ,∴ .
1AA h= ( ) ( )13,1,0 , 0,2, , 0,0,2
hA D B h
2
16 1 24 16 2 hh
= ⇒ =+
( )
1 1 1 1 1
1 1 13 1 2 2 3 33 3 2B AA C D AA C DV S− = × = × + × × =
1B D BC M AM
1 1 / /B C BC D 1CC D 1B M
E 1AB / /AM DE
DE ⊥ 1 1ABB A AM ⊥ 1 1ABB A
1B AB∠ 1AB D ABC
1 4B AB
π∠ = 1 1 2AA BB AB= = =19. 【解析】（1）
（2）该校 名考生成绩在 的人数为
而 ,则 ，
所以 ，所以全市前 名的成绩在 分以上，上述 名考生成绩中
分以上的有 人.
随机变量 ,于是 , ,
的分布列：
所以数学期望 .
20.解析：（1） ,设抛物线的焦点为 , ,即 轴, , 即
,得 ,所以抛物线的方程为 .
（2）设 ,直线 的方程为 ,
将直线 的方程代入 ,消去 得 ,
由 得 .所以 .
,
1y d= F 1AF y∴ = AF x⊥ 1 2
px∴ =
32 2
p p+ =
3p = 2 6y x=
( )2 2,B x y AB 2
py k x = +
AB 2 2y px= y
( ) 2 2
2 2 2 2 04
k pk x p k x+ − + =
0∆ > 2 1k <
( ) ( )2 2 2 2
1 22 2
2 2 1 2 2 1
,2 2
p k p k p k p k
x xk k
− − − − − − + −
= =
12 , 22
pd p x pλ λ= ∴ + =又 ,所以 ,
所以 ,即直线 的斜率的平方为定值.
21.【解析】（Ⅰ）函数 在点 处与 轴相切． ，
依题意， 解得 ，所以 ．
当 时， ；当 时， ．
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）令 ， ．则 ，
令 ，则 ，
（ⅰ）若 ，因为当 时， ， ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增．又因为 ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递增，
而 ，所以 ，即 成立．
（ⅱ）若 ，可得 在 上单调递增．
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，
且当 时， ，所以 即 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，
而 ，所以当 时， ，即 不成立．
综上所述， 的取值范围是 ．
22.解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由 ρsin2θ=4cosθ，得 ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线 C1 的直角坐标方程为：y2=4x．
（Ⅱ）设 Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由题意知直线 C 的斜率 k=
，
( )1 2 10, 2
pAM AB x x xλ λ+ = ∴ + = − 2
2 1 2
2 12 p kp x x k
−= − =
2 5 1
2k
−=
AB所以 ，即 =tanθ=﹣ ，
所以 ，故 Q（ ，﹣ ）．
取 ， ，不妨设 A，B 对应的参数分别为 t1 ， t2 ．
把 ，代入 y2=4x，
化简得 ，即 3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，
∵C 与 C1 相交于 A，B，∴△＞0，t1+t2= ．
∴|AQ|﹣|BQ|=|t1+t2|=
23.（1） （2）
【解析】（1）由 ， ，得 ，
∴ ，∴ 或 或 ，
解得 ，故不等式 的解集为 .
（2） ，
作出函数 的图象，如图所示，
直线 过定点 ，
当此直线经过点 时， ；
[ ]0,5 ( ) 1, 2 ,2k ∈ −∞ − ∪ +∞
( )2 2 2 0f a= − − = 0a ≠ 4a =
( ) 4 1 3 2f x x x= − + − − ≤ 1{ 2 2 2
x
x
≤
− ≤
1 4{ 0 2
x< <
≤
4{ 2 8 2
x
x
≥
− ≤
0 5x≤ ≤ ( ) 2f x ≤ [ ]0,5
( )
2 2 , 1
4 1 3 { 0,1 4
2 8, 4
x x
f x x x x
x x
− ≤
= − + − − = < <
− ≥
( )f x
2y kx= − ( )0, 2C −
( )4,0B 1
2k =当此直线与直线 平行时， .
故由图可知， .
AD 2k = −
( ) 1, 2 ,2k ∈ −∞ − ∪ +∞
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