广东省化州市第一中学2019-2020高二数学6月月考试题（Word版带答案）

绝密★启用前 化州市第一中学高二月考数学卷 考试时间：120 分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、单选题(共 40 分) 1．若集合 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知复数 ， 为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 的虚部为 3.已知 ，则 的最小值为( ) A．8 B．16 C．24 D．32 4．设 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．函数 定义域为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 F，点 A 是 { }3 2 0A x R x= ∈ + > { }2 2 3 0B x R x x= ∈ − − > A B = { }1x R x∈ < − 21 3x R x  ∈ − < < −    2 33x R x  ∈ − < 1 3 3 iz i −= + i z i= z i= 2 1z = z i− 2 3 1( 0, 0)a ba b + = > > 3 2a b+ 0.4 0.5 80.5 , log 0.3, log 0.4a b c= = = , ,a b c a b c< < c b a< < c a b< < b c a< < ln( 1) 1 xy x += − ( 4, 1)− − ( 4,1)− ( 1,1)− ( ]1,1− 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > >两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题(共 20 分) 9．下列命题中，是真命题的是（ ） A．已知非零向量 ，若 则 B．若 则 C．在 中，“ ”是“ ”的充要条件 D．若定义在 R 上的函数 是奇函数，则 也是奇函数 10．下列说法正确的是（ ） A．截距相等的直线都可以用方程 表示 B．方程 能表示平行 轴的直线 C．经过点 ，倾斜角为 的直线方程为 D．经过两点 ， 的直线方程 11．设函数 ，则下列说法正确的是 2 1+ 3 1+ 5 1+ 2 2+ ( ) 1cos 1 x x ef x x e += ⋅ − ( )f x R ( )1 2f − = x∈R ( ) 2f x′ > ( ) 2 4f x x> + ( )1,1− ( )1,− +∞ ( ), 1−∞ − ( ),−∞ +∞ ,a b  ,a b a b+ = −   a b⊥  ( ): 0, , 1 ln ,p x x x∀ ∈ +∞ − > ( )0 0 0: 0, , 1 lnp x x x¬ ∃ ∈ +∞ − ≤ ABC∆ sin cos sin cosA A B B+ = + A B= ( )y f x= ( )( )y f f x= 1x y a a + = 2 0( )x my m R+ − = ∈ y (1,1)P θ 1 tan ( 1)y xθ− = − 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 2 1 1 2 1 1( )( ) ( )( ) 0y y x x x x y y− − − − − = ( ) ln xef x x =A． 定义域是（0，+ ） B．x∈（0，1）时， 图象位于 x 轴下方 C． 存在单调递增区间 D． 有且仅有两个极值点 12.若随机变量 X 服从两点分布，其中 ，E（X）、D（X）分别为随机变量 X 均 值与方差，则下列结论正确的是（ ） A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4 C．D（3X+2）＝4 D． 第 II 卷（非选择题) 三、填空题(共 20 分) 13．曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________． 14. 甲乙 2 人从 4 门课程中各自选修 2 门课程，并且所选课程中恰有 1 门课程相同，则不同的 选法方式有_____________种（用数字作答） 15. 展开式的第三项的二项式系数是 ，常数项为 （用数字 作答） 16．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， __________． 四、解答题(共 70 分) 17．(本题 10 分)在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）（4 分）求 的大小； （2）（6 分）若 的外接圆的半径为 ，面积为 ，求 的周长. 18.(本题 10 分)在等差数列 中 ，且 . （Ⅰ）（4 分）求等差数列 的通项公式； ( )f x ∞ ( )f x ( )f x ( )f x ( ) 10 3P X = = ( ) 4 9D X = 2 1y x x = + 612 x x  −   2 2: 4 6 3 0C x y x y+ − + − = : 1 0l mx y m+ + − = m = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos 2a B c b= + A∠ ABC∆ 2 3 3 3 ABC∆ { }na 2 8a = 3 5 24a a a+ = { }na（Ⅱ）（6 分）设各项均为正数的等比数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 ． 19. （12 分）2019 年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与 韩国队相遇，中国队男子选手 A，B，C，D，E 依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛 中他们五人获胜的概率分别是 0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用 5 局 3 胜制，先赢 3 局者获得胜利. （1）（4 分）在决赛中，中国队以 3∶1 获胜的概率是多少？ （2）（8 分）求比赛局数的分布列及数学期望. 20．(本题 12 分)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 所截后得到的，其中 ， ， . （1）（6 分）求证：平面 平面 ； （2）（6 分）求直线 与平面 所成角的正弦值. 21．(本题 13 分)已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，离心率为 ． （Ⅰ）（4 分）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）（9 分）设 为坐标原点， 为直线 上一点，过 作 的垂线交椭圆于 ， ．当四边形 是平行四边形时，求四边形 的面积． { }nb 4 1 6 4b a b a= =， { }n na b⋅ nS AEFG 45BAE GAD∠ = ∠ = ° 2 2AB AD= = 60BAD∠ = ° BDG ⊥ ADG GB AEFG C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( 2,0)F − 6 3 C O T 3x = − F TF P Q OPTQ OPTQ22．(本题 13 分)已知函数 . （1）（6 分）当函数 在 内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围； （2）（7 分）若对于 ，不等式 恒成立，求整数 的最小 值. 21( ) ln ( )2f x x ax x a= − + ∈R ( )f x (1,3) a 0x > 22 ( ) 2 2 ( 1) 1f x x a x+ + ≤ + + a化州市第一中学高二月考数学卷 一、选择题 1-5 DBCCC 6-8 ABB 9.ABD 10.BD 11.BC 12.AB 7.【详解】 的定义域为 ， ∵ ， ∴函数 奇函数，排除 A、D， 又因为 ， ，排除 C。 8.依题意可设 ，所以 . 所以函数 在 上单调递增，又因为 . 所以要使 ，即 ，只需要 ，故选 B. 9【答案】ABD 对 A， ，所以 ，故 A 正 确； 对 B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故 B 正确； 对 C， ， 所以 或 ，显然不是充要条件，故 C 错误； 对 D，设函数 ，其定义域为 关于原点对称，且 所以 为奇函数，故 D 正确； 10【答案】BD ( ) 1cos 1 x x ef x x e += ⋅ − ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ) ( )1 1cos cos1 1 x x x x e ef x x x f xe e − − + +− = − ⋅ = − ⋅ = −− − ( ) 1cos 1 x x ef x x e += ⋅ − 2 2 1cos 02 2 1 ef e π π π π +  = ⋅ =   − ( ) 11 cos1 01 ef e += ⋅ >− ( ) ( ) 2 4g x f x x= − − ( ) ( ) 2 0g x f x′ ′= − > ( )y g x= R ( ) ( )1 1 2 4 0g f− = − + − = ( ) ( ) 2 4 0g x f x x= − − > ( ) ( )1g x g> − 1x > − 2 2 2 2 2 2 2 2 0a b a b a b a b a b a b a b+ = − ⇒ + + ⋅ = + − ⋅ ⇒ ⋅ =              a b⊥  sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2 sin 2A A B B A A B B A B+ = + ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = 2A B π+ = A B= ( )( )( )F x f f x= R ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )F x f f x f f x f f x F x− = − = − = − = − ( )F x11.由题意，函数 满足 ，解得 且 ，所以函数 的定 义域为 ，所以 A 不正确； 由 ，当 时， ，∴ ，所以 在 上的图象都在轴 的下方，所以 B 正确； 所以 在定义域上有解，所以函数 存在单调递增区间，所以 C 是正确的； 由 ，则 ，所以 ，函数 单调增，则函 数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单调递减， 当 时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 不正确； 三、填空题：13. 14. 24 15. 15，-160 16. 四.解答题 17..1）因为 ， 由正弦定理可得， ， 由三角形内角和定理和诱导公式可得， ， 代入上式可得， ， 所以 . 因为 ，所以 ，即 . 由于 ，所以 . （2）因为 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得， . 又 的面积为 ， ( ) ln xef x x = 0 ln 0 x x >  ≠ 0x > 1x ≠ ( ) ln xef x x = (0,1) (1, )∪ +∞ ( ) ln xef x x = (0,1)x∈ ln 0x < ( ) 0f x < ( )f x (0,1) ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) 1lng x x x = − ( ) 2 1 1 .( 0)g x xx x ′ = + > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) 0f x′ = 0x 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ 1y x= + 3 4 − 2 cos 2a B c b= + 2sin cos 2sin sinA B C B= + sin sin( ( )) sin( )C A B A Bπ= − + = + sin cos cos sin= +A B A B 2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B= + + 2cos sin sin 0A B B+ = sin 0B > 2cos 1 0A+ = 1cos 2A = − 0 A π< < 2 3A = π ABC∆ 2 3 34 3sin 4 3 62a A= = × = ABC∆ 3 3所以 ，即 ，所以 . 由余弦定理得 ， 则 ， 所以 ，即 . 所以 的周长 . 18.解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，由已知 ， 解得 ，所以 ． （2）设数列 的公比为 ，由已知 ，解得 或 （舍）， 所以 ，所以 ． 19.解：（1）若中国队以 3∶1 获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中国队以 3∶1 获胜为事件 A，则 . （2）设比赛局数为 X，则 X 的取值分别为 3，4，5， 则 ， ， 1 sin 3 32 bc A = 1 3 3 32 2bc× = 12bc = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 236 ( ) ( ) 12b c bc b c bc b c= + + = + − = + − 2( ) 48b c+ = 4 3b c+ = ABC∆ 6 4 3a b c+ + = + { }na d ( )1 1 1 1 8, 2 4 4 a d a d a d a d + =  + + + = + 1 4, 4 a d =  = ( )*4na n n N= ∈ { }nb q 4 6 4, 16 b b =  = 1 1 2 2 b q  =  = ， 1 1 2 2 b q ， = −  = − 1 21 2 22 n n nb − −= × = 24 2 = 2n n n nna b n −⋅ ⋅= ⋅ 2 31 2+2 2 +3 2 + + 2n nS n= × × × × ① 2 3 4 +12 1 2 +2 2 +3 2 + + 2n nS n= × × × × ② 2 3 1- - 2+2 +2 + +2 -n 2n n nS += ⋅① ②得 1 1 1- 2 2 2 (1 )2 2n n n nS n n+ + += − − ⋅ = − − 1( 1)2 2n nS n +∴ == − + 1 2 3( ) C 0.2 0.8 0.75 0.288P A = × × × = 3 3( 3) 0.8 0.2 0.520P X = = + = 1 2 1 2 3 3( 4) C 0.2 0.8 0.75 C 0.2 0.8 0.25 0.312P X = = × × × + × × × =， 则 X 的的分布列为 X 3 4 5 P 0.520 0.312 0.168 . 20.1）证明：在 中，因为 ， . 由余弦定理得， ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， 在直平行六面体中， 平面 ， 平面 ， ∴ 又 ， ∴ 平面 ， ∴平面 平面 . （2）解：如图以 为原点建立空间直角坐标系 ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， . ( 5) 1 ( 3) ( 4) 0.168P X P X P X= = − = − = = ( ) 3 0.520 4 0.312 5 0.168 3.648E X = × + × + × = BAD∆ 2 2AB AD= = 60BAD∠ = ° 2 2 2 2 cos60BD AD AB AB AD= + − ⋅ ° 3BD = 2 2 2AB AD DB= + AD DB⊥ GD ⊥ ABCD DB ⊂ ABCD GD DB⊥ AD GD D∩ = BD ⊥ ADG BDG ⊥ ADG D D xyz− 45BAE GAD∠ = ∠ = ° 2 2AB AD= = ( )1,0,0A ( )0, 3,0B ( )0, 3,2E ( )0,0,1G ( )1, 3,2AE → = − ( )1,0,1AG → = − ( )0, 3, 1GB → = −设平面 的法向量 ， ， 令 ，得 ， ，∴ . 设直线 和平面 的夹角为 ， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 21.：（1）由已知得： ， ，所以 又由 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为： . （2）椭圆方程化为 . 设 T 点的坐标为 ，则直线 TF 的斜率 . 当 时，直线 PQ 的斜率 ，直线 PQ 的方程是 当 时，直线 PQ 的方程是 ，也符合 的形式. 将 代入椭圆方程得： . 其判别式 . 设 ， 则 . 因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以 ，即 . AEFG ( ), ,n x y z → = 3 2 0 0 n AE x y z n AG x z  ⋅ = − + + = ⋅ = − + =   1x = 3 3y −= 1z = 31, ,13n →  = −    GB AEFG θ ( ) ( ) 30, 3, 1 1, ,13 21sin cos , 730, 3, 1 1, ,13 GB nGB n GB n θ → → → → → →  − ⋅ − ⋅  = = = =  ⋅ − ⋅ −    GB AEFG 21 7 6 3 c a = 2c = 6a = 2 2 2a b c= + 2b = 2 2 16 2 x y+ = 2 23 6x y+ = ( 3, )m− 0 3 ( 2)TF mk m −= = −− − − 0m ≠ 1 PQk m = 2x my= − 0m = 2x = − 2x my= − 2x my= − 2 2( 3) 4 2 0m y my+ − − = 2 216 8( 3) 0m m∆ = + + > 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 2 12, , ( ) 43 3 3 my y y y x x m y ym m m − −+ = = + = + − =+ + + OP QT=  1 1 2 2( , ) ( 3 , )x y x m y= − − −所以 ，解得 . 此时四边形 OPTQ 的面积 . 22.（1）函数 的定义域为 ， ，设 ， 函数 在 内有且只有一个零点，满足 ， 可得 ，解得 ， 故实数 的取值范围为 ． （2） ，可以变形为 ，因为 ， 可得 ， 设 ， . 设 在 单调递增， ， . 故存在一点 ，使得 ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 的最大值为 ， 且 ， 1 2 2 1 2 2 12 33{ 4 3 x x m my y mm −+ = = −+ + = =+ 1m = ± 2 1 2 2 2 1 4 22 2 2 ( ) 4· 2 32 3 3OPTQ OPQ mS S OF y y m m −= = × ⋅ − = − =+ + ( )f x (0, )+∞ 21 1( ) x axf x x a x x − +′ = − + = 2( ) 1h x x ax= − + ( )h x (1,3) (1) (3) 0h h⋅ < (1 1)(9 3 1) 0a a− + − + < 102 3a< < a 102, 3      22 ( ) 2 2 ( 1)f x x a x+ + ≤ + ( )22ln 2 2 2x x a x x+ + ≤ + 0x > 2 2ln 2 2 2 x xa x x + +≥ + 2 2ln 2 2( ) 2 x xg x x x + += + ( )22 2( 1)(2ln )( ) 2 x x xg x x x − + +′ = + ( ) 2ln , ( )h x x x h x= + (0, )+∞ 1 12ln2 02 2h  = − + 0 (0.5,1)x ∈ ( )0 0h x = 00 x x< < ( ) 0, ( ) 0h x g x′< > ( )g x 0x x> ( ) 0, ( ) 0h x g x′> < ( )g x ( )0g x 0 02ln 0x x+ =，可知 ，又 ， 可得整数 的最小值为 2. ( ) 0 0 max 0 2 0 0 0 2ln 2 2 1( ) 2 x xg x g x x x x + += = =+ 0 1a x ≥ 0 1 (1,2)x ∈ a