浙江省丽水市发展共同体2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版带答案）

2020 年 5 月高二期中考试数学学科试卷 一．选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分，共 40 分） 1.设集合 , ,则 ( ) A. B. C. D． 2. 已知 a，b 都是实数，那么“ ”是“ ” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知直线 都不在平面内，则下列命题错误的是 ( ) A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若 则 4. 若实数 满足约束条件 ，且目标函数 的最大值等于 ( )x y、 { | 0 6}S x N x= ∈ < < {4,5,6}T = S T = {1,2,3,4,5,6} {1,2,3} {4,5} {4,5,6} 3 3a b> 3 3a b> ba, ,//,// αaba α//b ,,// α⊥aba α⊥b ,//, αaba ⊥ α⊥b ,, α⊥⊥ aba α//b 0 1 2 4 y x y x y ≥  − ≥  + ≤ z x y= +A．2 B．3 C．4 D．1 (第 5 题图) 正视图 侧视图 俯视图 4 4 45.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积( ) （单位：cm3）是 A． B． C． D． 6. 设 是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时， = ， 则 =( ) A． B． C． D． 7. 对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 8. 函数 的零点个数最多是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆交于 两点，且满足 ，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10. 已知点 , 在 内,且 ,则 等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题:(共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分) 11.已知 ，则 ____▲_____. =____▲____. 12.圆 的圆心 的坐标是 ▲ ,设直线 与圆 交于 两点, 若 ,则 ▲ ． 8 π8 16 π16 ( )f x ( )f x 2 (1 )x x− 5( )2f − 2 1− 1 4 − 1 4 1 2 (0, )2 πθ ∈ 2 2 1 4 2 1sin cos xθ θ+ ≥ − x [ ]3,4− [ ]0,2 3 5,2 2  −   [ ]4,5− ( )2 | |( ) 4 xf x kx k Rx = − ∈+ 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F ,A B 1 1 2| | 2 | |, | | | |AF BF AB BF= = 1 2 3 3 3 2 5 3 P Q ABC∆ 2 3 2 3 5 0PA PB PC QA QB QC+ + = + + =       | | | | PQ AB   1 30 1 31 1 32 1 33 32 =a =a8 a−6log2 2 2 2 4 0x y x y+ − − = C : ( 2)l y k x= + C ,A B | | 2AB = k =13.已知 为等差数列,若 ,则 前 项的和 　▲ _, 的 值为　▲ _． { }na 1 5 9 8a a a π+ + = { }na 9 9S = 3 7cos( )a a+14. 在 中,内角 , , 所对的边分别是 , , .已知 , ,ABC∆ A B C a b c 1 4b c a− = 2sin 3sinB C= x y O 1 3 －1 ( 第 15 题 图)的面积为 ,则 的值为　▲ _, 　▲ _. 15.若函数 的部分图象如图所示，则 ▲ . 16. 正方体 的一个截面经过顶点 , 及棱 上一点 ,且将正方体分成体 积比为 的两部分.则 的值为 ▲ . 17. 已知等差数列 满足: , , ,且该数列在区间 中的项比在 区间 中的项少 ,则 的通项公式为 ▲ . 三、解答题（18 题 14 分，19-22 小题每题 15 分，共 74 分） 18. 已知函数 的最小正周期为 ． (1)求 的单调递增区间； (2)在 中， 分别是角 的对边，若 的面积为 ，求 的值． 19.已知数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，且 ，又 成 等比数列． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若对任意 ， ，都有 ， 求 的最小值． 3 15 4ABC∆ cos A a = 2 1( ) ( , , )f x a b cax bx c = ∈+ + R b = ABCD EFGH− A C EF K 3:1 EK KF { }na 1 0a < 100 74a ≥ 200 200a < 1 ,82      4314, 2      2 { }na 2( ) cos 3 sin cos ( 0)f x x x xω ω ω ω= + > π ( )f x ABC∆ , ,a b c A、B、C ( ) 1, 1,f A b ABC= = ∆ 3 2 a }{ na n nS 305 =S 931 ,, aaa nS tn > *Nn ∈ 25 12 2 1 2 1 2 1 2211 >+++++++++ nn aSaSaS  tX Y B A O P Q D C 20. 已知直角梯形 ， ∥ , , , , 为线段 上的 动点（异于 、 ）， ∥ 交 于点 ，沿 折叠使二面角 为直二面 角． （Ⅰ）在线段 上是否存在点 ，使 ∥面 ?若存在，则求出 的长；若不存在， 则说明理由； （Ⅱ）若直线 与面 所成的角为 ，求 的取值范围． 21. 已知抛物线 ,准线与 轴的交点为 . (Ⅰ)求抛物线 的方程； (Ⅱ)如图， ，过点 的直线 与抛物线 交于 不同的两点 ， 与 分别与抛物线 交于 点 ,设 的斜率分别为 ， 的 斜率分别为 ，问：是否存在常数 ，使得 若 存在，求出 的值，若不存在，说明理由. ABCD AD BC BCAB ⊥ 2== ABAD 4=BC E AB A B EF AD CD F EF BEFA −− BC M DM AEB BM AC DCF θ θsin :Γ 2 2y px= x ( )2,0P − Γ ( )1,0Q P l Γ ,A B AQ BQ Γ ,C D ,AB DC 1 2,k k ,AD BC 3 4,k k λ 1 3 4 2k k k kλ= λ B A D F C E FE A D CB22.对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的一个不动点．设函 数 （ ）． （Ⅰ）当 ， 时，求 的不动点； （Ⅱ）若 有两个相异的不动点 ： （i）当 时，设 的对称轴为直线 ，求证： ； （ii）若 ，且 ，求实数 的取值范围． )(xf Rx ∈0 00 )( xxf = 0x )(xf 1)( 2 ++= bxaxxf 0>a 2=a 2−=b )(xf )(xf 21, xx 21 1 xx m 2|| 1 π ( )f x ABC∆ , ,a b c A、B、C ( ) 1, 1,f A b ABC= = ∆ 3 2 a 1 cos2 3 1( ) sin2 sin(2 )2 2 6 2 xf x x x ω πω ω+= + = + + ( )f x π 0ω > 2 2 π πω = 1ω = 2 1)62sin()( ++=∴ π xxf 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ 3 6k x k π ππ π− ≤ ≤ + ( )f x , ,3 6k k k Z π ππ π − + ∈  （Ⅱ）由 …8 分 又因为 A 为三角形的内角， ……10 分 …………12 分 …………14 分 19.已知数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，且 ，又 成 等比数列． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若对任意 ， ，都有 ， 求 的最小值． 19.解：（Ⅰ）设公差为 ，由条件得 ，得 ． 所以 ， ． …………7 分 （Ⅱ）∵ ． ∴ ． ∴ ， 即： ， ． ∴ 的最小值为 48． …………15 分 20. 已知直角梯形 ， ∥ , , , , 为线段 上的 动点（异于 、 ）， ∥ 交 于点 ，沿 折叠使二面角 为直二面 角． 1 1( ) 1, ( ) sin(2 ) 1, sin(2 )6 2 6 2f A f A A A π π= = + + = ∴ + =得 13 52 2 ,6 6 6 6 6 3A A A π π π π π π∴ < + < ∴ + = ∴ = 3 1 3, sin , 22 2 2 ABCS bc A c∆ = ∴ = ∴ = 2 2 2 2 cos 3, 3a b c bc A a∴ = + − = ∴ = }{ na n nS 305 =S 931 ,, aaa nS tn > *Nn ∈ 25 12 2 1 2 1 2 1 2211 >+++++++++ nn aSaSaS  t d 1 2 1 1 1 5 45 302 ( 2 ) ( 8 ) a d a d a a d × + =  + = + 21 == da nan 2= nnSn += 2 2 1 1 1 )2)(1( 1 23 1 22 1 2 1 22 +−+=++= ++ = +++ =++ nnnnnnnnnaS nn 2 1 2 1 2 1 2211 +++++++++ nn aSaSaS  )2 1 1 1()4 1 3 1()3 1 2 1( +−+++−+−= nn 25 12 2 1 2 1 >+−= n 50 1 25 12 2 1 2 1 =−+n 48>n t ABCD AD BC BCAB ⊥ 2== ABAD 4=BC E AB A B EF AD CD F EF BEFA −−（Ⅰ）在线段 上是否存在点 ，使 ∥面 ?若存在，则求出 的长；若不 存在，则说明理由； （Ⅱ）若直线 与面 所成的角为 ，求 的取值范围． 解：（Ⅰ）取 BC 中点 M，由 且互相平行， 故四边形 是平行四边形，可得 ∥ , 面 ， 面 ,所以 ∥面 ， 此时 --------------5 分 （Ⅱ）法一：坐标法 以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 设 = ，则点 A(0,0, ),C ， ， 设面 DCF 的法向量为 由 得 ， 令 ，则 ， ，即 ,因 ， 所以 ，由于 ，可得 所以 得范围是 --------------10 分 法二：几何法 设 于 ，则 .作 于 ，过 作 于 ，连结 .可得 BC M DM AEB BM AC DCF θ θsin 2== BMAD ADMB DM AB ⊄DM AEB ⊂AB AEB DM AEB 2=BM E EB x EF y EA z AE x x )0,4,2( x− ),2,0( xD )0,2,0( xF + ),,( cban =    =⋅ =⋅ 0 0 DFn DCn    =− =−+− 0 02)2( xcxb xcbax 1=b 1=c 1−=a )1,1,1(−=n ),4,2( xxAC −−= 20423 2sin 2 +−⋅ = ⋅ ⋅= xxACn ACnθ )2,0(∈x )20,18[2042 2 ∈+− xx θsin ] 9 6, 15 15( DFCAO 面⊥ O ACO∠=θ EFDH ⊥ H H FCHN ⊥ N DN FCDN ⊥ B A D F C E FE A D CB MB A D F C E H z y x E C F DA B MB A D F C E N H H FE A D CB NX Y B A O P Q D C 设 ，则 ， ， ，可得： = = = 由于点 F 到面 的距离与点 到面 的距离相等，即 由 得 ，可得 .因 由于 ，可得 所以 得范围是 --------------10 分 21. 已知抛物线 ,准线与 轴的交点为 . (Ⅰ)求抛物线 的方程； (Ⅱ)如图， ，过点 的直线 与抛物线 交于 不同的两点 ， 与 分别与抛物线 交于 点 ,设 的斜率分别为 ， 的 斜率分别为 ，问：是否存在常数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在， 说明理由. xEB = xEA −= 2 xFC 2= 442 2 +−= xxAB )2(2 2 xHN −= DNFCS DFC ⋅=∆ 2 1 22 2 1 DHHNFC +⋅ )2(2 3 xx − ABADS ADC ⋅=∆ 2 1 442 2 +− xx ADC E ADC 442 )2( 2 +− −=⋅ xx xx AB BEAE ADCFDFCA VV −− = AB BEAESAOS ADCDFC ⋅⋅=⋅ ∆∆ 3 1 3 1 3 2=AO 2042 222222 +−=++=+= xxBCBEAEECAEAC 20423 2sin 2 +−⋅ == xxAC AOθ )2,0(∈x )20,18[2042 2 ∈+− xx θsin ]9 6,15 15( :Γ 2 2y px= x ( )2,0P − Γ ( )1,0Q P l Γ ,A B AQ BQ Γ ,C D ,AB DC 1 2,k k ,AD BC 3 4,k k λ 1 3 4 2k k k kλ= λ解：(Ⅰ) ——————————4 分 (Ⅱ)假设存在实数 设 的直线方程为 ， ， , , 由 化简得： 所以 ——————————7 分 由 化简可得 ，同理可得 ——————————10 分 易得 ， ， ， 所以代入 得 所以存在 ——————————15 分 22.对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的一个不动点．设函 数 （ ）． （Ⅰ）当 ， 时，求 的不动点； （Ⅱ）若 有两个相异的不动点 ： （i）当 时，设 的对称轴为直线 ，求证： ； （ii）若 ，且 ，求实数 的取值范围． 2 8y x= λ AB 2x my= − 2 1 1,8 yA y      2 2 3,8 yB y      2 3 3,8 yC y      2 4 4,8 yD y      2 2 8 x my y x = −  = 2 8 16 0y my− + = 1 2 1 2 8 16 y y m y y + =  = 22 2 31 1 1 3 11 , , ,8 8 8 yy yAQ y AC y y   = − − = − −        / /AQ AC  1 3 8y y = − 2 4 8y y = − 1 1 2 8k y y = + 1 2 2 3 4 1 2 1 2 8 8 8 8 y yk y y y y y y = = = −− −+ ++ 3 2 1 4 1 2 8 8 8k yy y y y = = =+ − 4 1 2 3 8k yy y = =+ 1 3 4 2k k k kλ= 1 2 8 y y+ 1 2y y 1 2 1 2 y y y y λ= − + 8λ = − )(xf Rx ∈0 00 )( xxf = 0x )(xf 1)( 2 ++= bxaxxf 0>a 2=a 2−=b )(xf )(xf 21, xx 21 1 xx m 2|| 1 0， 由 x1，x2 是方程 f (x)=x 的两相异根，且 x1 0 ⇒ (b－1) 2 > 4a， x1 + x2 = ，x1x2 = 1 a， ∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = ( ) 2－ 4 a= ， ………………10 分 ∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*) 又 | x1－x2 | = 2， ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x= 的距离都为 1， 要使 g(x)=0 有一根属于 ， 则 g(x)对称轴 x = ∈ ， …………………12 分 ∴ －3< 1 6| b－1|， 把上式代入 (*)式，得：(b－1) 2 > 2 3| b－1 | + 1 9(b－1) 2，解得 b < 1 4或 b > 7 4， ∴ b 的取值范围是：(－∞, 1 4)∪( 7 4,+∞)． …………………14 分 xxxxf =+−= 122)( 2 22 3 1 0x x− + = 2 1=x )(xf 2 1 1 xxf −)( 1>− a b 2 1 2 >− a b a b−1 a b−1 22 a b 2 1− )2,2(− a b 2 1− )3,3(− a b 2 1−